巧用向量方法求解决最值问题
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)
2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝
用向量方法巧解最值问题
设 ｍ一 （ ｚ一 ２ ３ ，一 （ ， ），ｌ ｚ一 ５， １ ， 一 ） 则
Ｙ — ｓ （ － ２ ｚ ３ － ｖ ／ ｘ－ — ＋ ｚ Ｉ ／ — ） － ，
ｖ 二而 ／ ＝
求 解．
含 有 无 理 式 ， 用 凑 配 技 巧 来 利
函数 训一 ｚ ＋ 的 最 小 值 ． 解 ： ｍ 一 （ ） ，一 （ ， ） 由 定 义 有 ： 设 ｚ， ，ｌ １２ ，
ｍ ・，一 ＋ ２ ｌ 一 １ ，Ｉ Ｉ Ｏ ｍ 一 ＋ ， ，Ｉ ５ Ｉｌ 一 ， 从 而 训 一 ｚ ＋ ｚ Ｉ Ｉ ｚ — ≥ ｍ 一 一
的最值
， 即
＋ Ｙ ≥
６
，
当且 仅 当 ｍ 与 ， 向时取等 号 ． ｌ同
向量 三角 不等 式 主要有 以下 四个 ：
（ ） 小 Ｉ Ｉｌ ≥ Ｉｌ ，Ｉ 当 且 仅 当 ｍ 与 １ Ｉ ＋ ，Ｉ ， ＋ ｌ ， ，
完 全 类 似 地 ， 向 量 ｍ 一 （ ＂Ｙ， ） ，一 设 ｏ， ｚ ，ｌ Ｚ （ ｂｆ ， ｍ 与 ， 数量 积 为 ： ｎ， ， ） 则 ｌ的 （ ） ・，— ｎ ３ｍ ｌ ｚ＋ ＋ ｃ ， 而 也 有 ： ・， ｚ从 ｍ ｌ
维普资讯
解 题方 法 与技
用 向 量 方 法 巧 解 最 值 问 题
广西钦 州师专数 学与计 算机 科 学 系（ ３ ０ ０ 梁 常东 ５ ５０ ） 广西桂 林 师专数 学与计 算机 科 学 系（ ４ ０ １ 蒋 晓云 ５ １０ ）
在 中 学 数 学 中 ， 某 些 代 数 式 的 最 值 问 对 题通 常使 用 凑 配 技 巧 （ 配方 法 ） 解 ， 在 如 求 现 高 中数 学增 加 了 向 量 内容 ， 们 在 使 用 向量 我 方法 求解 最 值 问题 ， 别是 一 些 无 理 式 的最 特 值 问题 时 ， 以大 大 简化 解 题 过 程 ， 高解 题 可 提
巧用向量方法解决最值问题
巧用向量方法求解决最值问题梁常东1蒋晓云2（1钦州师专数学与计算机科学系 广西 钦州 535000 2桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。
1 利用向量的数量积求最值设向量),,(y x m = ，),(b a n = 则n m与的数量积为：()by ax n m n m n m +=∠⋅=⋅,cos ，从而有：n m n m⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m （1）()22222222)( , b a by ax y x nn m m ++≥+⋅≥即 ,当且仅当同向时取等号与n m （2） 完全类似地，设向量),,(z y x m = ，),,(c b a n = ，则n m与的数量积为：~cz by ax n m ++=⋅，从而也有：n m n m ⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m ；()2222222222)(c b a cz by ax x y x nn m m ++++≥++⋅≥即 ，当且仅当同向时取等号与n m 。
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：例1设y x,∈R +,且102=+y x ,求函数22y x w +=的最小值。
解:设)2,1(),y (x,==n m,由定义有：5,,1022222=+==+=⋅n y x m y x n m从而 ()22222nn m m y x w ⋅≥=+==205102=,当且仅当n m 与同向,即021>=y x 时取等号，所以当5.2,5==y x 时，22y x w +=取得最小值20。
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
构造平面向量巧解最值问题
构造平面向量巧解最值问题以《构造平面向量巧解最值问题》为标题，本文讨论的是一种可以用来解决最值问题的有效解决方案构造平面向量法，并分析其优势和存在的问题。
首先，让我们来回顾构造平面向量法的基本概念和步骤。
构造平面向量法是指，先将向量空间中的一个点A视为解空间的起始点，然后搜索另一个或多个点B，使其与点A组成一个平面向量，该平面向量可以满足给定的最值条件。
如果有多个满足给定最值条件的平面向量，那么就可以找到最优的平面向量 (使用最小二乘法等最小化工具)，从而获得最优解。
构造平面向量法包含以下几个重要步骤：首先，选定一个解空间中的起始点，然后，根据等式求解限定条件确定要搜索的下一点，最后，采用最优化技术（如最小二乘法）找出最优解。
构造平面向量法具有许多优点，首先，它是一种非常快速高效的求解方式，避免了极值搜索法可能遇到的局部最小值的问题；其次，它是一种灵活的求解方法，能够快速有效地应用于不同类型的最值问题；此外，它还具有普遍性，能够有效地处理多维最值问题以及各种求解空间的复杂最值问题。
尽管构造平面向量法在解决最值问题方面具有许多优点，但它也存在一些问题。
首先，构造平面向量法是非线性的，它无法解决高纬度最值问题；其次，它也会受到参数设置的影响，当参数设置不合理时可能会得到错误的解决方案；此外，它也受到初始点设置的影响，如果初始点设置不合理，也可能会得到错误的解。
综上所述，构造平面向量法是一种有效的最值解决方案，它在多种最值问题中都可以取得很好的效果，但是，它也有一定的局限性，应当根据实际的情况来合理地使用和调整参数，以获得有效的求解结果。
