2020年高考数学(理科)最后冲刺指导 选择填空
2020高考理科数学考前最后一卷解析版 (9)
y
3x
4 3x
D． y lg x 4 lg x
8．已知 f x 是定义在 R 上不恒为 0 的函数，且对任意 a,b R ，有 f a b a f b b f a
成立， f 2 2 ，令 an f
2n
， bn
f 2n 2n
则有()
A．an 为等差数列
B．an 为等比数列
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
对于 A 和 D 选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于 B 选项不能保证基本不等式中
的“相等”要求，即可选出答案.
【详解】
对于 A，当 x 0 时，显然不满足题意，故 A 错误.
对于 B， sin x 0 ， 4 0 ， sin x 4 2 4 4 .
程序框图的算法源于“中国剩余定理”,若执行该程序框图,当输入 N 49 时,则输出结果是()
1
A．58
B．61
C．66
D．76
3．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起
讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他
们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说
2
2
{x} ，即{x}=m .设函数 f x x x，二次函数 g(x) ax2 bx ，若函数 y f (x) 与 y g(x)
的图象有且只有一个公共点，则 a,b 的取值不．可．能．是（） A． a 4,b 1 B． a 2,b 1 C． a 4,b3]，f(x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围； (3)当 a＞4 时，求函数 y＝f(f(x)＋a)零点的个数． （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)-解析版
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10.已知▵ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3211.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=______．16.设有下列四个命题：P1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．P4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. ▵ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ．(1)求A ；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．19. 已知椭圆C 1:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与的C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． (1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC 于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)设n∈N∗，证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出A∪B，再求补集．【解答】解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题．根据所给角是第四象限角，写出角α的范围，求出2α的范围，进而可判断出三角函数值的正负．【解答】+2kπ<α<2kπ,∴−π+4kπ<2α<4kπ,解：∵−π2∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴sin2α<0.故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数．【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，=18名.则至少需要志愿者为1600+500−120050故选B．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题．由S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数．【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题．由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(2−a)2+(1−a)2=a2，解得a=1或a=5，.所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=2√55故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题．取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值．【解答】解：取m=1，则a n+1=a1a n，=2，又a1=2，所以a n+1a n所以{a n}是等比数列，则a n=2n，所以，得k=4.故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题．由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点．【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题．【解答】x，解：双曲线C的两条渐近线分别为y=±ba由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到|DE|=2b，则S△ODE=ab=8，c2=a2+b2⩾2ab=16，即c⩾4，所以焦距2c⩾8．故选B．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题． 【解答】解：函数f(−x)=ln |−2x +1|−ln |−2x −1|=ln |1−2x |−ln |2x +1|=−f(x)， 则f(x)为奇函数，x ∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x +1)−ln(1−2x)，单调递增； x ∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x −1)−ln(1−2x)=ln 2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减． 故选D ．10.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题． 【解答】解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，设OO 1=d ，圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R ， △ABC 的边长为a ，则S △ABC =√34a 2=9√34，可得a =3，于是r =3=√3， 由题意知，球O 的表面积为16π，则R =2，由R 2=r 2+d 2，求得d =1，即O 到平面ABC 的距离为1． 故选C ．11.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题． 【解答】解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，ln(y−x+1)>0．故选A．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题．【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；故选C．13.【答案】√22【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题．【解答】解：由单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为45∘，k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，=0，所以(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k−√22则k=√2．2．故答案为√2214.【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：C42A33=36．答案：36．15.【答案】2√3【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗+b⃗ =(√3,1)，求|a⃗−b⃗ |，由(a⃗+b⃗ )2+(a⃗−b⃗ )2=2|a⃗|2+2|b⃗ |2，可得4+(a⃗−b⃗ )2=16，故|a⃗−b⃗ |=2√3．故答案为2√3．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．故答案为①③④．17.【答案】解：(1)在▵ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知，A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，所以9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，由基本不等式可得bc≤(b+c)24，所以9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,所以b+c≤2√3(当且仅当b=c=√3时取得等号)，所以▵ABC周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．(1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．18.【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为120020=60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000(2)根据公式得r=i −x)(y i−y)ni=1√∑(x i−x)∑(y i−y)i=1i=1=√80×9000=3√2≈0.94(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。
2020年高考考前大冲刺卷 理科数学(八)
2020年高考大冲刺卷理 科 数 学（八）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|(1)(3)0}M x x x =--≥，{|20}N x x =-≥，则M N =U （ ） A ．{|23}x x ≤≤B ．{|1}x x ≥C ．{|1x x ≤或2}x ≥D ．{|3}x x ≥2．复数21(1)i z a a =-+-为纯虚数，则||z =（ ） A ．0B ．4C ．2D ．2-3．已知棱长为2的正方体的俯视图是一个面积为4的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ） A ．4B ．42C ．222-D ．222+4．已知函数2()2cos sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．21+B ．21-C ．21-+D ．21--5．已知圆22:2C x y +=，直线:0l x y m -+=，则“l 与C 相交”是“2m <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆C 的半径为2，在圆C 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于23的概率为（ ）A ．1πB ．34C ．14D ．127．若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y ++=所截得的弦长为3，则E 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．2338．设实数1211d a x x -=-⎰，则621(2)ax x-展开式中的常数项为（ ） A ．35π2-B ．320π-C ．415π16D ．415π9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．9π182+ B ．9π362+ C ．18π18+ D ．18π36+10．已知函数||()ln(1)xxx f x e ee -=++-，则（ ）A ．351(5)(3)(log )4f f f ->> B ．351(3)(5)(log )4f f f ->> C ．351(log )(3)(5)4f f f >->D ．351(5)(log )(3)4f f f >->11．抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，点P 满足OP OF λ=u u u r u u u r（O 为坐标原点），若过点O 作互相垂直的两弦,OA OB ，则当弦AB 过点P 时，λ的所有可能取值的集合为（ ）A ．{4}B ．{3}C ．1{,4,3}4D ．1{,3,4}312．设函数12()log f x x =，若常数A 满足：对20201[2,2]x ∀∈，∃唯一的20202[2,2]x ∈，使得1()f x ，A ，2()f x 成等差数列，则A =（ ）A ．1010.5-B ．1011-C ．2019.5-D ．2020第Ⅱ卷此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)=a ，(,2)x =-c ，2(4,3)+=a b ，若⊥b c ，则x 的值为 ．14．设x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为12，则a b +的最小值为 ．15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(cos 3sin )c A A b -=，3b =，13c =，则ABC △的面积为 ．16．已知倾斜角为60︒的直线过曲线2:2C y x =的焦点F ，且与C 相交于不同的两点A ，B （A 在第一象限），则||AF = ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为(1)(21)6n n n n S ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n b a =，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n n T n >+．18．（12分）某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售12月份的产品销售量做了一次调查，得到如下的频数分布表：（1）若将12月份的销售量不低于30件的销售员定义为“销售达人”，否则定义为“非销售达人”，请根据频数分布表补全以下22⨯列联表：并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关； （2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取6名，再从这6名“销售达人”中抽取4名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附表及其公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．19．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，ABE△和BCF△均为等腰直角三角形，且BAE∠90BCF DAE=∠=∠=︒，EA FC∥．（1）求证：ED∥平面BCF；（2）设BCABλ=，问是否存在λ，使得二面角B EF D--的余弦值为33？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为(,0)F c，离心率为22，且经过点6(1,2，点M为椭圆上的动点．（1）求M到点(1,0)D的最短与最长距离；（2）设直线:l y x m=+与椭圆C相交于A，B两点，则是否存在点2,)P m，使得ABP△的内切圆恰好为221x y+=？并说明理由．21．（12分）已知函数()(ln)1f x x x a=-+的最小值为0，()a∈R．（1）求a的值；（2）设21ln(1)nxn=+，求证：1224nnx x xn+++>+L．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C的极坐标方程为πsin()4x ρ+=，曲线2C的参数方程为2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．（1）求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，求AOB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1||2|f x x x =+--． （1）求不等式|()|2f x <的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，设,,0a b c >，且23a b c m ++=，求证：111323a b c++≥．2020年高考大冲刺卷理 科 数 学（八）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解：计算得集合{|13}M x x =≤≤，{|2}N x x =≥，{|1}M N x x =≥U ，故选B ． 2．答案：C解：复数z 为纯虚数，故21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，所以1a =-，2i z =-，||2z ==．3．答案：C解：该正方体的正视图是一个矩形，但根据正方体视角不同，则面积不同，面积的范围是[4,． 4．答案：A解：化简函数得π()1cos sin )14f x x x x =++=++，所以函数()f x1． 5．答案：A解：圆C 与直线l相交，d =<||2m <，解得22m -<<， 因为{|22}m m -<<是的{|2}m m <子集，所以选A ． 6．答案：C解：过点M的所有弦的长度都大于M 落在以点C 为圆心，半径为1的圆内，则所求概率为22π11π24P ⨯==⨯． 7．答案：C解：设双曲线的一条渐近线方程为0bx ay +=，则圆心(3,0)-到该直线的距离3b d c==，由题意得3=2234b c =，即22222314c a a c c -=-=， 所以2214a c =，即2ce a==．8．答案：D解：由定积分的几何意义可知，21ππ122a =⨯⨯=， 所以621(2)ax x-展开式中的常数项为2424621C (π)()15πx x -=．9．答案：A解：由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体， 其中半圆柱的底面半径为3，高为1， 故其体积为219π(π31166)1822V =⨯⨯+⨯⨯=+． 10．答案：B解：因为函数()()f x f x -=，因此函数()f x 是定义域上的偶函数， 又因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而51|||log |4>>，所以51((log )4f f f >>． 11．答案：A解：由题意得，(,0)2pF ， ∵OP OF λ=u u u r u u u r ，(,)P P OP x y =u u u r ，(,)(,0)2F F pOF x y ==u u u r ，∴P F x x λ=，P F y y λ=，∴(,0)2pP λ，当弦AB 过点P 时，设直线AB 的方程为2px my λ=+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程222p x my y px λ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y pmy p λ--=，∴122y y pm +=，212y y p λ=-，2212121212()()()()2222pppmpx x my my m y y y y λλλλ=++=+++，整理得22124p x x λ=，∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，11(,)OA x y =u u u r ，22(,)OB x y =u u u r，∴12120x x y y +=，即22204p p λλ-=，又0p >，∴2104λλ-=，解得4λ=，0λ=（不合题意，舍去），∴λ的可能取值的集合为{4}． 12．答案：A 解：∵对20201[2,2]x ∀∈，∃唯一的20202[2,2]x ∈，使得1()f x ，A ，2()f x 成等差数列， ∴122()()A f x f x =+， ∵2()log f x x =，2020[2,2]x ∈，是单调增函数，∴202011221(log 2log 2)1010.52A =+=-，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：1解：2(4,3)+=a b ，(1,1)=a ，(2,1)=b ，故⊥b c ，1x =． 14．答案：解：直线0:l y abx =-平移到点(4,4)时目标函数取最大值，即4412ab +=， 所以2ab =，满足题意，由a b +≥=a b ==a b +的最小值为15．答案：2解：由正弦定理得sin (cos )sin C A A B =，因为sin sin()B A C =+，所以sin (cos )sin cos sin cos C A A A C C A =+，因为sin 0A ≠，所以cos C C =，tan C =5π6C =， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即21333a a =++，解得2a =，所以1sin 2S ab C == 16．