2019-2020学年辽宁省六校协作体高一上学期期中考试数学试题

2019-2020学年辽宁省六校协作体高一上学期期中考试
数学试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题（共10道，每题4分，共40分，每题4个选项，只有一个符合题目要求） 1.命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是（ ） A. 0x ∃<，使2310x x -+< B. 0x ∃≥，使2310x x -+< C. 0x ∀<，使2310x x -+< D. 0x ∀≥，使2310x x -+<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据特称命题的否定是全称命题进行判断.
【详解】命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是“∀x 0<，x 2﹣3x +1<0”, 故选C.
【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题. 2.已知集合，{}20,1x A x B x x x ⎧⎫
-=≥=<⎨⎬⎩⎭
，则A B =I （ ） A. [)0,1
B. (]1,2
C. ()0,1
D. (),0-∞
【答案】C 【解析】 【分析】 先解分式不等式
20x
x
-≥，得{}|02A x x =<≤，再求交集即可. 【详解】解：解分式不等式20x
x -≥，得(2)00x x x -≤⎧⎨≠⎩
，解得：02x <≤，
即{}|02A x x =<≤，又{}
1B x x =<，所以{}|01A B x x ⋂=<<， 故选C.
【点睛】本题考查了分式不等式的解法及集合交集的求法，属基础题. 3.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A. ()f x =
()g x x =
B. ()f x =()g x =
C. ()f x x =，2
()x g x x
=
D. ()1f x x =+，1,1
()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数相等的条件，定义域、对应法则、值域相等，一一进行判断可得答案.
【详解】解：A 项,()f x =
x ,()g x x =,故A 项不符合题意;
B 项,f(x)=x 的定义域为x ∈R , ()2
x g x x
=的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠0},故B 项不符合题
意;
C 项,()f x =
(-∞,-2]U [2,+∞),()g x =[2,+∞], 故C 项不符合题意;
D 项,当x ≥-1时f(x)=x+1,当x<-1时f(x)=-x-1,所以f(x)=g(x),故D 项符合题意.
故本题正确答案为D.
【点睛】本题主要考查函数相等的条件，判断函数的定义域、对应法则分别相等是解题的关键.
4.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，()20f =，则不等式
()0f x <的解集为（ ）
A. (2,0)(2,)-+∞U
B. (2,0)(0,2)-U
C. (,2)(0,2)-∞-⋃
D. (2,0)-
【答案】A 【解析】 【分析】
先由函数的奇偶性可得函数在(),0-∞上()0f x <的解集，再得函数在()0,∞+上()0f x <的解集，再求并集即可得解.
【详解】解：由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，又()20f =， 所以()20f -=，由()f x 在(),0-∞上是减函数，
所以当(),2x ∈-∞-时，()0f x >，当()2,0x ∈-时，()0f x <， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在()0,∞+上是减函数， 当()0,2x ∈时，()0f x >，当()2,x ∈+∞时，()0f x <， 即()0f x <的解集为(2,0)(2,)-+∞U ， 故选:A.
【点睛】本题考查了利用函数的性质求解不等式，重点考查了函数性质的应用，属基础题. 5.使2560x x -++>成立的一个充分但不必要条件是（ ） A. 16x -<<
B. 13x -<<
C. 26x -<<
D.
61x -<<
【答案】B 【解析】 【分析】
先求解不等式2560x x -++>所对应的集合()1,6B =-，再观察所选选项所对应的集合A ，由题意可得集合A 是集合B 的真子集，逐一判断即可得解.
【详解】解：解不等式2560x x -++>，则2560x x --<，即16x -<<， 取()1,3A =- ，()1,6B =- ， 则集合A 是集合B 的真子集，
即使2560x x -++>成立的一个充分但不必要条件是13x -<<， 故选B.
【点睛】本题考查了充分必要条件，重点考查了充要条件与集合的关系，属基础题. 6.已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A. 22ca ac > B. ac bc >
C. 22ab cb >
D. ab ac >
【答案】D 【解析】 【分析】
c ＜b ＜a ，且ac ＜0，可得c ＜0且a >0．利用不等式的基本性质即可得出．
【详解】∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0， ∴c ＜0且a >0，b 与0的大小关系不定． ∴满足bc ＞ac ，ac ＜ab ， 故选D ．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.函数3
()21f x x x =+-一定存在零点的区间是（ ）． A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. (1,2)
【答案】B 【解析】
∵3
()21f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增， 以上集合均属于(0,)+∞，根据零点存
定理，
∴()()0f a f b ⋅<， 易知B 选项符合条件， ∴选择B ．
点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．由此可判断根所在区间.
