梁的强度和刚度计算
梁钢结构计算
19.3.2.2 檩条的计算
在图19.10中，α为屋面坡角，q为竖向力。 檩条的设计一般是先假定型钢型号，再进行验算。 (1) 强度计算
Mx My f
yWnx yWny
(2)
当屋面板不能起可靠的侧向支承作用时，应按式 (19.10)进行整体稳定的验算，如瓦楞铁、石棉瓦等轻 屋面。一般设有拉条或跨度小于5m的檩条，可不进
Mmax=1637kN·m Mmax/φb′Wx=207.4N/mm2<f=215N/mm2
表19.4 轧制普通工字钢简支梁的φb
19.3 型钢梁设计
19.3.1 单向弯曲型钢梁
19.3.1.1 选择截面
一般来说，当有能阻止梁侧向位移的铺板或受 压翼缘侧向自由长度与宽度之比不超过表19.2的规定， 截面由抗弯强度控制。否则由整体稳定条件控制。
材性质接近于理想的弹性体；在屈服点之后，又接 近于理想的塑性体，所以可以把钢材视为理想的弹 塑性材料。
梁在弯矩作用下，随弯矩的逐渐增大，梁截面 上弯曲应力的分布，可分为三个阶段，如图19.2所示。
① 弹性工作阶段 ② 弹塑性工作阶段 ③ 塑性工作阶段 把边缘纤维达到屈服点视为梁承载能力的极限 状态，作为设计时的依据，叫做弹性设计；在一定 的条件下，考虑塑性变形的发展，称为塑性设计。 《规范》规定：计算抗弯强度时，对直接承受 动力荷载的受弯构件，不考虑截面塑性变形的发展； 对承受静力荷载或间接承受动力荷载的受弯构件， 考虑截面部分发生塑变。
现改为在l/3=2000 φb=1.163 φb′=0.828
My=-0.1808kN·m
My=0.0452kN·m 6.12×106/(0.828×39.7×103)+0.0452×106/(1.05×7.8×103) =192N/mm2
梁的强度和刚度计算
梁的强度和刚度计算强度是指梁抵抗外力的能力。
梁的强度计算一般包括了两个方面：弯曲强度和剪切强度。
其中，弯曲强度是指梁在受到弯曲作用时的承载能力，剪切强度是指梁在受到剪切力作用时的承载能力。
弯曲强度的计算通常基于弹性理论，其中最常用的方法是根据梁的截面形状和材料的弹性模量来计算梁的截面抵抗力矩。
弹性模量是材料的一种力学性质，它衡量了材料在受力后产生的应变程度。
根据梁的截面形状和边界条件，可以计算出梁在弯曲作用下的最大应力和最大应变。
将最大应力与材料的弯曲强度进行比较，就可以判断梁是否满足设计要求。
剪切强度的计算也是基于弹性理论。
梁在受到剪切力作用时，梁内部会发生剪切变形。
剪切强度的计算包括两个方面：剪切应力和剪切变形。
剪切应力是指剪切力对梁截面的作用，剪切变形是指梁截面产生的剪切位移。
剪切强度的计算要求同时满足两个条件：剪切应力小于材料的剪切强度，剪切变形小于允许的变形限制。
刚度是指梁在受到力作用后的变形程度。
梁的刚度决定了梁的承载能力和结构的稳定性。
刚度的计算通常考虑梁的弹性变形和塑性变形两个方面。
弹性变形是指梁在小荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的截面形状、材料的弹性模量和梁的长度等因素。
塑性变形是指梁在大荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的屈服强度、截面形状和材料的塑性性质等因素。
根据梁的受力情况，可以计算出梁的弯曲刚度和剪切刚度。
弯曲刚度表示梁在受到弯曲作用时的抵抗变形能力，剪切刚度表示梁在受到剪切力作用时的抵抗变形能力。
在梁的强度和刚度计算中，需要根据具体的工程要求和设计规范进行。
梁的截面形状、材料的性质和受力情况都会对强度和刚度的计算结果产生影响。
因此，工程师需要根据具体情况选择适当的计算方法和模型进行计算。
同时，还需要进行合理的验算和对比，确保梁的设计满足强度和刚度的要求。
第8章 梁的强度与刚度
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中
点。 由
矩形截面弯曲截面系数：
h=2b=0.238m 最后取h=240mm,b=120mm
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第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）
目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度
计算。
教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。
