3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
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P13Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3-9
第三章
三、实对称矩阵特征值的性质
1. 实对称矩阵的特征值都是实数. 实对称矩阵的特征值都是实数. 2. 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交. 对称矩阵 的属于不同特征值的特征向量相互正交 不同特征值的特征向量相互正交. 3. 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 阶实对称矩阵， Q-1AQ 成为对角矩阵. 成为对角矩阵.
练习3.3选解 练习3.3选解: 选解:
3. 设A为3阶实对称矩阵, 且A2+2A=O, r(A)=2, 求与A 阶实对称矩阵, 求与A 相似的对角矩阵. 相似的对角矩阵.
P13P13-13
α
(1) || α || ≥ 0 , 且 || α || = 0 ⇔ α = 0 ; (2) || kα || = | k | · || α || ; (3) |(α , β )| ≤ || α || · || β || , 且 |(α , β ) | = || α || · || β || ⇔ α , β 线性相关. 线性相关.
第三章
b1 b2 T α β = (a1, a2, ⋯, an ) ⋮ b n = a1b1 + a2b2 +⋯+ anbn = ∑aibi
也可记作( 称为向量 称为向量 α 与 β 的内积. 内积αTβ 也可记作(α, β ) 的内积.
i=1 n
P13P13-2
第三章
1 2 2 2 1 2 , λ E − A = ( λ - 5 )( λ + 1 ) 2 ( 2) A = 2 2 1
例2 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0 , 1 (二重), 属于 (二重 二重), 特征值 0 的一个特征向量为α1= (0, 1, 1)T . 求 A .
练习3.2选解 练习3.2选解: 选解:
2. 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似, m 阶矩阵 C 与 D 相似, 相似, 相似, 证明: 证明: A O ~ B O O C O D
P13P13-12
第三章
2 0 6. 已知矩阵 A = 0 0 0 1
P13P13-3
n
i=1
第三章
3.Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T ∈ Rn ，称 (α,α ) = α Tα (a 为向量 α 的长度(或模)，记作 || α || . 即 的长度(
α = αα=
T
∑a
i=1
n
2 i
单位向量. 如果 || α || = 1，则称 α 为单位向量 ， 1 ∀ α ≠ 0 ，则 为单位向量或标准化向量. α 为单位向量或标准化向量. 4. 长度的性质
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (αs , βs−1 ) (αs , β2 ) (αs , β1 ) βs = αs − βs−1 −⋯− β2 − β1 (βs−1 , βs−1 ) (β2 , β2 ) (β1 , β1 )
例1 求与向量组
第三章
α1 = (1, 1, 1)T ,α2 = (1, -2, -3)T ,α3 = (1, 2, 2)T
1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 阶实矩阵，
第三章
ATA = E (或AAT = E )
正交矩阵. 则称 A 为一个 n 阶正交矩阵. 2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ⇔ A 可逆 ⇔ A-1= AT 3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ⇔ A 的列向量组(或行向 的列向量组( 量组) 正交单位向量组. 量组) 为正交单位向量组. 4. 正交矩阵的性质 (1) 若 A 是正交矩阵，则 A-1 也是正交矩阵; 是正交矩阵， 也是正交矩阵; (2) 若 A , B 均为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵. 阶正交矩阵， 也是正交矩阵 正交矩阵. (3) 若 A 是正交矩阵，则 detA = -1 或 1 . 是正交矩阵， detA
则 β1 , β2 , … , βs 是一个正交向量组, 且 是一个正交向量组, { β1 , β2 , … , βs } ≅ { α1 , α2 , … , αs }
P13P13-6
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法 施密特(Schmidt) 中的一个线性无关的向量组， 设 α1 ,α2 ,…, αs ( s ≥ 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 β1 = α1 (α2 , β1 ) β2 = α2 − β1 (β1 , β1 ) (α3 , β2 ) (α3 , β1 ) β3 = α3 − β2 − β1 (β2 , β2 ) (β1 , β1 )
第三章
§3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
向量的内积 正交矩阵 实对称矩阵特征值的性质 实对称矩阵对角化方法
P13P13-1
一、向量的内积 (a (b 1.Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T , β = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
中的两个列向量， 中的两个列向量，则
一、向量的内积 (a (b 1. Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T , β = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
中的两个列向量， 中的两个列向量，则
第三章
αTβ = a1b1 + a2b2 +⋯+ anbn = ∑aibi
也可记作( 称为向量 称为向量 α 与 β 的内积. 内积αTβ 也可记作(α, β ) 的内积. 2. 内积的性质 (1) (α , β ) = (β , α ) ; (2) (kα , β )= k(α , β ); (3) (α + β , γ )= (α, γ )+ (β , γ ); (4) (α ,α )≥ 0 , 且(α ,α)= 0 ⇔ α = 0 . 其中α , β , γ 为 Rn 中的任意列向量，k ∈ R . 中的任意列向量，
P13P13-5
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法 施密特(Schmidt)
第三章
由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组 由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组. 线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组. 中的一个线性无关的向量组， 线性无关的向量组 设 α1 ,α2 ,…, αs ( s ≥ 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 β1 = α1
等价的一个正交单位向量组. 等价的一个正交单位向量组.