8.已知函数2
1
()23
x f x ax ax -=++定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,3
B. ()(),03,-∞+∞U
C. [)0,3
D.
(][),03,-∞⋃+∞
【答案】C 【解析】 【分析】 函数2
1
()23
x f x ax ax -=
++定义域是R 等价于2230ax ax ++≠恒成立，再分别讨论当0a =时，当0a ≠时，方程2230ax ax ++=的类型，再求解即可. 【详解】解：由函数2
1
()23
x f x ax ax -=
++定义域是R ，则2230ax ax ++≠恒成立， 当0a =时，30≠，即0a =满足题意，
当0a ≠时，因为2230ax ax ++≠恒成立，则2
2
(2)434120a a a a ∆=-⨯⨯=-<， 解得：0<<3a ，
综上可得实数a 的取值范围是[)0,3， 故选:C.
【点睛】本题考查了对含参数方程类型的讨论，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.
9.已知函数22,0
()(1),0
x x f x f x x ⎧+>=⎨+≤⎩，则((1))f f -=（ ）
A. 3
B. 5
C. 9
D. 11
【答案】D 【解析】 【分析】
先由分段函数解析式可得(1)(0)(1)3f f f -===，再求得2
(3)3211f =+=，得解.
【详解】解：由分段函数解析式可得2
(1)(0)(1)123f f f -===+=， 又2
(3)3211f =+=， 故选D.
【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题.
10.已知函数2
()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意12,[1,)x x ∈+∞且12x x ≠都有
1212
()()
1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）
A. [1,)+∞
B. (0,1]
C. [2,)+∞
D. (0,)+∞
【答案】A 【解析】
不妨设，12x x >，
Q 任意[)()()121212
,1,,1,f x f x x x x x -∈+∞>∴-可得()()1122f x x f x x ->-，
可得()f x x -在[)1,+∞上递增，()2
21f x x ax x -=-+Q 的对称轴0
1,11
a x a a >⎧⎪=∴⎨≤⎪⎩，得
1a ≥，故选A.
二、多选题（共3小题，每题4分，共12分，每题4个选项中，有多个正确选项，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分）
11.若函数()f x 满足（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x 当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 为“理想函数”，给出下列
四个函数中：① 1()f x x =； ②3
()f x x =- ；③21()21x f x x -=+；④2
2
,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩
，则被称为“理想函数”的有（ ）
A. ①
B. ②④
C. ③
D. ④
【答案】B 【解析】 【分析】
先理解“理想函数”的定义，再考查各函数的奇偶性及单调性，对于分段函数，画出函数图像，再观察图像即可得解.
【详解】解：由题意可得“理想函数”为奇函数且在定义域上为减函数， 对于①，1
()f x x
=
的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()f x 的减区间为()(),0,0,-∞+∞，即函数在()(),00,-∞⋃+∞上不为减函数，即①不为“理想函数”； 对于②，3
()f x x =-为R 上的减函数且为奇函数，即②为“理想函数”； 对于③，201
(0)10201
f ⨯-==-≠⨯+，即函数21()21x f x x -=+不为奇函数，即③不为“理想函
数”；
对于④，函数22,0
(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩
的图像如图所示，由图可知④为“理想函数”；
即被称为“理想函数”的有②④， 故选B.
【点睛】本题考查了对“理想函数”的理解，主要考查了不同类型函数的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
12.下列几个命题：①若方程20x ax a ++=的两个根异号，则实数0a <；②函数
y = 2
()2(1)2f x x a x =+-+在
(],4-∞上是减函数，
则实数a 的取值范围是-3a ≥；④ 方程 (1)430m x m ++-=的根0
x 满
足012x -≤≤，则m 满足的范围14
63
m ≤≤，其中不正确的是（ ） A. ① B. ②
C. ③
D. ④
【答案】BC 【解析】 【分析】
由韦达定理可判断①是否正确，由用定义法判断函数奇偶性可判断②是否正确，由二次函数的开口方向及对称轴方程可判断③是否正确，由函数与方程的关系，将方程问题转化为函数问题可判断④是否正确.