总之，构造平面向量法作为一种有效的最值解决方案，在多维最值问题中可以取得很好的效果，但在解决高维度最值问题时，需要进行参数设置和初始点设置以获得最佳解决结果。
【向量专题】2.向量中最值(取值范围)问题解题策略
【向量专题】2.向量中最值（取值范围）问题解题策略
向量题目在高考题中除了最常见的简单运算外，还有另外一种有些难度的题目，即向量题目中的最值问题（取值范围问题），类似于其他专题，最值问题中千年不变的常见方法有利用三角函数有界性和不等式法，这次课除了这两种方法外再给出两种方法，常见的解决向量最值问题的方法有如下四种：、
向量专题中两类向量不等式。
（常被忽略）利用三角函数有界性来解，但是需要注意一下，三角函数有界性是在运算中出现正余弦的形式，所以当题目中出现了三角坐标时，又或者题目中出现了圆，椭圆，半圆的时候，如果需要设其上点的坐标，最好设成三角函数坐标的形式。
利用基本不等式解决最值问题。
利用几何图形法解决最值问题，特别需要注意在给定形状三角形内的情况。
向量中的最值来自曹老师的高中数学课00:00 29:46 注意接下来的转化：
用到了任意性注意这个结论：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
论单位向量的巧用
五．
曰
一
综上可知， ／ ／ 二 ＝ ＞ 存在一个实数五 ， 使得 ： ２ － 。
ｅｌ
Ａ
６
Ｅ
Ｃ
－
－
（ ）
ｊ
评 注 ： 利 用 商 形 式 后 ， 便 于 学 生 理 解 。 令 书 或 ＝ 一 一 骨 雨 的
评注： 利用
图１ 菱形
途径之一 。
２ ． １ ． ２利用单位 向量证明定理、 等式 例 １证 明向量共线定理 向量共 线定理 阐述 如下 ： 对 于 向量 西、 ， 若 ／ ／
１ 单位向量 的概念
量。 由于是非零 向量 ， 单位 向量具有确定的方向。一个非零 个单位向量在平面直角坐标 系上 的坐标可表示为是 ：（ 『 ｌ ’ 后 ） ，
值的课题 ， 已经受到人们 广泛重视 。 向量 （ Ｖ ｅ Ｃ ｔ ｏ ｒ ） 又称矢量 ， 即
大家还 － ． Ｉ ￣ Ｊ 用前 面介绍 的两个 同 向单 位 向量相等 的性
求 出函数Ｙ ＝ ４ ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ ３ ｓ ｉ ｎ 埔更 得最大值 与最 小值时对应 的 既有大小又有 方向的量 叫做 向量。 单位向量是 一种特殊 向量 ， 质， 的角度 （ 此处不再赘述 ） 。 在一些情况下 ，我们可 以利用单位向量的特性来 巧妙 解决数 学 中的问题 ， 其 方法新颖 ， 运算简捷 ， 是 启发学生思维 的有 效
ｌ Ｃ
：
当 高 与 裔 同 向 时 ， Ｉ ＝ ， 则 ＝ 斟 丽 ， 令 ＝ 一 尉 ， 则 有 再 ： ＝ ． 当 鬲 与 南 反 向 时 ， 裔 ： ＝ 一 鬲 ， 则 云 。 一 一 茸 同 ， 令 ： 一 罱 ， 则 有
对州
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
论单位向量的巧用
论单位向量的巧用作者：杨国栋来源：《神州·下旬刊》2013年第01期摘要：单位向量是一类特殊的向量，是数学中基本概念之一。
本文首先介绍了单位向量，然后从利用单位向量求有关函数的最值、证明定理、等式、简化几何中轨迹问题、解有关三角问题以及单位向量与角以及在立体几何中的应用几个方面进行了实例的应用分析，从而达到快捷解题的目的，最后做了相关的结语。
关键词：单位向量理解巧用向量是现代教学中一个重要的概念。
它是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，也是沟通数学与物理及其他学科的桥梁。
在中学数学的教学中，向量教学是很有重要研究价值的课题，已经受到人们广泛重视。
向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。
单位向量是一种特殊向量，在一些情况下，我们可以利用单位向量的特性来巧妙解决数学中的问题，其方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效途径之一。
1单位向量的概念单位向量是一种特殊向量，单位向量是指模等于1的向量。
由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。
一个非零向量与其模的倒数的乘积，可得与其方向相同的单位向量。
一个单位向量在平面直角坐标系上的坐标可表示为是：■，其中■。
其中■就是原向量在这个坐标系内的所在直线的斜率。
这个向量是它在直线的一个单位方向向量。
2 单位向量应用举例2.1.1 利用单位向量求有关函数的最值例求函数■的最大值与最小值。
分析：本题中函数等号右边的结构很象两个向量数量积的坐标运算，因此通过构造法，将函数■看作两个向量■与单位向量■的数量积，即■；然后利用向量数量积的性质■和当■与■同向时，■；当■与■反向时，■，便可求得函数■的最大值与最小值具体解法如下：解：设■，■，则■。
■所以由向量的性质得■，得■。
（1）当■与■同向时，y有最大值，■；（2）当■与■反向时，y有最小值，■。
大家还可利用前面介绍的两个同向单位向量相等的性质，求出函数■取得最大值与最小值时对应的x的角度（此处不再赘述）。
巧用向量求最值
巧用向量求最值作者：吴孝刚来源：《速读·中旬》2014年第08期函数的最值问题，经常出现在中学各试题中，巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等，可以使一些函数的最值问题的思路清晰，解题方法简捷巧妙，并富于规律性，趣味性。
