北航理论力学-动力学2E
北航理论力学 动力学5C
x
qT [x, ] qT [x,]
T 1 qT Mq
M mm21Lcoms2
m2
4 3
L cos
m2 L2
2
M是正定对称矩阵，是广义坐标的函数 14
§5-4、哈密顿方程
T 1 qT Mq 2
pj
T q j
,
( j 1,2)
p
T q
p Mq
系统的哈密顿函数H=T+V
H
T
V
1 2
对于定常约束的保守系统，哈密顿函数H就是系统的动能与
势能的和，即：
H T V
12
§5-4、哈密顿方程
例题：求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程
z
1、系统的广义坐标：x, y, z
2、系统的动能 T 1 m(x2 y 2 z2 )
mg
y
2
pj
T q j
,
( j 1,2,3)
px mx py my pz mz
21
哈密顿系统的辛算法
20世纪80 年代，提出了 哈密顿系统的 辛算法。该算 法可保持长期 数值计算的稳 定性。
冯 康(1920.9～1993.8) 数学与物理学家、计 算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理 系。1951～1953年赴前苏联进修。
曾任中国数学会理事，计算数学分会副 理事长，中国计算机学会副主任等职。 1980 年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部 院士)。
v1 ? v2 ? ?
10
§5-4、哈密顿方程
一、保守系统的拉格朗日方程 设：L＝T-V （拉格朗日函数）
d dt
L q j
L q j
0,
( j 1,2,, k)
北航 理论力学 复习课件
y
ω δr
对于定常约束,实位移是虚位移之一 对于定常约束 实位移是虚位移之一
x
∑F
i =1
n
Ni
• δ ri = 0
• 理想约束 质点系中所有约束力在任何虚位移上所作 理想约束: 质点系中所有约束力 任何虚位移上所作 所有约束力在
虚功之和为零的约束。 虚功之和为零的约束。 为零的约束
10
问题: 问题
aB = a A + a + a
n BA
t BA
B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） ：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； ：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向） ：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
17
问题。 为左半圆盘上的任意一点， 为该点的速率， 问题。设P为左半圆盘上的任意一点，若 vP 为该点的速率，如 为左半圆盘上的任意一点 果圆盘匀角速在地面上纯滚动，则下列关系式哪个成立？ 果圆盘匀角速在地面上纯滚动，则下列关系式哪个成立？
用什么方法求绳索BD的拉力 用什么方法求绳索 的拉力? 的拉力
a
D
a
W
a
C
M
ϕ
W
A
W
B
问题: 作用于BC杆上的力偶 与绳索BD的拉力是否有关 杆上的力偶M与绳索 的拉力是否有关? 问题 作用于 杆上的力偶 与绳索 的拉力是否有关 要求：能熟练求解刚体系的平衡问题、会判断结构的静定性。 要求：能熟练求解刚体系的平衡问题、会判断结构的静定性。
A: dv p dt dv p dt dv p <0
B
=0 >0
P
u
B: C: D:
北航机械考试大纲971-972-973
北航机械考试大纲971，972，973考研之路 2007-10-20 09:02:45 阅读295 评论0字号：大中小971机械工程专业综合（1）考试大纲（2008版）一、考试组成971机械工程专业综合（1）共分三部分：理论力学（动力学）、机械原理和自动控制原理，各占试卷总量的三分之一，满分各为50分。
二、理论力学（动力学）部分的考试大纲（一）参考教材1．《动力学》（第2版）1-7章谢传锋主编，高等教育出版社（二）主要内容及基本要求1. 质点动力学⑴ 质点运动学（在直角坐标系和自然轴系下描述、点的复合运动）⑵ 质点动力学方程（在惯性系和非惯性系中表示）、⑶ 点的复合运动初步掌握上述内容的概念、分析的基本方法和思路。
2. 质点系动力学⑴ 动量定理⑵ 变质量质点动力学基本方程⑶ 对定点和动点的动量矩定理⑷ 动能定理掌握上述内容的定理、基本方程，特别是各种问题的分析方法。
3. 刚体动力学I、动静法⑴ 刚体平面运动的运动学和动力学⑵ 达朗贝尔原理（惯性力的简化、动静法、动平衡与静平衡）4. 刚体动力学II、拉格朗日方程⑴ 拉格朗日方程⑵ 动力学普遍方程⑶ 动力学II（刚体的定点运动与一般运动的运动学与动力学）5. 振动基础⑴ 单自由度系统的振动在掌握必要的基础知识外，重点是能够有建立力学、数学模型及提出问题和分析解决问题的能力，掌握定性分析和定量分析的方法。
