辽宁省实验中学分校2019-2020学年高一12月月考数学试题_word版有答案
2020-- 辽宁省 沈阳市 实验中学高三上学期12月月考 数学试题--(附解析答案)
2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．集合12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}22B x x x =+<，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()11,0,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UC ．()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UD ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】先化简集合A 和B,再求A B I 得解. 【详解】由题得12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭=1{|2x x ≥或0}x <，{}22B x x x =+<={|21}x x -<<，所以A B =I ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U . 故选：C 【点睛】本题主要考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．即非充分也非毕必要条件【答案】B【解析】将条件“x 是1和4的等比中项”化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可 【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 故选：B 【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题3．若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --【答案】D【解析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数的除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z . 【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.4．每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了．某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前发生抽筋的概率为50％．若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（ ）A ．45B ．310C ．58D ．25【答案】C【解析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解. 【详解】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则()0.8,()0.5P A P AB ==.所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为()0.55(|)()0.88P AB P B A P A ===.故选：C 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．在ABC V 中，6AB =，3BC =，则A ∠的最大值是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5arcsin5【答案】A【解析】先求出cos A ,再利用基本不等式求A ∠的最大值. 【详解】由题得2236927993cos 2612412412b b b b A b b b b +-+===+≥⋅=⨯⨯因为0A π<<,所以06A π<≤.故选：A 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是BC ，DC 的中点则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值为（ ）A 10B 15C ．35D ．45【答案】A【解析】连结111,B D AB ，由11//B D EF ，可知异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，分别求出1111,,AD AB D B ，然后利用余弦定理可求出答案. 【详解】连结111,B D AB ，因为11//B D EF ，所以异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，在11AD B V 中，2211115AD AA A D =+=22115AB BB AB =+=，2211111122D B C B C D =+=，所以1110cos 2522AD B ∠==⨯. 故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题. 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，点M 、N 分别为线段AD 、CD 的中点，用平面1B MN 截正方体，保留包含点B 在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出平面1B MN 与正方体表面的交线，即得主视图.【详解】如图所示，平面1B MN 截平面11ABB C 的交线为1B F ,平面1B MN 截平面11BCC B 的交线为1B E ,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A. 故选：A 【点睛】本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．若0x ∀>，21221x x a +⋅+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-【答案】A【解析】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，再通过求函数211y [()]2()22x x=-⋅的值域得解.【详解】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，设1(),0,012xt x t =>∴<<Q .所以2()2(01)f t t t t =-<<， 所以()(1)1f t f >=-， 所以1a ≤-. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数运算和指数函数的性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且213PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A ．3y x =B ．6y x =C ．32y x =D ．6y 【答案】D【解析】根据双曲线的定义可知12||||2PF PF a -=，进而根据12||3||PF PF =，分别求得2||PF 和1||PF ，进而根据勾股定理建立等式求得a 和c 的关系，然后求解渐近线方程．【详解】由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=， 又12||3||PF PF =， 得2||PF a =，1||3PF a =；在RT △12PF F 中，2221212||||||F F PF PF =+，22249c a a ∴=+，即2225c a =，则2223b a =．即6b a =， 双曲线22221x y a b-=一条渐近线方程：6y x =；故选：D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握． 10．将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种．A ．6B ．12C ．18D ．36【答案】A【解析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解. 【详解】先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有321=6⨯⨯种方法. 故选：A 【点睛】本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，且数列{}n S 的最大项为8S ，取12231111n n n T a a a a a a +=+++L ，则n T 的最大项为（ ） A ．49B ．715C ．1631D ．4181【答案】B【解析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，80a …，90a „． 所以15701580d d +⎧⎨+⎩…„，解得151578d --剟， 由于2a 为整数， 所以2d =-．则15(1)(2)172n a n n =+--=-．所以：111111()(172)(152)2217215n n n b a a n n n n +===-----g ， 所以：1111111()213131121721515n T n n =-+-++⋯+---， 111(+)215152n=--，。
2019-2020学年辽宁省实验中学高一(上)第一次月考数学试卷及答案
2019-2020学年辽宁省实验中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x||x﹣2|＜2}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若U＝R，则A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x≤1或2≤x＜4}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|x＜0或x＞4}2．（5分）命题p：∀x＞0，＞0，则命题p的否定是（）A．∃x＞0，≤0B．∃x≤0，≤0C．∃x＞0，＜0D．∃x＞0，0≤x≤23．（5分）下列不等式中，正确的是（）A．若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞bB．若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＞1C．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，则ac2＞bc24．（5分）集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[3，4]C．[1，2]D．（2，3]5．（5分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，并且满足+＝1，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3或16．（5分）已知：a，b均为正数，，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，1]C．（﹣∞，9]D．（﹣∞，8] 7．（5分）已知命题p：0＜a＜4，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则命题p是命题q为真命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知实数a＞0，b＞0，且+＝1，则+的最小值为（）A．8B．10C．10D．169．（5分）设x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，则x+y的最小值为（）A．B．25C．