定理 A、B为两个向量，则[A2≥（A· B）2B2]【证明】设两向量的夹角为[A2=A2·B2B2]. 则[A2=A2·B2B2]≥[A2B2cos2θB2=（A· B）2B2].一、巧用向量求未知数满足整式方程的代数式的最值例1 已知：实数[x、y]满足[x2+y2-2x+4y=0]，求[x-2y]的最值.【解】设[A=（x-1，y+2），B=（1，-2）].由[x2+y2-2x+4y=0]，得[5=x2+y2-2x+4y+5][=（x-1）2+（y+2）2=A2]≥[（A· B）2B2][=（x-1-2y-4）212+（-2）2=（x-2y-5）25]，所以0≤[x-2y]≤10.故[x-2y]的最小值是0，最大值是10.二、巧用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值例2 已知：实数[x1·x2·x3]满足方程[x1]+[x2]+[x3]=1，及[x21]+[x22]+[x23]=3，则[x3]最小值是多少？【解】方程可以化为[x1]+[x2]=1-[x3]，[x21]+[x22]=3-[x23]，巧设向量A=（[x1]，[12][x2]），B=（1，[12]），则3- [x23]=[x21]+ [x22]=│A│2≥ = [x1][x2]= （1-[x3]）2。
解3- [x23]≥（1-[x3]）2，得- ≤[x3]≤3，故[x3]的最小值是.三、巧用向量求未知数满足整式方程的分式的值例3 已知：实数[x]，[y]满足方程（[x]+2）2+[y]2=1，则[y][x]的最小值是多少？【解】设[y][x]=[k]，则[y]-1=[k][x]-2[x]，[y]=[k][x]-2[k]+1.设A=（[x]+2，[k][x]-2[k]+1），B =（[k]，-1）则1=（[x]+2）2+[y]2=（[x]+2）2+（[k][x]-2[k]+1）2=│A│2≥ =[k][x][x][k][x][x][k]= [k]，所以（4[k]-1）2≤[k]2+1，即[k]（15[k]-8）≤0，解得0≤[k]≤.故[y][x]的最小值是0.四、巧用向量求无理函数的值域例4 求函数[y]=[1994-x]+[x-1993]的值域。
平面向量与三角形中的范围与最值问题
第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【学习目标】1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型【基础知识】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步: 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：()22222==+=+⋅+（1）C2AC A a b a a b b()22222==-=-⋅+（2）DB DB a b a a b b2（1）（2）两式相加得：2．极化恒等式： 上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式 （1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。
（2）三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点）AB CM知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。
解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.【考点剖析】考点一：定义法例1．若ABC 中，2AB =，其重心G 满足条件：0BG AG ⋅=，则()22+CA CB AB BC ⋅取值范围为（） A ．()80,160-B ．()80,40-C ．()40,80-D ．()160,80-考点二：坐标法例2．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，点E 为边AB 的中点，点F 为边BC 上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．[]3,4D ．[]1,4考点三：基底法例3．如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．2,2⎡⎣C ．[]2,2-D ．22⎡⎢⎣⎦考点四：几何意义法例4．在ABC 中，3AB =，4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12考点五：极化恒等式例5．已知圆C 的半径为2，点A 满足4AC =，E ，F 分别是C 上两个动点，且23EF =则AE AF⋅的取值范围是（）A ．[6，24]B ．[4，22]C ．[6，22]D ．[4，24]【真题演练】1．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-2．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-3．已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ） A ．2-12+1⎤⎦，B ．2-12+2⎡⎤⎣⎦，C ．12+1⎡⎤⎣⎦，D ．12+2⎡⎤⎣⎦，4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3 5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-6．已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则·PB PC 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．