第八章 平稳时间序列建模(ARMA模型)

初值加速估计过程。
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为控制ARMA估计初值，在方程定义对话框单击 Options。在EViews提供的选项中，ARMA Options有
几项设置初值的选择。EViews缺省方法是OLS/TSLS，
这种方法先进行没有ARMA项的预备估计，再从这些 值开始非线性估计。另一选择是使用OLS或TSLS系
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含有AR或MA项的模型的估计输出和OLS模型一样， 只是在回归输出的底部增加了一个AR，MA多项式的根 的倒数（inverted AR roots 或 inverted MA roots）。我 们利用滞后算子多项式写一般的ARMA模型：
( L ) ut c ( L) t 如果AR模型滞后多项式有实根或一对复根的倒数
1．利用自相关系数和偏自相关系数识别ARMA(p, q) 模型 在实际研究中，通常的做法是根据经济指标时间序列 数据的样本特征，来推断经济指标的总体（真实）特征。
1. 自回归模型AR(p)
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
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§ 8.3 ARMA模型的平稳性
1. AR(p)模型的平稳性条件
为了理解AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)模型的理论结构，
简单的算子理论是必不可少的。对于AR(p)模型
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.7)
设L为滞后算子，则有Lut ut-1, Lput ut-p ，特别地，
也可写为：
ˆ ˆ ˆˆ ˆ LSt c 1ut 1 t 1 t 1 ˆ 0.0186 0.39 ( LSt 1 0.0186) t 0.32 t 1 ˆ 0.0186 (1 0.39) 0.39 LSt 1 t 0.32 t 1
数的一部分作为初值。可以选择0.3、0.5、0.8或者可
以将所有初值设为零。 用户确定初值选项是User Supplied。在这个选项 下，EViews使用系数向量C中的值。为设置初值，双 击图标，打开系数向量C窗口，进行编辑。
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为适当地设置初值，需对EViews如何为ARMA设 置系数多些了解。系数向量C按下列规则为变量安排系
本代表了这一时期的均值。
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对例5.5中我国上证收盘指数（时间期间：1991年1月～ 2007年8月）的月度时间序列S的对数差分变换LS=dlog(S)， 即股票收益率用ARMA(1,1)模型来估计，来说明EViews是 如何估计一个ARMA(p，q)模型的。
LS t c ut
ut ut 1 t t 1
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
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4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
(5.2.9)
则 (z) 是一个关于z的p次多项式，AR(p) 模型平稳的充要
条件是(z) 的根全部落在单位圆之外。式(5.2.7)可以改写为
滞后算子多项式的形式
Φ( L ) ut c t
(5.2.10)
可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件，则式(5.2.10)
可以表示为MA()的形式，从而可以推导出来任何一个
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2. ARMA(p,q)模型的输出形式
一个含有AR项的模型有两种残差：第一种是无条件 残差 u t ，第二种残差是估计的一期向前预测误差 t 。如名 ˆ ˆ 所示，这种残差代表预测误差。实际上，通过利用滞后残 差的预测能力，改善了无条件预测和残差。 对于含有ARMA项的模型，基于残差的回归统计量， 如R2和D.W.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含 有AR项的模型独有的统计量是估计的AR系数。对于简单 AR(1)模型，1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出 表中1用AR(1)表示，MA(1) 模型的系数1用MA(1)表示。 对于平稳AR(1)模型，1在-1和+1之间。一般AR(p) 模型平 稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
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2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
q
若
1 1 z 2 z q z 0
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建立如下模型：
srt c srt 1 ut
估计输出结果显示为：
t = 1, 2, , T
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图5.2 蓝线是上证股价指数变化率序列sr，红线是AR(1)模型的拟合值
从图5.2可以看出我国上证股价指数变化率序列在1991 年～1994年之间变化很大，而后逐渐变小，基本在3%上下波 动。近年来波动平缓，并且大多在3%下面波动。拟合曲线基
月～2007年8月）的月度时间序列S作为研究对象，用
AR(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率， srt = 100×(St-St-1)/S t-1（t = 1, 2, , T） 这样便得到了变化率序列。一般来讲，股价指数序列 并不是一个平稳的序列，而通过变换后的变化率数据， 是一个平稳序列，可以作为我们研究、建模的对象。 记上证股价指数变化率序列为sr。
的根全部落在单位圆之外，则式(5.2.16)的MA算子称为可逆 的。尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据，但是一些参
数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。
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3．ARMA(p,q) 模型的平稳性条件
ARMA(p,q) 模型包括了一个自回归模型AR(p)和一个移