11D．5+310．（5分）已知x，y满足的解集为集合A，则下列命题为真命题的是（）A．∀（x，y）∈A，4x+2y＜2B．∃（x，y）∈A，4x+2y＜2C．∀（x，y）∈A，4x+2y＜10D．∃（x，y）∈A，4x+2y＞1011．（5分）已知x+y＝++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5B．9C．4+D．1012．（5分）关于x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，6]D．[﹣2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的真子集个数为．14．（5分）已知命题p：﹣2≤x≤4，命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则m3﹣24m+2019＝．16．（5分）已知正数x，y满足xy++4y2＝2，则y的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）17．（10分）已知a，b，c∈R+，证明：（1）若a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2≥（a+b+c）2；（2）设a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，证明：++≥1．18．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B＝{x|ax2﹣2x+8＝0}．（1）是否存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．19．（10分）解关于x的不等式＞0（a∈R）．20．（10分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米（1≤x≤5）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．2019-2020学年辽宁省实验中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x||x﹣2|＜2}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若U＝R，则A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x≤1或2≤x＜4}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|x＜0或x＞4}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜2}，U＝R，∴∁U B＝{x|x≤1或x≥2}，A∩∁U B＝{x|0＜x≤1或2≤x＜4}．故选：A．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题p：∀x＞0，＞0，则命题p的否定是（）A．∃x＞0，≤0B．∃x≤0，≤0C．∃x＞0，＜0D．∃x＞0，0≤x≤2【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题，结合命题与它的否定命题之间的关系，判断即可．【解答】解：命题p：∀x＞0，＞0，由于命题p中x取不到2，其命题的否定中应能取到，所以选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题与它的否定命题之间关系应用问题，解题时要注意“含定义域限制切记不要直接变号”，是基础题．3．（5分）下列不等式中，正确的是（）A．若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞bB．若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＞1C．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，则ac2＞bc2【分析】根据不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞b，故A正确；对于B：若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＜1，故B错误；对于C：令a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，则ac＜bd，故C错误；对于D：c＝0时，错误；故选：A．【点评】本题考查了不等式问题，是一道基础题．4．（5分）集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[3，4]C．[1，2]D．（2，3]【分析】直接解分式是不等式以及二次不等式求出A，B，进而求出结论．【解答】解：∵集合A＝{x|≤0}＝{x|2＜x≤4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，∴A∩B＝（2，3]．故选：D．【点评】本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，属于基础题．5．（5分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，并且满足+＝1，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3或1【分析】由根与系数的关系，可得x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，又由+＝1，即可求得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，∴△＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，∴m＞﹣，∵x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，又∵+＝1，∴x1+x2＝x1•x2，∴2m+3＝m2，解得：m＝﹣1或m＝3，∵m＞﹣，∴m＝3，故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2＝﹣，x1x2＝的应用．6．（5分）已知：a，b均为正数，，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，1]C．（﹣∞，9]D．（﹣∞，8]【分析】由题意知，要使a+b≥c恒成立，即a+b的最小值≥c，利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵a，b均为正数，，∴a+b＝（a+b）×＝（5+）≥（5+2）＝，当且仅当，即b＝2a时，取等号；∴a+b的最小值是，由题意可知c，故选：A．【点评】本题通过恒成立问题的形式，考查了均值不等式，灵活运用了“2”的代换，是高考考查的重点内容．7．（5分）已知命题p：0＜a＜4，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则命题p是命题q为真命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】对于命题q：讨论当a＝0的情况和a≠0时，根据一元二次函数图象与不等式的关系求得a的取值范围；再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，当a＝0时，1＞0成立，因此a＝0满足题意当a≠0时，可得，解得0＜a＜4．综上可得：q：0≤a＜4．∵命题p：0＜a＜4⇒命题q：0≤a＜4，反之，命题q：0≤a＜4推不出命题p：0＜a＜4．∴命题p是命题q为真命题的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系、充分必要条件的判定方法，考查了计算能力，属于基础题8．（5分）已知实数a＞0，b＞0，且+＝1，则+的最小值为（）A．8B．10C．10D．16【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：因为a＞0，b＞0，且+＝1，所以a+b＝ab，即（a﹣1）（b﹣1）＝1，则+＝＝，＝8a+2b﹣10，＝（8a+2b）（）﹣10，＝＝8，当且仅当且+＝1，即a＝，b＝3时取等号，此时取得最小值8．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．9．（5分）设x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，则x+y的最小值为（）A．B．25C．11D．5+3【分析】由已知变形可得9＝（x﹣4）（y﹣1），然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：∵x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，∴xy﹣x﹣4y＝5即x（y﹣1）﹣4y＝5，∴x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝9，∴9＝（x﹣4）（y﹣1）≤，∵x＞0，y＞0，∴x+y﹣5≥6即x+y≥11，当且仅当x＝7，y＝4时取等号．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．10．（5分）已知x，y满足的解集为集合A，则下列命题为真命题的是（）A．∀（x，y）∈A，4x+2y＜2B．∃（x，y）∈A，4x+2y＜2C．∀（x，y）∈A，4x+2y＜10D．∃（x，y）∈A，4x+2y＞10【分析】令4x+2y＝μ（x+y）+λ（x﹣y），根据对应关系求出μ，λ的值，结合x+y，x﹣y 的范围，求出4x+2y的范围即可．【解答】解：令4x+2y＝μ（x+y）+λ（x﹣y），则，解得：μ＝3，λ＝1，故4x+2y＝3（x+y）+（x﹣y），而1＜x+y＜3，故3＜3（x+y）＜9，﹣1＜x﹣y＜1，则4x+2y∈（2，10），故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，考查转化思想，是一道常规题．11．（5分）已知x+y＝++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5B．9C．4+D．10【分析】根据题意，将x+y＝++8变形可得（x+y）2＝（++8）（x+y）＝5+8（x+y）++，即有（x+y）2﹣8（x+y）﹣5＝+，结合基本不等式的性质可得（x+y）2﹣8（x+y）﹣9≥0，设t＝x+y，则有t2﹣8t﹣9≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，x+y＝++8，则（x+y）2＝（++8）（x+y）＝5+8（x+y）++，变形可得：（x+y）2﹣8（x+y）﹣5＝+，又由+≥2＝4，则有：（x+y）2﹣8（x+y）﹣9≥0，设t＝x+y，又由x，y＞0，则t＞0，则有t2﹣8t﹣9≥0，解可得t≥9或t≤﹣1，又由t＞0，则t≥9，则x+y的最小值为9；故选：B．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对x+y＝++8的变形．12．（5分）关于x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，6]D．[﹣2，+∞）【分析】由题意可得a≥在﹣2≤x≤0恒成立，即a≥在﹣2≤x≤0的最大值，由基本不等式求得最大值，可得a的范围．【解答】解：由﹣2≤x≤0，可得x﹣1∈[﹣3，﹣1]，x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，等价为a≥在﹣2≤x≤0恒成立，由＝＝（x﹣1）++2＝﹣[（1﹣x）+]+2≤﹣2+2＝2﹣4＝﹣2，当且仅当x＝﹣1时取得等号，所以a≥﹣2，故选：D．【点评】本题考查二次不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的真子集个数为7．