三、机械原理部分的考试大纲（一）参考教材1．《机械设计基础》（下册）第17—24章吴瑞祥等主编，北京航空航天大学出版社或《机械原理教程》申永胜清华大学出版社（二）考试内容及基本要求本考试内容的章节是依据参考教材[1]编制的，参考教材[2]的内容与此基本相同，只是章节编号有所差异。
第17章机构的组成和结构17.1 机构的组成17.2 机构运动简图及其绘制17.3 构件的自由度与运动副的约束17.4 平面运动链的自由度及其计算及自由度计算时应注意的事项17.5 运动链成为机构的条件17.6 机构的组成原理与结构了解机构的组成要素，掌握机构运动简图的绘制方法。
北航理论力学复习
αe αr ωe ωr
ω ωe ωr
刚体的角加速度:
α dωe dωr dt dt
dωe d ' ωr ωe ωr dt dt αe αr
刚体的角加速度:
α αe αr ωe ωr
3
动系为一般运动时点的加速度合成
速度合成：
v a ve v r
vo ' ω ro ' M vr
锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周 运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度 、 角加速度 和圆锥底面上最高点 B 的加速度 a B 的大小。
=__________ ， =__________， a B =__________。
22
ω：自转角速度
例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 v M 、转动加速度 a R
和向轴加速度 a N 的大小。
M
v M ωa BM a R α BM
α ωa vM
例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬
时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A
定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一 轴经过一次转动来实现。
定点运动刚体有限位移的顺序不可交换. 定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.
定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移 可以用矢量表示。 定点运动刚体的角速度\角加速度可以用矢量表示。 了解欧拉运动学方程. 了解欧拉动力学方程. 自转\进动\章动概念.
要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。 解: 1. 取陀螺研究; 3. 由动量矩定理:
北航理论力学部分课件
§1-3 平衡问题的解法
•自由体 free body ：可以在空间任意运动的物体
•非自由体 constrained body ：运动受到某些限制的物体
13.10.2023
1
理论力学
非自由体实例
13.10.2023
2
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
一、约束与约束力
•约 束 constraint ：限制物体运动的条件, •约束体 constraint body ：约束非自由体运动的物体,
§1-3 平衡问题的解法
思考题： • 机器人的哪些关节 是柱链接铰 •人手的哪些关节可 简化成柱链接铰
13.10.2023
23
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
米开朗基罗： 石头本身就赋予雕像以生命,我只是把多余的部分敲掉了
哀 悼 基 督 （ 米 开 朗 基 罗
人 体 关 节 的 简 化 模 型
）
科学研究： 客观规律存在于自然界中,在研究问题的过程中,我们要抓住
9
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
北京南站顶棚拱架支座
13.10.2023
10
理论力学
2、连接铰链
§1-3 平衡问题的解法
B
注意：作用力与反作用力的关系
13.10.2023
F By F Bx
B
F
' By
B
F
' Bx
11
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
13.10.2023
12
理论力学
3、活动铰链支座
例：结构如图所示,不计构件自重,画出AB杆的受力图,
