八年级数学菱形定义

菱形的定义

学习目标：

1.认识菱形的概念，熟悉菱形与平行四边形的关系.

2.掌握菱形的性质，会用这些性质进行有关的计算和证明.

3.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形的性质解决简单的实际问题.

4.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.

一、知识回顾：

1.两组对边分别平行的四边形称为.

2.平行四边形性质：平行四边形对边且平行四边形两条对角线。

平行四边形的对角。

3. 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形能够，那么这个图形是轴对称图形。

二.探究新知：

1.阅读教材P55“思考”以上的内容，然后与小组伙伴交流，并尝试回答下列问题：

（1）菱形的定义：有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作“菱形”（2）用定义证明菱形的推理步骤：

∵四边形ABCD是，AB=BC

∴四边形ABCD是

2.菱形的性质：阅读教材P55“思考”以上的内容，然后与小组伙伴交流，并尝试回答下列问题：

（1）如图，在菱形ABCD中，说出它具有的平行四边形的性质

（2）如图，在菱形ABCD中，已知AB=BC，把下面说明AB=BC=CD=DA,AC ⊥BD,BD、DB分别平分∠ABC和∠ADC的步骤补充完整.

证明：∵菱形ABCD是平行四边形，∴AB= ,BC= , ∵

∴AB=BC=CD=DA

∵菱形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC. ∴AB=BC

∴∠ABD=∠CBD,AC⊥BD(等腰三角形“三线合一”)

∴BD 平分∠ABC

同理可证BD 平分∠ABC

（3）菱形的性质：、菱形的四条边

菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角。

菱形是轴对称图形，它有对称轴。

3.完成下列习题

（1）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．对角线互相垂直

（2）（2011•淮安）在菱形ABCD中，AB=7cm，则此菱形的周长

为（）

A．7cm B．21cm C．28cm D．35cm

（3）如图，菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°，则AC= 23cm．

考点：菱形的性质；解直角三角形．

（4）菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是 58度．

分析：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°即可求得菱形的内角的一半，根据菱形对角线垂直平分且为角平分线的性质，可以计算菱形较小的内角．

解答：解：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，菱形对角线垂直平分且为角平分线 设菱形内角度数为2x 、2y ，则x-y=32°，x+y=90°，∴x=61°，y=29°，所以菱形的相邻内角为122°和58°， 故答案为 58°．

点评：本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了菱形相邻内角的和为180°的性质，本题中求菱形相邻内角的值是解题的关键．

5. 思考：如何求平行四边形的面积？如何求菱形的面积吗？有新方法吗？

（1）总结菱形的面积等于 或 .

（2）已知菱形的对角线长分别为2cm 和3cm ，则它的面积为 。

（3）菱形是 图形，它有 对称轴，分别为对角线所在的直线。

6.阅读教材P 56例3，注意它的书写格式，完成P 57课后练习.

三、知识总结：

1、有一组 的平行四边形是菱形；

2、菱形的四条边 菱形具有 条对称轴，它们分别是

3、菱形的对角线互相 并且每一条对角线平分 。

4、菱形四条边上的高 ，菱形的面积公式是 。

四.当堂检测

1. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°

分析：连接BF ，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC ，∠BCF=∠DCF ，

四条边都相等可得BC=CD ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC ，然后根据线

段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF ，根据等边对等角

求出∠ABF=∠BAC ，从而求出∠CBF ，再利用“边角边”证明△BCF 和△DCF

全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF ．

解答：

解：如图，连接BF ， 在菱形ABCD 中，∠BAC =21∠BAD =2

1×80°=40°，∠BCF=∠DCF ，BC=CD ，

∵∠BAD=80°，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，

∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，

∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，

∵在△BCF和△DCF中，BC＝CD ∠BCF＝∠DCF,CF=CF，∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴∠CDF=∠CBF=60°．故选B．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．

2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等

3.若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是3

4. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．

5.．（2012•舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．

（1）求证：BD=EC；

（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．

考点：菱形的性质；平行四边形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；

（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．

解答：（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，

又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；

（2）解：∵平行四边形BECD，

∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°-∠ABO=40°．