八年级数学菱形定义

菱形的定义学习目标：1.认识菱形的概念，熟悉菱形与平行四边形的关系.2.掌握菱形的性质，会用这些性质进行有关的计算和证明.3.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形的性质解决简单的实际问题.4.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.一、知识回顾：1.两组对边分别平行的四边形称为.2.平行四边形性质：平行四边形对边且平行四边形两条对角线。

平行四边形的对角。

3. 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形能够，那么这个图形是轴对称图形。

二.探究新知：1.阅读教材P55“思考”以上的内容，然后与小组伙伴交流，并尝试回答下列问题：（1）菱形的定义：有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作“菱形”（2）用定义证明菱形的推理步骤：∵四边形ABCD是，AB=BC∴四边形ABCD是2.菱形的性质：阅读教材P55“思考”以上的内容，然后与小组伙伴交流，并尝试回答下列问题：（1）如图，在菱形ABCD中，说出它具有的平行四边形的性质（2）如图，在菱形ABCD中，已知AB=BC，把下面说明AB=BC=CD=DA,AC ⊥BD,BD、DB分别平分∠ABC和∠ADC的步骤补充完整.证明：∵菱形ABCD是平行四边形，∴AB= ,BC= , ∵∴AB=BC=CD=DA∵菱形ABCD是平行四边形，∴OA=OC. ∴AB=BC∴∠ABD=∠CBD,AC⊥BD(等腰三角形“三线合一”)∴BD 平分∠ABC同理可证BD 平分∠ABC（3）菱形的性质：、菱形的四条边菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角。

菱形是轴对称图形，它有对称轴。

3.完成下列习题（1）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．对角线互相垂直（2）（2011•淮安）在菱形ABCD中，AB=7cm，则此菱形的周长为（）A．7cm B．21cm C．28cm D．35cm（3）如图，菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°，则AC= 23cm．考点：菱形的性质；解直角三角形．（4）菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是 58度．分析：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°即可求得菱形的内角的一半，根据菱形对角线垂直平分且为角平分线的性质，可以计算菱形较小的内角．解答：解：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，菱形对角线垂直平分且为角平分线 设菱形内角度数为2x 、2y ，则x-y=32°，x+y=90°，∴x=61°，y=29°，所以菱形的相邻内角为122°和58°， 故答案为 58°．点评：本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了菱形相邻内角的和为180°的性质，本题中求菱形相邻内角的值是解题的关键．5. 思考：如何求平行四边形的面积？如何求菱形的面积吗？有新方法吗？（1）总结菱形的面积等于 或 .（2）已知菱形的对角线长分别为2cm 和3cm ，则它的面积为 。

（3）菱形是 图形，它有 对称轴，分别为对角线所在的直线。

6.阅读教材P 56例3，注意它的书写格式，完成P 57课后练习.三、知识总结：1、有一组 的平行四边形是菱形；2、菱形的四条边 菱形具有 条对称轴，它们分别是3、菱形的对角线互相 并且每一条对角线平分 。

4、菱形四条边上的高 ，菱形的面积公式是 。

四.当堂检测1. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°分析：连接BF ，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC ，∠BCF=∠DCF ，四条边都相等可得BC=CD ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC ，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF ，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC ，从而求出∠CBF ，再利用“边角边”证明△BCF 和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF ．解答：解：如图，连接BF ， 在菱形ABCD 中，∠BAC =21∠BAD =21×80°=40°，∠BCF=∠DCF ，BC=CD ，∵∠BAD=80°，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，BC＝CD ∠BCF＝∠DCF,CF=CF，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选B．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3.若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是34. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．5.．（2012•舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．考点：菱形的性质；平行四边形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．解答：（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°-∠ABO=40°．点评：本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．6.（2013•淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．专题：计算题．分析：连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．解答：解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选B．点评：此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．7.（2012•本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（）A．22 B．24 C．48 D．44考点：菱形的性质；勾股定理．分析：先判断出四边形ACED 是平行四边形，从而得出DE 的长度，根据菱形的性质求出BD 的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE 是直角三角形，计算出面积即可．解答：解：∵AD ∥BE ，AC ∥DE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC=DE=6，在RT △BCO 中，BO= AB 2−AO = =4，即可得BD=8，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴△BDE 是直角三角形，∴S △BDE =21DE•BD=24．故选B ． 点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD 的长度，判断△BDE 是直8. （2013•临沂）如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是 33考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF 是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF 的值，再过A 作AM ⊥EF ，再进一步利用三角函数计算出AM 的值，即可算出三角形的面积．解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠B=∠D=60°，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴AB•AE=AD•AF ，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF ，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF ，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=23，∴EF=AE=23，过A 作AM ⊥EF ，∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF 的面积是：21EF•AM=21×23×3=33． 故答案为：33．点评：此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF 是等边三角形．9. （2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD 的一个内角∠BAD=80°，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上且BE=BO ，则∠BEO = 65度．分析：因为AB=AD ，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO ，所以∠BEO=∠BOE ，根据三角形内角和定理求解．解答：解：∵ABCD 是菱形，∴AB=AD ．∴∠ABD=∠ADB ．∵∠BAD=80°，∴∠ABD =21×（180°-80°）=50°． 又∵BE=BO ，∴∠BEO=∠BOE =21×（180°-50°）=65°． 故答案为：65． 点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理10. （2013•株洲）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）若∠EOD=30°，求CE 的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO ，对边平行可得AD ∥BC ，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF ，然后利用“角边角”证明△AOE 和△COF 全等；（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO 的长，再求出EF 的长，然后在Rt △CEF 中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=CO ，AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，可证∴△AOE ≌△COF （ASA ）；（2）解：∵∠BAD=60°，∴∠DAO =21∠BAD =21×60°=30°，∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°-30°=60°， ∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°，∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，∴OD =21AD=21×2=1， ∴AO =3∴AE=CF =3×23=23，∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，∴高EF=2×23=3在Rt △CEF 中，CE=221 点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出△CEF 是直角三角形是解题的关键，也是难点．11. （2012•南通）菱形ABCD 中，∠B=60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．（1）如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF ；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF 是等边三角形．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）首先连接AC ，由菱形ABCD 中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC 是等边三角形，又由三线合一，可证得AE ⊥BC ，继而求得∠FEC=∠CFE ，即可得EC=CF ，继而证得BE=DF ；（2）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．解答：证明：（1）连接AC，∵在菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°，∴∠FEC=∠CFE，∴EC=CF，∴BE=DF；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在△ABE和△ACF中，可证∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．12.（2012•海南）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，（1）求证：△ADN≌△CBM；（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；（3）如图（2）所示，若AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定．专题：压轴题．分析：（1）根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM．（2）连接NE、MF，根据（1）的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE为斜边，NF为直角边，可判断四边形MFNE不是菱形．（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先求出AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE-EF）=5，可得EF=1，解答：（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠DAN=∠BCM，在Rt△ADN和Rt△CBM中，可证△ADN≌△CBM，（2）解：连接NE、MF，∵△ADN≌△CBM，∴NF=ME，∵∠NFE=∠MEF，∴NF∥ME，∴四边形MFNE是平行四边形，∵MN与EF不垂直，∴四边形MFNE不是菱形；（3）解：设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，∵AB=4，BC=3，∴AC=5，∵AF=CE=BC=3，∴2AF-EF=AC，即6-x=5，解得x=1，∴EF=1，∴CF=2，点评：本题主要考查翻折变换的知识点，还涉及平行四边形、菱形的证明，解答（3）问的关键是求出EF 的长，此题难度较大，要熟练掌握此类试题的解答，此类题经常出现中考试卷中，请同学们关注．。