P13P13-7
第三章
例2 已知
α 1 = (1, 1, − 1) , α 2 = (− 1, 1, 3)
T
T
求 α3 使之与α1 , α2 都正交. 都正交. 二、正交矩阵
1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 阶实矩阵，
ATA = E (或AAT = E )
四、实对称矩阵对角化方法 为对角矩阵. 例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵 −2 0 3 (1 ) A = − 2 2 − 2 0 1 −2
λ E − A = ( λ − 2 )( λ − 5 )( λ + 1 )
P13P13-10
四、实对称矩阵对角化方法 为对角矩阵. 例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵
(α2 , β1 ) β2 = α2 − β1 (β1 , β1 ) (α3 , β2 ) (α3 , β1 ) β3 = α3 − β2 − β1 (β2 , β2 ) (β1 , β1 ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (αs , βs−1 ) (αs , β2 ) (αs , β1 ) βs = αs − βs−1 −⋯− β2 − β1 (βs−1 , βs−1 ) (β2 , β2 ) (β1 , β1 )
则称 A 为一个 n 阶正交矩阵. 正交矩阵. 2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ⇔ A 可逆. 可逆. ⇔ A - 1= A T 3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ⇔ A 的列向量组(或行向 的列向量组( 量组) 正交单位向量组. 量组) 为正交单位向量组.
P13P13-8
二、正交矩阵
0 0 0 1 0 1 P = 1 0 − 1 , A = 0 1 2 − 1 2 1 0 1 0 − 1 2 1 2
P13P13-11
第三章
作业: 作业: 第149页第1题之(2), (3); 149页第 题之(2), 页第1 第2题
(1) 求x, y的值; 的值; (2) 求矩阵P , 使P-1AP = B. 求矩阵P
0 2 0 0 1 与 B = 0 y 0 相似 . x 0 0 − 1
9. 设A为3阶矩阵, α1 ,α2 ,α3线性无关, 且 阶矩阵, 线性无关, Aα1 =2α1 +α2+α3, Aα2 =2α2, Aα3 = -α2 +α1. =2α Aα =2α Aα (1) 求矩阵B, 使得A(α1 , α2, α3)=(α1 , α2, α3)B; 求矩阵B, 使得A )=(α )B; (2) 求A的特征值; 的特征值; (3) 求矩阵P 和对角阵 Λ, 使P-1AP = Λ. 求矩阵P
P13P13-4
第三章
5.Def.: 设α , β ∈ Rn , 如果 αTβ = 0, 则称向量 α , β 正交. 则称向量 正交. 注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; 中的零向量与任意向量都正交 都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量; 与自身正交的向量只能是零向量; (3) 正交的几何意义: αT β = || α || · || β || cos θ 正交的几何意义: 6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零 若一个非零向量组( 非零向量组 向量) 中的向量两两正交, 则称非 向量两两正交 向量) α1 , α2 , … , αs (s ≥ 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 α1 , α2 , … , αs 为一个正交向量组. 为一个正交向量组 正交向量组. 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量， 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 向量 该向量组为正交单位向量组 正交单位向量组. 该向量组为正交单位向量组. 是一个正交向量组, 7.Th.: 设 α1 , α2 , … , αs 是一个正交向量组, 则α1,α2 , …,αs 线性无关. 线性无关.