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解：（1）求出梁的支座反力为 FA=0.75kN,FB=3.75kN （2）作梁的弯矩图如图（b） （3）分别校核B、C截面 B截面
可见最大拉应力发生在C截面的下边缘。 以上校核知：梁的正应力强度满足。 C截面
可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。 以上校核知：梁的正应力强度满足。
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二、纯弯曲时梁的正应力：
１、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长， 有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短， 这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
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三、 选择合理的截面：
１、截面的布置应该尽可能远离中性轴。 工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。 ２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等， 应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。
教学难点：脆性材料的正应力分布规律及
弯曲正应力强度条件的建立。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析
1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截
面梁。
梁的强度与刚度
• 弹性最大弯矩
M e Wn f y
• 塑性铰弯矩
M pn Wpn f y
• 截面形状系数 F WPn /Wn
• 梁的《规范》计算方法
✓ 以部分截面发展塑性（1/4截面）为极限承载力状态
✓ 单向弯曲
M x(y)
f
W x( y) xn( yn)
✓双向弯曲 M x M y f xWxn yWyn
a ——集中荷载沿梁跨度方向的支承长度，吊车梁可取a
为50mm；
hy ——自吊车梁轨顶或其它梁顶面至腹板计算高度上边
缘的距离。
四、折算应力
• 钢材处于复杂应力状态，应按下式计算折算
应力：
eq
2
2 c
c
3 2
1 f
——
In —— 梁净截面惯性矩；
y1 ——所计算点至梁中和轴的距离； ——计算折算应力的强度设计值增大系数
梁的强度与刚度
一、梁的强度
• 梁在荷载作用下将产生弯应力、剪应力，在集
中荷载作用处还有局部承压应力，故梁的强度 应包括：抗弯强度、抗剪强度、局部成压强度， 在弯应力、剪应力及局部压应力共同作用处还 应验算折算应力。
1、抗弯强度
• 弹性阶段：以边缘屈服为最大承载力
• 弹塑性阶段：以塑性铰弯矩为最大承
✓ 式中：γ为塑性发展系数，按P163，表5.1 • b1/t≥13及直接承受动力荷载时γ=1.0
二、抗剪强度
• 工字形和槽形截面梁中，由于截面的壁厚远
小于截面的高度和宽度，故可假设剪应力的
大小沿壁厚不变；又因壁的两侧表面皆为自 由面，故又可认为剪应力的方向与周边相切。 根据这两个假设可推导得剪应力的计算公式：
VS I xtw
第九章 梁的强度和刚度计算
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第一节
梁横截面上的正应力
第二节 梁横截面上的剪应力
第三节 梁的强度计算
第四节 弯曲中心的概念
第五节 梁的变形和刚度计算
第六节 应力状态和强度理论 小结
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第七章 梁的强度和刚度计算
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力σ。 且剪应力τ只与剪力Q有关，正应力 σ只与弯矩M有关。
等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
max
M max Iz
ymax
M max Wz
;
令Wz
Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3, mm3.