【分析】求出集合M，从而求出M的真子集的个数即可．【解答】解：a＝1，b＝1时，x＝2，a＝1，b＝2时，x＝3，a＝0，b＝2时，x＝2，a＝0，b＝1时，x＝1，故M＝{1，2，3}，故M的真子集的个数是：23﹣1＝7个，故答案为：7．【点评】本题主要考察了集合的定义及性质，属常考题型，解题的关键是要根据集合M 的定义求出集合M．14．（5分）已知命题p：﹣2≤x≤4，命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是[4，+∞）．【分析】由命题p得到￢p：{x|x＜﹣2或x＞4}，设为集合A，同理得到￢q：{x|x＜2﹣m 或x＞2+m}，设为集合B．根据￢p是￢q的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，利用数轴建立关于m的不等式并解之，即可得到实数m的取值范围．【解答】解：∵p：{x|﹣2≤x≤4}，∴￢p：{x|x＜﹣2或x＞4}，设为集合A又∵q：{x||x﹣2|≤m，m＞0}．∴￢q：{x|x＜2﹣m或x＞2+m}，设为集合B∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集，∴（两个等号不同时成立）解之得：m≥4，即实数m的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．【点评】本题给出关于x的不等式的两个条件，在已知￢p是￢q的必要不充分条件的情况下求m的取值范围．着重考查了充分必要条件的判断和集合的包含关系等知识，属于基础题．15．（5分）已知m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则m3﹣24m+2019＝2014．【分析】根据m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，得到m2﹣5m+1＝0，再把所求等式转化为用m2﹣5m+1来表示即可求解结论．【解答】解：根据题意，m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，即m2﹣5m+1＝0，则m3﹣24m+2019＝m（m2﹣5m+1）+5（m2﹣5m+1）+2014＝2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用以及整体代换思想的应用，属于基础题．16．（5分）已知正数x，y满足xy++4y2＝2，则y的最大值为．【分析】由已知结合基本不等式x+≥2可建立关于y的不等式，解不等式可求．【解答】解：由题意可得，，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，所以4y2+2y﹣2≤0，解可得，﹣1，因为y＞0，故0＜y即y的最大值．故答案为：【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二次不等式的求解，属于基础试题．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）17．（10分）已知a，b，c∈R+，证明：（1）若a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2≥（a+b+c）2；（2）设a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，证明：++≥1．【分析】（1）把（a+b+c）2展开，然后利用基本不等式放缩即可证明结论；（2）由，，，作和后结合a+b+c＝1证得结论．【解答】证明：（1）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）＝3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥（a+b+c）2，当且仅当a＝b＝c时等号成立；（2）∵a，b，c∈R+，∴，，，则，∴，即++≥1，当且仅当a＝b＝c时等号成立．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，是中档题．18．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B＝{x|ax2﹣2x+8＝0}．（1）是否存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可得a×22﹣2×2+8＝0，解得a＝﹣1，可求此时B＝{2，4}，即可得解．（2）由题意可得B只可能∅，{0}，{4}，{0，4}，分类讨论即可求解．【解答】解：（1）因为A＝{x|x2﹣4x＝0}＝{0，4}，所以2∈B且B中不含除0，2，4以外的实数，即a×22﹣2×2+8＝0，解得a＝﹣1，验证：此时B＝{2，4}，所以不存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}．（2）题干A∩B＝B可转化为B⊆A，即B只可能∅，{0}，{4}，{0，4}，①B＝∅，即△＜0，解得a＞，②B＝{0，4}，即，a无解，③B中只有一根时，i，a＝0，解得B＝{4}成立；ii，a≠0，即△＝0，解得a＝，此时B＝{8}不符合题意，综上所述，a∈{0}∪（，+∞）．【点评】本题主要考查了交集，并集及其运算，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题．19．（10分）解关于x的不等式＞0（a∈R）．【分析】不等式即（x2﹣x﹣2）（ax﹣1）＞0，分类讨论，求出它的解集．【解答】解：关于x的不等式＞0，即（x2﹣x﹣2）（ax﹣1）＞0，（1）当a＝0时，不等式即x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣1，2）．（2）当a≠0时，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，它的根为﹣1，2，．若＜﹣1，即﹣1＜a＜0，不等式即（﹣ax+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，）∪（﹣1，2）．若＝﹣1，即a＝﹣1，不等式即（x+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．若﹣1＜＜0，即a＜﹣1，不等式即（﹣ax+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，2）．若0＜＜2，即a＞2，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，）∪（2，+∞）．若＝2，即a＝2，不等式即（x﹣2）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，2）∪（2，+∞）．若＞2，即0＜a＜，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，2）∪（，+∞）．【点评】本题主要考查分式不等式、高次不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（10分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米（1≤x≤5）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．【分析】（1）设甲工程队的报价为y元，则y＝3（300×2x+400×）+14400，化简后，利用均值不等式即可求得最小值；（2）由题意知，1800（x+）+14400＞对任意的x∈[1，5]恒成立，参变分离后，得＞a恒成立，再令x+1＝t∈[2，6]，结合均值不等式求出y＝的最小值即可得解．【解答】解：（1）设甲工程队的报价为y元，而1≤x≤5，y＝3（300×2x+400×）+14400＝1800（x+）+14400≥1800×2×+14400＝28800，当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，所以当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为28800元．（2）由题意知，1800（x+）+14400＞对任意的x∈[1，5]恒成立，即＞，从而＞a恒成立，令x+1＝t∈[2，6]，则＝＝t++6≥2+6＝12，当且仅当t＝，即t＝3时，等号成立，所以0＜a＜12．【点评】本题考查函数的实际应用，主要利用了均值不等式求函数的最值，还涉及参变分离法和换元法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(解析版)
数学理科试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}22B x x x =+<，则A B =I （ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ()11,0,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UC. ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A 和B,再求A B I 得解.【详解】由题得12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭=1{|2x x ≥或0}x <，{}22B x x x =+<={|21}x x -<<，所以A B =I ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U . 故选：C【点睛】本题主要考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即非充分也非毕必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将条件“x 是1和4的等比中项”化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 故选B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题 3.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（ ） A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --【答案】D 【解析】 【分析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z . 【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--， 故选D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.4.每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了．某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前发生抽筋的概率为50％．若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（ ） A.45B.310C.58D.25【答案】C 【解析】 【分析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解.的【详解】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则()0.8,()0.5P A P AB ==.所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为()0.55(|)()0.88P AB P B A P A ===.故选：C【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.