第三章
三、实对称矩阵特征值的性质
1. 实对称矩阵的特征值都是实数. 实对称矩阵的特征值都是实数. 2. 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交. 对称矩阵 的属于不同特征值的特征向量相互正交 不同特征值的特征向量相互正交. 3. 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 阶实对称矩阵， Q-1AQ 成为对角矩阵. 成为对角矩阵.
练习3.3选解 练习3.3选解: 选解:
3. 设A为3阶实对称矩阵, 且A2+2A=O, r(A)=2, 求与A 阶实对称矩阵, 求与A 相似的对角矩阵. 相似的对角矩阵.
P13P13-13
α
(1) || α || ≥ 0 , 且 || α || = 0 ⇔ α = 0 ; (2) || kα || = | k | · || α || ; (3) |(α , β )| ≤ || α || · || β || , 且 |(α , β ) | = || α || · || β || ⇔ α , β 线性相关. 线性相关.
第三章
b1 b2 T α β = (a1, a2, ⋯, an ) ⋮ b n = a1b1 + a2b2 +⋯+ anbn = ∑aibi
也可记作( 称为向量 称为向量 α 与 β 的内积. 内积αTβ 也可记作(α, β ) 的内积.
i=1 n
P13P13-2
第三章
1 2 2 2 1 2 , λ E − A = ( λ - 5 )( λ + 1 ) 2 ( 2) A = 2 2 1
例2 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0 , 1 (二重), 属于 (二重 二重), 特征值 0 的一个特征向量为α1= (0, 1, 1)T . 求 A .
练习3.2选解 练习3.2选解: 选解:
2. 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似, m 阶矩阵 C 与 D 相似, 相似, 相似, 证明: 证明: A O ~ B O O C O D
P13P13-12
第三章
2 0 6. 已知矩阵 A = 0 0 0 1
P13P13-3
n
i=1
第三章
3.Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T ∈ Rn ，称 (α,α ) = α Tα (a 为向量 α 的长度(或模)，记作 || α || . 即 的长度(
α = αα=
T
∑a
i=1
n
2 i
单位向量. 如果 || α || = 1，则称 α 为单位向量 ， 1 ∀ α ≠ 0 ，则 为单位向量或标准化向量. α 为单位向量或标准化向量. 4. 长度的性质
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (αs , βs−1 ) (αs , β2 ) (αs , β1 ) βs = αs − βs−1 −⋯− β2 − β1 (βs−1 , βs−1 ) (β2 , β2 ) (β1 , β1 )
例1 求与向量组
第三章
α1 = (1, 1, 1)T ,α2 = (1, -2, -3)T ,α3 = (1, 2, 2)T
1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 阶实矩阵，
第三章
ATA = E (或AAT = E )
正交矩阵. 则称 A 为一个 n 阶正交矩阵. 2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ⇔ A 可逆 ⇔ A-1= AT 3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ⇔ A 的列向量组(或行向 的列向量组( 量组) 正交单位向量组. 量组) 为正交单位向量组. 4. 正交矩阵的性质 (1) 若 A 是正交矩阵，则 A-1 也是正交矩阵; 是正交矩阵， 也是正交矩阵; (2) 若 A , B 均为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵. 阶正交矩阵， 也是正交矩阵 正交矩阵. (3) 若 A 是正交矩阵，则 detA = -1 或 1 . 是正交矩阵， detA
则 β1 , β2 , … , βs 是一个正交向量组, 且 是一个正交向量组, { β1 , β2 , … , βs } ≅ { α1 , α2 , … , αs }
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8. 施密特(Schmidt) 正交化方法 施密特(Schmidt) 中的一个线性无关的向量组， 设 α1 ,α2 ,…, αs ( s ≥ 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 β1 = α1 (α2 , β1 ) β2 = α2 − β1 (β1 , β1 ) (α3 , β2 ) (α3 , β1 ) β3 = α3 − β2 − β1 (β2 , β2 ) (β1 , β1 )
第三章
§3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
向量的内积 正交矩阵 实对称矩阵特征值的性质 实对称矩阵对角化方法
P13P13-1
一、向量的内积 (a (b 1.Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T , β = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
中的两个列向量， 中的两个列向量，则
一、向量的内积 (a (b 1. Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T , β = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
中的两个列向量， 中的两个列向量，则
第三章
αTβ = a1b1 + a2b2 +⋯+ anbn = ∑aibi
也可记作( 称为向量 称为向量 α 与 β 的内积. 内积αTβ 也可记作(α, β ) 的内积. 2. 内积的性质 (1) (α , β ) = (β , α ) ; (2) (kα , β )= k(α , β ); (3) (α + β , γ )= (α, γ )+ (β , γ ); (4) (α ,α )≥ 0 , 且(α ,α)= 0 ⇔ α = 0 . 其中α , β , γ 为 Rn 中的任意列向量，k ∈ R . 中的任意列向量，
P13P13-5
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法 施密特(Schmidt)
第三章
由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组 由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组. 线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组. 中的一个线性无关的向量组， 线性无关的向量组 设 α1 ,α2 ,…, αs ( s ≥ 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 β1 = α1
等价的一个正交单位向量组. 等价的一个正交单位向量组.
