自动控制理论第七章非线性系统优秀课件
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
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第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
自动控制原理课件 第七章 非线性系统
2
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
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第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
中职教育-《自动控制原理》课件：第7章 非线性控制系统分析(4)电子工业出版.ppt
➢ 非线性系统的稳定性与系统输入信号及初始状态有关。 因此，对非线性系统不能笼统地说稳定与不稳定，而 必须指明稳定的范围。
➢ 相平面法是一种图解方法，仅适用于二阶或一阶系统。 相平面分析法研究非线性系统的基本思想是：对于二 阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然 后通过相轨迹来研究系统的运动。如：分析极限环邻 近相轨迹的运动特点，将极限环分为稳定、不稳定、 半稳定极限环。
由此可知，系统产生自持振荡时的振荡频 率和幅
值X分别为：1.01和1.557。
本章小结
➢ 非线性系统瞬态响应曲线的形状却与输 入信号大小、初始条件有密切的关系。非 线性系统的稳定性，除了和系统结构、参 数有关外，还与初始状态及输入信号大小 有密切关系。在非线性系统中，除了稳定 和不稳定运动形式外，还有一个重要特征 就是系统有可能发生自持振荡。因此，非 线性系统的性能在整个过程中是时变的， 这使得在研究上与线性系统有着本质差别。 本章主要介绍了非线性系统的特点和分析
7-4 基于Simulink的非线性系统分析
在一般非线性系统分析中，常需要在平衡点 处求利用MATLAB/Simulink提供的函数，不仅可对 非线性系统进行线性化处理，而且也可直接对非 线性系统进行分析。
7.4.1 利用MATLAB求解非线性系统的线性化模型
图7-55 系统的相轨迹
7.4.3 基于MATLAB的描述函数法分析非线性系统
例7-11 已知非线性系统如图7-56所示。
图7-56 非线性系统
试利用MATLAB采用描述函数法分析非线性系统
在K=1和2时的稳定性。其中k=1，h=1。
(a) K=1时的曲线
(b) K=2时的曲线
X= 1.5570
➢ 描述函数分析法是等效线性化方法的一种，它是频域 法在非线性系统上的延伸。描述函数法只能研究系统 的稳定性和是否存在极限环，使用时不受系统阶次的 限制。
精品课程《自动控制理论》ppt课件第七章 非线性系统的分析
Ⅱ区 e
2
1
A
-1
1
根据系统的相轨迹，可对
-1
系统的性能分析如下：
-2
Ⅰ区
e
23
2021/7/23
14
1、系统的相轨迹收敛于A 点，是稳定的，奇点为稳定
焦点。e是单调衰减的。
2、相轨迹最后没有到达原
点，即 lime(t) 0 ，说明 t
系统在阶跃信号输入下，存 在稳态误差，引起稳态误差 的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表 明，系统是Ⅰ型系统，对阶 跃响应的稳态误差应为0，可 见死区继电器非线性对稳态 精度的影响。
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法 时域方法 2、描述函数法 频域方法
7.2 非线性系统的相平面分析方法
相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图 所示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递 函数。
r 常数
＋ N
G(S)
C
用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S)
必须是二阶。
一、描述函数的定义
设非线性特性为对称型，则傅氏级数中的直流分量 A0 0
y的基波为
y 1 A 1 co t B 1 s si t n Y 1 s
it n)( 1
非线性特性的描述函数定义为
N (X)Y X 1ej1X 1(B 1jA 1)
这是一个复函数，模为输出基波幅值与输入幅值之比，相角 是输出基波对输入的相位移。 描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时，输出基波分量与X 在幅值和相位上的关系。
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5
一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
x2n x n 2x0
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
自动控制原理(第2版)第7章非线性控制系统(2)简明教程PPT课件
§7.4.6 非线性系统的相平面分析
(1) 非本质非线性系统的相平面分析
例4
(3 x 0.5) x x x2 0 x 设系统方程为 求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。 x 0 x 解 令
xe 1 0 x x 2 x(1 x ) 0
自动控制原理
第七章 非线性系统控制
Chapter 7 control of nonliner systems
大连民族学院机电信息工程学院
College of Electromechanical ＆ Information Engineering
自动控制原理
本章重点内容
7.1 非线性控制系统概述
7.2 常见非线性及其对系统运动的影响
d x f ( x, x ) 0 dx x 0
x 0 x 0
设非线性系统方程为：
f ( x, x ) 0 x
dx dx dt f ( x , x ) dx dx dt x
对于线性定常系统， 原点是唯一的平衡点
— 向右移动
— 向左移动
(2)相轨迹的奇点 (平衡点) 相轨迹上斜率不确定的点
0 (3)相轨迹的运动方向 0 下半平面: x (4)相轨迹通过横轴的方向 上半平面: x
dx f ( x , x ) dx x
f ( x, x ) 0 x0
顺时针运动
相轨迹以90°穿越 x 轴
大连民族学院机电信息工程学院
例1 单位反馈系统
G( s )
5 n 2.236 s( s 1) 0.2236 r ( t ) 1( t )
大连民族学院机电信息工程学院
第7章非线性控制系统分析自动控制原理课件
本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描 述函数法, 是在非线性控制系统满足一定的条件下, 将 线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的, 因 此具有一定的局限性.