217．已知向量,a b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______． 8．设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． 9．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=, 则||b 的取值范围是___________.10．如图，已知点O （0,0）,A （1,0）,B （0,−1）,P 是曲线y OP BA ⋅的取值范围是______.11．在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为_____________________. 12．已知向量12a b a b ==，，||，||，若对任意单位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤||||,则a b ⋅的最大值是． 13．已知平面向量a ，b ，||1,||2,1a b a b ==⋅=．若e 为平面单位向量，则||||a e b e ⋅+⋅的最大值是______．【过关检测】1．在ABCD 中，2,1,60AB BC DAB ==∠=︒，若E 为ABCD 内一动点（含边界），则AE BC ⋅的最大值是（）A ．1B ．2CD ．22．已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=（）A ．最大值为6B ．为定值6C ．最小值为3D ．为定值33．已为向量a ､b 的夹角为3π，||2||2b a ==，向量c xa yb =+且x ，[1,2]y ∈.则向量a ､c 夹角的余弦值的最大值为（）A B C 4．已知正方形ABCD 的边长为2，M 为正方形ABCD 的内部或边界上任一点，则MC MD ⋅的最大值是（）. A ．1B ．2C ．3D ．45．在△ABC 中，3cos 4A =，O 为△ABC 的内心，若(),R AO xAB yAC x y =+∈，则x ＋y 的最大值为（）A ．23B 6．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点A 为圆心的单位圆上．若(),R AP AB AD λμλμ=+∈，则λμ+的最大值为（）A ．3B D ．2 7．已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若()()0a c b c -⋅-=，并且c a b λμ=+，那么λμ+的最大值为（）A ．2B ．D ．32 8．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅=，则c 的最小值为（） A ．2B ．4C D ．17 9．已知P 是等边三角形ABC 所在平面内一点，且AB =1BP =，则AP CP ⋅的最小值是（） A．1BC ．210．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，且AOB 120∠=，则CB CA 的最小值为（） A ．4-B ．2-C ．0D ．211．飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．在四边形ABCO 中，OA OC ⊥，4OA OC ==，AC BC ⊥，AC BC =，点P 是八边形ABCDEFGH 内（不含边界）一点，则OA AP ⋅的取值范围是（）A ．(16,48)-B ．(48,16)-C ．(-D ．(-12．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【学习目标】1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型【基础知识】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步: 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：()22222==+=+⋅+（1）AC A a b a a b bC2()22222==-=-⋅+（2）2DB DB a b a a b b（1）（2）两式相加得：2．极化恒等式： 上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式 （1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。
运用向量处理解析几何最值问题
值 问题 ． 将会 非 常简 捷 。下 面我们 略举数 例 ， 以说 明向量 知识 在 探求 解析 几何 最 值 中的独
特作 用 。
例 １ 已 知 定 点 （ １ ０ 和 （ ， ）尸 圆 （一 ） （一 ） ４ 一 动 点 ， 求 Ｍ Ｉ ｌ Ｉ Ｉ 一 ，） １０ ，是 ３ ｙ ４ 上 ＋ ＝ 试 ＝ ＋ 的 最 大 值 和 最 小值 。
也相 同 ） 。于 是 ， 结合ｓ＋ ４， ＝ ８ 即可求 得 当Ａ， 两 点 的坐 标 分别 为 （ ／ ， ／ ） 再 ￡ ｍｎ １ ， ＝ Ｂ 、 一、 和
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点评 通 过距 离 联想 到 向量模 长 ， 而构 造 向量 ， 用 向量运 算 及模 长不 等式 一 ≤ 利
ｌ ｂ≤ｌｌｌ 求 出最值 。 ａ ｌ ａ＋ ｌ ＋ ｂ
巧解平面向量最值问题
巧解平面向量最值问题