AC
B
北航《理论力学(第二学期)》考题整理
A
（a）
B
A
(b)
B
A:情况（a）时 AB 杆的角加速度大； B:情况（b）时 AB 杆的角加速度大； C：条件不足，不能确定。 二、 填空题（第 8 小题 5 分，其余每空 4 分，共 65 分, 将计算的最简结果填写在 空格上） 1、定轴转动刚体绕 O 轴在铅垂面内运动，若其质量为 2m，对转轴的转动惯量为 J, 质心到转轴的距离 OC=b,根据系统的广义坐标 （如图 3 所示） ， 建立其运动微分方 程。答:运动微分方程为： 2、匀 质 三 角 板 用 圆 柱 铰 链 与 铅 垂 的 AB 杆 和 CD 杆 连 接 ， 如 图 4 所 示 。 已 知
=
O
。
已知图示瞬时刚体的角速度为 （方向由 O 点指向 A B 点） ，角加速度为 （方向由 O 点指向 B 点） 。求正
4
A
图7
北京航空航天大学交通科学与工程学院《理论力学（第二学期） 》复习资料
方体上顶点 B 速度 vB 和加速度 aB 。 答：
B 点速度的大小 vB = B 点加速度的大小 aB =
4、两个相同的均质杆 AC、BC（各质量均为 m 长为 L）由铰链 C 连接在图示平面内 运动，已知图示瞬时铰链 C 的速度大小为ｕ，杆的角速度的大小为ω，方向如图 3A-D 所示，则该瞬时图 3_______所示情况，系统得动能最大。
AB=2L,CD=AC=L,各刚体的质量分别为 m1 ， m2 ， m3 ，若图示瞬时 AB 杆
3
北京航空航天大学交通科学与工程学院《理论力学（第二学期） 》复习资料
的角速度为 (方向如图)。该瞬时系统动量的大小 P=
。
B
O
m2
D
习题课II北航理论力学王琪
A: 速度的模增加;
2009-11-18
B: 速度的模减小
10
理论力学
讲解过
A
演示过
o
过
θ
u
x
2009-11-18
11
理论力学
试题：已知图示瞬时圆盘中心O的速度和加速度，求此瞬时 AB 杆的角速度和角加速度。
动点：圆盘中心O A 动系：AB杆 速度分析
aa
vr a n e o ve t a e v B Ra a
2009-11-18 2
理论力学
•元功(elementary work):
虚位移原理
δW = F • vd t = F • d r
等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效 即：{F1 , F2 , L , Fn } = { P1 , L , Pm } = {FR , M O } 则
n m
∑W (F ) = ∑W ( P ) = W (F ) + W ( M
• 点的复合运动
– 绝对运动、相对运动、牵连运动 – 绝对速度、相对速度、牵连速度 – 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度
• 基本定理与方程
– 速度合成定理、加速度合成定理 – 质点动力学方程（惯性参考系和非惯性参考系）
2009-11-18 6
理论力学
基本公式
&⎫ vx = x ⎪ &⎬ vy = y ⎪ &⎭ vz = z
反映速度方向的变化
mar = ∑ F + Fe + FC
7
理论力学
• •
解决问题的方法与基本步骤
受力分析－根据约束条件和已知量,，确定力的方向、分析哪些是未知量 运动分析－利用几何性质和约束条件，建立运动学（包括几何、速度和 加速度）关系，确定系统的自由度和未知量数目。
理论力学都要学些什么？难的吗？听说学校里这个课挂科率很高！
理论力学都要学些什么？难的吗？听说学校里这个课挂科率很高！理论力学都要学些什么？难的吗？听说学校里这个课挂科率很高！楼下为什么答非所问？理论力学分静力学，运动学和动力学三个部分。
顾名思义，静力学主要讲静力分析，属于基础，学不懂会影响后面的学习。
运动学个人感觉最难，基本是运动分析，与力的关系不大，主要就是求机械装置某个部位某个点的瞬时速度或加速度。
动力学是把运动和受力合起来讲，能量和动量什么的是主线，里面有很多解题的巧妙方法，用到少量的微积分，内容也是最多的。
理论力学说实话不好学，你们学校挂科高说明教课老师喜欢挂，建议好好学习，最重要的是达到布置的作业得自己做然后弄懂的程度。
可以不攻难题，但是课后习题必须明白怎么做。
其次理论力学考试可出的题目虽然多，但是基本上只会考老师上课讲过的例题或者其改版形式，按照老师们的说法：没办法，提出太难了学生就不会做。
所以学习的时候多总结，自己把公式（很多）列出来，找到相关量对号入座，实在记不住做个小抄也不过分。
理论力学是学些什么？理论力学是固体力学的一个分支，是工科的一门专业基础课，为其他力学课程打基础的。
其内容分为三部分：静力学、运动学和动力学。
静力学主要研究力的基本性质，物体的受力分析与受力图及各种力系的简化与平衡；运动学主要研究物体运动的几何性质。