在ABC V 中，6AB =，3BC =，则A ∠的最大值是（ ）A.π6B.π4C.π3D. arcsin【答案】A 【解析】 【分析】先求出cos A ,再利用基本不等式求A ∠的最大值.【详解】由题得22369279cos 2612412b b b A b b b +-+===+≥=⨯⨯ 因为0A π<<,所以06A π<≤.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是BC ，DC 的中点则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】连结111,B D AB ，由11//B D EF ，可知异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，分别求出1111,,AD AB D B ，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结111,B D AB ，因为11//B D EF ，所以异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，在11AD B V 中，1AD ==，1AB ==，11D B ==，所以11cos 5AD B ∠==. 故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题. 7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别为线段AD 、CD 的中点，用平面1B MN 截正方体，保留包含点B 在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】作出平面1B MN 与正方体表面的交线，即得主视图.【详解】如图所示，平面1B MN 截平面11ABB C 的交线为1B F ,平面1B MN 截平面11BCC B 的交线为1B E ,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A. 故选：A【点睛】本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.若0x ∀>，21221x x a +⋅+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. (),1-∞- C. (],2-∞- D. (),2-∞-【答案】A 【解析】 【分析】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，再通过求函数211y [()]2()22x x=-⋅的值域得解. 【详解】由题得211[()]2()22x xa <-⋅， 设1(),0,012xt x t =>∴<<Q . 所以2()2(01)f t t t t =-<<， 所以()(1)1f t f >=-， 所以1a ≤-. 故选：A【点睛】本题主要考查指数运算和指数函数的性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且213PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A. y =B. y =C.y x =D. y 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知12||||2PF PF a -=，进而根据12||3||PF PF =，分别求得2||PF 和1||PF ，进而根据勾股定理建立等式求得a 和c 的关系，然后求解渐近线方程． 【详解】由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=， 又12||3||PF PF =， 得2||PF a =，1||3PF a =；在RT △12PF F 中，2221212||||||F F PF PF =+， 22249c a a ∴=+，即2225c a =，则2223b a =．即b ，双曲线22221x y a b-=一条渐近线方程：y =；故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握． 10.将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种．A. 6B. 12C. 18D. 36【答案】A 【解析】 【分析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.【详解】先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有321=6⨯⨯种方法. 故选：A【点睛】本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，且数列{}n S 的最大项为8S ，取12231111n n n T a a a a a a +=+++L ，则n T 的最大项为（ ） A.49 B.715C.1631D.4181【答案】B 【解析】 【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，80a …，90a „． 所以15701580d d +⎧⎨+⎩…„，解得151578d --剟， 由于2a 为整数， 所以2d =-．则15(1)(2)172n a n n =+--=-． 所以：111111()(172)(152)2217215n n n b a a n n n n +===-----g ， 所以：1111111()213131121721515n T n n =-+-++⋯+---， 111(+)215152n=--， 令1152n b n=-，由于函数1()152f x x=-的图象关于(7.5,0)对称．且27130b b b b <<<<<L ，8910110b b b b <<<<⋯<． 71n b b =„．故：117(1)21515n T -=„．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用．12.已知对于任意的0x >，总有22x b ax xe e -≤成立，其中e 为自然对数的底数，则2ba -的最小值为（ ） A. 12-B. e 2-C. 1e-D. 2e-【答案】A 【解析】 【分析】由题得(2)21a x b xe --≤，设(2)2()(0),a x bf x xe x --=>对a 分类讨论利用导数求出函数f(x)的单调性，通过单调性求函数的最大值再分析得解. 【详解】由题得(2)21a x b xe --≤， 设(2)2(2)2()(0),()[1(2)]a x ba xb f x xex f x e x a ----'=>∴=+-，由()0f x '>得1(2)0,(2)1x a a x +->∴-<，当2a >时，12x a <-，所以函数f(x)在1(0,)2a -上单调递增，在1(+)2a ∞-，上单调递减， 所以12max 11()()1,22bf x f e a a --==≤-- 所以121ln(2)2,12ln(2),2ba e ab a b -----≤-∴--≤-∴≥，所以1ln(2)22(2)b a a a ---≥--， 设1lnt2(0),()2a t t g t t---=>∴=， 所以22ln ()4tg t t'=，所以函数()g t 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增， 所以min 1()(1)2g t g ==-.所以此时2ba -的最小值为12-.当2a <时，函数f(x)单调递增，不符合题意(2)21a x b xe --≤. 故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值和恒成立问题 ，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题．把答案填写在答题纸相应位置上．13.若曲线y =x m =，0y =所围成封闭图形的面积为2m ，则正实数m =______．【答案】49【解析】 【分析】由积分的几何意义可得，20m =⎰，利用积分基本定理求解后可求正实数m 的值．【详解】由积分的几何意义可得，223m x==⎰323202|3m m =解得49m =． 故答案为：49【点睛】本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题． 14.若关于x 的不等式2320ax x a -+≥的解集为(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是______．【答案】3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】 【分析】分离参数可得2231xa x +…，根据基本不等式即可求出．【详解】不等式2320ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞， 即x R ∀∈，2320ax x a -+≥恒成立， 2231xa x ∴+…， 当0x =，0a …， 当0x ≠时，213||||a x x +…，因为213||||xx+所以)a∈+∞．故答案为：3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.已知a r，br均为非零向量，且23a b=rr，若3|2|a b a kb+≥+r rr r恒成立，则实数k的取值范围为______．【答案】32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可．【详解】非零向量ar，br夹角为θ，若2||3||a b=rr，23||||cos||cos2a b a b bθθ=⨯⨯=r r rr rg，不等式|3||2|a b a kb++r rr r…对任意θ恒成立∴22(3)(2)a b a kb++r rr r…，，即22222227||9||cos9||6||cos||4b b b k b k bθθ-+++r r r r r…；整理可得，29()(96)cos04k kθ-+-…恒成立，cos[1θ∈-Q，1]，∴229960499604k kk k⎧-+-⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩……，解得32k=，故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题．16.已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为8cm 的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______．【解析】 【分析】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为O '',先求出12O O ''=，再作出圆台的轴截面图形，通过解三角形求出圆台下底的半径，即得圆台的体积,即得冰淇淋盒的体积.【详解】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为O '',所以1223O O ''=⨯=，由题得圆台的高为由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x ,则BM=x , 在直角ABG ∆中，222(2)(2)x x +=+-， 所以32x =， 所以下底半径为372+=22， 所以圆台的体积为2217[4+()32ππ⋅+⨯=【点睛】本题主要考查几何体的内切球的问题，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，平面ABC ⊥平面11ABB A ，1BC =，12AB AA ==．