《3.1.1 变化率问题》PPT课件(河南省市级优课)
合集下载
《变化率问题教学》课件
详细描述
在变化率问题中，建立数学模型是解决问题的第一步。首先需要对问题进行抽象 和简化，然后使用数学符号和公式来表示问题中的变量、参数和关系。通过建立 数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，便于进行定量分析和求解。
导数的计算和运用
总结词
导数在变化率问题中具有重要应用，通过计算导数可以分析函数的变化趋势和极值点。
变化率与函数图像的关系
单调性
如果一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果一阶 导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
凹凸性
如果二阶导数大于0，则函数在该区间内是凹的；如果二阶导 数小于0，则函数在该区间内是凸的。
04
变化率问题解决策略
建立数学模型
总结词
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，便于分析和求解。
学Байду номын сангаас参与度与反馈
分析学生在课堂上的参与 情况，以及他们对变化的 反应和反馈，以便更好地 调整教学方法和内容。
学生自我评价与反馈
学生自我评价
引导学生反思自己在本次教学中 对变化率问题的理解程度，以及 自己的学习方法和态度是否有所
改进。
学习困难与问题
鼓励学生提出自己在理解变化率问 题时遇到的困难和问题，以便教师 更好地了解学生的学习需求和困难 。
变化率的应用场景
要点一
总结词
变化率的应用场景非常广泛，包括物理、工程、经济、生 物等领域。
要点二
详细描述
在物理学中，变化率用于描述速度、加速度等物理量的动 态变化。在工程领域，变化率可以用于预测和优化系统的 性能，如机械振动、流体动力学等。在经济领域，变化率 用于分析经济增长、通货膨胀等经济指标的变化趋势。在 生物领域，变化率可以用于描述物种数量、种群动态等生 态现象的变化趋势。
3.1.1变化率问题-PPT课件
x f x f x x f x f f 2 1 1 1 x x x x 2 1
f 于是：平均变化率可以表示为： x
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！
y
思 考 ？
观察函数f(x)的图象:
f (x2)
y f ( x)
E-mail:xlswca@
问题1：气球膨胀率
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球 的过程。
发现：
随着气球内空气容量的增加，气球的 半径增加的越来越慢。
从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm) 之间的函数关系是：
气球的平均膨胀率为：
r 2 r 1 0 . 1 6 d m /L 2 1
可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的
平均膨胀率逐渐变小。
思 考 ？
当空气容量从V1增加到V2时，气球 的平均膨胀率是多少？
r (V 2 ) r (V1 ) V 2 V1
问题2：高台跳水
4 3 3 V 3 Vr ( ) r rV ( ) 3 4
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)≈ 0.62 （dm) 气球的平均膨胀率为： r 1 r 0 0 . 6 2 d m /L 1 0
类似地： 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１) ≈ 0.１６（dm)
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：s）存在 函数关系h(t)= - 4.9 t2+ 6.5t +10.
如果我们用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状态，那么：
人教A版高中数学选修1-1 第三章3.1.1 变化率问题教学课件 (共21张PPT)
们的意义。
lim f关’(键2)是求出： x0
ff
'
((22)；它说xf)明'(6在f)第(22)(h)附近，原
度油下温x降度；大在约第以63(h0C)/附H的近速，
lim f ’(6)
f (6 原油x)温度f 大(6约) 以5 0C/H的
x0
x 速度上升。
课堂小结
1.通过本节课的学习你有哪些收获？ 平均变化率、瞬时变化率（即导数） 体会了函数思想、逼近思想方法、概念形成 过程中的抽象概括
t0
t
思考
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
lim f (x0 x) f (x0般地，函数y f (x)在x x0处的瞬时变化率是
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
h(
65
)
并思考下面的问题：
h(0)
P73
v
49 65 0
0 （1）运动员在这段
时间里是静止的吗？
49
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有
t 0时，在2，2+t这段时间内
v
h(2
t)
h(2)
4.9t 2
13.1t
(2 t) 2
t
4.9t 13.1
瞬时速度
我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.1.1变化率问题1 精品
k P1P2
f x2 f x1 .
x2 x1
(2)平均变化率的取值 平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不 一定说明函数f（x）没有发生变化. （3）平均变化率的物理意义 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，在
时间段［t1,t2］上的平均速度，即 v st2 st1 .
【解题指导】
【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，
∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）
=3Δt-（Δt）2 ①，…………………………………………2分
s 3t （t）②2 ， 3… …t ………………………………3分
【解析】x0处的函数值为f(x0)，x0+Δx处的函数值为
f(x0+Δx)，所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0). 答案：f(x0+Δx)-f(x0)
1.对平均变化率的解读
(1)平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是表示函数y=f（x）图象上割线P1P2的
斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即
（1）如果记Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.类似的，Δy=
f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均变化率可以表示为
y f x2 f x1 f x1 x f x1 . 式子中的Δx是一个整体
x
x2 x1
x
符号，不是Δ与x相乘.