答案：22+ 解：由曲线2:2C y x =，即212x y =，得122p =，14p =， 过A 作AH 垂直y 轴于点H ，AA '垂直准线于A '点，Q 为准线与y 轴的交点， 则1||||||||||||sin 604AF AA QH QF FH AF '===+=+⋅︒，所以124||1sin 602AF ==-︒．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．答案：（1）2n a n =；（2）证明见解析．解：（1）当2n ≥时，1(1)(21)6n n n n S ---=，21(1)(21)(1)(21)66n n n n n n n n n a S S n -++--=-=-=，当1n =时，111a S ==满足上式，所以2n a n =．（2）由（1）知，211111(1)1n n b a n n n n n ==>=-++， 所以12311111111223111n n nT b b b b n n n n =++++>-+-++-=-=+++L L ． 18．答案：（1）列联表见解析，能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为；（2）分布列见解析，8()3E X =．解：（1）频数分布表补全以下22⨯列联表：所以，22120(1200600) 3.429 2.70670506060K ⨯-=≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关． （2）由（1）知，抽取的6名“销售达人”中，有4名男销售员，有2名女销售， 所以X 的可能取值为2，3，4．224246C C 6(2)C 15P X ===，314246C C 8(3)C 15P X ===，4446C 1(4)C 15P X ===，所以X 的分布列为所以数学期望6818()2341515153E X =⨯+⨯+⨯=． 19．答案：（1）证明见解析；（2）不存在，详见解析． 解：（1）因为AD BC ∥，所以AD ∥平面BCF ， 因为EA FC ∥，所以EA ∥平面BCF ，所以平面ADE ∥平面BCF ，故ED ∥平面BCF ． （2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图． 因为90BAE DAE ∠=∠=︒，所以EA ⊥平面ABCD ， 又因为EA FC ∥，所以FC ⊥平面ABCD ，设AB a =，BC b =，则(0,0,0)D ，(0,,)F a b ，(,0,)E b a ，(,,0)B b a ，则(,0,)DE b a =u u u r ，(0,,)DF a b =u u u r，设平面DEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则由00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，∴00bx az ay bz +=⎧⎨+=⎩， 取1x =，因为BC bAB aλ==，则2(1,,)λλ=-n ； 设平面BEF 的法向量为(,,)x y z '''=m ，∵(0,,)BE a a =-u u u r ，(,0,)BF b b =-u u u r，则由00BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，∴00ay az bx bz ''-+=⎧⎨''-+=⎩，∴x y z '''==，取(1,1,1)=m ， 因为二面角B EF D --3，所以2423||||331λλ⋅==++m n m n ， 即210λλ-+=，由于30Δ=-<，所以不存在正实数λ，使得二面角B EF D --3． 20．答案：（1）M 到点D 的最短与最长距离分别为1，3；（2）不存在，详见解析．解：（1）依题意得22222131222a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以22a c b =⎧⎪⎨==⎪⎩ 所以椭圆的方程为22142x y +=， 设00(,)M x y 到点D 的距离为d ，则222200001(1)232d x y x x =-+=-+， 因为二次函数的对称轴为直线2x =，所以，该函数在[2,2]-上单调递减，所以当02x =时取得最小值，02x =-时取得最大值． 所以M 到点D 的最短与最长距离分别为1，3．（2）假设存在点2,)P m ，使得ABP △的内切圆恰好为221x y +=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为直线AB 与圆221x y +=12=，∴2n = ∴当2n =:2AB y x =联立得222142y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，∴23420x x +=，∴10x =，223x =-， ∴2)A ，22(,)33B --， 因为AO 为BAP ∠的角平分线，所以1AP AB k k =-=-，其中1APk ==-，∴0m =，即P ， 所以直线BP的方程为70x y --=，因为圆心到直线BP115=≠， 所以此时BP 不是圆的切线；同理，当n =BP 也不是圆的切线， 综上所述：P 不存在．21．答案：（1）1a =；（2）证明见解析．解：（1）()(ln )1(0)f x x x a x =-+>，()ln 1f x x a '=+-， 令()0f x '>，解得1(,)a x e -∈+∞；令()0f x '<，解得1(0,)a x e -∈，所以，()f x 在1(0,)a x e-∈单调递减，在1(,)a x e -∈+∞上单调递增，所以11min ()()10a a f x f e e --==-=，解得1a =．（2）令数列{}n a 的前n 项和24n nS n =+，则1(1)(2)n a n n =++，由（1）得()(ln 1)10f x x x =-+≥，变形可得1ln x x x->，令111n x n n +=+=，则11ln(1)1n n +>+，因此2211111ln (1)(1)12(1)(2)n n x a n n n n n n =+>>-==+++++，所以1224n nx x x n +++>+L ． 22．答案：（1）1:20C x y +-=，22:8C x y =；（2） 解：（1）1C的极坐标方程可化为sin cos 22ρθρθ+= 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，故1C 的直角坐标方程为20x y +-=，消参可得2C 的普通方程为28x y =．（2）2C 的焦点坐标为(0,2)，1C 为过(0,2)的直线，联立2820x y x y ⎧=⎨+-=⎩，得21240y y -+=，所以12||12416AB y y p =++=+=， 点O 到直线AB的距离d =1162AOB S =⨯=△23．答案：（1）13(,)22-；（2）证明见解析．解：（1）3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩， 故当1x ≤-或者2x ≥不成立， 当12x -<<时，|21|2x -<，解得1322x -<<， 故|()|2f x <的解集为13(,)22-．（2）由（1）知()[3,3]f x ∈-，故max ()3f x m ==，所以233a b c ++=，(,,0)a b c >，111111112332(23)()[3()()()]2332332323b a a c c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=++++++3≥，当且仅当23a b c ==时，即1a =，12b =，13c =时，等号成立，所以111323a b c++≥．。
2020高考数学(理)考前题型增分特训：选填题专项7 Word版含解析
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项7时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记复数z 的虚部为Im(z )，已知z 满足i z ＝1＋2i ，则Im(z )为( ) A ．－1 B ．－i C ．2D ．2i解析：由i z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii ＝()1＋2i i i 2＝2－i ，∴Im(z )＝－1，故选A.答案：A2．已知集合A ＝{}(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0，B ＝{}(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，则A ∩B 中的元素的个数为()A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0}＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －2)2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9}，∴圆心距d ＝[3－(－1)]2＋(2－2)2＝4，得1＝|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2＝5，∴两圆的位置关系为相交，∴A ∩B 中有2个元素，故选C.答案：C3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( )A. 2B. 3 C．2 D．3解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，所以ba＝2，即b2＝2a2，而a2＋b2＝c2，所以c2＝3a2⇒c＝3a⇒e＝ca＝3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝e x－1x的大致图象为( )解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝x e x－1－e x－1x2＝e x－1(x－1)x2.当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0＜x＜1，x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，显然当x>0时，f(x)>0；当x＜0时，f(x)＜0，故选B.答案：B5．在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，则ED→＝( )A.56AB →－43AC →B.43AB →－56AC → C.56AB →＋43AC → D.43AB →＋56AC → 解析：因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.答案：A6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝18，a 3＝9，则a 6＝( ) A ．12 B ．15 C ．18D ．21解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝18，a 3＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝18，a 3＝a 1＋2d ＝9，解得a 1＝d ＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝18，故选C.答案：C7．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥EF ，AD ＝4，BC ＝3，AB ＝BF ＝EF ＝2，∠ABF ＝120°.则异面直线AF 与CD 所成角的余弦值为( )A.155B.156C.158D.1515解析：过点A 作CD 的平行线交CB 的延长线于点G ，连接FG ，则∠FAG 就是异面直线AF 与CD 所成的角或其补角．因为AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝3，所以BG ＝1.又AD ⊥平面ABF ，AD ∥BG ，所以AB ⊥BG ，BG ⊥BF ，所以AG ＝AB 2＋BG 2＝5，FG ＝FB 2＋BG 2＝ 5.由AB ＝BF ＝2，∠ABF ＝120°， 可得AF ＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝23，故在△AFG 中，由余弦定理得cos ∠FAG ＝AG 2＋AF 2－FG 22AG ·AF ＝(5)2＋(23)2－(5)22×5×23＝155.答案：A8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ，则a 的值为( )A ．2 5B ．4C ．23D ．22解析：在△ABC 中，由A ＝2B ，a sin A ＝b sin B ，b ＝3，c ＝1，可得a2sin B cos B ＝3sin B，整理得a ＝6cos B ，∴由余弦定理得a ＝6×a 2＋1－92a，解得a ＝23，故选C.答案：C9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (－3)＜f (－log 313)＜f (20.6) B ．f (－3)＜f (20.6)＜f (－log 313)C ．f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)D ．f (20.6)＜f (－3)＜f (－log 313)解析：根据题意，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－3)＝f (3)，f (－log 313)＝f (log 313)，有20.6＜2＜log 313＜log 327＝3，又由f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)，故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12 C ．x ＝π18 D ．x ＝π24 解析：由图象过点A (0，3)，得2cos φ＝3，cos φ＝32，又|φ|＜π2，则φ＝±π6.因为图象是右平移，所以φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6.再由图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πω6－π6＝0，则πω6－π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，又ω＞0，则ω的最小值为4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6，当x ＝π24时，f (x )取得最大值2，所以x ＝π24是f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6图象的一条对称轴，故选D.答案：D11．设两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24的展开式中x 2的系数为( )A ．12B ．3 C.52 D.72 解析：∵两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，∴12·(－a )＝－1，求得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x－24＝(x －2)816x 4，要求其展开式中x 2项，则是分子(x －2)8中展开式中的x 6项，所以它的展开式中x 2的系数为C 28·216＝72，故选D.答案：D12．已知正三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E ，F ，G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点．若O 在三棱锥A －BCD 内，且三棱锥A －BCD 的体积是三棱锥O －BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( )A.938B.3π2C.15π4D ．4π解析：如图所示， 平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面．正三棱锥A －BCD 中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD ，HD ，依题意，得V A －BCD ＝3V O －BCD ，所以AH ＝3OH ，设球的半径为R ，在Rt △OHD 中，OD ＝R ，HD ＝3，OH ＝R2，由勾股定理得R 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 22，解得R ＝2.由于平面EFG ∥平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O到平面EFG 的距离为KO ，则KO ＝R 4＝12，设平面EFG 截球O 所得截面的半径为r ，在Rt △KON中，r 2＝KN 2＝ON 2－KO 2＝R 2－14＝154，所以截面圆的面积为πr 2＝154π，故选C. 答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，则cos2α1－sin2α＝________.解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，所以tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－131＋13＝12，所以cos2α1－sin2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α－sin α)2＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝1＋121－12＝3. 答案：314．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x )5的展开式中，x 2项的系数为________(用数字作答)．解析：二项式(1＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r (r ＝0,1,2,3,4,5)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x 5)的展开式中x 2项为1×C 25x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ×C 35x 3＝10x 2－10x 2＝0.答案：015．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝________.解析：由题意可知S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理得S n ＋1－2＝12(S n －2)，由于S 1－2＝－1，故S 5－2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝－116，∴S 5＝3116.答案：311616．已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，A ，B ，C 为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA ＝AB ，M 为SA 的中点．设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为________．解析：以AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA ＝AB ＝4，则M(0，－1，3)，C(x，y,0)，如图所示，由对称性不妨设x＞0，y＜0且x2＋y2＝4，则MC→＝(x，y＋1，－3)，易知平面SAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，所以sinα＝MC→·m|MC→|×|m|＝xx2＋(y＋1)2＋3＝12×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－(y＋4)－12y＋4＋8≤4－23＝3－1，当且仅当y＝23－4时等号成立．综上，sinα的最大值为3－1.答案：3－1。
2020年高考理科数学选择、填空48个小考点满分冲刺
