上坡,下坡行程问题

问题 从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时 20千米，下坡

速度为每小时35千米。车从甲地到乙地共用 9小时，从乙地返回到甲地共用 7.5小时。求去时上 坡路和下坡路分别为多少千米？

先画出如右图形：图中 A 表示甲地，C 表示乙地。从A 到B 是上坡路，从B 到C 是下坡路； 反过来，从C 到B 就是上坡路，从 B 到A 是下坡路。

由于从甲地到乙地用 9小时，反过来从乙地到甲地用 7.5小时，这说明从 A 到B 的距离大于 从B 到C 的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法 把上下坡的距离变不同为相同。

在从A 到B 的路程中取一个点 D ,使得从D 到B 的距离等于从B 到C 的距离，这样A 到D 的距离就是AB 距离比BC 距离多岀来的部分。

下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了： 9-7.5 = 1.5 (时)

从图中容易看出就是因为去时从

A 到D 是上坡，而回来时从 D 到A 变成了下坡，其它路途

所用的总时间是一样的。 现在的问题是AD 这段路程中速度由每小时 20千米改为35千米，则时间少用1.5小时，由 此可以求出什么？ 如果设速度为每小时20千米所用时间为单位“ 1”，那么速度为每小时35千米所用时间为：

4

20→35=y 4

因此速度为每小吋20千氷时所用时间为:15- (l-y) =3.5 (时) 速度为每小时站千氷时所用时间就是：3.5×4≈2 (⅛)

由此就可以求出AD 之间的距离为

:

20 X 3.5 = 70 （千米）

或35 X 2= 70 （千米）

还可以求出从D至U C和从C到D所用时间均为：9 —3.5 = 5.5 （时）

或7.5 —2 = 5.5 （时）

至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从D到

E上坡所用时间为那么从E到C下坡所用时间就是扌，所以从D到E 上坡所用时间为:

『 4 、

5>5÷（1+亍）=3.5 CBt）

从B到C下坡所用时间就是:

70+20 X 3.5=140 （千米）

下坡总路程是：35 X 2=70 （千米）

上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”，而实现这一目

的还可以通过“补”的方法。

将返回的路程补在去时路程的后面，画岀右图:

B B

这时全程去与回所用的时间都是:

9+ 7.5 = 16.5 （时）

而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设

此时上坡所用时间掏r J那么下坡所用时间就是扌，所以上坡所用时间为：

165÷（l+y） =10.5（吋）

下坡所用时间为：

W.5×| = 6 （时）

所以原来上下坡距离之和就是：

20 X 10.5=210 （千米）

或35 X 6= 210 （千米）

下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法，假设原来从A到C速度不变，都是每小时35千米,

这样9小时所行路程应该为：

35 X 9 = 180 （千米）

比实际距离少行了：

210 - 180 = 30 （千米）

就是因为从B到C的下坡速度每小时20千米变成了35千米，因此从B到C的时间为:

30 ÷（35 - 20 ）= 2 （时）

从A到B上坡的时间为：9 - 2=7 （时）

由此上下坡的距离就不难求岀了。

这个解法的思路是通过“补”，不仅使得上下坡距离相等，而且使得往返所用的时间相等。

解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多

样的

下面再看一道类似的问题。

问题如右图，从A到B是下坡路，从B到C是平路，从C到D是上坡路。小张和小王步行速度分别都是：上坡每小时4千米，平路每小时5千米，下坡每小时6千米。二人分别从A、D两点同时

岀发，相问而行，经过1水时在E■点相遇'已知EC距离是BC距离的、当小

王到达A后9分钟，小张到达D。求从A到D的全程距离

首先发现二人平路上行走的距离相同，小张比小王多用9分钟的原因就是CD距离大于AB

距离

我们仿照上题思路，在CD上取一点F ,使得CF距离等于AB距离，并画岀如右图形：设从

D到F下坡所用时间为“ 1 ”，则从F到D上坡所用时间为:

A

2

6 -5^ 4 =—

3

所以从D到F下坡所用时间为:

3

9+ （j-l） =18（分）从F到D上坡所舄时间为；

3

18×- = 27 （分）

这段距离就是；

18 9工丄

宓矿扌千米）

27 9

或4X頁=了（千米）

*

由于二人在E点相遇，不难发现小弓檢走平路的W所用时间等于小王从D 到F所用时间18分钟，因此可以求出平路的距离为:

厲（千米）

现在又可以求岀小张从B到E所用时间为:

4 2

5×y = y(⅛)

所以小张从A到B所用时间为:

2 3 a

I-亏=弓（时）

AB之间的距离为：

3 18〜

6X尹亏（千米）所

以全程距离为：

18 5 9 十丄

y×2÷-÷- = 115（千米）