(2)公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间
t12+t，
4
Δs=
（14 t0+Δt）2+(t0+Δt)-(
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修11
=(2+Δt)2+3(2+Δt)-(22+3×2)
=(Δt)2+7Δt
所以 s (t)2 7t t 7.
t
t
所以当Δt趋近于0时, 趋s 近于7.故该物体在2s时的
t
瞬时速度是7m/s.
4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是
.
【解析】 y f 3 f 1 1 3 1.
x
数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个 固定值.
特别提醒:“Δx无限趋近于0”的含义: Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给 定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
类型一 求函数的平均变化率
【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]
这段时间内的平均速度是 ( )
x 3 1 3 1
答案:-1
5.函数y=f(x)= 1 在x=1处的瞬时变化率为
.
x
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1 1 x ，
1 x 1 1 x
所以 y 所1 以，当Δx趋近于0时, 趋近于y -1.
x 1 x
x
故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1.
答案:-1
【知识探究】 探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx 是否可以为任意实数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负, 但不能等于0;而Δy可以为任意实数.
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
【自主预习】
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
变化率问题PPT优秀课件
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
数学3.1.1《变化率问题》课件(新人教B版选修1-1).ppt
f 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
x
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
2
1
f(x2)
Y=f(x) x2-x1 B
f(x2)-f(x1)
直线AB的斜 率
f(x1) O
A
x
x1
x2
2019/11/22
K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
2019/11/22
作业：
2019/11/22
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
A3
B D3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
2019/11/22
小结：
• 1.函数的平均变化率
第三章 导数及其应用
2019/11/22
微积分主要与四类问题的处理相
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
2019/11/22
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
课件11：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念
类型2 求瞬时速度 【例 2】 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的 关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度．
在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2.
【例 3】 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为__________．
【解析】Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔyx＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋1Δx＋1，Δlxi→m0 1＋1Δx＋1＝21， 所以 y′|x＝1＝12. 【答案】12
【例 3】 (2)如果一个质点由定点 A 开始运动， 在时间 t 的位移函数为 y＝f(t)＝t3＋3， ①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求 Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
初试身手 1．下列说法错误的是( ) A．函数的平均变化率可以大于零 B．函数的平均变化率可以小于零 C．函数的平均变化率可以等于零 D．函数的平均变化率不能等于零 【解析】函数的平均变化率为ΔΔyx，显然其值是可正、 可负、可为零的，故选 D． 【答案】D
2．已知函数 f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值
3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念
学习目标
核心素养
1.了解导数概念的实际背景．(难点) 1．通过学习导数概念，培养
2.会求函数在某一点附近的平均变化 学生数学抽象的素养.
率．(重点)
2.借助导数的定义求函数在
3.会利用导数的定义求函数在某点处 某点的导数，培养数学运算
的导数．(重点、难点)
变化率问题优秀课件PPT
变化率问题优秀课件PPT书山有路勤为径，学海无涯苦作舟为了描写现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.随着对函数的研究的不断深化,产生了微积分.它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造.被誉为数学史上的里程碑.导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最值等问题的最一般、最有效的工具.数学小知识生活中的变化率问题甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?在吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?设气球的体积为V(单位:L)，半径为r(单位:dm)将半径r表示为体积V的函数即吹气球问题则大家可能都有过吹气球的体验，我们来分析一下:1、当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为2、当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小，即随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.…………0.620.16当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?思考运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,高台跳水问题在高台跳水运动中,思考当运动员起跳后的时间从增加到时,运动员的平均速度是多少?称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.一般地,函数y=f(x)中，平均变化率习惯用x表示x2–x1,y表示f(x2)–f(x1),则式子1.式子中△x、△y的值可正、可负，但是△x值不能为0，△y的值可以为0理解概念2.平均变化率的变式有：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率思考求函数的平均变化率.范例选讲求平均变化率的一般步骤：一、作差.即求△y与△x.二、作商.即求抢答题求下列函数的平均变化率.(1)y=1(2)y=x+1课堂练习一求函数在范围内的平均变化率.探究计算运动员在,这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?hto1.函数的平均变化率2.求平均变化率的一般步骤：(1)作差.即求△y与△x.(2)作商.即求课堂小结3.主要数学思想方法：从特殊到一般数形结合布置作业1、P10习题1.1A组:12、四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》课堂练习二已知函数，求的值.。