2020年高考理科数学选择、填空48个小考点满分冲刺考点1 集合的运算1．（2019内江三模）设全集U＝{x|1＜x＜3}，集合A＝{x|1＜x＜2}，则∁U A＝（ D ）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|2≤＜x＜3}2．（2019桂林一模）已知集合A＝（0，2），B＝{y|y＝e x+1，x∈R}，则A∩B＝（ D ）A．（0，2）B．（1，+∞） C．（0，1） D．（1，2）3．（2019南宁一模）设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}，则∁U（A∪B）＝（ C ）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x≤0或x≥1} C．{x|x≤﹣3} D．{x|x＞﹣3}4．（2019黔东南州模拟）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|x2+y2＝1}，则A∩B中元素的个数是（ B ）A．3 B．2 C．1 D．05．（2019昆明模拟）己知集合A＝{（x，y）|y＝﹣x}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A⋂B中元素的个数为（ B ）A．0 B．1 C．2 D．36．（2019成都七中模拟）设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg（x2﹣1）}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）＝（ B ）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x＜1}考点2 复数的运算1．（2019柳州一模）设i为虚数单位，则复数z＝的虚部为（ D ）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．（2019梧州一模）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则＝（ A ）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（2019南宁一模）已知复数z1，z满足z1＝﹣1﹣i，z1z＝4，则复数在复平面内对应点的坐标为（ D ）A．（2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2）4．（2019黔东南州模拟）已知复数z在复平面内对应的点为（1，1），（i为虚数单位），则＝（ D ）A．B．C．2 D．15．（2019曲靖二模）复数z满足（2+i）z＝|3+4i|（i为虚数单位）则对应的点所在象限为（ A ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2019广西八市联考）若复数z满足（1+z）（1+i）＝1+2i，i是虚数单位，则|z|＝（ A ）A．B．C．D．7．（2019江门一模）i是虚数单位，＝（ B ）A．i B．﹣i C．1 D．﹣18．（2019宜宾模拟）欧拉公式：e ix＝cosx+isinx（i为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，＝（ B ）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i解：由e ix＝cosx+isinx，得＝．考点3 统计图1．（2019汕头模拟）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（ C ）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙2．（2019桂林模拟）某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（ D ）A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势3．（2019内江市、眉山市等六市二模）国家统计局统计了我国近10年（2009年2018年）的GDP（GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是（ B ）A．这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上B．从2010年开始GDP的增速逐年下滑C．这10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长D．2013年﹣2018年GDP的增速相对于2009年﹣2012年，波动性较小4．（2019贵州模拟）2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况．为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（ C ）A．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高解：由等高条形图，得：在A中，由左图知，本本中男性数量多于女性质数量，从而男性比女性更关注地铁一号线全线贯通，故A正确；在B中，由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，故B正确；在C中，由右图知35岁以的男性人数比35岁以上的女性人数少，故C错误；在D中，由右图知样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，故D正确．5．（2019昆明模拟）如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ C ）A．电视机销量最大的是第4季度 B．电冰箱销量最小的是第4季度C．电视机的全年销量最大 D．电冰箱的全年销量最大解：由某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，知：在A中，电视机销量所占面百分比最大的是第4季度，故A错误；在B中，电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度，故B错误；在C中，电视机的全年销量最大，故C正确；在D中，电视机的全年销量最大，故D错误．6．（2019曲靖二模）图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ B ）A．6 B．10 C．7 D．16考点4 简单的随机抽样1.（2019北京西城区模拟）一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号．为了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（ D ）A．分层抽样法B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法2．（2019成都模拟）某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为180 .3．（2019成都树德中学模拟）某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为47，则抽到的最小学号为 5 ．4．（2019湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中模拟）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三乡中共抽出500人服役，则西乡比南乡多抽出的人数为（ C ）A．20 B．60 C．80 D．2005．（2019唐山三模）为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000，001，0020，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读（为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行），即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ D ）16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 7884 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 6763 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75A．548 B．443 C．379 D．2176．（2019深圳二模）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为（ C ）A．1 B．2 C．3 D．4考点5 概率的计算1．（2019宜宾模拟）如图，在边长为a的正方形内随机地撒一把豆子，落在正方形内的豆子粒数为m，落在阴影内的豆子粒数为n，据此估计阴影的面积为（ A ）A．B．C．D．2．（2019凉山州模拟）从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数m，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数n，则使得m+n＝6的概率为（ A ）A．B．C．D．3．（2019贵阳、安顺二模）如图，在边长为a的正方形内随机投掷1000个点，若曲线C的方程为x2+y2＝a2，（x ≥0，y≥0，a＞0），则落入阴影部分的点的个数估计值为（ D ）A．600 B．667 C．750 D．7854．（2019峨眉山市模拟）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（ C ）A．B．C．D．5．（2019攀枝花模拟）部分省份在即将实施的新高考中将实行3+1+2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，如果他们都对后面四科的选择没有偏好，则他们所考六科中恰有五科相同的概率为（ A ）A．B．C．D．解：新高考中将实行3+1+2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，他们都对后面四科的选择没有偏好，基本事件总数n＝＝36，他们所考六科中恰有五科相同包含的基本事件个数m＝＝24，∴他们所考六科中恰有五科相同的概率为p ＝＝．6．（2019汕头模拟）一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A．1﹣B．C．D．解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：其中正三角形ABC 的面积S 三角形＝×16＝4，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S 阴影＝2π， 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是：P ＝1﹣＝1﹣π．7．（2019云南二模）若A 、B 、C 、D 、E 五位同学随机站成一排照相，则A 站正中间且B 与C 相邻的概率为（ B ） A ．B ．C ．D ．解：A 、B 、C 、D 、E 五位同学随机站成一排照相，基本事件总数n ＝A ＝120，A 站正中间且B 与C 相邻包含的基本事件个数m ＝＝8，∴A 站正中间且B 与C 相邻的概率为p ＝＝．8．（2019曲靖一模）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ C ） A ．B ．C ．D ．解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x ，y ．则所有事件集可表示为0≤x ≤5，0≤y ≤5． 由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x ﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x ﹣y ＝2和y ﹣x ＝2在0≤x ≤5，0≤y ≤5的正方形中围起来的图形 即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52＝25，阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2＝16， 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．考点6 线性回归方程1．（2019四川名校联考）已知变量x 与y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数，，线性回归方程a xb yˆˆˆ+=中的系数b ，a 满足b ﹣a ＝2，则线性回归方程为（ D ） A ．B ．C ．D ．2．（2019江西重点中学联考）如表是某个体商户月份x 与营业利润y （万元）的统计数据：由散点图可得回归方程y ＝﹣0.7x+a ，据此模型预测，该商户在5月份的营业利润为（ B ） A ．1.5万元B ．1.75万元C ．2万元D ．2.25万元3．（2019广州名校冲刺）已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程a x b yˆˆˆ+=，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ B ）万元A ．60B ．63C ．65D ．694．（2019甘肃模拟）根据如下样本数据：得到的回归方程为a x b yˆˆˆ+=．样本点的中心为（3，0.1），当x 增加1个单位，则y 近似（ A ） A ．增加0.8个单位 B ．减少0.8个单位 C ．增加2.3个单位D ．减少2.3个单位5．（2019湖北七市联考）为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：（x 1，y 1）（（x 2，y 2）（x 3，y 3），（x 4，y 4）（x 5，y 5）根据收集到的数据可知x 1+x 2+x 3+x 4+x 5＝100，由最小二乘法求得回归直线方程为y ＝0.67x+54.8，则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为（ B ） A ．68.2B ．341C ．355D ．366.26．（2019峨眉山市模拟）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中m 值为（ D ）A ．4B ．3.15C ．4.5D ．3考点7 简单空间图形的三视图1.（2018桂林、百色、梧州等联考）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1中点，用平面AEC 1截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正（主）视图为（ B ）A． B． C． D．2.（2019山东模拟）如图正方体AC1，点M为线段BB1的中点，现用一个过点M，C，D的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（ B ）A．B． C． D．3.（2019长沙模拟）如图，在正方体AC1中，E，F，G，H分别是AA1，BB1，CD，C1D1的中点，则四面体EFGH在平面CC1D1D上的正投影是（ C ）A．B． C． D．4．（2019四川百校冲刺）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，1），（1，0，1），则该四面体在yOz平面内的投影为（ D ）A． B． C． D．解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是O（0，0，0），A（1，2，0），B（0，2，1），C（1，0，1），则建立空间直角坐标系：如图所示：所以该四面体在平面yoz平面内的射影为矩形，其中AC的射影为虚线，OB为实线．5.（2018资阳模拟）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各面上的投影不可能是（ B ）A．三角形B．正方形 C．四边形 D．等腰三角形解：光线由上向下照射可以得到的投影如下：，光线有面ABB1A1照射，可以得到的投影如下：，光线由侧面照射可以得到的投影如下：．6.（2019成都七中一模）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（ B ）A． B． C． D．考点8 简单逻辑用语1．（2019桂林一模）“方程x2+y2﹣4y+k＝0表示一个圆”是“0＜k＜4”的（ B ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2019湖北省龙泉中学、随州一中、天门中学模拟）命题“若a2+b2＝0则a＝0且b＝0”的否定是（ B ）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2+b2＝0，则ab≠0C．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0 D．若a2+b2＝0，则a2+b2≠03．（2019昆明模拟）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（ A ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2019贵州模拟）设θ∈R，则“0＜θ＜”是“sinθ+cos2θ＞1”的（ A ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（2019凉山州模拟）命题p：是的充分不必要条件；命题q：x＞1是的充要条件，则以下为真命题的是（ B ）A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q 6．（2019梧州一模）下列四个结论中正确命题的个数是（ C ）①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；②命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件；④当a＞0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递增．A．1个B．2个C．3个D．4个考点9 平面向量1．（2019云南一模）设向量＝（x﹣1，x），＝（﹣1，2），若，则x＝（ C ）A．B．﹣1 C．D．2．（2019广西八市联考）已知向量＝（1，5），＝（2，﹣1），＝（m，3），若⊥（），则m＝ 3 ．3．（2019桂林一模）已知平面向量的模都为2，且＜，＞＝90°，若＝λ（λ≠0），则＝（ A ）A．4 B．C．2 D．04．（2019桂林模拟）已知||＝4，||＝1，＝2，则向量2﹣在方向上的投影为 3 ．5．（2019贵州模拟）在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则•（）＝（ D ）A．8 B．12 C．16 D．206．（2019曲靖二模）已知平面向量与满足：＝（，﹣1），|＝3，＝2，则向量与的夹角θ＝（ C ）A．B．C．D．7．（2019曲靖一模）已知不共线向量、，＝t﹣（t∈R），＝2+3，若A、B、C三点共线，则实数t等于．8．（2019渭南模拟）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（ C ）A．B．C．D．解：由题意及图，＝，又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），又＝t+，所以，解得m＝，t ＝．考点10 函数的值与分段函数1．（2019呼和浩特二模）函数f（cosx）＝cos2x，那么f（）的值为（ C ）A．B． C． D．2．（2019贵阳、安顺二模）已知f（x）＝e ax﹣e﹣ax+2（a∈R），若f（3）＝1，则f（﹣3）＝（ D ）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．（2019绵阳模拟）函数f（x）＝，则f（9）＝ 1 ．4．（2019桂林一模）已知函数，若f（a）＝2，则实数a＝（ D ）A．﹣1 B．4 C．或1 D．﹣1或45．（2019成都双流中学一模）已知函数f（x）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝﹣4 ．6．（2019曲靖二模）已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则x1x2+x3+x4＝13 ．解：如图所示，由图象可知，﹣log2x1＝log2x2，即log2（x1x2）＝0，所以x1x2＝1，由对称性可知，x3+x4＝2×6＝12，所以x1x2+x3+x4＝13．考点11 简单线性规划1．（2019保山一模）已知x，y满足不等式组，则x﹣2y的最大值为﹣12．（2019雅安模拟）已知实数x，y满足，则的最大值为（ D ）A．B．C．D．13．（2019广西八市联考）已知x，y满足条件，若z＝x+2y的最小值为0，则m＝（ B ）A．1 B．2 C．3 D．44．（2019绵阳模拟）已知变量x，y满足，则x2+y2的最大值为（ A ）A．10 B．5 C．4 D．25．（2019昆明模拟）若x，y满足约束条件且z＝x+2y，则（ C ）A．z有最小值也有最大值B．z无最小值也无最大值C．z有最小值无最大值D．z有最大值无最小值6．（2019曲靖二模）若点M（x，y）（其中x，y∈Z）为平面区域内的一个动点，已知点A（3，4），O为坐标原点，则的最小值为13 ．考点12 推理与证明1．（2018柳州一模）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ C ）A．壬子年B．辛子年C．辛丑年D．庚丑年2．（2019成都树德中学模拟）今年春节期间，甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（ A ）A．甲B．乙C．丙D．丁3．（2019汕头模拟）甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为A，B，C三个层次），得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得B或C；乙说：我肯定得A；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是甲．4．（2018百色模拟）甲、乙、丙、丁四支足球队举行足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、三负、一胜两负，则丁队的比赛成绩是（ D ）A．两胜一负B．一胜两负C．三负D．三胜解：由题意可得，甲、乙、丙、丁四支足球队举行足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，则共需进行＝6场，∵每场都会产生胜方和负方，∴比赛共产生6胜6负，∵甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，已有3胜6负，∴丁队的比赛成绩是全胜，即3胜．5．（2019昆明模拟）数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（ B ）A．S2019＝F2021+2 B．S2019＝F2021﹣1C．S2019＝F2020+2 D．S2019＝F2020﹣1解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：F n+2＝F n+F n+1＝F n+F n﹣1+F n＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣1＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣3+F n﹣2＝…＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣3+…+F2+F1+1，∴S2019＝F2021﹣1．6．（2018东北三省四市联考）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ C ）A．B．C．D．考点13 直线方程1．（2019浙江西湖区模拟）若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则实数a＝（ B ）A．1 B．﹣2 C．﹣D．﹣2．