矩形截面：Wz
bh2 6
;圆形截面：Wz
D3 32
; 环形截面：Wz
D3 32
(1 4 );各种型钢查表。
（对于型钢，Szmax：Iz 的值可查型钢表确定）
2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布， 计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律。
水平
QS z
I z o
Sz—欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩；
3103 9102 5830108
4.63MPa
m
ax;
（在截面上下边缘。）
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小结
例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。
桥式起重机主梁强度、刚度计算
桥式起重机箱形主梁强度计算一、通用桥式起重机箱形主梁强度计算(双梁小车型)1、受力分析作为室内用通用桥式起重机钢结构将承受常规载荷G P 、Q P 和H P 三种基本载荷和偶然载荷S P ，因此为载荷组合Ⅱ。
其主梁上将作用有G P 、Q P 、H P 载荷。
主梁跨中截面承受弯曲应力最大，为受弯危险截面；主梁跨端承受剪力最大，为剪切危险截面。
当主梁为偏轨箱形梁时，主梁跨中截面除了要计算整体垂直与水平弯曲强度计算、局部弯曲强度计算外，还要计算扭转剪切强度，弯曲强度与剪切强度需进行折算。
2、主梁断面几何特性计算上下翼缘板不等厚,采用平行轴原理计算组合截面的几何特性。
图2-4注：此箱形截面垂直形心轴为y-y 形心线，为对称形心线。
因上下翼缘板厚不等，应以x ’— x ’为参考形心线,利用平行轴原理求水平形心线x —x 位置c y 。
① 断面形状如图2-4所示,尺寸如图所示的H 、1h 、2h 、B 、b 、0b 等。
② 3212F F F F ++=∑ [11Bh F =，02bh F =，23Bh F =] ③ Fr q ∑= (m kg /)④ 321232021122.)21(2)2(F F F h F h h F h H F Fy F y ii c +++++-=∑⋅∑=(cm ) ⑤ 223322323212113112212)(212y F Bh y F h h H b y F Bh J x ⋅++⋅+--+⋅+= (4cm ) ⑥ 202032231)22(21221212bb F h b B h B h J y ++++= (4cm )⑦ c X X y J W /=和c X y H J -/(3cm ) ⑧ 2BJ W yy =(3cm ) 3、许用应力为 ][σ和 ][τ。
4、受力简图1P 与2P 为起重小车作用在一根主梁上的两个车轮轮压，由Q P 和小车自重分配到各车轮的作用力为轮压。
梁的刚度计算
梁得强度与刚度验算
1．如图1所示一根简支梁长m,梁得自重为;钢材得等级与规格(,),，，,均为已知。梁上作用恒荷载,荷载密度为,荷载分项系数为1、2,截面塑性发展系数为,。试验算此梁得正应力及支座处剪应力。
图1
解:
(1）计算作用在梁上得总弯矩
需要计算疲劳得梁，按弹性工作阶段进行计算,宜取。
(2)梁得抗剪强度
一般情况下,梁同时承受弯矩与剪力得共同作用。工字形与槽形截面梁腹板上得剪应力分布如图5-3所示。截面上得最大剪应力发生在腹板中与轴处。在主平面受弯得实腹式梁,以截面上得最大剪应力达到钢材得抗剪屈服点为承载力极限状态。因此,设计得抗剪强度应按下式计算
ﻩﻩﻩﻩ(5-7）
式中:——腹板计算高度边缘同一点上得弯曲正应力、剪应力与局部压应力。按式（5－5)计算，按式(5-6)计算,按下式计算
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(5-８)
——净截面惯性矩；
y——计算点至中与轴得距离;
均以拉应力为正值,压应力为负值;
——折算应力得强度设计值增大系数。当异号时,取=１、2;当同号或＝0取＝１、1。
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（5-5）
式中:V——计算截面沿腹板平面作用得剪力设计值;
S——中与轴以上毛截面对中与轴得面积矩；
I——毛截面惯性矩;
tw——腹板厚度;
fv——钢材得抗剪强度设计值。
图５－３腹板剪应力
当梁得抗剪强度不满足设计要求时,最常采用加大腹板厚度得办法来增大梁得抗剪强度。型钢由于腹板较厚,一般均能满足上式要求,因此只在剪力最大截面处有较大削弱时,才需进行剪应力得计算。
梁得强度与刚度计算
１．梁得强度计算
梁得强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度与折算应力,设计时要求在荷载设计值作用下,均不超过《规范》规定得相应得强度设计值。
桥式起重机主梁强度刚度计算
桥式起重机主梁强度刚度计算桥式起重机是一种常见的起重设备，它具有高度、跨度大、工作范围广的特点。
主梁是桥式起重机的重要组成部分，它承担起整个起重机的重量和荷载。
因此，主梁的强度和刚度的计算对于保证起重机的安全和正常运行非常重要。
一、桥式起重机主梁的强度计算1.强度计算原则：桥式起重机主梁的强度计算要根据工作条件和荷载要求，在满足正常工作荷载的情况下，确保主梁不会发生破坏或超过允许应力范围。
