北航理论力学-动力学2E

2L2 cos
3g 4
3u 2 2L
m1a1 m2a2 FA FB 2mg
x : m2x2 FA
B
x2 L sin , x2 Lcos
FB
x2 Lcos 2 sin
y : m1y1 m2 y2 FB 2mg 17
动力学普遍定理的综合应用
方法二
应用相对质心的动量矩定理
mac FR(e)
dLo dt
n
M o (Fi(e) )
i 1
求解方法比较繁琐
2
一、质点系的动能
1、质点系的动能
n
T
1 2
mivi2
i 1
2、 平移刚体和定 轴转动刚体的动能
平移 T
1 2
mv
2
定轴转动
T
1 2
J 2
§2-3、动能定理
3、柯尼希定理 设动参考系Cx’y’z’平移
z mi
xo y
位于杆的中点，滑块A视为质点，忽略AB杆的质量和所有摩擦。
u
A
m1g D
m2 g
B
问题： 1、系统有几个自由度？ 2、共有多少未知量？ 3、要求哪些未知量？ 4、用什么方法求解？
15
动力学普遍定理的综合应用
u
解：取系统为 研究对象，受力分析与运动分析
A
FA
m1g D
m2 g
dT Fi • vidt
19
本章主要内容
• 动量定理
– 建立外力与系统的位置或广义坐标、广义速度和广义加速度之间的 关系
– 动量定理、质心运动定理、动量守恒定理、变质量质点动力学方程
• 动量矩定理
– 建立外力与系统的位置或广义坐标、广义速度和广义加速度之间的 关系
– 对固定点的动量矩定理、对动点的动量矩定理、对质心的动量矩定 理、动量矩守恒定理。
• 动能定理
– 建立作功的力与系统的位置或广义坐标和广义速度之间的关系 – 动能定理（微分形式和积分形式）、机械能守恒定理
20
FB
FA
a 2a
思考题
已知：两个均质滑轮质 量均为m,半径为R，两 个物块的质量为2m，绳 索相对滑轮无滑动。求 两个物块的加速度和图 示的约束力。
21
T2 T1 W12 dT Fi • dri Fi • vidt 11
动力学普遍定理的综合应用
例：系统如图所示，已知：m0, mA 3m, mB m, R，初始时系 统静止， = 0 ，求运动时板E、D 的约束力（不计摩擦）。
E
R
vB
解：取小球B和物块A为研究对象，
应用动能定理求运动。 B
5
§2-3、动能定理
例：系统如图所示，m1 m, m2 2m, R 2r, JO 2mr 2 , k ，初
始时静止，弹簧为原长 l0。求弹簧伸长s时，杆的速度和加速度。
l0 k
s
F m1
o
R
r
Jo
v
解：1、求杆的速度 T1 0
T2
1 2
Jo 2
1 2
m2v
2
5mr 2 2
W12
m4m2gg2ss112ksks2 2
dLrC dt
n i 1
MC (Fi(e) )
u
Lr C
1 mL2,
2
MC
FB
3 2
L sin
FA
1 2
L cos
A
FA
1 2
mL2
FB
3 2
L
sin
FA
1 2
L
cos
应用质心运动定理 m1a1 m2a2 FA FB 2mg
m1g D
x : m2x2 FA
y : m1y1 m2 y2 FB 2mg
问题的引出
质点系由两个相同的小齿轮和两个相同的大齿轮构成， 每个齿轮视为均质圆盘，在力偶 M 作用下由静止开始运动。
问题: 用系统的动
M 量和动量矩均无
法反映系统的运 动状态。
1
FB
FA
a 2a
问题的引出
已知：两个均质滑轮和 两个物块的质量参数和 几何参数，绳索相对滑 轮无滑动。如何求两个 物块的加速度。
7
A
vr0
R
B
§2-3、动能定理
例：已知：J , R, m, 求圆环的角速度
和角加速度（表示成 的函数）。 初始时： 0,vr vr0, 0,
1、受力分析和运动分析 2、有哪些未知量 3、要求哪些未知量 4、通过什么方法求要求的未知量
8
§2-3、动能定理
解：取圆环和小球为研究对象， 系统对AB轴的动量矩守恒
x
o
n
T
1 2
mvC2
1 2
mivi2r
i1
解：取平移动系cx’y’
T
1 2
mvC2
1 2
JC
2
1 2
mvC2
1 4
mR2 2
4
§2-3、动能定理
二、质点系的动能定理
质点系中的每个质点有 midvi Fi(e)dt Fi(i)dt
mivi dvi Fi(e) vidt Fi(i) vidt
3mgLsind t
dT [m(2Lsin )(2Lsin 2L2 cos ) m(L)(L)]d t 16
动力学普遍定理的综合应用
u
A
FA
m1g D
m2 g
4Lsin (sin 2 cos ) L 3g sin
y1 2Lsin
3g 4L
u2 3 2L2