（2018曲靖一模）已知直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：（a+1）x﹣ay+4＝0垂直，则a为（ D ）A．1 B．0 C．﹣1 D．0或13．（2019重庆一中模拟）已知直线l1：mx+（m﹣3）y+1＝0，直线l2：（m+1）x+my﹣1＝0为，若l1⊥l2则m＝（ A ）A．m＝0或m＝1 B．m＝1 C．m＝﹣D．m＝0或m＝﹣4．（2019宝鸡二模）若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（ A ）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．5．（2019珠海二模）若直线y＝2x与直线（a2﹣a）x﹣y+a+1＝0平行，则a＝（ B ）A．a＝﹣1 B．a＝2 C．a＝﹣1或2 D．a＝1或﹣26．（2018兰州模拟）已知直线3x+4y+3＝0与直线6x+my﹣14＝0平行，则它们之间的距离是（ A ）A．2 B．8 C．D．考点14 由三视图求面积、体积1．（2019柳州一模）如图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体的体积为 1 ．2．（2019贵阳一模）某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则此几何体的体积为（ B ）A．6 B．9 C．12 D．183．（2019汕头模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ B ）A．B．C．D．2解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝AB＝1，CD＝2．由图求得PD＝，BC＝，PB＝，PC＝．∴则该几何体的最大边长为．4．（2019曲靖二模）我国南北朝时期数学家、天文学家﹣祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思个是两等高几何体，若在每一等高处的两截面面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足祖暅原理，则该不规则几何体的体积为（ D ）A．B．C．8﹣2πD．8﹣5．（2019广西八市联考）已知一个四棱锥的三视图如图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（ B ）A．4B．6 C．4D．4解：由三视图可得该四棱锥为P﹣ABCD，由题中数据可得AB＝BC＝2，CD＝＝，AD＝＝，BP＝＝4，CP＝＝2，DP＝＝，AP＝＝6，即最长的棱为AP，长度为6．6．（2019梧州一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ C ）A．B．C．13 D．解：由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示，则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝，A′B′＝2．∴棱台的上底面积为＝，下底面积为＝2，梯形ACC′A′的面积为（1+2）×2＝3，梯形BCC′B′的面积为＝3，过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD＝CC′＝2，DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE＝，∴AE＝＝．∴梯形ABB′A′的面积为（）×＝．∴几何体的表面积S＝＝13．考点15 球的有关问题1．（2019曲靖一模）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ B ）A．8πcm2B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm22．（2019贵阳、安顺二模）某几何体的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ B ）A．4πB．6πC．8πD．10π3．（2019云南二模）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝2，BC＝2，若球O的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是（ A ）A．16 B．15 C．8D．4．（2019南宁一模）已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ B ）A．4 B．6 C．8 D．10解：如下图所示，设两圆的圆心为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，中点为E，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO1EO2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，，，又|OE|2+|AE|2＝|OA|2，即32﹣2r2+2＝16，则r2＝9，r＝3，所以，这两个圆的半径之和为6．5．（2019梧州一模）设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则三个三角形的面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是（ B ）A．4 B．8 C．12 D．16解：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，因为AB，AC，AD两两互相垂直所以a2+b2+c2＝4×22S△ABC+S△ACD+S△ADB＝（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）＝8．即最大值8．6．（2019桂林模拟）在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC，DB＝DC，AB+DB＝4，AB⊥BD，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积的最小值为．解：∵AB＝AC，DB＝DC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°，设AD的中点为O，则OA＝OB＝OD＝OC，∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心．∵AB+BD＝4，∴AD2＝AB2+（4﹣AB）2＝2AB2﹣8AB+16＝2（AB﹣2）2+8，∴当AB＝2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，∴棱锥外接球的最小半径为AD＝，∴外接球的最小体积为V＝＝．考点16 直线、平面之间的位置关系1．（2019贵州模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n③若m∥α，n⊂α，则m∥n④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n其中正确命题的序号是（ D ）A．①④B．①②C．②③④D．④2．（2019南宁一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（ A ）A．B．C．D．3．（2019广西八市联考）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝3，AB＝3，AA1＝4，则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为．4．（2019黔东南州一模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC的外接球的表面积为6π，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为（ A ）A．B．C．D．解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），四面体OABC的外接球的表面积为6π，∴OA，OB，OC两两垂直，∴＝6π，解得m2＝2，∴＝（2，0，﹣1），cos＜，＞＝＝．∴异面直线OD与AB所成角的余弦值为．5．（2019曲靖二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（）A．B．C．D．解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，∴平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴PE＝EM＝MN＝NG＝GQ＝PQ＝，PN＝，∴E到PN的距离d＝＝，∴动点F的轨迹所形成的区域面积：S＝2S梯形PNME＝2×＝．6．（2019桂林一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，AB⊥AC，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面B1EC的距离等于（ C ）A．B．C．D．1解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，AB⊥AC，∴以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵点E为棱AA1的中点，∴C1（0，1，1），B1（1，0，1），E（0，0，），C（0，1，0），＝（0，1，），＝（1，0，），＝（0，1，﹣），设平面B1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣2），∴点C1到平面B1EC的距离为：d＝＝＝．考点17 同角三角函数间的基本关系与诱导公式1．（2019云南二模）已知P（3，4）是角α的终边上的点，则cos（π+α）＝（ B ）A．﹣B．﹣C．D．2．（2019昆明模拟）若tanα＝3，则sin2α＝（ A ）A．B．﹣C．﹣D．3．（2019四川模拟）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（ C ）A．B．C．﹣D．﹣4．（2019南宁一模）已知α∈（﹣），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（ A ）A．B．C．D．5．（2020广州天河区一模）已知cos（θ+）＝，＜θ＜，则sin2θ的值等于（ C ）A．B．C．D．6．（2019东北三省四校四模）已知，则＝（ B ）A．B．C．D．解：∵已知，则＝﹣sin（﹣α）＝﹣sin[π﹣（α+）]＝﹣sin（α+）＝﹣．考点18 两角和与差的三角函数1．（2019柳州一模）定义：＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2，则＝（ C ）A．0 B． C． D．12．（2019宜宾模拟）已知，α∈（﹣π，0），则＝（ C ）A．B．7 C．D．﹣73．（2019齐齐哈尔三模）已知角α的顶点为坐标原点始边为x轴正半轴，终边过点（﹣1，2）则sin（α+）（ A ）A．B．C．D．4．（2019黔东南州一模）已知sinα+3cosα＝﹣，则tan（α+）＝（ B ）A．﹣2 B．2 C．﹣D．解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，则（3tanα﹣1）2＝0，即．则tan（α+）＝．5．（2019三明模拟）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（3，4）．若角β满足tan（α+β）＝2，则tanβ＝（ B ）A．﹣2 B．C．D．解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（3，4），∴tanα＝，若角β满足tan（α+β）＝2，则tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝＝．6．（2019云南名校联考）＝ 1 ．解：．考点19 二倍角公式1．（2019桂林、崇左二模）已知sin（）＝2cos（），则sin2θ＝（ C ）A．B．C．D．解：由sin（）＝2cos（），得tan（）＝2，即，∴，则tan．∴sin2θ＝．2．（2019桂林一模）已知sin2，且0＜α＜，则sin（﹣α）＝（ D ）A．﹣B．C．D．﹣解：∵0＜α＜，由sin2＝cos（﹣2α）＝1﹣2，∴sin（﹣α）＝，则sin（﹣α）＝﹣sin（﹣α）＝﹣3．（2019云南一模）已知α，β都为锐角，若tanβ＝，cos（α+β）＝0，则cos2α的值是（ B ）A．B．C．D．4．（2019曲靖一模）已知，则sin2x的值为（ D ）A．B．C．D．5．（2019曲靖二模）已知α∈（，π），且sinα+cosα＝﹣，则cos2α＝（ A ）A．B．C．D．解：∵α∈（，π），且sinα+cosα＝﹣，∴1+2sinαcosα＝，2sinαcosα＝﹣＜0，∴sinα＞0，cosα＜0．cosα﹣sinα＜0．…（6分）又∵（cosα﹣sinα）2＝1﹣2sinαcosα＝，从而有：cosα﹣sinα＝﹣，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（﹣）×（﹣）＝．6．（2019深圳高中模拟）若，α是第三象限的角，则＝（ A ）A．B．C．2 D．﹣2解：由，α是第三象限的角，∴可得，则．考点20 三角函数的图象与性质1．（2019曲靖一模）函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ D ）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称2．（2019宜宾模拟）已知函数，则下列关于它的说法正确的是（ B ）A．图象关于y轴对称 B．图象的一个对称中心是C．周期是 D．在上是增函数．3．（2019桂林一模）已知函数f（x）＝cos2ωx（ω＞0）在（0，）内存在两条互相平行的切线，则ω的取值范围（1，+∞）解：函数f（x）＝cos2ωx（ω＞0）在（0，）内存在两条互相平行的切线，故区间（0，）的长度大于个周期，即＞，∴ω＞1．4．（2019柳州一模）关于函数y＝2sin（2x+）+1，有下列叙述：（1）其图象关于直线x＝对称；。
2020高考理科数学押题密卷解析版 (12)
钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内求小球落到第
7 个格子（从左开始）的概率是（）
A． 9 128
B． 15 128
C． 21 128
5．下列命题中，正确命题的个数是()
D． 105 512
①若 ， ，则
的充要条件是
；
②若 ， 且 ，则
；
③若
，则
．
A． B．
C． D．
ab
ab
②. a b | a b | a | a b | b 恒成立；题中的结论正确；
③.当 a 2,b 1 时， a2 +b2 5 ， 4ab 3b2 5 ，不满足 a2 +b2 4ab 3b2 ，题中的结论错误；
9
④. ab 2 2 ab 2 2 2 2 恒成立.题中的结论正确；
2
190
个奇数，
所以 a20 从左到右第一个数是第191个奇数，第 n 个奇数为 2n 1， 所以第191个奇数为 2 191 1 381 ．
故选：
C.
【点睛】
7
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档
题．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
落入第 7 个格子需要 3 次左 6 次右，计算概率得到答案.
21．设已知函数
，
（1）当
时，求函数 的最大值的表达式
（2）是否存在实数 ，使得
有且仅有 3 个不等实根，且它们成等差数列，若存在，
求出所有 的值，若不存在，说明理由．
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第
2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷) 数学(理)含答案
2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)数学(理科)注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|2x>6}，B＝{x|2x<32}，则A∩B＝A.(3，4)B.(4，5)C.(3，＋∞)D.(3，5)2.复数2iii--(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“2a>8”是“a2>9”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x等于A.4B.5C.6D.75.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－2π<φ<2π)的图象关于点(3π，0)对称，则f(6π)的值是 A.－12 B.32 C.－32 D.126.已知a ＝10，a ·b ＝510，且(b －a)·(b ＋a)＝15，则向量a 在b 方向上的投影为 A.12B.2C.5D.10 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2B.3C.4D.58.从0，1，2，3，4，5这6个数字中，任取3个组成一个无重复数字的三位数，则这样的三位数中偶数个数与奇数个数的比值为A.1B.32C.1312D.27239.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝l ，c 3，且2sin(B ＋C)cosC ＝1－2cosAsinC ，则△ABC 的面积是A.3B.12C.3或3D.14或1210.设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点，若MF 2＝F 1F 2，且2MF 1＝NF 1，则双曲线C 的离心率是A.53B.32C.2D.5411.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O 的球面上，且球O 的表面积为20π，则该正方体的棱长为A.5B.25C.26D.612.设函数f(x)的定义域为R ，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e －3x 的解集是 A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四 个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =--≤，4|01x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，那么集合A ∩（C U B ）=（ ）A ．{}|24x x -≤<B ．{}|13x x -<≤C ．{}|21x x -≤≤-D ．{}|13x x -≤≤ 3.已知向量(2,1),(,1)a b m ==-，且()a a b ⊥-，则m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．44.下列判断正确的是（ ） A.“若sin cos ,x x =则4x π=”的逆否命题为真命题B .∀ x >0，总有1sin x e x >+C .二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是a < 2D .已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1 5.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-,则67a a +=（ ） A .4- B .4 C . 1- D . 86.已知锐角的终边与单位圆交于点P 01(,)3x ，则sin2=（ ）A .229 B .429- C . 429D . 497.若,x y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，且 2z x y =+的最小值为1，则实数m 的值为（ ）A .5- B.1- C.1 D .5 8.函数()sin cos f x x x x =+在[,]-ππ上的大致图象是（ ）9.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵43时，堑堵的外接球的体积的最小值为（ ） A.43π B.823π C .323π D.23C 110.设曲线()2x f x e x =+(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为，总存在曲线()sin g x ax x =-+上某点处的切线，使得，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2]-B ．(1,2)-C ．1(,1)2-D ．1[,1]2-11.设双曲线22221x y a b-=F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N .若以MN 为直径的圆经过点F 2,且，则双曲线的离心率为（ ）6 B 5 3 2 12.函数()3cos cos(2)3f x x x x π=+-+在区间[]0,π上的值域是（ ）A .[1,1]- B. 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[1,3]-D.[]2,1- .二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）2(32)-()14210.25(3lg 1002-⨯-=———.14.323(sin cos 9)x x x dx -+-=⎰______.15.若A 、B 、C 、D 四人站成一排照相，A 、B 相邻的排法总数为k ，则二项式(1)kxk-的展开式中含2x 项的系数为 ．16.对于函数()f x 和()g x ，设{}{}|()0|()0x f x x g x αβ∈=∈=，，若对所有的αβ，都有-1αβ≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()2x f x ex -=+-与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。
2020高考理科数学考前最后一卷解析版 (15)
外作三个半圆，这三个半圆和 ABC 构成平面区域 D，则平面区域 D 的“直径”是______.
