运筹学方法总结

一．线性规划

1.问题背景：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人

们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.

线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

2.求解方法：

a.单纯形法：

适用的问题：约束条件全部为≤，右边常数全部为非负，对目标函数的系数没有要求。

min z=3x1-2x2

s.t. x1+2x2≤12

2x1+ x2≤18

x1,x2≥0

求解步骤：

STEP 0 将线性规划问题标准化

STEP 1 是否有明显的初始基础可行解，如果有，转STEP 3，否则，转STEP 2。

STEP 2 构造辅助问题，用两阶段法求解辅助问题。如果辅助问题最优解的目标函数值大于0，原问题无可行解，算法终止。否则转STEP 3。

STEP 3 写出单纯形表，将基变量在约束条件中的系数消为单位矩阵，将基变量在目标函数中的系数消为0。转STEP 4。

STEP 4 如果所有非基变量的检验数全为负数或0，则已获得最优解，算法终止。否则，选择检验数为正数并且绝对值最大的非基变量为进基变量。转STEP 5。

STEP 5 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，目标函数无界，算法终止。否则根据右边常数和正的系数的最小比值，确定离基变量。转STEP 6。

STEP 6 进基变量列和离基变量行交叉的元素称为主元。对单纯形表进行行变换，将主元变为1，将主元所在列的其他元素变为0。转STEP 4。

b.对偶单纯形法：

适用的问题:约束条件中至少有一个是≥，相应的右边常数为非负，目标函数系数全部为非负。

min z=3x1+2x2

s.t. x1+2x2≥12

2x1+ x2≤18

x1,x2≥0

求解步骤：

步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验数，即是对偶可行解，建立初始单纯形表。

步骤2 检查基变量的取值，若≥0，则已得最优解，计算停；否则求确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。

步骤3 若所有,则原问题无可行解，计算停；否则，计算确定对应的为旋入变量。

步骤4 以为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表，转步骤2。可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行解。

二．运输问题

1.问题背景：一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产

地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。

2.求解方法:

a.表上作业法:

方法描述：表上作业法是一种求解运输问题的特殊的方法，其实质是单纯形法，它针对运输问题变量多,

结构独特的情况，大大简化了计算过程的求解方法

求解步骤：

1．找出初始基本可行解

2. 求各非基变量的检验数，即在表上计算除了上述的m+n-1个数字格以外的空格的检验数判别是否

达到最优解,如已是最优解，则停止计算,否则转到下一步。在运输问题中都存在最优解。

3. 确定入基变量与出基变量，找出新的基本可行解。在表上用闭回路法调整。

4. 重复2、3直至得到最优解。

三．目标规划

1.问题背景：目标规划（Goal programming）目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多

个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。

2.求解方法：

a.约束法：

方法描述：在多个目标函数中选择一个主要目标作为基本思想：基本思想目标函数，其它目标处理为

适当的约束。目标函数，其它目标处理为适当的约束。

求解步骤：min f1 ( x) ~ ( P)s.t. g i ( x) ≥0, i = 1,2, L, m f j ( x) ≤ f j ( x ( 0 ) ), j = 2,3, L, p

第一步：（1）对j = 1,2, L, p，min f j ( x) (VPj )s.t. x ∈S，求解单目标问题

第二步：选择整数r>1，确定0 jt，f j0的r个不同阀值

第三步：对t = 0,1,L, r − 1 ，分别求解问题：

min f k ( x) ( Pt j )s.t. g i ( x) ≥0, i = 1,2, L, m f j ( x) − f jt j ≤0, j = 1, L, k − 1, k + 1,L, p

) 各目标函数f ( j ≠k ) 可对应不同的t (t = 0,1,L, r − 1（共有r p −1 个约束问题）。求解后可得到

(VP)的一有效解集合，是(VP)有效解集合的一个子集。为主目标。

b.分层序列法：

求解步骤：1. 把(VP)中的p个目标f ( x ), L , f ( x ) 按其重要程度排一次序。依次求单目标规划的最优解。

2．2. 过程：无妨设其次序为f1 , f 2 , L , f p 先求解

四．整数规划

问题背景：规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划

求解方法：

a.割平面法：

方法描述：通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域，使它在不断缩小的过程中，将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置，这样就有可能用单纯形法求出。

求解步骤：

第一步：用单纯形法解松弛问题，得到最优单纯形表。

第二步：求一个割平面方程，加到最优单纯形表中，用对偶单纯形法继续求解。

第三步：若没有得到整数最优解，则继续作割平面方程，转第二步。

b.匈牙利法：

方法描述：在现实生活中，有各种性质的指派问题(assignment problem)。指派问题也是整数规划的

一类重要问题。例如：有n项工作需要分配给n个人(或部门)来完成；有n项合同需要选择n个投标

者来承包；有n个班级需要安排在各教室上课等。诸如此类问题，它们的基本要求是在满足特定的指

派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。

求解步骤：第一步：变换效率矩阵，使指派问题的系数矩阵经过变换，在各行各列中都出现0元素。

具体作法是：先将效率矩阵的各行减去该行的最小非0元素，再从所得系数矩阵中减去该列的最小

非0元素。这样得到的新矩阵中，每行每列都必然出现零元素。