包括点的运动描述方法、刚体基本运动描述方法、平动参考系下点的运动的合成、定轴转动参考系下点的运动的合成、科氏加速度的概念；刚体平面运动的运动学方程、刚体平面运动的速度分析方法、刚体平面运动的加速度分析方法。
动力学主要研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
包括质点动力学基本方程；动量定理；质心运动定理；刚体转动惯量特性，刚体定轴转动动力学方程；刚体相对于定点的动量矩定理，刚体相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程；动能、势能，刚体的动能定理；刚体简单运动的达朗伯原理，刚体平面运动的达朗伯原理；约束，自由度，虚位移原理，虚位移原理在静力分析中的应用；振动方程。
北航理论力学部分课件
空间力系
FR y FR z
∑F =∑ F =∑ F
∑ ∑
ix iy
iz
= 0 = 0 = 0
有三个独立的平衡方程
FR = FRx i + FRy j + FRz k = 0
FR =
F
+F
2 Ry
+F
2 Rz
=0
平面力系
FRx = FRy =
F ix = 0 F iy = 0
2010-11-27 8
理论力学
§1 - 0
力学模型与力系
•共点力系 共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。 力作用线汇交于一点的力系。 共点力系 力作用线汇交于一点的力系 F1 F1
Fn
Fn
A
F2
A
F2
若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 共点力系(concurrent coplanar force system)。 共点力系 。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。 间共点力系
§1 - 0
力学模型与力系
•刚 (rigid body)：具有质量，考虑其形状和尺寸大小，其上 刚 ) 具有质量，考虑其形状和尺寸大小， 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。
• 特点：所研究的问题与 特点： 物体的质量和姿态有关， 物体的质量和姿态有关， 其变形可以忽略不计。 其变形可以忽略不计。
理论力学之静力学习题答案北航
理论力学之静力学习题答案北航(总27页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除静力学（MADE BY 水水）1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图F AxF A yF B(a)(a)F AF BF BF DF DF BxF ByF BxF CF BF CF By1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图1-5aF AxF A yF DF ByF AF BxF BF AF AxF A y F DyT EF CxF C yN’F BF DF A N F AF BF D1-5b1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。
试求二力F 1和F 2之间的关系。
解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有：∑=0x F 045cos 02=-BC F F 对C 点有：∑=0x F 030cos 01=-F F BC解以上二个方程可得：22163.1362F F F ==F 2F BC F ABB45oy xF CD C60o F 130oF BCxy45030解法2(几何法)分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F =对C 点由几何关系可知：130cos F F BC =解以上两式可得：2163.1F F =2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。
试求A 和C 点处的约束力。
解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
北航空气动力学课后答案