18．设地球半径为 R，在北纬 45 纬线圈上有 A，B 两地，它们在纬线圈上的弧长等于 2 R ，求 A，B 两地间的球面距离. 4
19．已知数列an 的各项均为正数，前 n 项和 Sn 满足 2 Sn an 1 n N * ；数列bn 是等比
复平面的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 是 BC 的中点，则异面直线 D1B 与 B1M 所成 角的余弦值为（）
A． 15 15
B． 15 15
C． 15 3
2
D． 15 3
7．定义
,若实数 满足
,则
的最小值为（）
a2 n1
(a n2
an )an1
an2an1
an1an ,属于中档题.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
顶点 的运动轨迹，分三部分：前一部分的图象为四分之一圆周，后一部分的图象为四分之一
圆周，且半径都是 1,中间部分的轨迹为以 为半径的四分之一圆周，分别求出与 轴围成的
面积，求和后利用几何概型概率公式求解即可.
数列，前 n 项和为 Tn .
（1）求数列an 的通项公式； （2）已知等比数列bn 满足 bn 0 ， b4 a2 ， b3 b4 ln b3 4 ，求数列bn 前 n 项和为 Tn ；
（3）若 a1 b1 ，且等比数列bn 的公比 t 2 ，若存在 m, n m, n N *, m n ，使得
6
圆 C2 关于直线 x y 0 对称的曲线 C2 : x 32 y 12 1
2020高考理科数学考前最后一卷解析版 (14)
5 23．22．选修 4－1：几何证明选讲
如图：四边形 是边长为 的正方形，以 为圆心， 为半径的圆弧与以 为直径的圆 交 于点 ，连接 并延长 交于 点 （1）求证： 是 的中点 （2）求线段 的长 【参考答案】 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。）
12
4
故选： D
【点睛】
本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形
和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求
解.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
x
x
1 x3 (1 2x)
1 1 x3
1 (1 2x)
,分别根据
1 1 2x 4x2 1 2x
5 ，求 CQ 的值．
5
CP
19．在数列 an
中，已知
a1
1 3
,
an1
1 3
an
2 3n1
,
n
N*
，设
Sn
为 an
的前
n
项和．
(1)求证：数列 3n an 是等差数列；
(2)求 Sn ； (3)是否存在正整数 p, q, r( p q r) ，使 S p , Sq , Sr 成等差数列？若存在，求出 p, q, r 的值；若 不存在，说明理由．
2020冲刺高考数学热点难点重点填空题题型全攻略(20页)
2020冲刺高考数学热点难点重点填空题题型全攻略题型2填空题题型全攻略填空题小巧灵活、结构简单、运算量不大.根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型:(1)定量型:要求考生填写数值、数集或数量关系,如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等;(2)定性型:要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质,如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.由于填空题的解答不需要写出具体的推理、计算过程,只要求结果,故对正确性的要求比解答题更高、更严格.因此,解填空题要在“快、准”上下功夫,若要想“快”解答填空题,则千万不可“小题大做”,而要达到“准”,则必须合理灵活地运用恰当的方法,在“巧”字上下功夫.填空题与选择题有质的区别:第一,填空题没有备选项,因此,解答时有不受诱误干扰之好处,但也有缺乏提示之不足;第二,填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中,抽出其中的一些内容(既可以是条件,也可以是结论),留下空位,让考生独立填上,考查方法比较灵活.根据填空题的特点,其解题基本原则是“小题不能大做”,基本策略是“巧做”.解填空题的常用方法有直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等.方法1 ▶ 直接法直接法就是直接从题设出发,利用有关概念、性质、定理、法则和公式等,通过巧妙的变形、严密的推理和准确的运算,直接得到结果的方法.直接法是求解填空题的基本方法,也是常用方法.【例1】 (1)(2019年全国Ⅰ卷,理T13)曲线y=3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为 .(2)(2019年全国Ⅱ卷,理T15)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b=6,a=2c ,B=π3,则△ABC 的面积为 .(3)(2019年全国Ⅲ卷,理T13)已知a ,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b ,则cos <a ,c>= .解析▶ (1)令f (x )=3(x 2+x e)x ,所以f'(x )=3(2x+1e)x +3(x 2+x e)x =e3x (x 2+3x+1),所以f'(0)=3,所以所求切线方程为y-0=3(x-0),即y=3x.(2)由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b22ac,即cos π3=(2c)2+c 2-362×2c×c.由c>0,得c=2√3.由面积公式S △ABC =12ac sin B=12×2×(2√3)2sin π3=6√3. 所以△ABC 的面积为6√3.(3)因为a ·c=a ·(2a-√5b )=2a 2=2,c 2=(2a-√5b )2=4a 2+5b 2=9,所以cos <a ,c>=a ·c |a||c|=21×3=23. 答案▶ (1)y=3x (2)6√3 (3)23直接法是解决计算型填空题最常用的方法,涉及概念、性质的辨析.利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理,多角度思考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键.方法2 ▶ 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数,特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.【例2】 (1)一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为 .(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC= .(3)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M ,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 解析▶ (1)令n=1,则a 1=48,a 1+a 2=60,所以a 2=60-48=12, 所以S 3=3a 2=36.(2)令a=b=c ,则A=C=60°,cos A=cos C=12,从而cosA+cosC 1+cosAcosC =45.(3)若四边形ABCD 为矩形,建立平面直角坐标系,如图所示.由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知M (6,3),N (4,4),所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6×2+3×(-1)=9. 答案▶ (1)36 (2)45(3)9含有字母且具有定性定值的填空题,求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法,但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题,对于开放性的问题或者有多种答案的填空题,则不能使用该种方法求解.方法3 ▶ 数形结合法(图解法)对于含有几何背景的填空题,若能根据题设中的条件,作出符合题意的图形,“数中思形”、“以形助数”,往往可以借助图形的直观性,迅速做出正确的判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.此法称为数形结合(或图解)法.【例3】 (1)(2019年浙江卷,T12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m ),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A (-2,-1),则m= ,r= .(2)若不等式√4−x 2-kx+1≤0的解集非空,则实数k 的取值范围为 .(3)(2019年全国Ⅰ卷,理T16)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 .解析▶ (1)根据题意画出图形,由圆心与切点的连线垂直切线得m+12=-12, 解得m=-2.∴C 的坐标为(0,-2),r=√(-2-0)2+(−1+2)2=√5.(2)由√4−x 2-kx+1≤0,得√4−x 2≤kx-1, 设f (x )=√4−x 2,g (x )=kx-1,其中-2≤x ≤2.如图,作出函数f (x ),g (x )的图象,不等式的解集非空,即直线l 和半圆有公共点.由图可知k AC =0−(−1)-2-0=-12,k BC =0−(−1)2−0=12.∴实数k 的取值范围为(-∞,-12]∪[12,+∞).(3)如图,∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⊥F 1B ,则F 1B :y=ab (x+c ),联立{y =ab (x +c),y =b ax,解得B (a 2cb 2-a2,abc b 2-a 2),则|F 1B|2=(a 2cb 2-a 2+c)2+(abc b 2-a 2)2,|F 2B|2=(a 2cb 2-a2-c)2+(abc b 2-a2)2, ∴(a 2cb 2-a2+c)2+(a 2c b 2-a2-c)2+2(abc b 2-a2)2=4c 2,整理得b 2=3a 2,∴c 2-a 2=3a 2, 即4a 2=c2,∴c 2a 2=4,e=ca =2.答案▶ (1)-2 √5 (2)(-∞,-12]∪[12,+∞) (3)2平面几何图形、Venn 图、函数的图象等,都是常用的图形.利用函数图象或某些数学知识的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来,借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等,利用图象的直观性,再辅以简单计算,可以有效地得出答案.方法4 ▶ 构造法构造法是依据问题给出的条件和结论给出的信息,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型解题.【例4】 (1)(山东省烟台市2019届高三诊断性测试)若定义域为R 的函数f (x )满足f'(x )>f (x ),则不等式e f (ln x )-xf (1)<0的解集为 .(结果用区间表示).(2)(2019芜湖模拟)已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2√3,D 为BB 1的中点,平面ADC 1与平面ABC 所成的锐二面角的正切值是12,则四棱锥A-BCC 1B 1外接球的表面积为 .解析▶ (1)令g (x )=f(x)e x,则g'(x )=f'(x)-f(x)e x,∵f'(x )>f (x ),∴g'(x )>0,∴函数g (x )在(-∞,+∞)上单调递增.由e f (ln x )<xf (1),得f(lnx)e lnx<f(1)e 1,即g (ln x )<g (1),∴ln x<1.∴不等式的解集是(0,e).(2)如图,延长C 1D 与CB 交于点M ,连接AM.∵BB 1 CC 1,D 为BB 1的中点,∴D 也是C 1M 的中点,又取AC 1的中点E ,连接DE ,∴AM ∥DE. ∵DE ⊥平面ACC 1A 1,∴AM ⊥平面ACC 1A 1,∴∠C 1AC 为平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的平面角,∴tan ∠C 1AC=12.∴CC 1AC =12.又AC=2√3,则CC 1=√3,又四棱锥A-BCC 1B 1的外接球为正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的外接球,其球心在底面ABC 中心正上方的√32处.又底面外接圆的半径r=23×2√3sin π3=2,∴R 2=r 2+(√32)2=194,∴四棱锥A-BCC 1B 1外接球的表面积为4πR 2=19π.答案▶ (1)(0,e) (2)19π运用构造法解答填空题,需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,此方法需要从一般的方法原理中进行概括,联想,类比,从而构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型.1.(河南省八市2019届测评)已知向量a=(1,1),b=(-2,m ),若(2a-b )∥b ,则实数m= .解析▶ 由题意得2a-b=(4,2-m ),∵(2a-b )∥b ,∴4m=-2(2-m ),解得m=-2. 答案▶ -22.(陕西省汉中市2019届全真模拟)已知P (m ,2)为α角终边上一点,且tan (α+π4)=3,则cosα= .