平面向量是高中数学的重要内容，是高考必考的内容之一，平面向量集数与形于一体，既有明显的几何特征又有典型的代数特点，是一种解决数学问题的重要工具。
近年来，平面向量最值问题经常出现高中各类考试中，此类问题题型多样，灵活性、综合性强，是学生学习的一个难点，深入研究此类问题的解法，有一定的实际意义。
下面，就平面向量最值问题的解法谈谈本人的看法：
1巧用图形，注重几何意义
本类型题主要是考查平面向量的加减法、向量的合成与分解、向量的模等问题，若能深入挖掘题中隐含条件，合理地进行转化，注重向量几何特征的应用，能方便快捷有效地解决问题。
合理构造向量对应的图形是解决本类问题的关键，应该说，数形结合的思想方法是解决向量问题最基本也是最常见的策略之一。
2合理建系，突出坐标运算
本类型主要是对条件中所涉及的图形建立适当的坐标系，从而题中的点或向量将有相对应的坐标，结合向量的坐标运算，能解决所求问题。
适当建系，准确求出点的坐标是解决本类问题的关键。
这是几何问题代数化的又一典型，是向量的特点之一。
3整体处理，妙用不等式
本类型问题属于较综合的问题，通常给出某一平面向量的基底及相应区域中的点，求某一向量变化的范围等问题。
结合平面几何的知识，准确判断向量的变化范围，合理运用不等式性质是解决本类问题的关键。
4活用函数性质
本类型问题是向量的常见问题，通过向量的坐标运算，进而转化为基本初等函数性质的运算，最终求出题中最值问题。
要特别注意自变量的取值范围。
本类问题体现向量的代数特征，同时也说明向量与三角函数有密切的联系。
向量中求最值的方法
向量中求最值的方法嘿，咱今儿个就来聊聊向量中求最值的那些事儿！你说向量这玩意儿，就像个调皮的小精灵，有时候还真不好捉摸它的最值到底藏在哪儿呢。
咱先说说几何法吧。
这就好比你要在一个迷宫里找出口，你得看清每条路的走向，找到那个最合适的方向。
在向量里，通过画图，把向量之间的关系清晰地呈现出来，然后就能直观地找到最值啦。
就像你找宝藏，看着地图，一下子就能发现那个最有可能藏着宝贝的地方。
还有代数法呢，这就像是给向量穿上了一件数学的外衣。
把向量的关系用各种式子表达出来，然后通过计算求解最值。
这可得有点耐心和细心哦，不然稍不注意就可能算错啦。
比如说，有两个向量，它们就像两个小伙伴，有时候它们会很和谐地一起行动，有时候又会有点小别扭。
咱就得想办法找到它们最和谐或者最别扭的时候，那对应的不就是最值嘛。
再比如，想象一下在一个大广场上，有很多人在走来走去，每个人的方向和速度都不一样。
咱要找到其中某个特定的最值，是不是得好好观察、好好分析呀。
向量也是这样，在复杂的关系中找到那个最关键的点。
还有坐标法呢，这就像是给向量安了个家，每个向量都有自己的坐标位置。
通过坐标的计算，就能轻松找到最值啦。
这就好比你知道了每个人家的地址，那要找到谁就容易多了。
有时候，解决向量求最值的问题就像解开一道谜题。
你得一点点去分析，去尝试，不能着急。
就像你解一个很难的谜语，得反复思考，从不同的角度去想。
咱可不能小瞧了向量中求最值的方法哦，它们可是解决很多问题的关键呢！学会了这些方法，就像是有了一把打开知识大门的钥匙。
不管遇到多么复杂的向量问题，咱都能有办法应对，找到那个最值，解开难题。
所以啊，大家可得好好掌握这些方法，多练习，多思考。
让我们在向量的世界里游刃有余，轻松找到最值，解决各种难题！怎么样，是不是觉得向量求最值也没那么难啦？加油吧！。
求解平面向量最值问题的几个途径
思路探寻平面向量最值问题通常要求根据给出的条件，求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题，需要根据已知条件和向量知识，求得目标式，然后把问题转化为函数问题、几何最值问题.与此同时，由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份，所以在解题时要灵活运用数形结合思想.那么求解这类问题有哪些途径呢？下面举例说明.一、根据三角函数的有界性对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题，通常可根据向量的数量积公式，通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式，那么就可以将问题看作三角函数最值问题.通过三角恒等变换化简目标式，便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时，要明确夹角的取值范围，熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.例1.如图1，若△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则 OC ∙ AB + CA ∙CB 的最大值为______.解：因为∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则∠AOB =2∠ACB =π2，又因为AB =2，所以OA =OB =2，即外接圆的半径r =2.则 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC ∙() OB - OA +()OA - OC ∙()OB - OC= OC ∙ OB - OC ∙ OA + OA ∙ OB - OA ∙ OC - OC ∙ OB + OC 2= OA ∙ OB + OC 2-2 OA ∙ OC ,因为∠AOB =π2，OA ⊥OB ，即 OA ∙ OB =0.