余弦定理课件解析

2.在ABC中，已知a 7,b 10, c 6,则该三角形的 形状为钝角三角形
3.在ABC中，若cos A sin B ,则三角形的形状为 直角三角形
sin C
4.在ABC中，若a 7,b c 8,A 1200,求b,c
b c
53或bc
5 3
余弦定 理
课堂小结：
1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
2
2
2
AB AC 2 AC CB cos(1800 C) CB
c2 a2 b2 2abcosC
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余弦定 理
解法二：（几何法） ①当角C为锐角时
A
证明：过A作AD CB交CB于D
b
c
在RtADC 中
AD ACsin C,CD ACcosC C
aD
B
在 RtABD 中
AB2 AD2 BD2
2bc
cosC a2 b2 c2 2ab
余弦定理可以解决以下两 类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹 角，求第三边和其他两个 角。
例1.在ABC中，已知b 3，c 2 3， A 300，解此三角形。
【练习提高】
1.在ABC中，若a2 b2 c2 bc,则A 1200
平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。 2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的 问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角。
余弦定 理
布置作业：完成练习册
BYE
12
AD ACsin(180 C) ACsin C
CD AC cos(180 C) AC cosC
A
在 RtABD 中
c
AB2 AD2 BD2
b
( ACsin C)2 (CB CD)2 D
Ca
B
AC2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC2 cos2 C
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定 理
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
2bc a2 c2 b2 cos B
( ACsin C)2 (CB CD)2
AC2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC2 cos2 C
AC2 CB 2 2CB AC cosC
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定 理
②当角C为钝角时
证明：过A作AD CB交BC的延长线于D
在Rt ACD中
AC2 CB 2 2CB AC cosC
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定 理
解法三：（坐标法） 以CB所在的直线为X轴， 过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立 如图所示的坐标系，则A、B、C三 点的坐标分别为：
A(b cosC,bsin C), B(a,0),C(0,0)
AB2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2 b 2 cos2 C 2ab cosC a 2 b 2 sin 2 C a 2 b2 2ab cosC
复习引入
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
余弦定 理
思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,
CA=b,求AB边c.
A
解法一（向量法）：
b
c
AB AC CB
C
a
B
AB AB (AC CB)(AC CB)
AC AC 2AC CB CB CB