解析▶ 由tan (α+π4)=3可得tanα+tan π41−tanα·tan π4=3,解得tan α=12.由三角函数定义可得tan α=2m =12,解得m=4,所以cos α=√m 2+2=√20=2√55. 答案▶2√553.(湖南2019届模拟(三))已知函数f (x )=√x -ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线过点(0,a ),则a= .解析▶ ∵f'(x )=2√x -1x ,∴k=f'(1)=-12. 又∵f (1)=1,∴切点是(1,1),∴切线方程为y-1=-12(x-1),∴a=12+1=32. 答案▶324.(河北省石家庄市2019届模拟(二))已知函数f (x )={log 2x,0<x ≤1,f(x -1),x >1,则f (20192)= .解析▶ 由函数f (x )={log 2x,0<x ≤1,f(x -1),x >1可得,当x>1时,满足f (x )=f (x-1),所以函数f (x )是周期为1的函数,所以f (20192)=f (1009+12)=f (12)=log 212=-1. 答案▶ -15.(安徽安庆市2019届髙三联考)(3x+1)(1x-1)5的展开式中的常数项为 .解析▶ (3x+1)(1x-1)5的展开式中的常数项为C 54×3×(-1)4C +55×1×(-1)5=14.答案▶ 146.(广东肇庆市2019届质检)已知数列{a n }满足a 1=1,lg a n+1=lg a n +12,则a 9= .解析▶ 由数列{a n }满足a 1=1,lg a n+1=lg a n +12,可得lg a n+1a n =12,可得an+1a n=√10, 所以数列{a n }是以1为首项,√10为公比的等比数列, 所以a 9=1×(√10)8=10000.答案▶ 100007.(河南省四校2019届摸底)在△ABC 中,sin 2A -B 2+sin A sin B=2+√24,则C= .解析▶ 由题意知sin 2A -B 2+sin A sin B=2+√24, 化简得2[1-cos(A-B )]+4sin A sin B=2+√2, 整理得-2cos A cos B+2sin A sin B=√2,故cos(A+B )=-√22,因为A+B ∈(0,π),所以A+B=34π,从而C=π4.答案▶π48.(山东六校2019届联考)已知直线kx-y+2=0与圆(x-1)2+y 2=9交于A ,B 两点,当弦AB 最短时,实数k 的值为 .解析▶ 根据题意,直线kx-y+2=0,即y=kx+2,过定点(0,2),设D (0,2),圆(x-1)2+y 2=9的圆心为(1,0),设其圆心为C ,半径r=3,直线kx-y+2=0与圆(x-1)2+y 2=9交于A ,B 两点,当D 为AB 的中点时,AB 与CD 垂直,此时AB 最短,k C D =2−00−1=-2,所以k=-1-2=12.答案▶129.(广东东莞市2019届高考冲刺)已知实数x ,y 满足约束条件{2x +y -1≥0,x -y ≤5,x -y ≥−2,则z=x-3y 的最大值是 .解析▶ 由z=x-3y 得y=13x-13z ,作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示,由图象可知当直线y=13x-13z 经过点A 时,直线y=13x-13z 的纵截距最小,此时z 最大,由{2x +y -1=0,x -y =5得A (2,-3).代入目标函数z=x-3y ,得z=2-3×(-3)=11. 答案▶ 1110.(江西省上饶市2019届高三考前模拟)已知三棱锥A-SBC 的体积为2√33,各顶点均在以SC 为直径的球面上,AB=AC=√2,BC=2,则这个球的表面积为 .解析▶由题意,设球的直径SC=2R ,A ,B 是该球面上的两点,如图所示.因为AB=AC=√2,BC=2,所以△ABC 为直角三角形,设三棱锥S-ABC 的高为h ,则13×12×√2×√2h=2√33,解得h=2√3,取BC 的中点M ,连接OM ,根据球的性质,可得OM ⊥平面ABC ,所以OM=√3,在直角△OMC 中,OC=√OM 2+MC 2=√(√3)2+12=2, 即球的半径R=2,所以球的表面积S=4πR 2=4π×22=16π. 答案▶ 16π1.(辽宁朝阳市2019届四模)已知y=f (x )是定义域为R 的奇函数,且周期为2,若当x ∈[0,1]时,f (x )=x (1-x ),则f (-2.5)= .解析▶ ∵y=f (x )是定义域为R 的奇函数,且周期为2,∴f (-2.5)=f (-2.5+2)=f (-0.5)=-f (0.5). ∵当x ∈[0,1]时,f (x )=x (1-x ), ∴f (0.5)=0.5×(1-0.5)=0.25, ∴f (-2.5)=-0.25.答案▶ -0.252.(山东省栖霞市2019届二模)若向量a=(2,x ),b=(-2,1)不共线,且(a+b )⊥(a-b ),则a ·b= .解析▶ 因为a+b=(0,x+1),a-b=(4,x-1),且(a+b )⊥(a-b ),所以0×4+(x+1)(x-1)=0,解得x=1或x=-1.因为向量a=(2,x ),b=(-2,1)不共线,所以x=-1不成立,所以a ·b=2×(-2)+1×1=-3. 答案▶ -33.(湖南省2019届模拟(一))等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-12,若S 6S 3=78,则a 3= .解析▶ 由题意知公比q ≠1,所以S 6S 3=a 1(1-q 6)1−q a 1(1-q 3)1−q=1+q 3=78,解得q=-12,所以a 3=a 1q 2=-18.答案▶ -184.(天津市和平区2019届一模)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3.解析▶ 由三视图可知,题中所给的几何体是由一个长方体挖去一个圆锥形成的组合体,其中长方体的长,宽,高分别为4 cm,3 cm,3 cm,圆锥的底面半径R=32cm,圆锥的高h=2 cm,故所求几何体的体积V=3×4×3-13×π×(32)2×2=36-3π2cm(3).答案▶ 36-3π25.(北京市2019届高考信息卷(二))某图书出版公司到某中学开展图书捐赠活动,某班级获得了某一品牌的图书共4本,其中数学,英语,物理,化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲,乙,丙,丁四个人,每人一本,并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测.预测结果如下:甲说乙或丙得到物理书; 乙说甲或丙得到英语书; 丙说数学书被甲得到; 丁说甲得到物理书.最终结果显示,甲,乙,丙,丁四个人的预测均不正确,那么甲得到的书是 书.解析▶ 因为甲,乙,丙,丁四个人的预测均不正确,所以乙不正确说明甲没有得到英语书;丙不正确说明甲没有得到数学书;丁不正确说明甲没有得到物理书,综上可知甲得到的是化学书.答案▶ 化学6.(海南2019届高三模拟(三))若函数f (x )=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过点(π6,2),且相邻两条对称轴间的距离为π2,则f (π4)的值为 .解析▶ 因为相邻两条对称轴的距离为π2,所以2πω=π,解得ω=2,所以f (x )=2sin(2x+φ). 因为函数的图象经过点(π6,2), 所以sin (π3+φ)=1.因为0<φ<π,所以φ=π6, 所以f (x )=2sin (2x +π6), 所以f (π4)=2sin (π2+π6)=√3. 答案▶ √37.(陕西汉中市2019届模拟)设b ∈R,若函数f (x )=4x -2x+1+b 在[-1,1]上的最大值是3,则f (x )在[-1,1]上的最小值是 .解析▶ 整理f (x )可得f (x )=(2x )2-2·2x +b ,x ∈[-1,1],令2x =t ,则t ∈[12,2],函数f (x )可化为y=t 2-2t+b ,t ∈[12,2].当t=2时,y max =22-2×2+b=3,解得b=3; 当t=1时,y min =12-2×1+b=2. 所以f (x )在[-1,1]上的最小值是2. 答案▶ 28.(广东东莞市2019届高考冲刺)已知抛物线C :x 2=4y 与直线y=12x+1相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则S △OAB = .解析▶ 联立{x 2=4y,y =12x +1得x 2-2x-4=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2,x 1x 2=-4,则|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+14×√4+16=5,点O 到直线y=12x+1的距离d=√1+14=√5=2√55, 所以S △OAB =12|AB|d=12×5×2√55=√5. 答案▶ √59.(江西省名校2019届高三联考)(2x x3)8的展开式中的常数项为 .解析▶(2x 1√x3) 8的展开式的通项为T r+1C =8r (2x )8-r (1√x3·r C =8r 28-r (-1)r x 8−43r ,令8-43r=0,解得r=6.故展开式的常数项为C 8622(-1)6=112.答案▶ 11210.(湖北2019届一模)已知函数f (x ){13x +1,x ≤1,lnx,x >1,则当函数F (x )=f (x )-ax 恰有两个不同的零点时,实数a 的取值范围是 .解析▶ 由题可知方程f (x )=ax 恰有两个不同的实数根,所以y=f (x )与y=ax 的图象有两个交点.因为a 表示直线y=ax 的斜率,当x>1时,f'(x )=1x,设切点坐标为(x 0,y 0),k=1x 0,所以切线方程为y-y 0=1x 0(x-x 0),而切线过原点,所以y 0=1,x 0=e,k=1e ,所以直线l 1的斜率为1e ,直线l 2与y=13x+1平行,所以直线l 2的斜率为13,所以实数a 的取值范围是[13,1e).答案▶ [13,1e)1.(辽宁葫芦岛市2019届二模)某篮球运动员投篮命中率为0.75,在一次投篮训练中连续投篮50次,X 表示投进的次数,则D (X )= .解析▶ 由于X 满足二项分布,故D (X)=50×0.75×(1-0.75)=758. 答案▶7582.(广东省2019届高三适应性考试)已知函数f (x )=x 3lg(√x 2+1+x )+2,若f (a )=7(a ∈R),则f (-a )= .解析▶ ∵f (x )的定义域为R,f (-x )=(-x )3·lg(√(-x)2+1-x )+2=-x 3lg√x 2+1+x+2=x 3lg(√x 2+1+x )+2=f (x ),∴f (x )是R 上的偶函数,∴f (-a )=f (a )=7.答案▶ 73.(河南省八市测评)设x ,y 满足约束条件{x -3y +4≥0,3x -y -4≤0,x +y ≥0,则2x-y 的最小值是 .解析▶ 设z=2x-y ,由约束条件可得可行域如图中阴影部分所示,则z 取最小值时,y=2x-z 在y 轴上的截距最大,由图象可知,当y=2x-z 过点A 时,截距最大.由{x -3y +4=0,x +y =0得A (-1,1),则z min =-2-1=-3,即(2x-y )min =-3.答案▶ -34.(安徽省皖南八校2019届联考)在1,3,5,7这四个数字中任取3个,在0,2,4,6这四个数字中任取2个,组成一个没有重复数字的5位数,则这样的5位数的个数为 .(用数字作答)解析▶ 在1,3,5,7这四个数字中任取3个,在0,2,4,6这四个数字中任取2个,当含有数字0时,有C 43C 31种选法,因为0不能排在首位,所以共有4C 43C 31A 44=1152种结果.当不含数字0时,有C 43C 32种选法,共有C 43C 32A 55=1440种结果.综上,共有1152+1440=2592种结果.答案▶ 25925.(山东省淄博市2019届高三阶段性诊断)已知函数f (x )的定义域为R,满足f (x+4)=f (x ),当-2<x ≤2时,f (x )={cos πx2,0<x ≤2,|x+12|,-2<x ≤0,则f (f (-5))= .解析▶ ∵函数f (x )的定义域为R,满足f (x+4)=f (x ),∴f (x )为周期函数,T=4, ∴f (-5)=f (-5+4)=f (-1),由f (x )={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,可得f (-5)=f (-1)=|-1+12|=12,∴f (f (-5))=f (12)=cos π4=√22.答案▶√226.(江西省南昌市2019届三模)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的半径为 .解析▶ 由三视图还原几何体如下图所示,取AB 的中点E ,连接PE ,设△PAB 的中心为Q ,外接球的球心为O ,则OQ ⊥平面PAB ,OQ=12BC=1,PQ=23PE=2√33, ∴外接球的半径R=√OQ 2+PQ 2=√213.答案▶√2137.(北京市2019届三模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,S 为△ABC 的面积,sin(A+C )=2S b 2-c 2,且A ,B ,C 成等差数列,则C 的大小为 .解析▶ 在△ABC 中,A ,B ,C 成等差数列,可得2B=A+C=π-B ,即B=π3, sin(A+C )=2S b 2-c2,即为sin B=acsinB b 2-c 2,即有b 2=c 2+ac ,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-ac , 即有a=2c ,b=√3c ,cos C=a 2+b 2-c 22ab=2222·2c ·√3c =√32, 由C 为三角形的内角可得C=π6. 答案▶π68.(山东2019届二模)若数列{a n }满足2a 1+22a 2+23a 3+…+2n a n =2n (n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和S n = .