的（1）证明：11A B AC ⊥；（2）若12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，E 、F 分别为11A B 、AC 的中点，求直线EF 与平面1BEC 的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）θ=【解析】 【分析】（1）先证明1A B ⊥平面11AB C ，可得11A B AC ⊥；（2）由12AB AA ⋅=-u u u r u u u r 得1π3ABB ∠=，延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ．证明BG AB ⊥，BG BC ⊥，AB BC ⊥,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线EF 与平面1BEC 的夹角． 【详解】解：（1）连结1AB ．∵ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ． 又∵11B C BC ∥，∴11B C ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴111A B B C ⊥∵11ABB A Y 中，1AB AA =，∴11ABB A Y 为菱形，∴11A B AB ⊥． 因为111,AB B C ⊆平面11AB C ,1111AB B C B ⋂=, 所以1A B ⊥平面11AB C ，因为1AC ⊆平面11AB C 所以11A B AC ⊥.（2）∵12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，且12AB AA ==，∴12π3AA B ∠=， ∴1π3ABB ∠=． 延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ． ∵11π3GB B ABB ∠=∠=，且11B G =，12BB =，∴1BG A G ⊥且BG =BG AB ⊥．又∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴BG ⊥平面ABC ， ∴BG AB ⊥，BG BC ⊥．又∵AB BC ⊥，∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，，其中各点坐标为(E ，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(1C ，∴1,1,2EF ⎛=- ⎝u u u r，(0,BE =u u ur，(1BC =u u u u r ．取平面1BEC 的法向量为(),,n a b c =r，∴0n BE ⋅=u u u r r ，10n BC ⋅=u u u u r r，即200b a b ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，不妨取(3,3,n =-r，取直线EF 与平面1BEC 的夹角为θ，则sin cos ,n EF θ===u u ur r ，∴θ= 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18.已知函数()()22cos 1f x p x x =-+，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求b c的取值范围．【答案】（1）2p =，周期为π，单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z （2）1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）化简得π()12sin 26f x p x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据最大值求出p 的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据()0f A =得到2π3B C +=，ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,化简得sin 1sin 2b Bc C ==，再求范围得解.【详解】（1）依题意()()22cos 1f x p x x =-22cos cos p x x x =--1cos 22p x x =--π12sin 26p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =， ∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其中ππ2x k ≠+，k ∈Z ，其周期为2ππ2T ==． 因为ππ3π22π,2π622x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，m ∈Z 时，()f x 单调递增， 解得π2ππ,π63x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦． ∴()f x 的单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z ． （2）∵()π12sin 206f A A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且A 为锐角，∴π5π266A +=，∴π3A =，∴2π3B C +=．又∵B ，C 为锐角，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴2π1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C C b B c C C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+，其中tan ,3C ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，∴1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X （分钟）表示步行到校的时间，可以认为()22,4X N ~．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y （分钟）描述骑车到校的时间，可以认为()16,16Y N ~．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z （分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为()10,64Z N ~．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？ （2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量ξ表示这五天小明上学骑车的费用，求ξ的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量()0,1N η~，则()1168.26P η-<<=％，()2295.44P η-<<=％，()3399.74P η-<<=％．【答案】（1），三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）() 5.79E ξ≈（元），()0.668D ξ≈（元2） 【解析】 【分析】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，求出()12597.72P X <<％．若骑车到校，则不迟到概率记为()225PX <， ()225P X <∈（97.72％，99.87％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，()32597.72P X <<％．比较即可做出选择；（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出()1E ξ和()1D ξ，再求ξ的期望与方差. 【详解】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，取122μ=，12σ=， 则1124μσ+=，11226μσ+=，()()11195.442526197.722P X P X -<<<=-=％％．若骑车到校，则不迟到的概率记为()225P X <，取216μ=，24σ=， 则2220μσ+=，22224μσ+=，22328μσ+=，则()()2241195.4497.72P X <=--=％％， ()()2281199.7499.87P X <=--=％％， ∴()()()()2222524,28P X P X P X <∈<<=（97.72％，99.87％）若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，取310μ=，38σ=， 则3318μσ+=，33226μσ+=，()()33252697.72P X P X <<<=％．综上，三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为()()2168.262015.872P X ->==％％，∴()15,15.87B ξ~％，∴()1515.87E ξ=⨯％0.7935=，()1515.87D ξ=⨯％()115.870.668⨯-≈％．又∵()111255ξξξξ=+-=+，∴()()15 5.79E E ξξ=+≈（元），()()10.668D D ξξ=≈（元2）【点睛】本题主要考查正态分布的计算，考查期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知()ln f x m x =，从原点O 作()y f x =图像切线，切点为P，已知OP =，其中e 为自然对数的底数． （1）求m 的值； （2）若()()()212g x f x x k =++有两个极值点1x ，2x ， （i ）求参数k 的范围； （ii ）若假定12x x <，求()21g x x 的取值范围． 【答案】（1）1m =（2）（i ）(),2k ∈-∞-（ii ）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先求出切点P 为(),e m ，再根据OP ==求出m 的值；（2）（i ）()()2111g x x k x kx x x'=++=++，()21h x x kx =++，则()h x 在()0,∞+有两零点，得到k 的不等式，解不等式即得解；（ii ）先求出()222121ln 2g x x x x x =+，再利用导数求函数的值域得解. 【详解】（1）∵()mf x x'=，从原点O 作()y f x =图像的切线， 设切点()00,ln x m x ，∴000ln 00m x mx x -=-，∴0x e =，∴切点P 为(),e m ．又∵OP ==，且0m >，∴1m =．（2）（i ）依题意()()21ln 2g x x x k =++，其中0x >， ∴()()2111g x x k x kx x x'=++=++，取()21h x x kx =++， 若函数()g x 有两个极值点，则()h x 在()0,∞+有两零点， ∴02k ->，240k ->，∴(),2k ∈-∞-． （ii ）若1x ，2x 为()g x 的极值点，则1x ，2x 为()210h x x kx =++=的两根，∴121=x x ，12x x k +=-．又∵12x x <，∴1201x x <<<，∴()()()222222221ln 2g x x x g x x x x k x ==++． 又∵22210x kx ++=，∴221k x x =--，∴()222121ln 2g x x x x x =+， 取()()1ln 12p x x x x x =+>，∴()211ln 02p x x x'=+->， ∴()p x 在()1,+∞单调递增，∴()p x 的值域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，即()21g x x 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调区间、最值和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点(),0P a ，且与抛物线C 交于A 、B 两点，90AFB ∠=︒． （1）求a 的取值范围；（2）若1a ≥，点E 的坐标为()1,0-，直线EA 与抛物线的另一个交点为M ，直线EB 与抛物线的另一个交点为N ，直线MN 与x 轴交于点(),0Q b ，求+a b 的取值范围．