故 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC 2-2 OA ∙ OC =|| OC 2-2|| OA ∙||OC cos ∠AOC =2-4cos ∠AOC ，因为A 与C 不重合，所以 OA 与OC 的夹角的范围为(]0,π，故-1≤cos ∠AOC <1，所以当cos ∠AOC =-1，即当O 为AC 的中点时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值2-4×()-1=6.首先根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式，将所求目标转化为有关∠AOC 的三角函数式；然后确定∠AOC 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.图1图2二、利用平面几何图形的性质对于与图形有关的平面向量问题，通常可先根据向量的几何意义画出几何图形，并确定向量所表示的点的轨迹；然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系，利用平面几何图形的性质求最值.例2.在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，2 BE =EC ，P 是平面ABCD 内的动点，且 AP ∙ AB =AP 2.若0<t <1，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 的最小值为______.解：由 AP ∙ AB = AP 2知： AP ∙( AB - AP )= AP ∙ PB =0,即 AP ⊥ PB ，所以P 在以AB 为直径的圆上，F 为圆心，于是以B 为原点，以BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，所以A (0,2),D (3,2),E (1,0),F (0,1)，若P (x ,y )，则x 2+(y -1)2=1，则 BE =(1,0), DE =(-2,-2),PE =(1-x ,-y )，所以 BE +tDE =(1-2t ,-2t )， PE +(t -1)DE =(3-x -2t ,2-y -2t )，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 可看作点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和，又(3-2t ,2-2t )在直线x -y -1=0上，1<x <3，由图2可知G (2,2)关于DE 对称点为G ′(3,1)，故(|PH |+|GH |)min =|FG ′|-1=2，此时x =2,y =1,t =12.我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系；然后设P 点的坐标，求得各个向量的坐标以及 BE +tDE 、 PE +(t -1)DE 的表达式，即可根据其几何意义，将求||BE +t DE +|| PE +(t -1) DE 的最小值转化为求点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和的最小值；最后根据矩形和圆的对称性，确定H 的位置，即可求得最小值.47思路探寻例3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足||||a -b =2，且(c -a )∙(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈éëùûπ6,π3，则||c 的最大值是______.解：根据题意，作出如图3所示的图形.令a =OA,b = OB,c = OC，可得：||AB=2，且∠ACB=90°，取AB中点为M，则||CM=12||AB=1，则点C在以AB为直径的圆M上运动.由图可知，当O,M,C三点共线时，|| OC取得最大值，即|| OCmax=|| OM+1；不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G，则GM⊥AB，在三角形OAB中，由正弦定理可得：2||OG=ABsinθ，即||OG=1sinθ,θ∈éëùûπ6,π3，故当θ=π6时，||OG max=2，||GM max=||OG2max-1=3；当O,M,G三点共线时，|| OM取得最大值，此时|| OMmax=||OG max+||GM max=2+3.故当θ=π6，且O,M,G,C四点共线时,|| OC max=3+3.根据题意和向量的几何意义作出几何图形，便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理，确定||c 取得最大值的情形：O,M,G,C四点共线，即可利用数形结合思想求得最值.图3图4三、利用二次函数的性质在求解向量的最值问题时，可根据题意选取合适的基底，将目标式用基底表示出来，建立关于参数的关系式；也可根据题意建立适当的直角坐标系，通过平面向量的坐标运算，求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题，利用二次函数的性质来求最值.例4.已知在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且AM=xAB+12 AD.若点N为线段BD上一个动点，则 AN∙ MN的最小值为______.