2.静弯应力计算：桥式起重机主梁在承受负荷时，会产生弯曲应力。
根据弹性力学原理，主梁的弯曲应力可以通过以下公式计算：σ=M*y/I其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，y为主梁截面中心到受力点的距离，I为主梁惯性矩。
3.剪切应力计算：桥式起重机主梁在承受负荷时，也会产生剪切应力。
剪切应力可以通过以下公式计算：τ=V*Q/(h*t)其中，τ为剪切应力，V为剪力，Q为主梁截面上受剪应力的弦边长度，h为主梁截面高度，t为主梁截面厚度。
二、桥式起重机主梁的刚度计算1.刚度计算原则：桥式起重机主梁的刚度计算是为了保证主梁在承受荷载时不会出现过大挠度，确保起重机的正常工作。
2.梁的挠度计算：桥式起重机主梁的挠度计算可以通过以下公式进行估算：δ=(5*q*l^4)/(384*E*I)其中，δ为主梁的挠度，q为荷载，l为跨度，E为主梁的弹性模量，I为主梁的惯性矩。
总结：桥式起重机主梁的强度和刚度计算是保证起重机正常工作和安全运行的重要环节。
合理计算主梁的强度和刚度可以有效避免主梁的破坏和变形，确保起重机的性能和寿命。
此外，还需要使用合适的材料和工艺来制作主梁，以满足起重机的实际要求。
梁的刚度计算
梁的刚度计算The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020梁的强度和刚度计算1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。
（1）梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时f W M nxx x≤=γσ（5-3）双向弯曲时f W M W M nyy y nx x x≤+=γγσ（5-4）式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）；W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到；f ——钢材的抗弯强度设计值。
为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。
需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。
（2）梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。
工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。
截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。
在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。
因此，设计的抗剪强度应按下式计算v wf It VS≤=τ（5-5）式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值。
梁的刚度计算
B
C
载荷变形。
= ++
0.2 m F1 =1KN
A
D
B
F2 =2KN C
1B
F1L2 16EI
2B 0
w1C
1Ba
F1L2a 16EI
w2C
F2a3 3EI
图1
PF11
aC B
3B
ML 3EI
LaF2 3EI
w3C
3Ba
F2 La 2 3EI
图2
FP22
叠加求复杂载荷下的变形
A
L
M PF22
0.423104 (弧度)
wC
F1L2a 16EI
F2a3 3EI
F2 a 2 L 3EI
5.19106 m
校核刚度
wmax L
L
wmax
/
L
wC
/
L
5.1 9 1 06 0.4
1.3 1 05
L
1 05
max 0.423104 0.001
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素：
同类材料只能提高强度，不能提高刚度。 不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa ,
铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。 但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！
工程力学
E=210GPa，工程规定C点的[δ/L]=0.00001,B点的[ ]=0.001弧
度,试校核此杆的刚度.
L=0.4m
a =0.1m
A
D
B
梁的刚度计算公式
梁的刚度计算公式
梁的刚度计算公式是指用数学公式来计算梁的刚度，也就是梁的抵抗弯曲的能力。
一般来说，梁的刚度计算需要考虑材料的特性、截面形状以及梁的长度等因素。
对于梁的刚度计算，最常用的公式是欧拉-伯努利梁的弯曲刚度公式，它表示为：
EI = kM/δ
其中，EI代表梁的弯曲刚度，E为梁的弹性模量，I为梁的截面转动惯量，k为比例系数，M为梁的弯矩，δ为梁的挠曲度。
这个公式可以用来计算梁的最大挠度、应力和变形等物理量。
在工程设计中，梁的刚度计算公式是非常重要的，它可以帮助工程师有效预测结构的受力情况，并提前考虑结构的强度和稳定性。
梁的强度与刚度计算.