解析▶ 由2a 1+22a 2+23a 3+…+2n a n =2n (n N ∈*),得2a 1+22a 2+23a 3+…+2n-1a n-1=2(n-1)(n ≥2且n N ∈*),两式作差可得2n a n =2, 即a n =12n -1(n ≥2且n ∈N *),由已知等式可得2a 1=2,解得a 1=1,适合上式.∴a n =12n -1(n ∈N *).又an+1a n=12n 12n -1=12,∴数列{a n }是以1为首项,12为公比的等比数列,∴S n =1×(1−12n )1−12=2-12n -1.答案▶ 2-12n -19.(湖北2019届三模)已知双曲线x 2a 2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线右支于点M ,若∠F 1MF 2=π4,则双曲线的离心率为 .解析▶ 设切点为N ,连接ON ,过F 2作F 2A ⊥MN ,垂足为A ,如下图所示,由圆的切线性质可知,ON ⊥F 1M ,|ON|=a ,由三角形中位线定理可知,|AF 2|=2a ,在Rt △AF 1F 2中,|AF 1|=√|F 1F 2|2-|AF 2|2=2b ,在Rt △AF 2M 中,∠AMF 2=π4,所以|MA|=2a ,|F 2M|=2√2a ,由双曲线定义可知,|F 1M|-|F 2M|=2a ,即2b+2a-2√2a=2a ,所以b=√2a ,因为c=√a 2+b 2,所以c=√a 2+(√2a)2=√3a ,所以e=ca =√3,即双曲线的离心率为√3.答案▶ √310.(2019山东临沂市三模)若函数f (x )=a e x -x 2的图象上存在点A ,点A 关于x 轴的对称点A'在g (x )=x 2-x-1的图象上,则实数a 的取值范围为 .解析▶ g (x )=x 2-x-1的图象关于x 轴对称为h (x )=-x 2+x+1的图象,由题意得f (x )=ea x -x 2与h (x )=-x 2+x+1的图象有交点,即方程ea x -x 2=-x 2+x+1有解,化简为ea x =x+1有解.当a=0时,符合题意.当a ≠0时,可转化为e x =1a(x+1)有解,即y=e x ,y=1a(x+1)的图象有交点,y=1a (x+1)是过定点(-1,0),斜率为1a 的直线.设y=e x 与y=1a (x+1)的图象相切时的切点的坐标为(m ,e m ),如图所示,则{e m m+1=1a ,e m=1a,解得a=1,切线斜率为1a=1,由图可知,当1a≥1,即0<a ≤1时,或当1a<0,即a<0时,y=e x ,y=1a(x+1)的图象有交点. 综上可得,实数a 的取值范围为a ≤1. 答案▶ a ≤1限时训练(1)(时间:15分钟,分数:20分)1.(广东省2019届高三适应性考试)已知函数f (x )=a e x +b (a ,b ∈R)的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y=2x+1,则a-b= .解析▶ 由f (x )=ea x +b ,得f'(x )=ea x ,因为函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程是y=2x+1,所以{f(0)=1=a +b,f'(0)=2=a,解得{a =2,b =−1,所以a-b=3.答案▶ 32.(2019全国大联考)现有一场专家报告会,张老师带甲,乙,丙,丁四位同学参加,其中有一个特殊位置可与专家近距离交流,张老师看出每个同学都想去坐这个位置,因此给出一个问题,谁能猜对,谁就去坐这个位置.问题如下:某班10位同学参加一次全年级的高二数学竞赛,最后一道题只有6名同学A ,B ,C ,D ,E ,F 尝试做了,并且这6人中只有1人答对了,问是谁答对了这道题.听完后,四个同学给出猜测如下:甲猜D 或E 答对了;乙猜C 不可能答对;丙猜A ,B ,F 当中必有1人答对了;丁猜D ,E ,F 都不可能答对.在他们回答完后,张老师说四人中只有1人猜对,则张老师把特殊位置给了 .解析▶ 若甲猜对,则乙也猜对,与题意不符,故甲猜错;若乙猜对,则丙猜对,与题意不符,故乙猜错;若丙猜对,则乙猜对,与题意不符,故丙猜错.因为甲,乙,丙,丁四人中只有1人猜对,所以丁猜对.故张老师把特殊位置给了丁.答案▶ 丁3.(内蒙古呼伦贝尔市2019届三模)数列{a n }满足a n =1n(n+1),其前n 项和为S n ,若S 1,S m ,S n 成等比数列(m>1),则正整数n 的值为 .解析▶ ∵a n =1n(n+1)=1n -1n+1,∴S n =1-12+12-13+…+1n -1n+1=nn+1. 又S 1,S m ,S n 成等比数列(m>1),∴(S m )2=S 1·S n ,即m 2(m+1)2=12·nn+1,2m 2(m+1)2=nn+1,∴2m 2<(m+1)2,即m 2-2m-1<0,解得1-√2<m<1+√2,结合m>1可得m=2,∴n=8.答案▶ 84.(山东潍坊市2019届模拟)已知双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,左顶点为A ,以F 为圆心,|FA|为半径的圆交C 的右支于M ,N 两点,且线段AM 的垂直平分线经过点N ,则C 的离心率为 .解析▶ 由题意得A (-a ,0),F (c ,0),另一个焦点F'(-c ,0),由对称性知,|AM|=|AN|. 又因为线段AM 的垂直平分线经过点N ,则|AN|=|MN|,可得△AMN 是正三角形, 如图所示,连接MF ,MF',则|AF|=|MF|=a+c ,由图象的对称性可知,∠MAF=∠NAF=12∠MAN=30°. 又因为△AMF 是等腰三角形,则∠AFM=120°.在△MFF'中,由余弦定理得|FF'|2+|FM|2-2|FF'||FM|cos 120°=|F'M|2=(|FM|+2a )2, 上式可化为4c 2+(a+c )2-2×2c (a+c )×(-12)=(3a+c )2, 整理得3c 2-ac-4a 2=0,即(c+a )(3c-4a )=0, 因为a>0,c>0,所以3c-4a=0,c=43a , 故e=c a =43. 答案▶43限时训练(2)(时间:15分钟,分数:20分)1.(山东省四市2019届联考)已知(2x+1)4=a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,则a 1= .解析▶ 由题意可知a 1表示二项式展开式中一次项的系数,∵(2x+1)4展开式的通项公式T r+1=C 4r (2x )4-r ×1r ,当r=3时,T 4C =43(2x )1×13=8x ,∴a 1=8.答案▶ 82.(江西南昌市2019届三模)已知平面向量|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2√3,则a 在b 方向上的投影为 .解析▶ ∵|2a+b|=2√3,∴|2a+b|2=(2a+b )2=a 42+4a ·bb+2=8+4a ·b=12,解得a ·b=1,∴a 在b 方向上的投影为|a|cos <a ,b>=a ·b |b|=12.答案▶123.(2019河南省八市测评)已知双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右顶点分别为A ,B ,点P 在曲线C上,若△PAB 中,∠PBA=∠PAB+π2,则双曲线C 的渐近线方程为 .解析▶ 如图,过B 作BM ⊥x 轴,∵∠PBA=∠PAB+π2,则∠PAB=∠PBM ,∴∠PAB+∠PBx=π2,即k PA ·k PB =1.设P (x ,y ),又A (-a ,0),B (a ,0),y x+a ·yx -a=1,∴x 2-y 2=a 2,∴a=b ,∴双曲线C 的渐近线方程为y=±x.答案▶ y=±x4.(江苏镇江市2019届三模)已知函数f (x )={lnx,x >0,2x+1,x ≤0,若函数y=f (x )+x-a 有且只有一个零点,则实数a 的取值范围为 .解析▶ 由y=f (x )+x-a=0得,f (x )=-x+a ,则函数y=f (x )+x-a 有且只有一个零点等价于y=f (x )与y=-x+a 的图象有且只有一个交点.画出函数f (x )={lnx,x >0,2x +1,x ≤0的图象如图所示,平移直线y=-x ,由图可知,y=-x+a 的图象经过点A (0,2)时有2个交点,直线y=-x+a 与y 轴的交点在A 点的上方时,两图象只有1个交点,在A 点下方时,两图象有2个交点,故a>2,即a ∈(2,+∞).答案▶ (2,+∞)限时训练(3)(时间:15分钟,分数:20分)1.(2019湖北省武汉市摸底)已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 9=21,则a 3与a 7等差中项的值为 .解析▶ 根据题意,等差数列{a n }中,a 1=1,a 9=21,则有a 1+a 9=a 3+a 7=22, 则a 3与a 7的等差中项为12(a 3+a 7)=11. 答案▶ 112.(2019河北省压轴考试)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(1,-2√2),则|3a-b|的最大值是 .解析▶ 由题意,向量a=(cos θ,sin θ),则3a=(3cos θ,3sin θ),所以向量3a 的终点在以原点为圆心,3为半径的圆上.又因为|b|=3,所以其终点也在此圆上,当3a 与b 反向时,|3a-b|为最大,最大值为6.答案▶ 63.(安徽合肥2019届一模)已知函数f (x )={lnx,x ≥2,e x +∫x m 0dx,x <2(m >0),若f (f (e))=e +2,则m 的值为 .解析▶ 因为f (e)=1,所以f (f (e))=f (1)=e +12m 2(m>0),因为f (f (e))=e +2,所以e +12m 2=e +2,解得m=2.答案▶ 24.(重庆市2019届调研)已知双曲线x 2a 2-y212=1(a>0)的一条渐近线方程为√3x-y=0,左焦点为F ,当点M 在双曲线右支上,点N 在圆x 2+(y-3)2=4上运动时,|MN|+|MF|的最小值为 .解析▶ 由双曲线方程x 2a 2-y 212=1,得b=2√3,所以渐近线方程为y=±2√3ax ,比较方程√3x-y=0,得a=2,所以双曲线方程为x 24-y 212=1.点F (-4,0),记双曲线的右焦点为F'(4,0),且点M 在双曲线右支上,所以|MF|=4+|MF'|,所以|MN|+|MF|=|MN|+|MF'|+4,由两点之间线段最短,得|MN|+|MF'|+4的最小值为|F'N|+4的最小值,因为点N 在圆x 2+(y-3)2=4上运动,所以|F'N|最小值为点F'到圆心(0,3)的距离减去半径2,所以|F'N|min =5-2=3.所以|MN|+|MF|的最小值为|F'N|min +4=7.答案▶ 7限时训练(4)(时间:15分钟,分数:20分)1.(江西省重点高中联盟)已知函数f (x )=lg x+a (1-x ),若f (110)=-110,则实数a= .解析▶ 由题意,函数f (x )=lg x+a (1-x ),得f (110)=lg 110+a (1−110)=-1+9a 10. 因为f (110)=-110,所以-1+9a 10=-110, 解得a=1. 答案▶ 12.(安徽省江淮十校2019届联考)若命题“∀x ∈[0,π3],1+tan x ≤m ”的否定是假命题,则实数m 的取值范围是 .解析▶ 因为命题的否定是假命题,故原命题为真,即不等式1+tan x ≤m 对∀x ∈[0,π3]恒成立.又y=1+tan x 在x ∈[0,π3]为增函数,所以(1+tan x )max =1+tan π3=1+√3,即m ≥1+√3.故实数m 的取值范围是[1+√3,+∞).答案▶ [1+√3,+∞)3.(安徽省安庆市2019届高三联考)已知双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线的渐近线上存在点P ,使得|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线C 的离心率的取值范围是 .解析▶ 设P (x ,y ),则(x+c )2+y 2=4[(x-c )2+y2],化简得(x -53c)2+y 2=169c 2,所以点P 在以M (53c,0)为圆心,43c 为半径的圆上.又因为点P 在双曲线的渐近线bx±ay=0上,所以渐近线与圆M有公共点,所以53bc √b +a 2≤43c ,解得5b ≤4c ,即c a ≤53,所以双曲线离心率的取值范围是(1,53].答案▶ (1,53]4.(山东省泰安市2019届高三考前密卷)已知实数x ,y 满足不等式组{x +y ≥2,x ≤t,x -2y ≥−2,其中t=2∫ πsin x d x ,则x 2+y 2的最大值是 .解析▶t=2∫ π0sin x d x=-2cos x | π 0=4,x ,y满足不等式组{x +y ≥2,x ≤4,x -2y ≥−2的可行域如图中阴影部分所示,x 2+y 2表示可行域内的点(x ,y )与坐标原点距离的平方.由图形可知,点A 到原点距离最大,由{x =4,x -2y +2=0,解得A (4,3),所以x 2+y 2的最大值为25. 答案▶ 25。
2020年全国高考1卷理科数学冲刺试卷(一)
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 为递增数列，数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共 名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示．
（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
A.
B.
C.
D.
8.执行如图所示的程序框图（其中 表示 等于 除以 的余数），则输出的 为（）
A.
B.
C.
D.
9.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A.
B.
C.
D.
10.已知双曲线 ， 是左焦点， ， 是右支上两个动点，则 的最小值是（）
A.
B.
C.
D.