【详解】解：对于①，方程20x ax a ++=的两个根异号，由韦达定理可得0a <，即①正确；
对于②，y =2
2
40
40
x x ⎧-≥⎨-≥⎩，得240x -=，2x =或2x =-，则0y =，显然函数既是偶函数也是奇函数，即②错误，
对于③，函数 2
()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，则2(1)
42
a -≤-
，即-3a ≤，即③错误；
对于④，方程(1)430m x m ++-=的根0x 满足012x -≤≤，设()(1)43g x m x m =++-， 由题意有(1)(2)0g g -≤，即(34)(61)0m m --≤，即14
63
m ≤≤，即④正确， 即不正确的是②③， 故选BC.
【点睛】本题考查了函数的有关性质，主要考查了函数与方程的关系，重点考查了运算能力，属中档题.
13.已知函数()f x ，x R ∀∈,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，
211221
()()
0,()f x f x x x x x -<≠-，以下结论中正确的是（ ）
A. ()0(3)f f >-
B. ,x R ∀∈()(1)f x f ≤-
C. 2
3(1)()4
f a a f -+≥ D. 若()(2),f m f <则42m -<<
【答案】AB 【解析】 【分析】
由函数()f x ，x R ∀∈,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，
211221
()()
0,()f x f x x x x x -<≠-，则函数()f x 的图像关于直线1x =-对称，在(],1-∞-为增函
数，在[)1,-+∞为减函数，再逐一判断各选项即可得解.
【详解】解：由函数()f x 满足(2)()f x f x --=，则函数()f x 的图像关于直线1x =-对称，又[)12,1,x x ∈-+∞，
211221
()()
0,()f x f x x x x x -<≠-，则函数()f x 在[)1,-+∞为减函数，
对于选项A ，因为3(1)0(1)--->--，所以()0(3)f f >-，即A 正确；
对于选项B ，由已知有()f x 在(],1-∞-为增函数，在[)1,-+∞为减函数，即max ()(1)f x f =-，即B 正确；
对于选项C ，2
2
133
1()2
44
a a a -+=-+
≥，又()f x 在[)1,-+∞为减函数，所以23
(1)()4
f a a f -+≤，即C 错误；
对于选项D ，当()(2),f m f <则(1)2(1)m -->--，则4m <-或2m >，即D 错误， 即结论正确的是AB ， 故选AB.
【点睛】本题考查了函数的对称性及增减性，重点考查了函数性质的应用，属中档题. 三、填空题(每空2分，共16分)
14.已知函数2
()(2)f x x x =+，则函数()f x 的零点是_______；不等式()0f x ≤的解集为
_______.
【答案】 (1). 2-,0 (2). (]
{}--20∞⋃，
【解析】 【分析】
先将函数2
()(2)f x x x =+的零点问题转化为方程2
(2)0x x +=的根的问题，然后分0x =，
0x ≠两种情况解不等式2(2)0x x +≤即可.
【详解】解：令2
(2)0x x +=，即0x =或20x +=，即0x =或2x =-， 即函数()f x 的零点是-2,0，
解不等式()0f x ≤，即2
(2)0x x +≤，即0x =或20x +≤，即0x =或2x -≤，
即不等式()0f x ≤的解集为(]
{}--20∞⋃，
， 故答案为(1).2-，0 (2).(]
{}--20∞⋃，
. 【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了不等式的解集，属基础题. 15.设函数1()f x x x =+
，1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则函数的最小值为______；若1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则实数a 的取值范围是_________.
【答案】 (1). 2 (2). (][),12,-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】
先求出函数1()f x x x =+
，1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的单调区间，再求其最小值，再利用不等式有解问题分离变量最值法求解即可得解. 【详解】解：因为函数1()f x x x =+
，1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 易得函数在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
为减函数，在[]1,3为增函数，所以min ()(1)112f x f ==+=， 即函数的最小值为2,
又1,32
x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得2
()a a f x -≥成立，则2min ()a a f x -≥，即22a a -≥，
解得：2a ≥或1a ≤-，即实数a 的取值范围是2a ≥或1a ≤-， 故答案为(1). 2 (2). (][),12,-∞-⋃+∞
【点睛】本题考查了函数在闭区间上的最值问题，重点考查了不等式有解问题，属中档题.