【答案】（1）((),33a ∈-∞-++∞U （2）(6,)+∞【解析】【分析】（1）设直线l 为(0)x my a m =+≠，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为交点，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r 得226140a a m -+=>，即得解；（2）求出点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用(),0Q b 在直线MN 上得到1a b a a +=+，设()1f a a a =+，利用导数求出函数的取值范围.【详解】（1）依题意，设直线l 为(0)x my a m =+≠，代入24y x =得2440y my a --=，其判别式为216160m a ∆=+>，∴2m a >-． 设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭为交点， ∴124y y m +=，124y y a =-．∵焦点F 的坐标为()1,0， ∴2111,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2221,4y FB y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u uu r ． ∵90AFB ∠=︒， ∴()2222212121212121211111441642y y y y FA FB y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r224610a m a =--+=，∴226140a a m -+=>，∴3a >+3a <-∵()2221616424416410m a a a a a ∆=+=-++=->成立．∴((),33a ∈-∞-++∞U ．（2）若1a ≥，则3a >+ 设点233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭为直线EA 、直线EB 与抛物线的交点．设直线EA 为11x m y =-，代入24y x =得21440y m y -+=，∴134y y =，∴314y y =， 同理可得424y y =， ∴点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又∵(),0Q b 在直线MN 上， ∴21144,QM b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，22244,QN b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 共线， ∴2212124444b b y y y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴221212212112441616161614444b y y y y y y ay ay a y y ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． ∵12y y ≠，∴1b a =， ∴1a b a a +=+，设()1f a a a=+， ∴()2110f a a'=->在322a >+时恒成立， ∴()f a 在322,)++∞（单调递增，(322)6f +=∴+a b 的取值范围为．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的解决方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为，射线与曲线C 交于点P ，点Q 满足，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，当为何值时，最大？求出此最大值．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，直线l 的参数方程为，其中t为参数（2）当时，取得最大值【解析】【分析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线C的直角坐标方程为，求出点Q的直角坐标为，再写出直线l的参数方程；（2）设交点M，N所对应的参数分别为1t，，求出，再求出最大值得解.【详解】（1）∵，∴曲线C的直角坐标方程为．∵点P的极径为，又∵，∴点Q极径为，∴点Q的直角坐标为，∴直线l的参数方程为，其中t为参数．（2）将l的参数方程代入，的设交点M，N所对应的参数分别为1t，，则，∴，当即时取等．【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23.已知正实数x、y满足．（1）若，求x的范围；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）1 4【解析】【分析】（1）化简得，再解分类讨论解不等式得解；（2）先化简原式为，再利用基本不等式求最小值.【详解】（1）∵，∴，取，若，则，或，或，解得．（2）∵，∴，当且仅当时取等．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
【数学】辽宁省沈阳市实验中学东戴河分校2019-2020学年高一上学期12月月考试卷
辽宁省沈阳市实验中学东戴河分校2019-2020学年高一上学期12月月考数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共计60125=⨯分） 1.已知区间()[)1,6,7,4A B ==-，求A B =U （ ） A. ()7,6- B.[)7,6- C.()1,4 D.(]1,4 2.若0a b <<，则下列不等式不恒能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．a b >D ．22a b >3.某小学、初中、高中一体化学校，学校学生比例如下图，对全校学生采用分层抽样进行一次调查，样本容量为240人，则其中初中女生有（ ）人A.18B.42C.32D.484.函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)5.2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ） A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件 B ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件6.已知向量)2,3(),1,(-==m m ，则3=m 是//的（ ） A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件7.已知()38ln,2,2352.0=-==c b a ,则（ ） A. b a c >> B. b c a >> C.a b c >> D.a c b >>8．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4 9．已知函数()()()2log 12x f x f x ⎧+⎪=⎨+⎪⎩ 66x x ≥<，则()5f =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AT -=.下列关系中正确的是（ ） A. 51CQ TP ++=u u u r u u r B ．51BP TS +-=u u u r u u r uu rC ．512ES AP BQ -=u u u r u u u rD ．512AT BQ CR +=u u u r u u u r u u ur11.(多选题)下列命题正确的有（ ）A ．命题p ：“R x ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“R x ∈∀，210x x ++≥”.B.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合M N ⋂=(3,1)- .C.函数()2ln 1y kx kx =-+的定义域为R ，则k<0或k>4. D.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为3，90%分位数为9.5.12．（多选题）设函数()||f x x x bx c =-+，则下列命题中正确的是（ ） A.当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值； B.当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数； C.若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =； D.方程()0f x =可能有三个实数根.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，共计2045=⨯分）13．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．14.如图，在6×6的网格中，已知向量的c b a ,,起点和终点均在格点，且满足向量),(R y x c y b x a ∈+=，那么=-y x .15．已知x ＞0，y ＞0，2lg 8lg 2lg =+yx,则的最小11x y+值是 16.已知定义在{}0≠x x 的偶函数)(x f 满足)()()(xy f y f x f =+且当1>x 时，0)(>x f ，则()0)(1<-x f e x 的解集为 .三、解答题（17题10分，18~22题每题12分，共计70分）17．已知平面向量a r ，b r ，() 1,2a =r.（1）若()0,1b =r，求2a b +r r 的值； （2）若()2,b m =u r ，a r 与a b -r r共线，求实数m 的值.18．已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=.(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为12,x x ,且满足121112x x +=-，求m 的值．19．已知函数121()log 1axf x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数.（1）求a 的值；（2）若(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围.20.已知函数]1,0[,239)(∈+-=x a a x f xx 的最小值为)(a g （1）求)3(g 的值；（2）求)(a g 的最大值.21．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有7辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次性购进70辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示)．22．已知函数||()(0)x a f x a x -=>，且满足1()12f =. （1）求实数a 的值;(2)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（3）设函数()()g x f x c =-，若()g x 在(0,)+∞上有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；【参考答案】一．选择题1-5 BADBA 6-10 DDBBB 11-12 AD , BCD. 二．填空题：13. 