解：因为CE=2EB，CF=2FD，所以BE=13 BC， DF=13 DC，所以AE=AB+BE=AB+13 AD，AF=AD+DF=13 AB+ AD，因为点M在线段EF上，可设AM=λAE+(1-λ)AF=λ(AB+13 AD)+(1-λ)·(13 AB+ AD)=(13+23λ) AB+(1-23λ) AD，而AM=xAB+12 AD，所以ìíîïïx=13+23λ,1-23λ=12,解得λ=34，x=56，所以 AM=56 AB+12 AD，则|| AM2=æèöø56 AB+12 AD2=2536 AB2+56 AB∙ AD+14 AD2=49，所以|| AM=7，因为点N为线段BD上一个动点，可设AN=μAB+(1-μ)AD，μ∈[]0,1，所以MN=AN-AM=μAB+(1-μ)AD-(56 AB+12 AD)=(μ-56) AB+(12-μ) AD，所以AN∙MN=[μAB+(1-μ)AD]∙[(μ-56) AB+(12-μ)AD]=μ(μ-56) AB2+(-2μ2+73μ-56) AB∙ AD+(1-μ)(12-μ) AD2=36μ2-42μ+3=36æèöøμ-7122-374≥-374，则当μ=712时， AN∙ MN的最小值为-374．由于∠BAD=60∘，AB=6，所以以向量AB,AD为基底，根据平面向量的线性运算法则和数量积公式，求AN∙MN的表达式，最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方，根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.由此可见，求解平面向量最值问题，关键是运用转化思想和数形结合思想，通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义，根据目标式的结构特征，将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.（作者单位：甘肃省康乐县第一中学）48。
向量法应用举隅
向量法的应用举隅【摘要】向量是现代数学中的重要概念，具有代数和几何形式的双重身份，它有着极其丰富的实际背景，在解题中具有独特的功能. 用向量法处理几何、代数问题更易操作，也很巧妙.本文从以下几个方面例举向量法在解决代数、几何等问题中的应用.【关键词】向量法数量积三角函数不等式【中图分类号】 g423 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962（2013）01（a）-0214-021 处理最大值问题，尽显向量法魅力例1 设实数满足条件，=5，则的最大值是（）（a）3 （b）（c）（d）分析由想到向量数量积的坐标表达式；由，=5想到向量的模。
令，且=，由，可知选b.例2（2008年广东高考题·理科）若变量满足则的最大值是（）（a）90 （b）80 （c）70 （d）40分析作出可行域（读者可自行作出），设为可行域内任意一点，，则=，而为定值，根据数量积的几何意义可知，z的最值依赖于向量在向量方向上的投影的最值，由图可知为直线与的交点时，==2×20+3×10=70，故选c.评注例1实质是柯西不等式的变形使用，后文将进一步举例说明.例2把目标函数变形，创造了线性规划问题与向量的有机联系.如果进一步研究，许多线性规划问题都可以用向量知识来处理.2 化抽象为具体，巧妙处理空间几何问题例3 在棱长为1的正方体中，如图2，交平面于.（a）求证： 1°⊥；2°⊥平面；3°；4°平面∥平面.（b）求：1°平行平面与的距离；2°与的距离.解析建立空间直角坐标系.所以·=（-1）·（-1）+（-1）·1+1·0=0，即⊥.由对称性⊥.所以⊥平面.同理⊥平面，所以平面∥平面.又，它在上的射影即，所以.同样，线段与平面的交点满足，所以平面与平面的距离.，所以.，所以与的距离为·=.评注通过引入空间向量，用向量的代数形式来处理立体几何问题，体现了“数”与“形”的有机结合，淡化了传统几何中“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化、简单化，这是用向量法解立体几何问题的独到之处.3 向量法在三角函数中的应用例4 求值：cos9°+cos81°+cos153°+cos225°+cos297°.解析观察各角的变化，前后相差72°且刚好有五个角，而正五边形的每个外角都是72°，故可作边长为1的正五边形且与轴正方向的夹角为9°，则，，，，，由知.此时亦可得：.评注看似难以解决的三角函数求值问题，应发掘其它数学知识与向量的关系，形成用向量解题的思路.例5 若，求的取值范围.解析令向量，向量，则.由，知，所以的取值范围是.评注此法还可解决此类问题的推广：若，求的取值范围.4 巧用向量法，妙证不等式例6 设为正数，求证.证明令向量，则= =，即.同样的思路，读者不妨试着证明如下不等式：若，求证（例1中的二维向量推广到三维向量）例7 证明柯西—布雅尼柯夫斯基不等式.证明令向量，则==.即.通过证明柯西—布雅尼柯夫斯基不等式，读者也不妨试着证明如下不等式：（1）设为不相等的正数，求证；（2）设为任意正数，求证.评注代数不等式的证明，一般较难下手，而且都要进行繁杂的运算. 但如果应用向量代数的有关知识和运算方法，不仅方法新颖，而且简捷明快.参考文献[1] 单遵.数学竞赛研究教程（下）[m].南京：江苏教育出版社，2009，2：121—122.[2] 吕林根，许子道.解析几何[m].北京：高等教育出版社，2006，5：1—62.[3] 周金波，刘加元.巧用向量的数量积解非向量问题[j].高中数学教与学，2011（1）：47—48.。
向量中的最值类型和解题策略
＝ 。
例 ５ 如 图 ２ 在 梯 ，
形 Ａ Ｃ 中 ， Ｄ∥ Ｂ ＢＤ Ａ Ｃ，
Ａ 上 Ａ Ａ ＝１Ｂ ＝ Ｄ Ｂ， Ｄ ，Ｃ
＝
又 一１ ｅｓ ｏ ・ｂｌ 。故 Ｉ Ｉ ＜ ￣ ｏ０＜ Ｉ ≥４ 西 的
一
思路分析 ： 利用判别式 建立 有关 ｃｓ ｏ０的不等式 再求解 。
解： Ａ＝Ｊ １ 口 —４ 西 ， Ｉ ＝２ ，ｏ０＝ ａ・ ≥０ 又 ａＩ Ｉ ｃｓ ｂＩ
