数列综合练习题

Ⅰ题型归类

练习1．已知等比数列{}n a ，12a =，且2525(3)2n n n a a -⋅≥=，试求

21222log ()log ()log ()n a a a ++

+

例1． 数列

121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，求

21

2

a a

b -。

练习1．等比数列{}n b 中，0n b >，524346236b b b b b b ++=，求53b b +。

练习2．等比数列{}n b 前n 项和n S ，若422S S =，求{}n b 公比。

二、求数列通项

例1． 数列{}n a 满足21n n S a =+(1n ≥)，求n a 。

练习1．数列{}n a 满足11a =，且10n n n a S S -⋅+=(2n ≥)，试求n a 。

类型3．1()n n a a f n +=+ ⇒1()n n a a f n +-=⇒利用累加法(逐差相加法)

求解

例3．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n

+=++，求n a 。

练习3．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n n +=++，求n a 。

类型4．1()n n a f n a +=

⨯ ⇒

1

()n n

a f n a +=⇒利用累乘法(逐商相乘法)求解 例4．已知数列{}n a 满足123

a =，1(1)n n n a na ++=，求n a 。

练习4．已知数列{}n a 满足13a =，1(43)(41)n n n a n a ++=-，求n a 。

类型5．1n n a pa q +=

+(其中p,q 为常数,(1)0pq p -≠) ⇒ 待定系数法

例5．已知数列{}n a 中，满足12a =，121n n a a +=+，求n a 。

解：由条件得：12()n n a t a t ++=⨯+

⇒ 1t =

⇒112(1)n n a a ++=⨯+ ⇒ 令1n n b a =+，则{}n b 是以1113

b a =+=为首项，2为公比的等比数列

⇒ 132n n b -=⨯ ⇒ 1321n n a -=⨯- 练习5．已知数列{}n a 中，满足11a =，124

n n a a +=+，求n a 。

类型6．1n n n a pa q +=

+(其中p,q 均为常数，(1)(1)0pq p q --≠)。

一般在原递推公式两边同除以1n q +，得：

11

1n n n n a p a q q q

q ++=⨯+ ⇒ 引入辅助数

列{}n b (其中n n

n a b q =) ⇒ 11n n p b b q q

+=⨯+ ⇒ 待定系数法求解

例6．已知数列{}n a 中，满足15a =，132n n n a a +=-，求n a 。

解：由条件得：112312222n n n a a ++=⨯-，令22n n a b = ⇒ 13122n n b b +=-

⇒ 待定系数法求得2()13

n n b =+ ⇒ 23n n n a =+

练习6．已知数列{}n a 中，满足156a =，1111()32

n n n a a ++=+，求n a 。

三、求数列前n 项和

类型1．裂项求和

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例1．{}n a 为等差数列，1

1n

n n b a a +⋅=

，求数列{}n b 的前n 项和n

S 。

解

：

由

条

件

知

：

1

111()

n n n b a a d +=⨯-

⇒

1211

11111()()n n n n S b b b a a d a a nd +⋅=++

+=⨯-=

+ 练习1．求和111

112123

123n

++++++++++

+。

类型2．错位相减

若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b 或数列n n a b

⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n

项和，则用错位想减法。 例1． 试求21123n n S x x nx -=+++

+

解：由条件得：231

231123423(1)n n

n n n S x x x nx x S x x x n x nx

--⎧⎪⎨

⎪⎩

=+++++⋅=++++-+ ⇒

两式相减得：231(1)1n n n x S x x x x nx --=++++

+- ⇒

1x ≠时，2(1)1(1)n n n x nx S x

x -=---;1x =，(1)1232

n n n S n +=++++=

练习1．试求2311357(21)n n S x x x n x -=+++++-

类型2．数列与不等式

例1．已知数列{}n a 的前n 项和292008n S n n =-+，求满足58k

a <<的k

值。

解：由题知：11

12000210(2)n

n n a S a S S n n -⎧⎪⎨⎪⎩===-=-≥

⇒ 52108k <-<

⇒ k=8

练习1．数列{}n a 的通项公式是关于x 的不等式2*()x x nx n N -<∈的解集中的整数个数，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

Ⅱ趁热打铁

1．等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a =_________。 2．等差数列{}n a 中，10

52

a =，23d =，求通项公式________n a =。

3．求数列2211,12,122,,1222,

n -+++++++前n 项和。

4．{}n a 前n 项和为n S ，且120(2)n n n a S S n -+⋅=≥，又112

a =，

求{}n a 通项公式。

5．已知数列{}n a 的前n 项和*(2),,1n

n S p pa n N p p =-+∈>≠且2