第一早 解：R k 8315259 84 m 2_解：R m 宫 259'84. (s 2?k )气瓶中氧气的重量为解：建立坐标系根据两圆盘之间的液体速度分布量呈线性分布 那么离圆盘中心r ，距底面为h 处的速度为当n=0时u=0推出u 0那么摩擦应力为上圆盘半径为r 处的微元对中心的转矩为u D 3 32解：在高为10000米处A-A- ―第——早2-2解流线的微分方程为3V X V y将v x 和v y 的表达式代入得 -dXr -dy ^ , xdx ydy2xy 2 2x 2y将上式积分得y 2-x 2=c ,将(1, 7)点代入得c=7 因此过点(1, 7)的流线方程为y 2-x 2=4822- 3解：将y +2xy=常数两边微分 2ydy+2xdx+2ydx=0整理得 ydx+ (x+y ) dy=0 (1)将曲线的微分方程v x vy 代入上式得 yVx+ (x+y ) 0=0当 n=h 时 u=wr 推出 kwrhT=压强为P Pa密度为一T a Ta1-7 解: p RTP RT24.464KGM 2662.98kg5.2588空气的质量为T Ta由 V . x 2 2xy 2y 2 得 V x 2+V 2=x 2+2xy+y 2((2)由(1)( 2)得 v x x y , V y y2-5解:直角坐标系与柱坐标系的转换关系如下图 速度之间的转换关系为V x V yv r cos v sin v r sin v cos丄 x rcos由y rsincos 1 -sin rsin 1 -cos r2-6 解：〔1〕 乂x3X 2S iny 3X 2S iny此流动满足质量守恒定律 V yQ 2 •3x siny y此流动不满足质量守恒定律 (2)巴 3X 2S inyxVy y6x 2si ny 0(3) V x =2rsinV y =-2rsin 2r2y 2 r此流动不满足质量守恒方程〔4〕对方程x 2+y 2=常数取微分，得 dx dydy x由流线方程dx dy(1) V x V y2 2 xV y k2■⑵r由〔1〕〔 2〕得方程v ky 3rV ykx r此流动满足质量守恒方程2—7解：乂 £y zyz7 2yz 7r 2 0同样V x zVyV x 0 y该流场无旋 2—8 解：〔1〕 V x xV y yV z z；V x z0;(3) dv x dx V y dy v z dz axdx aydy 2azdz2—9 解：曲线 x 2y=-4， f x ，yx 2y 40 切向单位向量t fy i f 2 f 2f 2 ff x f y fxffx -2 jy 2x4 x4x2xy,x 4 4x 2y 2 把x=2，y=-1代入得vx 22xx 2x j2—14 解：v=180km )h =50ms 1 根据伯努利方程p — V2 驻点处v=0,表示为p pa 12 V 2 V 2pa1.225 502 1531.25pa相对流速为60叹处得表 示为p H v 21531.25 1.225 602 637.75AVV ------- *第二早 3— 1解：根据叠加原理，流动的流函数为 x ， 2arctgY2 x速度分量是V x — V — 2 X 2 ； y 2 x y V y驻点A 的位置由V AX =0 V Ay =0求得 X AV ； yA 0过驻点的流线方程为V y y— arctg —c xarctg 出X A在半无限体上，垂直方向的速度为v yQ sin v sin 22 r-线面求极值牛g 空v・2sin2当 sin 0 v yv y0旦 2minv y v ymax用迭代法求解也一Q sin v sin 2 2 r-可计算出当1时，v y 0.724611V ，v x 0.6891574V2 2 x V y 3—3解：设点源强度为Q, 合速度V 根据叠加原理，流动的函数为两个速度分量为x x x 2 y _ 一 3a 2对于驻点，v x v y 0， 解得x A 0, y A3—4解：设点源的强度为Q, 数为 点涡的强度为T ，根据叠加原理得合成流动的位函速度与极半径的夹角为arctg — V rarctgQ 3—5根据叠加原理得合成流动的流函数为y aarctgy ay aarctg y y a两个速度分量为v由驻点v x v y 0得驻点位置为 3a,0零流线方程为 V y V xaarctg — yaarctg对上式进行改变，得x 2 a 2 2ay tan y' 产a当x 0时，数值求解得 1.03065a 3—9解：根据叠加原理，得合成流动的流函数为 速度分量为V x v y 2 x Q x a _Q xa 2 y 22 由V X V y 0得驻点位置为 a 2 aQ ,0v 过驻点的流线方程为v yarctgarctg 丄y a 上面的流线方程可改写为：y arctg —y ay arctg —y a1v容易看出y=0满足上面方程当y 0时，包含驻点的流线方程可写为x 2y 2a 2当a v —1时，包含驻点的流线方程为x 2 y 223— 10解：偶极子位于原点，正指向和负 x 轴夹角为，其流函数为第四章4— 1解：查表得标准大气的粘性系数为u 1.78 10 5 