旨 ．ｓ 吉 又． ［ ］． 最 ，０≤ 。 ’Ｅ０ ０ 小 ． ． ｃ ‘ ， 的 ０
值 争 为
例 ３ 已知点 Ａ（ ，） Ｂ ｏ 一１ 、 （ ，） ０为 ０ １ 、 （ ， ） ｃ １０ ， 原点 ， 动点 Ｐ满足 ・ ：２ １， １ 求 与 夹角 ２ ０的最 大值 。 思路 分析 ： Ｐ点 的坐标 ， 用条件 中 的向量 设 利 等式 确定 尸点 的坐标关 系 ， 出 与 夹角 ０ 构 的 函数关系再求解 。 解： 设点 Ｐ ， ）则 ＝（ Ｙ一１ ， ＝（ （ ｖ， ， ） ，
∈Ｒ， 求 ＋Ｙ的最大值 。 思路分析 ： Ｉ Ｉ 由 Ｄ 一 １ 出 ， 导 Ｙ的关 系式 ， 令 ＋Ｙ＝ｔ 可构 出关 于 的 元二 次方 程 ， 再利 用 判 别式法求最值。
一
解 ：０ ＝Ｉ Ｏ １ ＣＩ Ａ＋Ｙ
一 ：ｌ
ＯＢ Ｉ＿ １ ２＋ ｊ
噻 警棒ｊ ０ｉ童 ｉ ｌ ＿ ｌｌ ０ ¨： ０ ｌ ｌ ｌ ｌ １
求ＩＩ ｂ 的最小值 。 思路分析 ： 利用 Ｉ ・ ≤ Ｉ Ｉ 口 ｂＩ Ｉ ａＩ ｂ 建立 有关 Ｉ Ｉ ｂ 的不等式 ， 解这个不等式可得 ｌ 的最小值 。 西ｌ
向量妙解线性规划最值问题
＝ 一
’
Ｂ Ｄ长为 ４ ３ ，Ｂ Ｃ上中线为 Ａ Ｍ， 设Ｂ Ｄ与 Ａ Ｍ 交于
０，可知 Ｄ为重 心 ．设 ／ Ｏ Ｂ Ｍ ：０，
，、
． ．
．
ＢＣ ： ２ ＢＭ ： ２ ＢＯ ． ｃ ｏｓ ０ ： ２×
３
＾
． ｃ ｏ ｓ ０． ＡＭ
ｓ ｉ ｎＡ
：
３ ０ Ｍ ：３ Ｂ Ｏ． ｓ ｉ ｎ ０ ：３ × 尘 ． ｓ ｉ ｎ ０
取 值范 围是 （ 一 ４， ２ ） ．故选 Ｂ．
量数量积的几何意义 （ 见图 １ ） 可知 ： 当点 Ｕ（ ｘ ， Ｙ ） 在
ｚ一 ： ｊ
．
（ 除端点 （ － ４ ， ２ ） ，Ｍ２ （ ２ ， ２ ） 外 ）上任意一点时，
故选 Ｃ．
Ｉ
ｚ ＝ ＋ ２ 仅在点 Ｂ Ｂ （ １ ， １ ） 处取得最小值 ，所以 ｋ 的
８ ６
福建中学数学
２ ０ １ ４ 年第 ｌ 、 ２ 期
的手 段 ，如坐 标 法 ，换 元 法 等转 化 之 后使 用基 本 不 等 式解 决最 值 问题 ． 角度 ４ 几何 意义 法 从 目标 函 数 的结 构 中 发现 几 何 意义 ，直 接 使 用 几何 意义 解题 ・ 如策 略 １中 ６ ｓ ｉ ｎ Ａ
ｊ
＝
２ ｓ ｉ ｎ ２ ０， ０∈ （ ０ ， ） ，
所 以当 ０＝ 时， 最 大值 为 ２ ．
４
解法体会 构造动点与定点的连线斜率 ，利用动
点 的轨 迹 将 最值 转 化 为 切线 的斜率 ，注 意 变量 的范
围对 轨迹 的影响 ．
解法体会 从条件出发 ，在条件与条件 ，条件与 结论 的交 汇处 找解 题 的突破 口 ；Ｂ Ｏ长 度 就是 这样 的 量 ， 引入 一个 变量 角 简洁表 示 出三 角形 的面积 ．
用向量法求解最值问题
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用向量法求解最值问题
作者：黄俊峰袁方程
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第05期
有些最值问题若按照常规的方法，一般很难处理或者是论证过程很冗长，若运用向量法处理此类问题，则问题变得很容易，解答的过程非常简洁．下面谈谈向量法在最值中的应用
1利用向量的数量积求最值
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：
运用向量求最值，比常规方法简单得多，但在向量的构造上有一定的技巧性，因此，如何巧妙地构造向量也是解决问题的一个关键，另外，对于有些问题，单靠向量本身的知识还无法解决，还须与其它知识，比如不等式、三角等结合起来，方能解决问题
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巧用向量方法求解决最值问题
在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。
如果设向量，，则与的数量积为：
，从而有：（1）,当且仅当
与同向同号时取等号（2），即,当且仅当与同向同号时取等号。
完全类似地，设向量,，则与的数量积为：
，从而也有：（1）,当且仅当与同向同号时取等号；（2），即,，当且仅当与同
向同号时取等号。
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面简单介绍几种求解的方式方法：
1、用向量求未知数，满足整式方程的代数式的最值。
例1：已知实数满足方程,求的最值。
解：由得
设：,
则，即
2、用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值。
例2：已知实数满足方程即,问
的最小值
解：原方程可化为，
设：,
即的最大值为3，最小值为
3、用向量求未知数满足整式方程的分式方程的值。
例3：已知实数满足方程,求的最值。
解：设,则
设,
即：
4、用向量求无理函数的值域。
例4：求已知函数的值域。
解：由且可知,
设,
即：
5、用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值。
例5：已知实数满足方程,求的最值。
解：设,
6、用向量求使整式为最值的未知数的值。
例5：求实数的值，使得达到最小值。
解：设,
由知
当且仅当时成立，
即：,时，等号成立。
7、用向量求未知数满足分式方程的分式的最值。
例7：已知且,求的最大
值
解：由知
设,
当且仅当时等号成立。
8、用向量求无理式的最值。
例8：如果，那么的最大值是多少？解：设,
由知：
当且仅当时，等号成立。
9、用向量求满足二次方程的函数的取值范围。
例9：如果,,则的取值范围是多少？解：设,;
由知：。