第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。
２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。
其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。
说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：３、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。
二、组合截面的二次矩平行移轴定理１、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。
I Z1=I Z+a2A２、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。
解：1、求T形截面的形心座标yc2、求截面对形心轴z轴的惯性矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。
梁的强度与刚度计算
第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。
２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。
其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。
说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：３、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。
二、组合截面的二次矩平行移轴定理１、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。
I Z1=I Z+a2A２、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。
解：1、求T形截面的形心座标yc2、求截面对形心轴z轴的惯性矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。
第5章受弯构件-梁
进行验算，主要需验算组合梁中的翼缘和腹板局部稳定
§5.4 型钢梁的设计
型钢梁受力计算的基本要求
型钢梁的设计计算方法
型钢梁的设计实例
一、型钢梁受力计算的基本要求
强度、刚度、整体稳定
正应力 剪应力 局部压应力
二、型钢梁的设计计算方法
经验
内力计算 Mmax 1、初选截面 确定净截面模量
选பைடு நூலகம்钢材 品种 f
My Mx f xWxn yWyn
截面塑性发展 系数（1，η）
注： 当梁受压翼缘的自由外伸宽度与其厚度之比大于 13
235 / f y 且不超过15 235 / f y 时，γ ＝1.0； x
需要计算疲劳的梁，宜取γx=γy＝1.0
2.抗剪强度 梁同时承受弯矩和剪力共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上 的剪应力分布如图所示。 截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实 腹构件，其抗剪强度应按下式计算：
或
Mx f bW x
常截面焊接工字形钢梁b的简化公式：
y t1 2 4320 Ah 235 b b 2 [ 1 ( ) b ] 4.4h fy y Wx
当为双向受弯时，梁整体稳定性计算公式为
My Mx f bWx yW y
上式是按照弹性工作阶段导出的。可取比例极限fp=0.6fy，当 cr>0.6 fy时，即b>0.6时，梁已进入了弹塑性工作阶段应采用 b’来代替公式中的b值。
假定集中荷载从作用处以 1：2.5(hy高度范围)和1：1(hR高度范 围)扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可 按下式计算：
c
F
t wl z
f
第七章梁的强度和刚度计算整理.ppt
对称截面梁的正应力强
度条件： max
M max Wz
[ ] __ 弯曲许用应力，查表确定。
非对称截面梁的正应力
强度条件：
m
ax
M max Wz
[ ] __ 弯曲许用应力，查表确定。
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二、剪应力强度条件：
max
k
Q A
[ ] __ 材料的许用剪应力，试验确定。
z
bh3 12
10153 12
2810cm4
Sz * yc 10 4.5 5.25 236cm3
2、求K点剪应力：
k
QASz zb
3103 236103 2810104 10101
0.252MPa
3、求最大剪应力：
m
ax
1.5
Q A
1.5 3103 15 10 102
0.3MPa
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(1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行；
(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。
从梁微段中取窄条cdmn分析：
N1
A* 1dA
M Iz
Sz; N2
M
dM Iz
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
dxI zb dx
QS z ;
6
310
20.5MPa ;
3
3
(4)D截面的正应力强度校核:
max
W1
146.7 10 6
32.7MPa
; max
W2
86.7 10
6
55.3MPa ;
梁的强度和刚度计算
梁的强度和刚度计算1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。
（1）梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算：单向弯曲时（5-3）f W M nx x x ≤=γσ双向弯曲时（5-4）f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）；W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；——截面塑性发展系数，对工字形截面，；对y x γγ,20.1,05.1==y x γγ箱形截面，；对其他截面，可查表得到；05.1==y x γγf ——钢材的抗弯强度设计值。
为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于 ，但不超过时，应取。
y f /23513y f /235150.1=x γ需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取。
0.1==y x γγ（2）梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。
工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。
截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。
在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。
因此，设计的抗剪强度应按下式计算（5-5）v w f It ≤=τ式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩；I ——毛截面惯性矩；t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值。
图5-3 腹板剪应力当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。
型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。
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M c 2P 21.5 3KN m
（2）确定中性轴位置，并计算惯性矩
z
bh3 12
12 183 12
5830 cm4
18
（3）求a、b两点的正应力
ya 2 3 6cm; yb 3cm.