kg/ 平板上下两面所受的总得摩擦阻力为4—2解：沿边阶层的外边界，伯努利方程成立当m 0时丄0;当m 0时丄0x xm 0代表顺压梯度，m 0代表逆压梯度2-1 带入〔4—90〕中的第二式得2板附面层2d v dxM ycos2 x 2xsin45时3—11解：圆柱外表上的速度为v压强分布函数为C p 12v sin2 a21 4si n2 1 14 asin v2v由牛顿粘性定律v x却」下面求动量积分关系式，因为是平将上述关系式代入积分关系式，得金du边界条件为x=0时,2y tanym m 1 V °x v °x2 2m 1m v 0 x4—4解：〔a 〕将厶-yv 2dvdx0积分关系式可表示为2ay积分上式，得平板边界层的厚度沿板长的变化规律 4.64(b )3 4.64 1.7483 . 4.64x -u ——； 2C f .. Rx 0.6465- 1 一架低速飞机的平直机翼采用 NACA241翼型，问此翼型的f ， x f 和c 各是多少?解：此翼型的最大弯度f =2%最大弯度位置x f =40% 最大厚度c =15%5-2有一个小a 下的平板翼型，作为近似，将其上的涡集中在14弦点上，见图。
理论力学课后答案-谢传峰、王琪-动力学部分
( x 2 R 2 ) 2 xx 3 2 2 R 2 xx 2x x
后，可求得： 将上式消去 2 x
x
2 R4 x
( x 2 R 2 )2
(d)
由上式可知滑块 A 的加速度方向向左，其大小为 取套筒 A 为研究对象，受力如图所示， 根据质点矢量形式的运动微分方程有：
0
a
av cos 2 45 0 av l 2l
v r1
1－15 解：动点：销子 M 动系 1：圆盘 动系 2：OA 杆 动系：机座； 运动分析： 绝对运动：曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 根据速度合成定理有
ve1
ve2
v r2
x
va1 ve1 v r1 ，
va2 ve2 v r2
y’
va
vr
ve
O
x’
va ve vr
将上式沿绝对速度方向投影可得：
v a v e v r
y’ 因此
vr ve va
v 其中： v a v B , v e R B , A ， RA
由此可得： v r
arn
RB 380 v A vB m/s RA 9
O1 A 2R
根据加速度合成定理有
a a a et a en a r aC
将（b）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得
（b）
aet aen
ar
aa
aC
a a sin 30 0 a et cos 30 0 a en sin 30 0 aC
其中： a a R ， a 2 R
ve
北航 理论力学习题课(习题)
F1
D:力螺旋
F2
2
BUAA
题5：空间汇交力系的平衡方程独立的充分必要条件：
⎧ ∑ Fx = 0 ⎪ ⎨∑ Fy = 0 ⎪ ⎩ ∑ Fz = 0
A：三个轴正交； B：三轴不共面； C：三轴相交不共面； D：三轴的单位向量不相关
题6：空间汇交力系的平衡方程能否用取矩式给出? 题7：给出空间汇交力系的平衡方程的三矩式：
M P
问题：摩擦因数大于1的值为什么不是该题的解？
2009-10-14
18
BUAA
题24：已知 WA, a，b，f。求平衡时， WBmax
a
A
a
WA
b f 为板与圆盘间的静滑动摩擦因数
O
WB
2009-10-14 19
BUAA
题25: 系统在图示位置平衡,已知F, M, a..如何求A, B处的约束力
z
FR
F1
o
F2
y
⎧ ∑ M l1 = 0 ⎪ ⎨ ∑ M l2 = 0 ⎪ ⎩ ∑ M l3 = 0
确定三根轴的位置
3
x
2009-10-14
Fn
BUAA
题8：给出空间平行力系平衡方程的三矩式
z
Fi
o x
y
⎧∑ M x = 0 ⎪ ⎨∑ M y = 0 ⎪ ⎩∑ M L = 0
如何确定L轴？
2009-10-14
3
| F 2 + F 3 |=
M 2
b
a
1
不计自重
2009-10-14 14
BUAA
题19：确定图示结构
BUAA
题20: 正方体的边长为a，作用有力系如图所示，其中三个力的 大小为F，两个力偶矩的大小为M=Fa,方向如图。若使该立方体 平衡，只需在其上施加一个力即可。则在Oxyz坐标系中:
北航971机械工程专业综合考试大纲
971 机械工程专业综合考试大纲（2013 版）、考试组成971 机械工程专业综合试卷共分四部分：1）理论力学（动力学）；2）机械原理；3）机械设计；4）自动控制原理，各部分满分均为50 分。
1）、2）部分为必答部分，3）、4）部分为选答部分，考生二选一作答。