（2）从这 名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量 ，求 的分布列及数学期望．
如图，正方形 中， ， 与 交于 点，现将 沿 折起得到三棱锥 ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）求证： ；
（2）若三棱锥 的最大体积为 ，当三棱锥 的体积为 ，且二面角 为锐角时，求二面角 的正弦值．
2020年全国高考1卷理科数学冲刺试卷（一）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则
A.
B.
C.
D.
2.若复数 满足 ，其中 为虚数单位， 表示复数的共轭复数，则
A.
B.
C.
D.
3.如图所示的长方形的长为 ，宽为 ，在长方形内撒一把豆子（豆子大小忽略不计），然后统计知豆子的总数为 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为（）
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。
2020年高考数学(理科)最后冲刺指导 选择填空
的建系（直角三角形、等腰、等边、矩形、正方形、直角梯形等）、投影问题记牢运算方法
b
c os
a b
。通 过 三 角 形 法 则 和 平 行 四 边 形 法 则 转 化 也 很 重 要 ；单 位 向 量 要 看 清 ，模 为
1 ；向 量
a
夹角为锐角，数量积大于 0 且向量不能同向（夹角为 0）；向量夹角为钝角，数量积小于 0 且向量
例 6、命题“ xR ， x2 x 1 0 ”的否定是 ( B )
A． xR ， x2 x 1 0
B． x0 R ，
C． x0 R ， x02 x0 1 0
D． x0 R ， x02 x0 1 0
例 7、设 a ， b ， c 为正数，则“ a b c ”是“ a2 b2 c2 ”的 ( B )
A． (,0) 例 29、已知函数
B． ( ,0) 12
C． ( 5 , 1) 6
D． ( , 1) 6
的部分图象如图所示，则函数
图象的一个对称中心可能为（ C ）
A． (2,0)
例 30、已知 A． (0 ， 2]
3
B． (1,0)
C． (10,0)
D． (14,0)
在区间
[
,
]
上单调递增，则
D．6 上，则| PQ | 的取值范围是 ( D )
A．[ 5 1 ， 10 1] B．[ 5 1 ， 10 1] C．[ 10 1， 5]
D．[ 5 1 ， 5]
例 22、已知 x 0 ， y 0 ，且 1 2 1，则 xy x y 的最小值为 7 4 3 ． xy
5、三角函数小题
A．
B． (3, 4)
C． (2,1)
D． (4, )
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 试题
理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标 号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{|23}A x y x x ==--，全集U =R ，集合1{|0}22B x x =-，则()U A B C =（ ）A .[23)，B .[13)，C .(23)，D .(13)， 2. 已知i 为虚数单位，且复数z 满足2020(12)z i i i +=+，则||z 的值为（ ）A .15B .10 C .5D .23. 已知函数2()(1)f x x a x a =+-+为定义在[22]-，上的偶函数，则()2f x 在[22]-，上发生的概率为（ ）A .12B .13C .14D .164. 已知数列21n a n =+，其前n 项的和为n S ，则12111nS S S +++=（ ）A .1112n n -++ B .1111(1)2212n n +--++ C .1111212n n +--++D .1111(1)2212n n +-+++ 5. 执行如图的程序框图，输出的c 的值为（ ）A .5B .4C .5-D .4-6. 若双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的一条渐近线被圆22(2)2x y +-=截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为 （ ）A .3B .2C .5D .25 7. 35(2)()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则该展开式中4x 的系数是（ ）A .5B .10C .15D .20 8. 若函数()3cos()cos (0π)f x x x θθ=+<<的图象过点(0)32-，，则（ ）A .点(π3)0，是函数()f x 图象的对称中心B .直线π3x =是函数()f x 图象的对称轴 C .函数()f x 的最小值是3-D .函数()f x 的最大值是233- 9. 如图，已知G 是ABC 的重心，H 是BG 的中点，且2AB =，3AC =，60BAC ∠=°，则AG AH =·（ ）A .209B .2C .59D .1310. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：，点M N F 、、分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+°，则椭圆C 的离心率是（ ）A .51-B .31-C .21-D .3 11. 已知正数a b c ，，满足224160a ab b c -+-=，当ab c取得最大值时，则43244c a b -++的最小值为（ ）A .2B .4C .12D .1612. 已知函数22212()212m x mx x f x m x mx x⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩，，.若函数()f x 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A .(2)+，∞B .(22)+，∞C .(4)+，∞D .(42)+，∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020年高考数学（理科）最后冲刺指导理科数学每年必考的知识点有：复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。
理科数学每年常考的知识点有：常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。
1、集合与常用逻辑用语小题 （1）集合小题9 年高考都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。
常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、Z N N 、、*、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式xa 永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x 还是y 。
例1、已知集合，，则MN =（ D ）A ．∅B ．C ．{}3,2D ．[3,3]-例2、已知集合，集合，则(AB =C )A ．(0,)+∞B ．(1,)-+∞C ．[0，)+∞D ．[1-，)+∞例3、集合，，则=B A （ C ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞例4、设集合，则(AB = B )A ．ϕB ．(3,4)C ．(2,1)-D ．(4,)+∞例5、已知集合，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为(B )A ．(4,)+∞B ．[4，)+∞C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞（2）常用逻辑用语小题9 年高考中2017 年在复数题中涉及真命题这个概念．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定p ⌝与否命题；冷点：全称与特称（2015 考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂。
简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。
例6、命题“x R ∀∈，210x x -+”的否定是( B ) A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+ D ．0x R ∃∈，2010x x -+例7、设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件例8、以下说法错误的是( D ) A ．命题“若“，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则”B ．“2x =”是“”的充分不必要条件C ．若命题p ：存在0x R ∈，使得，则p ⌝：对任意x R ∈，都有210x x -+D ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 2、复数小题9 年 高考，每年 1 题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等。
无法直接计算时可以先设bi a z +=。
例9、复数21iz i-=+（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数(z = C ) A ．1322i - B ．1322i --C ．1322i + D ．1322i -+例10、已知z 的共轭复数是z ，且为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于(D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、平面向量小题9 年 高考，向量题考的比较基础，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较），这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明。
数量积问题有坐标按照坐标算2121y y x x b a +=⋅→→，没有坐标按照模运算θcos →→→→=⋅b a b a ；可以建系的建系（直角三角形、等腰、等边、矩形、正方形、直角梯形等）、投影问题记牢运算方法→→→→⋅=aba b θcos 。
通过三角形法则和平行四边形法则转化也很重要；单位向量要看清，模为1；向量夹角为锐角，数量积大于0且向量不能同向（夹角为0）；向量夹角为钝角，数量积小于0且向量不能反向（夹角为π）；两个向量不共线才可以作为基底；多个向量和差带模先平方后开方。
例11、已知i 与j 为互相垂直的单位向量，=2-a i j ，=λ+b i j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ C ）A.），（），（∞+32322- B.），（∞+21 C.），（），（212-2-- ∞ D.），（21-∞例12、已知向量a ，b 满足，且(2)a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为( D )A ．1B ．2C 2D ．1-例13、已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =，则2a b +与b 的夹角是( D ) A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π例14、已知平面向量a ，b 夹角为30︒，||3a =，||2b =，|2|a b += 31 ；例15、两个不共线向量OA 、OB 的夹角为θ，M 、N 分别为线段OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且，则22x y +的最小值为___81____． 例16、已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =，则(AD AP = B ) A ．3 B ．1 C ．3 D ．3例17、在平行四边形ABCD 中，2AB =，4AD =，4AB AD =，E 为AB 的中点，则(CE BD = C ) A ．4- B ．8- C ．12- D ．16- 4、线性规划小题9 年高考，全国卷线性规划题考的比较基础，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，或者利用一些含有几何意义的目标函数（斜率、距离等）， 如 2015 年新课标 15 题。
平移目标函数最准确 三大常见考法：截距型、斜率型、距离型；斜率型注意范围是取中间还是取两边；距离型最小值注意是点点距离最小还是点线距离最小。
含参问题包括约束条件含参和目标函数含参，注意动变静、动静结合；面积问题。
例18、已知x ，y 满足约束条件，则2z x y =+的最大值是( C )A ．0B ．2C ．5D ．6例19、已知不等式组表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y 的最小值为 （ D ）A .2+3B .1+3C .2+D .1+例20、已知不等式组表示的平面区域恰好被圆所覆盖，则实数k 的值是（ D ） A ．3B ．4C ．5D ．6例21、如果点(,)P x y 满足，点Q 在曲线上，则||PQ 的取值范围是( D )A ．[51101]B ．[51101]C ．[101，5]D ．[51，5]例22、已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为 743+ ． 5、三角函数小题9 年高考，每年至少 1 题．题目难度较小，主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013 年 15题对化简要求较高，难度较大2016年和2018年的考法也是比较难的，所以当了压轴题。
2019年选择题2道题涉及三角函数，主要考查三角函数的图像性质。
三角函数的定义式：会巧妙利用定义求解sin 、cos 、tan ，但要注意正负；熟练诱导公式、两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式，符号问题太重要；牢记sin 、cos 、tan 的图像性质；整体思想。
出现-2π、2π、π、π23、π2等的时候记着用诱导公式，其他角的形式用两角和与差公式展开或合并；αα22cos ,sin 用降幂公式的较多；巧妙选择倍角公式进行凑角和转化；巧妙选择两角和与差公式进行凑角和转化。
1)sin(=+ϕωx 时，ππϕωk x 22+=+；1)cos(=+ϕωx 时，πϕωk x 2=+；1-)sin(=+ϕωx 时，ππϕωk x 22-+=+；1-)cos(=+ϕωx 时，ππϕωk x 2+=+；0)sin(=+ϕωx 时，πϕωk x =+；0)cos(=+ϕωx 时，ππϕωk x +=+2；)sin()(ϕω+=x x f 时，求对称轴，则ππϕωk x +=+2；求对称中心，则πϕωk x =+，求出x 为横坐标，纵坐标为0；)cos()(ϕω+=x x f 时，求对称轴，则πϕωk x =+；求对称中心，则ππϕωk x +=+2，求出x 为横坐标，纵坐标为0；选择题验证对称轴的方法：将选项中的直线x=。
代入解析式，若sin 或cos 取得1±就是对称轴；选择题验证对称中心的方法：将选项中的点代入解析式，横纵坐标都成立则为对称中心；），（0,0)sin()(>>++=ωϕωA B x A x f 求解思路：A+B=最大值，-A+B=最小值；Tπω2=；代点求ϕ，多个ϕ值满足要求时，可以通过ϕsin )0(A f =的正负进行判断； 单调区间的求解必须保证x ω为正。
例23、已知，则sin x 的值为( B )A ．210-B ．210C ．7210D ．7210-例24、已知α为锐角，且4tan 3α=，则A )A ．2425-B ．1625-C ．35D ．34例25、已知为锐角，则sin()αβ+的值为( D )A ．3722-B ．3214- C ．3722+ D ．3214+ 例26、设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( D )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=例27、在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ．例28、已知，0ω>，||)2πϕ<部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是( D )A ．(,0)πB ．(,0)12πC ．5(,1)6π-- D ．(,1)6π--例29、已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ C ）A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(例30、已知在区间[,]64ππ上单调递增，则ω的取值范围是( B )A ．(0，2]3B ．(0，2][73，26]3C ．[7，D ．(0，250][,19]33例31、已知函数，||)2πϕ<的部分图象如图所示，其中点A 坐标为1(,2)3，点B 的坐标为5(3，1)-，点C 的坐标为(3,1)-，则()f x 的递增区间为( A )A ．5(43k -，14)3k +，k Z ∈ B ．5(23k -，12)3k +，k Z ∈ C ．5(43k π-，14)3k π+，k Z ∈D ．5(23k π-，12)3k π+，k Z ∈例32、已知函数图象的相邻两对称中心的距离为2π，且对任意x R ∈都有，则函数()y f x =的一个单调递增区间可以为( D )A ．[,0]2π-B ．2[,]63ππC ．3[,]44ππD ．[,]44ππ-例33、已知函数，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确的是( C ) A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2f ϕ=- D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴例34、已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += D )A ．3B ．32C ．0D ．32-例35、ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，4A π=，5cos 5B =-，则(BD AC= A ) A ．14B ．12 C ．23D ．34例36、在ABC ∆中，60B ∠=︒，3b =，若m a c =-2恒成立，则m 的最小值为 ．例37、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，且8=a ，ABC△的面积为34，则c b +的值为 45 ．6、立体几何小题9 年高考，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型？有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．除2019年外，年年考三视图，是否也太稳定了吧？球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点，但有时难度较大。