立体几何7立体几何中的向量方法-证明平行和垂直

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2．平行关系的向量表述
(1)直线与直线平行：若直线l1和l2的方向向量分别为v1和 v2，则l1∥l2⇔__v_1∥__v_2____.
(2)直线与平面平行：若直线l的方向向量为v，平面α内 的两个不共线向量是v1和v2，平面α的法向量为n，则：①l∥ α⇔存在实数x，y，使v＝xv1＋yv2；②l∥α⇔___v_⊥__n____.
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备用例题
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角
形，且垂直于Hale Waihona Puke Baidu面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠
BAD＝60°，M为PC上一点，且PA∥平面BDM.
(1)求证：M为PC的中点；
(2)求证：面ADM⊥面PBC.
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[解答] 证明：(1)连接AC，AC与BD交于G，连接MG，则 面PAC∩面BDM＝MG，
与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝
90°，BC綊
1 2
AD，BE綊
1 2
AF.证明：C，D，
F，E四点共面．
图42－1
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► 探究点2 证明平行关系
例2如图42－2是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平 面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠ A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.设点O是AB的中 点，证明：OC∥平面A1B1C1.
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D→M·C→B＝0＋0＋0＝0， ∴DM⊥BP，DM⊥CB， 所以DM⊥平面PBC，又DM⊂平面ADM， 所以平面ADM⊥平面PBC.
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例2 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2， ∠ABC＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°.
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► 问题2 (1)如果向量a，b不共线且具有公共起点，则向 量xa＋yb在向量a，b确定的平面内．( )
(2)若A，B，C三点不共线，O为空间任意一点，则点A， B，C，D共面的充要条件是存在实数λ，μ，使得O→D＝ O→A＋λA→B ＋μA→C.( )
[答案] (1)错 (2)对
[解析] (1)向量xa＋yb可能在向量a，b确定的平面内，也可
(3)平面与平面平行：若平面α和β的法向量分别为n1和 n2，则α∥β⇔_n_1_∥__n_2 __.
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3．垂直关系的向量表述
(1)直线与直线垂直：若直线l1和l2的方向向量分别为v1
和v2，则l1⊥l2⇔__v_1_⊥__v_2_.
(2)直线与平面垂直：若直线l的方向向量为v，平面α的 法向量为n，则l⊥α⇔__v_∥__n___.
图42－2
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► 探究点3 证明垂直关系
例3 如图42－3，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都 为2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
图42－3
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规律总结
1．向量方法证明空间平行关系的基本途径是： (1)线线平行：直线与直线平行，只要证明它们的方向向量平 行． (2)线面平行：①用线面平行的判定定理，证明直线的方向向 量与平面内一条直线的方向向量平行； ②证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (3)面面平行：平面与平面的平行，除了用面面平行的判定定 理转化为线面平行外，还可证明两平面的方向向量平行．
由PA∥平面BDM，可得PA∥MG， 因为底面ABCD为菱形，所以G为AC的中点， 所以MG为△PAC的中位线． 因此M为PC的中点． (2)取AD中点O，连接PO，BO. 因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，又因为平面PAD ⊥平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD，因为底面ABCD是菱形且∠BAD＝ 60°，△ABD是正三角形，所以AD⊥OB.
(3)平面与平面垂直：若平面α和β的法向量分别为n1和 n2，则α⊥β⇔__n_1⊥__n_2__.
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问题思考
► 问题1 (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的法向量是唯一确定的．( ) (3)平面的单位法向量是唯一的．( )
[答案] (1)错 (2)错 (3)错
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能与向量a，b确定的平面平行．
(2)A，B，C，D四点共面的充要条件是向量A→B，A→C，A→D
共面，根据共面向量定理，则存在实数λ，μ，使得 A→D ＝λ A→B
＋μA→C，又A→D＝O→D－O→A，所以O→D＝O→A＋λA→B＋μA→C.
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要点探究
► 探究点1 空间中的点共线、点共面问题 例1 如图42－1，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF
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2．向量方法证明空间垂直关系的基本途径是： (1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向 量垂直． (2)线面垂直：①用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与 平面内的任意一条直线的方向向量垂直； ②用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的 两条相交直线的方向向量垂直； ③证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定 理转化为线面垂直外，还可证明两平面的法向量垂直．
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所以OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0)，B(0， 3，0)，D(－1,0,0)，P(0,0， 3)，D→P＝ (1,0， 3)，A→B＝(－1， 3，0)， D→M＝12(D→P＋D→C)＝12(D→P＋A→B)＝0， 23， 23， B→P＝(0，－ 3， 3)，C→B＝D→A＝(2,0,0)， ∴D→M·B→P＝0－32＋32＝0，
立体几何中的向量方法（一） ——位置关系的证明
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考纲要求
1．理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与 平面的垂直、平行关系． 3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定 理(包括三垂线定理)．
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知识梳理
1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：l是空间任意一直线，A，B是直线l上 的任意两点，则称 A→B 为直线l的方向向量．显然，与 A→B 平行的 任意非零向量a也是直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l垂直于平面α，那么直线l的方向向 量叫做平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α 的法向量．