16.已知函数2
(),()2f x x g x x =-=-，设函数()y M x =，当()()f x g x >时，
()()M x f x =；当()()g x f x ≥时，()()M x g x =，则()M x =________ ；函数()
y M x =的最小值是________.
【答案】 (1). (][)()22,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩
(2). 1- 【解析】 【分析】
先阅读题意，再求出函数()M x ，再结合分段函数最值的求法即可得解. 【详解】解：解不等式()()f x g x >，即22x x ->-，解得21x -<<，
即21x -<<时，()M x x =-，解不等式()()f x g x ≤，即22x x -≤-，解得2x -≤或1x ≥，即2x -≤或1x ≥时，2
()2M x x =-，
即()M x =(][)
()2
2,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩
当2x -≤或1x ≥时，min ()(1)1M x M ==-， 当21x -<<时，min ()(1)1M x M >=-， 即函数()y M x =的最小值是1-，
故答案为（1）.(][)
()2
2,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩
,(2).1-.
【点睛】本题考查了分段函数最值求法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.
17.设[]
x 表示不超过x 的最大整数，已知函数[]()f x x x =-，则(0.5)f -=________ ；其值域为_________.
【答案】 (1). 0.5 (2). [)0,1 【解析】
【分析】
先阅读题意，再作出函数[]()f x x x =-的图像，再观察图像即可得解.
【详解】解：作出函数[]()f x x x =-的图像，如图所示，由图可知
(0.5)0.5(1)0.5f -=---=，其值域为[)0,1，
故答案为(1). 0.5 (2). [)0,1
【点睛】本题考查了阅读理解能力，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程步骤） 18.已知函数2()68f x x x =
-+A ，关于x 的不等式
(1)(1)0x m x m ---+<的解集为集合B .
（1）求集合A 和集合B ；
（2）若A B B =I ，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）(][),24,A =-∞⋃+∞，()1,1B m m =-+；（2）(][
),15,-∞+∞U . 【解析】 【分析】
（1）由函数定义域的求法可得(][),24,A =-∞⋃+∞，解二次不等式可得()1,1B m m =-+； （2）由集合的运算A B B =I 可得集合之间的关系为B A ⊆，再列不等式12m +≤或
14m -≥，运算可得解.
【详解】解：（1）解不等式2680x x -+≥，解得：2x ≤或4x ≥，即(][),24,A =-∞⋃+∞，
解不等式 (1)(1)0x m x m ---+<，得11m x m -<<+，即()1,1B m m =-+； （2）由A B B =I ，则B A ⊆，
所以12m +≤或14m -≥，解得：1m £或5m ≥， 故实数m 的取值范围为：(][
),15,-∞+∞U .
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，重点考查了集合之间的包含关系，属中档题.
19.已知函数()21
2ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.
（1）求实数a ，b 的值；
（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域
【答案】（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦. 【解析】 【分析】
（1）由函数为奇函数可得()3
12f =
,()312
f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可； （3）由函数()f x 在[]
2,1--上为增函数，则可求得函数的值域.
【详解】解：（1）由函数()21
2ax f x x b
+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-，
即22
113
212
(1)132(1)2a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x
+=，
则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数； 证明如下：
设121x x <
≤-，则
12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212
()(21)
2x x x x x x --=，又
因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >， 即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <， 故()f x 在(],1-∞-上为增函数；
（3）由（2）得：函数()f x 在[]
2,1--上为增函数，
所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93
()42
f x -≤≤-，
故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.
20.已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2
()2f x x x =-.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间 （3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2
(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．
【答案】（1）222,0
()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩
；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.
【解析】 【分析】
（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；
（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；
（3）利用函数在[]
1,1-减函数且为奇函数，可得2
2111
111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩
，再求解即可.
【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的
奇函数，则(0)0f =， 设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数， 所以2
2
()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣，
综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩
；
（2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[
)1,+∞； （3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，
当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2
(1)(1)0f m f m -+-<，即2
(1)(1)f m f m -<-，
则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即202
02(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩
， 解得01m ≤<，
故关于m 的不等式的解集为[)0,1.