、理论力学（动力学）部分的考试大纲一）参考教材1．《动力学》（第2版）1-7 章谢传锋主编，高等教育出版社二）主要内容及基本要求1.质点动力学⑴ 质点运动学（在直角坐标系和自然轴系下描述、点的复合运动）⑵ 质点动力学方程（在惯性系和非惯性系中表示）、⑶ 点的复合运动初步掌握上述内容的概念、分析的基本方法和思路。
2.质点系动力学⑴ 动量定理⑵ 变质量质点动力学基本方程⑶ 对定点和动点的动量矩定理⑷ 动能定理掌握上述内容的定理、基本方程，特别是各种问题的分析方法。
3.刚体动力学I 、动静法⑴ 刚体平面运动的运动学和动力学⑵ 达朗贝尔原理（惯性力的简化、动静法、动平衡与静平衡）4.刚体动力学II 、拉格朗日方程⑴ 拉格朗日方程⑵ 动力学普遍方程⑶ 动力学II （刚体的定点运动与一般运动的运动学与动力学）5.振动基础⑴ 单自由度系统的振动在掌握必要的基础知识外，重点是能够有建立力学、数学模型及提出问题和分析解决问题的能力，掌握定性分析和定量分析的方法。
三、机械原理部分的考试大纲（一）参考教材1．《机械原理》，郭卫东，科学出版社，2010 2. 《机械原理教学辅导与习题解答》，郭卫东，科学出版社，2010（二）考试内容及基本要求本考试内容的章节是依据参考教材[1] 编制的，参考教材[2] 作为[1] 的辅助教材，给出了基本要求、重点与难点内容、典型例题和、常见错误和习题解答，对相关内容的掌握有帮助作用。
考试内容只涵盖书中的第1－5，9 章内容，其它章节可以不学习。
第1 章机构的组成原理1.1机构的组成及机构运动简图1.2平面机构的自由度了解机构的组成要素，掌握机构运动简图的绘制方法。
理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)
t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
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d(1 2
mivi2 )
Fi(e)
dri
Fi(i)
dri
微分形式 dT Fi(e) • dri Fi(i) • dri
动能定理建 立了作功的力与
积分形式 T2 T1
W (e) 12
W (i) 12
三、机械能守恒定理
质点系位置和速 度间的关系。
条件：惯性参考系；做功的力为有势力 T U E
W12 mg(1 cos )
T2 T1 W12
f ( ) 9
§2-3、动能定理
FAy
A
FAx
问题：确定小球分别运动到图示 三个位置A、C、B时，对应下列 哪个关系式成立？
R
z
FBy
B
x
FBx
FBz
C
y
FAx FBx 0 B FAx FBx 0 C FAx FBx 0 A
注：xyz 坐标系固连在转动刚体上
z'
vri y'
x' C vC
via vC vir
n
n
mi m, mivir mvcr 0
i1
i1
n
T
1 2
mvC2
1 2
mivi2r
i1
3
§2-3、动能定理
例：半径为R，质量为m车轮视为均质圆盘，在地面上滚动，
其质心的速度为 vC，角速度为 。求圆盘的动能。
y'
y
c
vC x'
R
dLrC dt
n i 1
MC (Fi(e) )
u
Lr C
1 mL2,
2
MC
FB
3 2
L sin
FA
1 2
L cos
A
FA
1 2
mL2
FB
3 2
L
sin
FA
1 2
L
cos
应用质心运动定理 m1a1 m2a2 FA FB 2mg
m1g D
x : m2x2 FA
y : m1y1 m2 y2 FB 2mg
mg FDx FDy
vA
y
3mg
x
取整个系统为研究对象
应用质点系的动量定理
和动量矩定理求约束力
系统对D点的动量矩：
LD mAvA 2R mBvBxR sin mBvByR(1 cos )
LD mR2(7 cos )
利用动量矩定理：
dLD
dt
M D (F (e))
FE
系统的动量：p mAvA mBvB
位于杆的中点，滑块A视为质点，忽略AB杆的质量和所有摩擦。
u
A
m1g D
m2 g
B
问题： 1、系统有几个自由度？ 2、共有多少未知量？ 3、要求哪些未知量？ 4、用什么方法求解？
15
动力学普遍定理的综合应用
u
解：取系统为 研究对象，受力分析与运动分析
A
FA
m1g D
m2 g
dT Fi • vidt
2L2 cos
3g 4
3u 2 2L
m1a1 m2a2 FA FB 2mg
x : m2x2 FA
B
x2 L sin , x2 Lcos
FB
x2 Lcos 2 sin
y : m1y1 m2 y2 FB 2mg 17
动力学普遍定理的综合应用
方法二
应用相对质心的动量矩定理
• 动能定理
– 建立作功的力与系统的位置或广义坐标和广义速度之间的关系 – 动能定理（微分形式和积分形式）、机械能守恒定理
20
FB