动平均模型MA(q)
u t c 1u t 1 p u t p t 1 t 1 q t q
第八章 ARMA模型
本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为
研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问
题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及 汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变
换可以化成一个平稳序列。
本节中介绍的ARMA模型(autoregressive moving average models)可以用来研究这些经济变量的变化规 律，这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范 畴。
子列表中：
LS c ar(1) ar(2) ma(1)
如果采用公式法输入方程，要将AR项系数明确列出，
形式为：
LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)]。
含有MA项只能用列表法。
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例5.5 利用 AR(1) 模型描述上证指数的变化规律 本例取我国上证收盘指数（时间期间：1991年1
序列。
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2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
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§ 8.1 平稳时间序列的概念
经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样 的情况，它是一个随机事件的惟一记录，如中国 1980年～2004年的进出口总额是惟一的实际发生的
历史记录。从经济的角度看，这个过程是不可重复
的。横截面数据中的随机变量可以非常方便地通过 其均值、方差或生成数据的概率分布加以描述，但 是在时间序列中这种描述很不清楚。因此，经济时 间序列需要对均值和方差给出明晰的定义。
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3. ARMA(p,q)模型
ut c 1ut 1 p ut p t 1 t 1 q t q
(5.2.6) 显然此模型是模型(5.2.4)与(5.2.5)的组合形式，称为混合 模型，常记作ARMA(p,q)。 当 p=0 时，ARMA(0, q) = MA(q) 当q = 0时，ARMA(p, 0) = AR(p)
var( ut ) 2
E (ut )(ut s ) s
注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与 ut-s 之 间的协方差仅取决于s ，即仅与观测值之间的间隔长度s有 关，而与时期t 无关。一般所说的“平稳性”含义就是上述 的弱平稳定义。
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§8.2 ARMA模型
在于：易被理解，应用广泛，易被扩展为非线性定义的模
型。注意：非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且 渐进有效。 非线性估计方法对所有系数估计都要求初值。EViews 自行确定初值。有时当迭代达到最大值时，方程终止迭代，
尽管还未达到收敛。从前一步初值重新开始，使方程从中
止处开始而不是从开始处开始。也可以试试不同的初值来 保证估计是全部而不是局部平方误差最小，可以通过提供
数：
（1）变量系数，以输入为序； （2）定义的AR项，以输入为序；
（3）SAR，MA，SMA系数（按阶数）。
这样，下面两种定义将有同样规格的系数： Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1)
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§ 8.5 ARMA模型的识别
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§ 8.4 ARMA(p,q)模型的估计
1. ARMA(p,q)模型的输入形式 ARMA(p,q)模型中AR和MA部分应使用关键词ar和ma 定义。在上面AR定义中，我们已见过这种方法的例子，这 对MA也同样适用。 例如，估计因变量为LS的一个2阶自回归和1阶动平均
过程ARMA(2,1)，应将AR(1), MA(1), AR(2) 包含在回归因
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如果随机过程 ut {, u1 , u0 , u1 , u2 ,, uT , uT 1 ,}
的均值和方差、自协方差都不取决于 t，则称{ut}是协方差平 稳的或弱平稳的：
E (ut )
对所有的 t 对所有的 t 对所有的 t 和 s
(5.2.1) (5.2.2) (5.2.3)
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
(5.2.8)
7Βιβλιοθήκη Baidu
若设(L) 1 - 1 L - 2 L2 - …- p Lp ，令
Φ( z ) 1 1 z 2 z 2 P z p 0
或者以滞后算子多项式的形式表示 (5.2.19)
(1 1 L 2 L2 p Lp ) ut c (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
(5.2.20)
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若令
( z) 1 1 z 2 z p z 0
2 p
(5.2.21)
则ARMA(p,q)模型(5.2.19)平稳的充要条件是 (z) 的根全部 落在单位圆之外。
ARMA模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性
组合，近似逼近一个平稳序列。可以看出ARMA模型的平稳 性完全取决于自回归模型的参数(1 , 2 ,…, p )，而与移动平 均模型参数(1 , 2 ,…, q )无关。
建立方程，输入
LS c ar(1) ma(1)
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估计输出显示：
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估计方程可写为：
ˆ ˆ LSt 0.0186 ut
t = (1.87)
ˆ ˆ ut 0.39ut 1 t 0.32 t 1
t = (-0.43) （0.35）
R2= 0.00476 D.W. = 1.98