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
21.2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且
210200,050
()10000
6019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩
，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）()2104003000,05010000
6000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--+≥⎪
⎩
；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元. 【解析】 【分析】
（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；
（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可. 【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，
()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-
当50x ≥时，()1000010000
600(6019000)30006000L x x x x x x
=-+
--=--+， 即()2104003000,050
10000
6000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--+≥⎪⎩
， （2）当050x <<时，()2
2
10400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+，
当20x =时，()L x 取最大值1000， 当50x ≥时，(
)10000600060005800L x x x =--+≤-=， 当且仅当10000
x x
=
，即100x =时取等号， 又58001000>
故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元. 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题. 22.已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集； （2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>
（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)
b x c
g x x a x +-=
<-，求函数()g x 的最大值 【答案】（1）{}
13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1
(,)(1,)2
-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-. 【解析】 【分析】
（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a c
a f a
b
c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪
=++=-⎪⎪⎩
求解即可；
（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a b
a c
a ⎧
⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为
2210x x -->，再解此不等式即可；
（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4
(1)(
)21x x ⎡⎤--++⎢⎥
-⎣
⎦
，再利用均值不等式求函数的
最大值，一定要注意取等的条件，得解.
【详解】（1）由题意可得()4
32421
b a
c a
f a b c ⎧-=⎪⎪
⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩
，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()2
43f x x x ∴=-+，
解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}
13x x ≤≤；
（2）（ⅰ）由题意可知012a b a
c
a
⎧
⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c b
x x a a ++<，
即2210x x -++<，得2210x x -->，解得2
1
x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞.
（ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=23
1x x +=-
2(1)2(1)4
1
x x x -+-+=
-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ ,
因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x
-+≥-，当且仅当411x x -=-时即1x =-时取等
号 ,
所以4(1)(
)41x x ⎡
⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡
⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦
所以当1x =-时，()max 2g x =- .
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题.
23.已知二次函数()f x 满足下列3个条件:①函数()f x 的图象过坐标原点； ②函数()f x 的对称轴方程为1
2
x =-； ③方程()f x x =有两个相等的实数根.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）令()()()12g x f x x λ=-+，若函数()g x 在[]2,1-上的最小值为－3，求实数λ的值； （3）令2
()()2h x f x mx m =-+-，若函数()h x 在()0,1内有零点，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）2
()f x x x =+；（2）λ=2λ=；（3）3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）由题意可设2(),0f x ax bx a =+≠，再结合1
,22
b a -=-2(1)400a a ∆=--⨯⨯=求解即可；
（2）讨论当2λ≤-时，当1λ≥时，当21λ-<<时，函数()g x 在[]2,1-的单调性求最小值即可得解；
（3）先由2
(1)2[(1)(2)](1)m x x m m x m x -++-=----，又函数()h x 在()0,1内有零点，
则2
011m m
-<
<-，再求解即可. 【详解】解：（1）由二次函数()f x 满足函数()f x 的图象过坐标原点，则可设2(),0f x ax bx a =+≠，又函数()f x 的对称轴方程为1
2
x =-
，
则1
,22
b a -
=-即a b =，又方程()f x x =有两个相等的实数根，即2(1)0ax a x +-=有两个相等的实数根，则2
(1)400a a ∆=--⨯⨯=，即1a =，即2
()f x x x =+； （2）由（1）得()()2
2
2
2
122()g x x x x x x x λλλλ=+-+=-=--，
当2λ≤-时，()g x 在[]2,1-上为增函数，则min ()(2)443g x g λ=-=+=-，解得7
4
λ=-
，不合题意，
当1λ≥时，()g x 在[]2,1-上为减函数，则min ()(1)123g x g λ==-=-，解得2λ=，符合题意，
当21λ-<<时， 2
min ()()3g x g λλ==-=-，解得λ=
故实数λ的值为λ=2λ=； （3）由（1）得：
22()()2(1)2[(1)(2)](1)h x f x mx m m x x m m x m x =-+-=-++-=----，
由函数()h x 在()0,1内有零点，则方程[(1)(2)](1)0m x m x ----=在()0,1内有解， 则2011m m
-<
<-，解得3
22m <<，
故实数m 的取值范围为：3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及函数在闭区间上的最值问题，重点考查了函数零点及方程的解的关系，属中档题.
- 21 -。