浙江工商大学 概率论与统计 历年试卷08-09准答案

两边取对数后，得到：
-------------------------------------3 分
n i =1 n
ln[ L(θ )] = nk ln θ − n ln(k − 1)!+ (k − 1) ln ∏ xi − θ ∑ xi
i =1
上式对 θ 求导，得：
d ln[ L(θ )] nk n = − ∑ xi dθ θ i =1
浙江工商大学期末考试试卷
浙江工商大学 2008/2009 学年第一学期考试试卷（标准答案）
课程名称： 概率论与数理统计 考试方式： 闭卷 学号： 二 14 三 8 四 14 五 8 六 10 完成时限： 120 分钟 姓名： 七 12 八 4 总分
班级名称： 题号 分值 得分 阅卷人 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） ： (1). 3/10, (2). 0.5, (3). 一 30
-------4 分
由t =
X − 100 S n
= 1.5 < 2.2622 ，接受 H 0 。
2 2
--------------6 分 ----------8 分
（2）需检验 H 0 : σ = 4, H1 : σ > 4
由
(n − 1) S 2 χ = ~ χ 2 (n − 1) 2 σ
2
，
拒
∑ P( B ) P( A | B )
i i i =0
=
四、解 （1）因
5 ≈ 0.0848 4 0.8 × 1 + 0.1 × + 0.1 × 12 5 19
0.1 × 4
---------8 分
1
浙江工商大学期末考试试卷
1 = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ Ay (1 − x)dy
f X (x ) = ∫ f (x, y ) dy
0
x
= ∫ 24 y (1 − x ) dy = 12 x 2 (1 − x)
0
x
⎧12 x 2 (1 − x), 所以， f X ( x ) = ⎨ ⎩0
同理， f Y ( y ) = ⎨
0 ≤ x ≤1 其它 0 ≤ y ≤1 其它
---------------5 分
当 0 < z ≤ 1 时， f Z ( z ) =
∫
1
z/2
五、解 ： 设 X 表 示 正 常 工 作 部 件 的 个 数 ， 则 X ~ B ( n,0.9) ， E ( X ) = 0.9n ，
D( X ) = 0.09n 。
由中心极限定理，近似有
---------2 分
X − 0.9n ~ N (0,1) ，所以 ------------------4 分 0.09n
绝
域
2 ( χα (n − 1), ∞)
，
2 2 χα (n − 1) = χ 0 .05 (9) = 16.919
-------------10 分
χ2 =
(n − 1) S 2 = 9 < 16.919 ，接受 H 0 。 σ2
--------------------12 分
由 1、2 的证明可知，机器工作正常。 八、证明题（4 分）
R2
0 0
1
x
=
所以 A = 24 。 （2）因 f X ( x ) =
A A ( x 2 − x 3 )dx = ∫ 20 24
------------2 分
1
∫
+∞ −∞
f (x, y ) dy ，
所以，当 x < 0 或 x > 1 时， f X ( x ) = 0 当 0 ≤ x ≤ 1 时，
--------7 分
因 Φ (1.96 ) = 0.975 ，所以
-----8 分
所以这个系统是由 35 个相互独立起作用的部件组成，才能使系统正常工作的概 率不低于 0.95。 六、解： （1）极大似然函数为
n
n
L(θ ) = ∏
i =1
n −θ ∑ xi θk θ nk k −1 k −1 i =1 f ( xi , θ ) = ∏ xi e −θxi = ( x ) e n ∏ i [(k − 1)!] i =1 i =1 ( k − 1)! n
七、 解
X = 101, n = 10, S = 2, α = 0.05
（1）需检验 H 0 : µ = 100, H 1 : µ ≠ 100 -----------------------------------2 分
3
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拒绝域 t =
X − 100 S n
≥ tα 2 (9) ， tα 2 (9) = 2.2622 ，
所以事件 A 和 B 相互独立。
--------3 分
---------------------------------4 分
4
⎧24 y (1 − y ) 2 , ⎩0
--------------------8 分
（3） Z = X + Y 的概率密度为 f Z ( z ) = 当 z < 0 或 z > 2 时， f Z ( z ) = 0
∫
+∞ −∞
f (x, z − x ) dx ，积分区域如下图所示。
1 z 3 1 24( z − x )(1 − x )dx = − + − z 2 + z 3 6 2 8 12 z 1 2 1 3 当 1 < z ≤ 2 时， f Z ( z ) = ∫ 24( z − x )(1 − x )dx = z − z ---------12 分 z/2 8 12
a = 1, b =
1/8
1 , 2
(4).
0.2,
(5).
1.16,
(6). σ + µ
2
2
(7).
85,
(8).
(9).
0.9475,
(10).
X (n − 1)n Q
二、选择题（每小题 2 分，共 14 分） (1)B (2)B (3)D (4)B
(5)D
(6)B
(7)C
三、解 设 A:从一箱中任取 4 只检查,结果都是好的. B0, B1, B2 分别表示事件每箱含 0， 1， 2 只次品 已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1
2
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⎧ n − 0.9n X − 0.9n 0.8n − 0.9n ⎫ P(n ≥ X ≥ 0.8n) = P ⎨ ≥ ≥ ⎬ 0.09n 0.09n ⎭ ⎩ 0.09n ⎛ 0.1n ⎞ = 2Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 1 ≥ 0.95 ⎝ 0.3 n ⎠
即： Φ⎜ ⎜
⎛ 0.1n ⎞ ⎟ ⎟ ≥ 0.975 ⎝ 0.3 n ⎠ 0.1n 0.3 n ≥ 1.96 。解得 n = 34.574
所以， θ =
--------6 分
k X
-------------------7 分
（2）距法估计
∞ ∞
由 Ex =
∫ xf ( x)dx = ∫
0
θk k x k e −θx dx = (k − 1)! θ 0
---------9 分
令
k k = X ，得 θ = θ X
已知
-----------12 分
如果 P ( A | B ) = P ( A | B ) ，那么两事件 A 和 B 相互独立。 证明：因为
P( A) = P( AB) + P( AB) = P( A | B) P( B ) + P( A | B) P( B)
= P ( A | B)( P( B) + P( B)) = P( A | B)
P( A | B0 ) = 1 ， P( A | B1 ) =
由 Bayes 公式:
4 4 C19 4 C18 12 ， = P ( A | B ) = = 2 4 4 C20 5 C20 19
------3 分
P( B1 | A) =
P( B1 ) P( A | B1 )
2
Байду номын сангаас
-----------5 分