300
u
L
y1 2Lsin
利用动量定理：
dpx
dt
Fx(e)
FDx
13
动力学普遍定理的综合应用
FE
vB
FE
E
B
R
D
vA
m0 g
mg FDx
FDy y
FDx
3mg
x
0
14
动力学普遍定理的综合应用
例：系统如图所示，已知：m1 m2 m, AB 2L, 初始时滑块A
的速度为u， 30。0 求此时滑块A的加速度和约束力。设小球D
m2 g
B
利用下列几何关系，联立求解方程
FB
x2 L sin , y1 2 y2 2L cos
18
动力学普遍定理的综合应用
思考题：若质点系的动量守恒，且对某一点的动量矩 也守恒，则下列哪些答案是正确的，试举例说明。
A：该质点系的质心速度为常矢量 B：该质点系中每个质点速度的大小不变 C：该质点系中每个质点的速度一定为常矢量 D：质点系的动能一定为常量 E：质点系的动能一定不为常量 F：质点系的外力一定不作功
T
1 2
m1v12
1 2
m2v22
1 2
m1
y12
1 2
m2
(
x22
y22 )
y1 2L cos y1 2Lsin
x2 L sin
x2 Lcos
y2 L cos
y2 Lsin
T 1 m(2Lsin )2 1 m(L)2
B
2
2
FB
Fi • vidt (m1gy1 m2gy2 )dt
W12 mg(1 cos )
T2 T1 W12
f ( ) 9
§2-3、动能定理
FAy
A
FAx
问题：确定小球分别运动到图示 三个位置A、C、B时，对应下列 哪个关系式成立？
R
z
FBy
B
x
FBx
FBz
C
y
FAx FBx 0 B FAx FBx 0 C FAx FBx 0 A
注：xyz 坐标系固连在转动刚体上
d(1 2
mivi2 )
Fi(e)
dri
Fi(i)
dri
微分形式 dT Fi(e) • dri Fi(i) • dri
动能定理建 立了作功的力与
积分形式 T2 T1
W (e) 12
W (i) 12
三、机械能守恒定理
质点系位置和速 度间的关系。
条件：惯性参考系；做功的力为有势力 T U E
z'
vri y'
x' C vC
via vC vir
n
n
mi m, mivir mvcr 0
i1
i1
n
T
1 2
mvC2
1 2
mivi2r
i1
3
§2-3、动能定理
例：半径为R，质量为m车轮视为均质圆盘，在地面上滚动，
其质心的速度为 vC，角速度为 。求圆盘的动能。
y'
y
c
vC x'
R
10
动力学普遍定理的综合应用
动量（矩）定理——建立了质点系的广义坐标、广义速 度和广义加速度与外力间的关系。
dp
dt
n i1
Fi(e)
FR(e)
mac FR(e)
dLo
dt
n i1
Mo (Fi(e) )
dLrA
dt
n i1
M A (Fi(e) )
rAC
(maA)
动能定理——建立了质点系的广义坐标、广义速度和 广义加速度与作功的力之间的关系
mg FDx FDy
vA
y
3mg
x
取整个系统为研究对象
应用质点系的动量定理
和动量矩定理求约束力
系统对D点的动量矩：
LD mAvA 2R mBvBxR sin mBvByR(1 cos )
LD mR2(7 cos )
利用动量矩定理：
dLD
dt
M D (F (e))
FE
系统的动量：p mAvA mBvB
Leabharlann Baidu
m0
D
T2 T1 W12
T1 0
T2
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
2m(R)2
vA
A 2 g(3 sin )
2R
W12 mAgR mB gRsin 3mgR mgRsin
g(3 cos )
4R
2R2 3g g sin
12
动力学普遍定理的综合应用
FE
vB
E
B
R
D
m0 g
FAy
FAx
R
z
FBy x
FBx
A
mg By FBz
J mR2 sin 2 J0
J
J0 mR2 sin 2
vr
2J0mR2sin cos [J mR2 sin 2 ]2
应用动能定理的积分形式
T1
1 2
J02
1 2
mvr20
T2
1 2
J 2
1 2
mva2
va2 ve2 vr2 (R sin )2 (R)2
2
R v
T2 T1 W12
m2 g
5mr 22 4mgs 1 ks2
2
6
l0 k
s
F
m1
o
R
r
Jo v
m2 g
§2-3、动能定理
2、求杆的加速度
5mr 22 4mgs 1 ks2
2
10mr2 4mgs kss r s 10mr 4mg ks R a a R 4mg ks
5m