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
率为-1的直线, 见下图. •
e
0.2 p2 0.1
0.1
0
0.2
0.8
p1
特定的相轨迹为 p1 p2
1 p0
e
0
区域 :
•
e
d
•
e/ de
•
e
•
0.8 e
0.8 /(
1)
•
相轨迹与区域 类似, 但所有相轨迹均趋向于 e 0.8
直线, 见下图.
•
e
0
p3
0.8
0.2 p2 0.1 0
•
4m0 0.8 e 0.2 or e 0,e 0.1
区域 :
•
•
•
••
e
d
e
de d
e
•
e
d
e
dt dt de de
•
•
e
d
e
•
e
0.8
de
•
•
令 d e/ de, 则 e 0.8 /( 1)等倾线为一组平
•
行于 e 轴的直线. 当 0时, e 0.8
•
相轨迹为一组平行的曲线, 所由相轨迹均趋向于e 0.8
x
x0 ,
•
x
•
x0
情况下的
•
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
率为-1的直线, 见下图. •
e
0.2 p2 0.1
0.1
0
0.2
0.8
p1
特定的相轨迹为 p1 p2
1 p0
e
0
区域 :
•
e
d
•
e/ de
•
e
•
0.8 e
0.8 /(
1)
•
相轨迹与区域 类似, 但所有相轨迹均趋向于 e 0.8
直线, 见下图.
•
e
0
p3
0.8
0.2 p2 0.1 0
•
4m0 0.8 e 0.2 or e 0,e 0.1
区域 :
•
•
•
••
e
d
e
de d
e
•
e
d
e
dt dt de de
•
•
e
d
e
•
e
0.8
de
•
•
令 d e/ de, 则 e 0.8 /( 1)等倾线为一组平
•
行于 e 轴的直线. 当 0时, e 0.8
•
相轨迹为一组平行的曲线, 所由相轨迹均趋向于e 0.8
x
x0 ,
•
x
•
x0
情况下的
•
自动控制原理第七章非线性系统分析
02
非线性系统的分析方法
相平面法
相平面法是一种通过绘制系统的 相图来分析非线性系统的动态行
为的方法。
它通过将系统的状态变量绘制在 二维平面上，显示系统的平衡状 态、周期运动和混沌运动等不同
状态。
相平面法可以用于分析非线性系 统的稳定性、分岔和混沌等现象。
描述函数法
描述函数法是一种通过引入描 述函数来分析非线性系统的频 率特性的方法。
滑模控制是一种变结构控制方法，通过设计滑模面和滑模控制器，使 得系统状态在滑模面上滑动，以达到控制系统的目的。
非线性系统的设计方法
相平面法
通过分析非线性系统的相轨迹，了解系统的动态行为，并 设计适当的控制器来控制系统状态。
描述函数法
通过分析非线性系统的频率特性，了解系统的动态行为， 并设计适当的控制器来控制系统状态。
它通过将非线性系统近似为线 性系统，并利用频率响应函数 来描述系统的频率特性。
描述函数法可以用于分析非线 性系统的谐振、倍周期分岔等 现象。
逆系统法
逆系统法是一种通过构建逆系统来补偿非线性系 统的非线性特性的方法。
它通过设计一个逆系统来抵消原系统的非线性， 从而将非线性系统转化为线性系统进行处理。
根轨迹法
根轨迹法是通过绘制系统的根轨迹图来分析系统的稳定性，根轨迹是指系统的极点随参数变化而变化 的轨迹。
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是判断线性系统稳定性的重要方法之一，其基本思想是通过 计算系统的极点，判断极点是否位于复平面的左半部分。
劳斯稳定判据的优点是简单易行，适用于多变量系统，可以同时考虑系统 的所有极点。
03
非线性系统的稳定性分析
定义与特点
定义
非线性系统的稳定性是指系统在受到 扰动后，能否恢复到原来的平衡状态 。
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1
根据系统的相轨迹，可对
-1
系统的性能分析如下：
-2
Ⅰ区
e
23
1、系统的相轨迹收敛于A点，是稳定的，奇点为稳定
焦点。e是单调衰减的。
2、相轨迹最后没有到达原
点，即 lime(t) 0 ，说明 t
系统在阶跃信号输入下，存 在稳态误差，引起稳态误差 的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表 明，系统是Ⅰ型系统，对阶 跃响应的稳态误差应为0，可 见死区继电器非线性对稳态 精度的影响。
r 常数
＋ N
G(S)
C
用相平面法分析非线性系统，线性部分传递 函数G(S)必须是二阶。
一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
x2n x n 2x0
相平面图是在 x x 平面中，绘制 (x, x)随时间t 变化
的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是 (x(0),x(0)) 。
5、 (-1 )
jω
x
××
λ1 λ2
x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原 点出发的发散型抛物线。原点处的奇点称为不稳定 节点。
6、
, 12
是对称于原点的实数
jω
x
×
λ1
0×
λ2
பைடு நூலகம்
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
二、非线性系统的相平
二、面分析非线性系统的相平面分析
借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。
例1：有死区继电器非线性的系统框图如下
r 常数 e
＋
1 -1
1 -1
y
1 S(S 1)
C
系统线性部分的传递函数 G(S) 1 ，该二阶系统的无
S(S 1)
阻尼自然振荡角频率 n
1rad/，s阻尼比
0.5，根据
奇点是指 d x 0 的点。根据奇点附近相轨迹的特征， dx 0