a
M c ya z
3103 0.06 5830108
3.09MPa;
b
M c yb z
3103 0.03 5830108 1.54MPa;
(4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力
max
ymax
h 2
18 2
9cm;
max
M c ymax z
3103 9102 5830108
4.63MPa
横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁，AC、DB段为横 力弯曲；CD段为纯弯曲。
本章研究梁的应力和变形计算， 解决梁的强度和刚度计算问题。
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第一节 梁横截面上的正应力
为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。
用三关系法：实验观察→平面假设； 几何关系→变形规律， 物理关系→应力规律， 静力学关系→应力公式。
向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空
间平行N 力 系d。可简0 化成E 三 y个d内力0 分—量中：性N轴xZ、必M通y、过M形z。心。
My
zdA
0
E
zydA
0; —中性轴是截面的形心主轴。
Mz
ydA
M
E
y2dA
M
My
dxI zb dx
QS z ;
I zb
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矩形截面剪应力计算公式：
QS
* z
式中:Q—横截面上的剪力；
Izb
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度；
Sz ＊—所求剪应力作用点处的横线以
下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
矩形截面：
1 M ; —纯弯曲梁的 Ez 变形计算公式
z —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
式中: Iz—截面对其中性轴的惯性矩； M—截面上的弯矩； y—所求正应力点到中性轴的距离。
为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，σ符号依点 所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受 拉区和受压区；M>0,上压下拉；M<0，上拉下压。）
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正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（σ≤σp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。
（一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。）
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。
解：（1）计算C截面的弯矩M
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二、正应力公式的推导： （一）变形几何关系：
取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律：
S yd y ; dx d
当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。
（二）物理关系：
由假设2及虎克定律，梁横 截面上的正应力变化规律为：
(1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行；
(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。
从梁微段中取窄条cdmn分析：
N1
A* 1dA
M Iz
Sz; N2
M
dM Iz
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
第7章 梁的强度 第一节 梁横截面上的正应力 第二节 梁横截面上的剪应力 第三节 梁的强度计算 第四节 弯曲中心的概念 第五节 小结
第7章 梁的强度
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力σ。 且剪应力τ只与剪力Q有关，正应力 σ只与弯矩M有关。
E E y
此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴
（z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应
力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,σ＝0；上下边
缘处有ymax，故有σmax。
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（三）静力学关系：
纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法
dA bdy, Sz
A* y1dA
h/2 y
y1bdy
b h2 (
24
y2 );
Iz
bh3 12
,
τ沿截面高度按 抛物线规律变化。
Q 2Iz
( h2 4
y2)
6Q bh3
(h2 4
y 2 );
y
h ,
2
0; y
0, max
max
3 2
Q A
3 2
;
（ 平均剪应力）
由剪切虎克定律τ＝Gγ，知剪应变 沿截面高度也按抛物线规律变化，引起 截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。
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二、其它形状截面的剪应力：
1. 工字形截面梁： 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。
一、实验观察与分析：
①横线仍为直线,但倾斜角度d； ②纵线由直变弯,仍与横线正交,
凸边伸长, 凹边缩短； ③横截面相对于纵向伸长区域缩
短，纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横
截面保持平面不变；
②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。
中性层—长度不变的纤维层； 中性轴—中性层与横截面的交线。
m
ax;
（在截面上下边缘。）
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例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。
解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m
(2)确定中性轴位置 和截面惯性矩：
查型钢表
IZ=1660cm4
(3)求D截面a、b两点的正应力：
ya
yb
180 2
10.7
79.3mm;
a
M D ya z
30103 79.3103 1660108
143.3MPa;
b 143.3MPa;
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第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设：