FA
a 2a
思考题
已知：两个均质滑轮质 量均为m,半径为R，两 个物块的质量为2m，绳 索相对滑轮无滑动。求 两个物块的加速度和图 示的约束力。
21
FAy
FAx
R
z
FBy x
FBx
A
mg By FBz
J mR2 sin 2 J0
J
J0 mR2 sin 2
vr
2J0mR2sin cos [J mR2 sin 2 ]2
应用动能定理的积分形式
T1
1 2
J02
1 2
mvr20
T2
1 2
J 2
1 2
mva2
va2 ve2 vr2 (R sin )2 (R)2
3mgLsind t
dT [m(2Lsin )(2Lsin 2L2 cos ) m(L)(L)]d t 16
动力学普遍定理的综合应用
u
A
FA
m1g D
m2 g
4Lsin (sin 2 cos ) L 3g sin
y1 2Lsin
3g 4L
u2 3 2L2
300
u
L
y1 2Lsin
7
A
vr0
R
B
§2-3、动能定理
例：已知：J , R, m, 求圆环的角速度
和角加速度（表示成 的函数）。 初始时： 0,vr vr0, 0,
1、受力分析和运动分析 2、有哪些未知量 3、要求哪些未知量 4、通过什么方法求要求的未知量
8
§2-3、动能定理
解：取圆环和小球为研究对象， 系统对AB轴的动量矩守恒
问题的引出
质点系由两个相同的小齿轮和两个相同的大齿轮构成， 每个齿轮视为均质圆盘，在力偶 M 作用下由静止开始运动。
问题: 用系统的动
M 量和动量矩均无
法反映系统的运 动状态。
1
FB
FA
a 2a
问题的引出
已知：两个均质滑轮和 两个物块的质量参数和 几何参数，绳索相对滑 轮无滑动。如何求两个 物块的加速度。
mac FR(e)
dLo dt
n
M o (Fi(e) )
i 1
求解方法比较繁琐
2
一、质点系的动能
1、质点系的动能
n
T
1 2
mivi2
i 1
2、 平移刚体和定 轴转动刚体的动能
平移 T
1 2
mv
2
定轴转动
T
1 2
J 2
§2-3、动能定理
3、柯尼希定理 设动参考系Cx’y’z’平移
z mi
xo y
10
动力学普遍定理的综合应用
动量（矩）定理——建立了质点系的广义坐标、广义速 度和广义加速度与外力间的关系。
dp
dt
n i1
Fi(e)
FR(e)
mac FR(e)
dLo
dt
n i1
Mo (Fi(e) )
dLrA
dt
n i1
M A (Fi(e) )
rAC
(maA)
动能定理——建立了质点系的广义坐标、广义速度和 广义加速度与作功的力之间的关系
m0
D
T2 T1 W12
T1 0
T2
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
2m(R)2
vA
A 2 g(3 sin )
2R
W12 mAgR mB gRsin 3mgR mgRsin
g(3 cos )
4R
2R2 3g g sin
12
动力学普遍定理的综合应用
FE
vB
E
B
R
D
m0 g
T
1 2
m1v12
1 2
m2v22
1 2
m1
y12
1 2
m2
(
x22
y22 )
y1 2L cos y1 2Lsin
x2 L sin
x2 Lcos
y2 L cos
y2 Lsin
T 1 m(2Lsin )2 1 m(L)2
B
2
2
FB
Fi • vidt (m1gy1 m2gy2 )dt
x
o
n
T
1 2
mvC2
1 2
mivi2r
i1
解：取平移动系cx’y’
T
1 2
mvC2
1 2
JC
2
1 2
mvC2
1 4
mR2 2
4
§2-3、动能定理
二、质点系的动能定理
质点系中的每个质点有 midvi Fi(e)dt Fi(i)dt
mivi dvi Fi(e) vidt Fi(i) vidt
5
§2-3、动能定理
例：系统如图所示，m1 m, m2 2m, R 2r, JO 2mr 2 , k ，初
始时静止，弹簧为原长 l0。求弹簧伸长s时，杆的速度和加速度。
l0 k
s
F m1
o
R
r
Jo
v
解：1、求杆的速度 T1 0
T2
1 2
Jo 2
1 2
m2v
2
5mr 2 2
W12
m4m2gg2ss112ksks2 2
m2 g
B
利用下列几何关系，联立求解方程
FB
x2 L sin , y1 2 y2 2L cos
18
动力学普遍定理的综合应用
思考题：若质点系的动量守恒，且对某一点的动量矩 也守恒，则下列哪些答案是正确的，试举例说明。
A：该质点系的质心速度为常矢量 B：该质点系中每个质点速度的大小不变 C：该质点系中每个质点的速度一定为常矢量 D：质点系的动能一定为常量 E：质点系的动能一定不为常量 F：质点系的外力一定不作功
利用动量定理：
dpx
dt
Fx(e)
FDx
13