奇点有不同名称，据此可判断系统运动的性质。
1、无阻尼运动 ( 0)
二阶系统的极点分布和相平面图如下
jω
x
λ1 ×
0
λ2 ×
0
x
无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心
椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称 为中心点。
2、欠阻尼运动 (0 1)
自动控制理论第七 章非线性系统
一 、非线性系统的特点
1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决 于系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取 决于系统的结构、参数，而且还与输入信号及初始条 件有关。即可能在某个初始条件下稳定，而在另一个 初始条件下系统可能不稳定 。
Ⅲ区 Ⅱ区 e
Ⅰ区
2
1
A
-1
12
-1
e
3
-2
例2：非线性系统框图如下
r 常数 e
＋
a
-M
M a
y
2 S(S 1)
C
其中继电器回环特性的参数M=0.2，a=0.2。
系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节
的输入－输出关系为
M
e a,e 0
y＝
或 e a,e 0
－M
e a,e 0
常见于测量、放大元件中。 死区非线性特性导致系统产 生稳态误差，且用提高增量 的方法也无法消除。
2、饱和非线性
y
k -a
0a x
常见于放大器中，在大信号 作用下，放大倍数小，因而 降低了稳态精度。
3、间隙非线性
y
-a 0
k
a
x
常见于齿轮传动机构、铁磁 元件的磁滞现象。可使系统 的稳态误差增大，也使系统 的动态特性变差。
非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的 方法来处理各种非线性问题。
对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否 稳定；（2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡， 确定自持振荡的频率和振幅；（4）研究消除或减 弱自持振荡的方法。
二、典型非线性系统及对系统性能的影响
1、死区非线性
y
k -a
k
0a x
前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。
继电器的输入－输出关系为
1 , e 1;
y f (e) 0 , 1 e 1;
1, e 1.
在 e e 平面，根据继电器的
非线性特性，可分为三个区域， Ⅲ区
设初始状态 e(0) 3，e(0) 0，
绘制相轨迹如图所示，(设r=3)
Ⅱ区 e
2
1
A
-1
或 e a,e 0
根据上述关系，可将 e e 平面分为二个区域。分别绘制初
始状态分别为 e(0)0.5e ,(0)0和 e(0)0.1e ,(0)0的两 条相轨迹。
从图知，无论从哪一组初始条件出发，相轨迹均收敛于极限 环，这是一个稳定的极限环，意味着系统产生自持振荡。
一般不希望系统有自持振荡。当振荡难以消除时，应尽量 将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上，对 于此系统，通过减少继电器回环的宽度a，可减小振荡。
2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不 稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即 使无外界作用，也可能会发生自持振荡。
3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正 弦信号。
非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相 同、含有高次谐波的非正弦信号。
4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信 号下系统分析的结果也适用于其它情况。
4、继电器特性
y
b
-a -ma 0 ma a x
-b
继电器特性中包含了死区、 回环和饱和特性，因此对 系统的稳态性能、暂态性 能和稳定性都有不利影响。
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法 时域方法 2、描述函数法 频域方法
7.2 非线性系统的相平面分析方法
相平面法是一种时域分析方法。设非线性系 统框图如图所示，其中N表示非线性环节，G(S) 是线性部分的传递函数。
jω
λ1 ×
0
λ2 ×
x
x
系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺 旋线，收敛于原点。奇点称为稳定焦点。
3、过阻尼运动 ( 1)
jω
××
λ2 λ1 0
x
x
系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹 是趋于原点的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。
4、 (-1 0)
jω
x
×
0
x
×
系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点 出发的螺旋线，原点处的奇点称为不稳定焦点。
相平面法是分析非线性系统的一种时 域法、图解法，不仅可以分析系统的稳定 性和自振荡（极限环），而且可以求取系 统的动态响应。这种方法只运用于二阶系 统，但由于一般高阶系统又可用二阶系统 来近似，因此相平面法也可用于高阶系统 的近似分析。
7.3 描述函数法
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一 种谐波线性化方法，忽略非线性环节输出中的高次 谐波，用基波分量表示其输出。