5 ， 8 （第一个空2分，第二个空3分） 14. 0 15.4+ 16. (),1(0,1)-∞-U 三．解答题17.()()(1)21,4225(2)1,2722,410a b a b a b m m m '+='+='-=--'-=-=r rK K r rK r rK K K K 18.解：(1)证明：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋5>0，--------------4’所以方程总有两个不相等的实数根．---------------------------6’ (2)因为x 1＋x 2＝－(4m ＋1)，x 1x 2＝2m －1， ----------------8’1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－12，即－（4m ＋1）2m －1＝－12，所以m ＝－12.---------------12’ 19.()()()212(1)0 1.1(1)------log 1+9112f x f x a a a x m m +-===-=''+<∞'≥----------K K 得：经检验的舍去（不检验扣1分）6（2）在（1，）上恒成立20[][][][]2min 2min min (1)31,32.=,221,3161,3-+22461,39-x t y t at a a a a a a a a a=∈=-+≤=+<=≥=令，则对称轴t 当时，此函数在单调递减，y 当2<时，此函数在先减后增，当t=时，y 当时，此函数在单调递减，y ---------4’21,2()2,2649,6a a a g a a a a a +≤=+<<--≥⎰-----------------5’15(3),(4)44g g ==-----------------6’ (2)由图可知，max ()(4)4g a g == -------------------12’21（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为1462707+= ---------------- 3’ （2）①由统计数据可知，该销售商店内的7辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为1b ，2b ，5辆非事故车，设为1a ，2a ，3a ，45a a ，.从7辆车中随机挑选2辆车的情况有()12,b b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()14,b a ，()15,b a ，()21,b a ，()22,b a ，()23,b a ，()24,b a ，()25,b a ，()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()15,a a ，()23,a a ，()24,a a ，()25,a a ，()34,a a ，()35,a a ，()45,a a 共21种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()14,b a ，()()1521,,b a b a ，，()22,b a ，()23,b a ，()24,b a ，()25,b a 共10种，所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆事故车的概率为1021. ---------------------------------8’ ②由统计数据可知，该销售商一次购进70辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车20辆，非事故车50辆，所以一辆车盈利的平均值为()1380006000201000050707⎡⎤-⨯+⨯=⎣⎦ (元)． ------------------------------------------12’ 22（1）由1||12()=1122a f -=，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|()x f x x-=. ---- --------2’ 当1x >时，11()=1x f x x x-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=- -----------3’ 12212212(1)(1)=x x x x x x ---1212=x x x x -，---------------4’因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，12())0(f x f x -<， 所以()f x 在(1,)+∞上为增函数；----------------------------------5’（2）由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上为增函数,当(1,)x ∈+∞时，1()=1(0,1)f x x-∈ 同理可得()f x 在(0,1)上为减函数，当(0,1)x ∈时，1()=1(0,)f x x-∈+∞. 所以(0,1)c ∈； ---------------------------7’（3）方程222(1)|1|20x x x mx ---+=可化为22|1||1|220x x m x x---+=，------------8’即22()()20f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在(0,1)有两个不等的根12,t t ， ----------------10’则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为1(0,)16.----------------------12’。
2019-2020学年辽宁省实验中学高一(下)期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年辽宁省实验中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.tan(−675°)的值为()A. 1B. −√22C. √22D. −12.已知锐角α,β满足sinα=2√55,sinβ=3√1010，则α+β=()A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. 5π43.在ΔABC中，关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0有两个不等的实数根，则角A为()A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不存在4.已知向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗|=()A. √2B. √3C. 2D. 45.将函数y=cos(2x−π4)的图象向右平移π8个单位，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)的表达式可以是()A. f(x)=−sin2xB. f(x)=cos(2x−π8)C. f(x)=cos(2x−3π8) D. f(x)=sin2x6.已知a⃗，b⃗ 是单位向量，a⃗⋅b⃗ =√32，则|a⃗+t b⃗ |(t∈R)的最小值为()A. 14B. 12C. √32D. 17.给出下列四个命题，其中正确的命题是()①若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，则△ABC是等边三角形；②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；④若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形．A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)= ()A. −√22B. √22C. √32D. −√329. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列，且cosA =23，则sinC =( )A. −2√3+√56B. 2√3+√56C. 2√3−√56D. −2√3−√5610. 已知函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ，则( )A. f(x)的最大值为1B. f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x)的最小正周期为π2D. x =π3为f(x)图象的一条对称轴11. 半径为10，中心角为π5的扇形的面积为( )A. 2πB. 6πC. 8πD. 10π12. 已知函数f(x)=sin x +√3cos x 在x =θ时取得最大值，则cos (2θ+π4)=( )A. −√2+√64B. −12C. √2−√64D. √32二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点P 是线段BC 上的动点，则(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．14. 若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,4]上与x 轴有9个交点，则ω的取值范围是________． 15. 函数y =cosx+2cosx+1的值域为____．16. 若sin(π6−α)=14，则cos(2α−π3)的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)已知tanα=2，求值：y =4sinα−2cosα5cosα+3sinα；(2)化简f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−π−α)sin(−π−α)．18.已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，求cos2α的值．19.已知向量a⃗=(sinωx,1)，b⃗ =(√3,−cosωx)，ω>0，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，且f(x)的最小正周期是π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．20.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=√3acosB．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=2√3，求ac的最大值．21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a2−b2=bc，2sinB−sinC=0，求角A的大小．22.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB=θ．(1)若矩形MNPQ是正方形，求tan θ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：tan(−675°)=−tan675°=−tan(720°−45°)=tan45°=1．故选：A．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，考查计算能力．2.答案：B解析：本题考查两角和与差的三角函数及同角关系式，属于基础题．先求cosα，cosβ，然后求cos(α+β)的值，根据α，β为锐角，求出α+β的值．解析：解：α，β为锐角且满足sinα=2√55,sinβ=3√1010，所以cosα=√55，cosβ=√1010，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√22，又0<α+β<π，所以α+β的值等于3π4．故选B．3.