P13P13-7
第三章
例2 已知
α 1 = (1, 1, − 1) , α 2 = (− 1, 1, 3)
T
T
求 α3 使之与α1 , α2 都正交. 都正交. 二、正交矩阵
1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 阶实矩阵，
ATA = E (或AAT = E )
四、实对称矩阵对角化方法 为对角矩阵. 例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵 −2 0 3 (1 ) A = − 2 2 − 2 0 1 −2
λ E − A = ( λ − 2 )( λ − 5 )( λ + 1 )
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四、实对称矩阵对角化方法 为对角矩阵. 例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵
(α2 , β1 ) β2 = α2 − β1 (β1 , β1 ) (α3 , β2 ) (α3 , β1 ) β3 = α3 − β2 − β1 (β2 , β2 ) (β1 , β1 ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (αs , βs−1 ) (αs , β2 ) (αs , β1 ) βs = αs − βs−1 −⋯− β2 − β1 (βs−1 , βs−1 ) (β2 , β2 ) (β1 , β1 )
则称 A 为一个 n 阶正交矩阵. 正交矩阵. 2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ⇔ A 可逆. 可逆. ⇔ A - 1= A T 3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 ⇔ A 的列向量组(或行向 的列向量组( 量组) 正交单位向量组. 量组) 为正交单位向量组.
P13P13-8
二、正交矩阵
0 0 0 1 0 1 P = 1 0 − 1 , A = 0 1 2 − 1 2 1 0 1 0 − 1 2 1 2
P13P13-11
第三章
作业: 作业: 第149页第1题之(2), (3); 149页第 题之(2), 页第1 第2题
(1) 求x, y的值; 的值; (2) 求矩阵P , 使P-1AP = B. 求矩阵P
0 2 0 0 1 与 B = 0 y 0 相似 . x 0 0 − 1
9. 设A为3阶矩阵, α1 ,α2 ,α3线性无关, 且 阶矩阵, 线性无关, Aα1 =2α1 +α2+α3, Aα2 =2α2, Aα3 = -α2 +α1. =2α Aα =2α Aα (1) 求矩阵B, 使得A(α1 , α2, α3)=(α1 , α2, α3)B; 求矩阵B, 使得A )=(α )B; (2) 求A的特征值; 的特征值; (3) 求矩阵P 和对角阵 Λ, 使P-1AP = Λ. 求矩阵P
P13P13-4
第三章
5.Def.: 设α , β ∈ Rn , 如果 αTβ = 0, 则称向量 α , β 正交. 则称向量 正交. 注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; 中的零向量与任意向量都正交 都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量; 与自身正交的向量只能是零向量; (3) 正交的几何意义: αT β = || α || · || β || cos θ 正交的几何意义: 6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零 若一个非零向量组( 非零向量组 向量) 中的向量两两正交, 则称非 向量两两正交 向量) α1 , α2 , … , αs (s ≥ 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 α1 , α2 , … , αs 为一个正交向量组. 为一个正交向量组 正交向量组. 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量， 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 向量 该向量组为正交单位向量组 正交单位向量组. 该向量组为正交单位向量组. 是一个正交向量组, 7.Th.: 设 α1 , α2 , … , αs 是一个正交向量组, 则α1,α2 , …,αs 线性无关. 线性无关.