课件10：3.1.1 变化率问题
变式：一正方形铁板在 0 ℃时，边长为 10 cm，加热后会膨胀， 当温度为 t ℃时，边长变为 10(1＋at)cm，a 为常数．试求铁板 面积对温度的膨胀率．
解：设温度的增量为 Δt，则铁板面积 S 的增量 ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2 ＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2， ∴ΔΔSt ＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)， 则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1)
x2 x1
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可 用x1+Δx代替x2同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
思考? 观察函数f(x)的图象
平均变化率 科网
y x
f(x2 ) f (x1) x2 x1
k
(1 x )3 13 (1 x ) x
3 3x
( x )2
3 3 0.1 0.12
3.31
平均变化率的实际应用 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T(t)＝ 120 ＋15，其中
t＋5 T(t)为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)． 求：(1)从 t＝0 到 t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率． (2)体温 T(t)对时间 t 的变化率．
1.函数的平均变化率
f ( x) f(x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f f(x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
练习：
过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲 线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
30
C (34, 33.4)
20
B (32, 18.6)
10
A (1, 3.5)
2
01
10
20
30 34
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
导入问题情境
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
温差15.1℃ 温差14.8℃
30
20
10
2
01
10
20
30 34 t(d)
构建数学模型
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
32 34 t (d)
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
三、数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
20
30 34 t(d)
问题3 图中哪一段图像更“陡峭”？
问题4 如何量化图像的“陡峭”程度？
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
[问题1] 你能用 数学语言来解
释 BC 段 曲 线 的
1.1.1平均变化率
学习目标
（1）通过对实际情境的分析，理解平均变化率 的概念;
（2）会求某区间上函数的平均变化率; （3）体会平均变化率的意义及作题情境
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
略的刻画 --------导数
作业：
必做题 课本P59 页2，4 选做题 函数f(x)=x2-1在区间[1, m ]上的
平均变化率为3, 求m的值
34 x
34-1
y f(34)
f(x1) f(1) A
o1
y=f(x)
x1
C
[ 问 题 3] 在 区 间 [1,x1] 上 的 平 均 变 化率为
34 x f ( x1 ) f (1) x1 1
y f(34)
[问题3] 在区间[x2，
C
34]上的平均变化
率为
f(x2)
f(x1) A f(1)
y=f(x)
思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均 变化率有什么特点？
1.本节课你学到了什么？ ①函数的平均变化率的概念； ②利用平均变化率来分析解决实际问题; 求函数的平均变化率的步骤.
2.本节课体现了哪些数学思想方法？ ①数形结合的思想方法 ②从特殊到一般、从具体到抽象的推理方法
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗
甲
乙
题后反思
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)；
(2)计算平均变化率 y f (x2) f (x1)
.
x x2 x1
例2 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区
间上的平均变化率：
y
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3
（3）[1，1.1]； 2.1
x2 x1 y x
x
f ( x2 )
f ( x1 ) 0
y
x
x1
x2
x
建构数学理论
定义理解 (1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
线的斜率（. 以直代曲思想）
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
（数形结合思想）
3.5
温差15.1℃ 温差14.8℃
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
问题1 哪一段时间气 温变化得更“大”？
问题2 哪一段时间气 温变化得更“快”？
o1
32 34 t (d)
T (℃) 30
C (34, 33.4)
20 B (32, 18.6)
10
2 A (1, 3.5)
0 2 10
陡峭程度吗？
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
（1）仅考察 yc yB 的大小，能
T(oC) C(34,33.4)
33.4 化 曲 为 直
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
否精确量化BC段陡峭的程度？
yC-yB （2）还必须考察什么量？
（3）曲线上BC之间的一
o1
x1
x2 34 x
你能否归纳出 “函数f(x)
在区间[x1,x2]上的平均变化 率”的一般性定义吗？
f (34) f (x2 ) 34 x2
注意：不能脱 离区间而言
一般地，函数 f (x) 在区间上[x1, x2 ] 的平均变化率为
f (x2 ) f (x1) y f (x1 x) f (x1)
xC-xB
段几乎成了直线，由此联
o1
32 34 t (d) 想到如何量化直线的倾斜
程度？
y f(34)
A
f(1) o1
[问题２]如果将上述气
温曲线看成是函数y
f(34) - f(1)
C
=f(x)的图象,
则函数y
= f(x)在区间[1，34]上
的平均变化率为
y=f(x)
f (34) f (1)
34 1
“数离形时难直观，形离数时难入微”—华罗庚
[问题解决] 如图，请分别计算气温在区间[1，32] 和区间[32，34]上的平均变化率.
T(℃) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
o1
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
气温在区间[1，32] 上 的平均变化率约为0.5；
气温在区间 [32，34]上 的平均变化率为7.4。
（4）[1，1.001]. 2.001
变题:（5）[0.9，1]； 1.9
（6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1
3
x
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？
例3 已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均 变化率.