答案：A解析：∵(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0，∴(sinA−sinC)x2+2xsinB+(sinA+sinC)=0，∵sinA−sinC≠0，∴Δ=4sin2B−4(sinA−sinC)(sinA+sinC)>0，sin2B−sin2A+sin2C>0，sin2B+sin2C>sin2A，即b2+c2>a2，∵cosA=b2+c2−a22bc >0，∴A∈(0,π2)，故选A．4.答案：C解析：解：根据题意，向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x=√3，则a⃗=(√3,−1)，故|a⃗|=√3+1=2；故选：C．根据题意，由a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x的值，即可得向量a⃗的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标运算，关键是掌握向量垂直与向量的数量积之间的关系．5.答案：D解析：解：函数y=cos(2x−π4)的图象向右平移π8个单位，得到函数：f(x)=cos[2(x−π8)−π4]，=cos(2x−π2)=sin2x故选：D．直接利用平移变换和诱导公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换问题，符合“上加下减”的性质，诱导公式的应用，属于基础题型．6.答案：B解析：本题考查单位向量的概念，以及数量积的运算，二次函数最值的求法，属于基础题．根据a⃗,b⃗ 为单位向量及a⃗⋅b⃗ =√32即可求出|a⃗+t b⃗ |2=t2+√3t+1，然后可求出二次函数t2+√3t+ 1的最小值，从而得出|a⃗+t b⃗ |的最小值．解：a⃗,b⃗ 是单位向量，a⃗⋅b⃗ =√32；∴|a⃗+t b⃗ |2=a⃗2+2t a⃗⋅b⃗ +t2b⃗ 2 =1+√3t+t2；∵t2+√3t+1的最小值为4−34=14；∴|a⃗+t b⃗ |的最小值为12．故选：B．7.答案：C解析：解：对于①，∵A−B∈(−π,π)，B−C∈(−π,π)，C−A∈(−π,π)，∴−1<cos(A−B)≤1，−1<cos(B−C)≤1，−1<cos(C−A)≤1．∵cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，∴cos(A−B)=cos(B−C)=cos(C−A)=1，∴A−B=B−C=C−A=0，∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，故①正确．对于②，若A=120°，B=30°，显然sinA=cosB，但△ABC不是直角三角形，故②错误．对于③，若cosAcosBcosC<0，则cos A，cos B，cos C中必有一个小于0，即必有一个角为钝角，故③正确．对于④，若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2．∴△ABC是等腰三角形或是直角三角形，故④错误．故选：C．根据三角函数的性质和角的范围进行判断．本题考查了三角函数的性质，解三角形，属于中档题．8.答案：B解析：解：由图象可知：T=2×2π3=2πω，解得ω=32．且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2．∴f(x)=sin(3π2x−π2)，∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin3π4=√22．故选：B．由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴∠A +∠C =2∠B ， 又∠A +∠B +∠C =π， ∴3∠B =π，则∠B =π3．∵cosA =23，可得：sinA =√1−cos 2A =√53，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√53×12+23×√32=√5+2√36． 故选：B ．直接由等差数列的性质结合三角形内角和定理得B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值．本题主要考查了等差数列的性质，考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，是基础题．10.答案：D解析：解：函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x =√3sin2x −cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)， 可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T =2π2=π，故A 、C 错误；由f(x)=0，可得2x −π6=kπ，k ∈Z ，即为x =kπ2+π12，k ∈Z ，可得f(x)在(0,π)内的零点为π12，7π12，故B 错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可得x =π3为f(x)图象的一条对称轴，故D 正确． 故选：D ．运用二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，推得f(x)=2sin(2x −π6)，运用正弦函数的最值和周期公式，可判断A ，C ；由f(x)=0，可判断B ；由对称轴的特点，计算可判断D ．本题考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的图象和性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．11.答案：D解析：∵半径为10，中心角为π5，∴扇形的弧长l =π5×10=2π∴扇形的面积S =12lr =12×2π×10=10π12.答案：C解析：本题主要考查两角和差的三角函数公式的应用．利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f(x)═2sin (x +π3).由题意可得，k ∈Z ，求出θ，再代入求解即可．解：∵f(x)=sinx +√3cos x =2sin (x +π3)， 又f(x)在x =θ时取得最大值， ∴θ+π3=π2+2kπ(k ∈Z)， 即θ=π6+2kπ(k ∈Z)，于是cos (2θ+π4)=cos (π3+π4+4kπ)=cos (π3+π4)=12×√22−√32×√22=√2−√64， 故选C ．13.答案：−12解析：解：建立平面直角坐标系A −xy ，设P 点坐标为(2,x)， 则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−x)，x ∈[0,2]，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2−x)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−x)，所以(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2−6x +4=2(x −1.5)2+4−4.5， 因为x ∈[0,2]，所以x =1.5时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−0.5即−12； 故答案为：−12．建立平面直角坐标系A −xy ，设P 点坐标为(2,x)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−x)，x ∈[0,2]，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2−x)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−x)，利用x 表示(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的函数求最值． 本题考查了向量的数量积以及二次函数闭区间的最值，关键是建立坐标系，将问题转化为二次函数的最值求法． 14.答案：[2π,9π4)解析：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想．结合正弦函数的图象与性质可得4T ≤4<92T ，即8πω≤4<9πω，又ω>0，解不等式即可求解． 解：由题意，得T =2πω．因为函数f(x)在[0,4]上与x 轴有9个交点，所以4T ≤4<92T ，即8πω≤4<9πω， 因为ω>0，解得2π≤ω<9π4． 故答案为：[2π,9π4)．15.答案：{y|y ≥32}解析：本题主要考查了函数定义域与值域，属于基础题．解：已知函数y =cosx+2cosx+1，所以cosx =−y+2y−1，所以|−y+2y−1|≤1， 解得y ≥32，故答案为{y|y ≥32}.16.答案：78解析：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由已知可求sin(α−π6)的值，根据条件利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．解：∵sin(π6−α)=14，∴sin(α−π6)=−14， ∴cos(2α−π3)=1−2sin 2(α−π6)=1−2×(−14)2=78，故答案为78． 17.答案：解：(1)∵tanα=2，∴y =4sinα−2cosα5cosα+3sinα=4tanα−25+3tanα=611；(2)f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−π−α)sin(−π−α) =cosα⋅sinα⋅tanα−tanα⋅sinα=−cosα．解析：(1)利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；(2)直接利用诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18.答案：解：若sinα=0，则cos 2α=1．若sinα≠0，则{sinα=2sinβsinαcosα=3sinβcosβ， 所以{12sinα=sinβ32cosα=cosβ，所以sin2α4+9cos2α4=1解得cos2α=38．综上得cos2α=1或cos2α=38．解析：本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题.注意sinα=0，这种特殊情况．19.答案：解：(Ⅰ，，解得ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，令，k∈Z解得，k∈Z取其与[0,π]的交集，得，∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间为．解析：本题主要考查正弦函数的图象与性质以及辅助角公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)直接将f(x)的解析式化简，利用即可；(Ⅱ)直接根据正弦函数的图象与性质，令，解得其与[0,π]的交集，即可．20.答案：解：(Ⅰ)因为bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB．因为在△ABC中，sinA≠0，所以tanB=√3．又0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，因为B=π3，b=2√3，所以12=a2+c2−ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当a =c =2√3时，ac 取得最大值12． 解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题． (Ⅰ)因为bsinA =√3acosB ，由正弦定理求得tanB =√3，从而求得B 的值． (Ⅱ)由余弦定理求得12=a 2+c 2−ac ，再利用基本不等式求得ac 的最大值． 21.答案：解：在△ABC 中，∵2sinB −sinC =0，∴2b −c =0，即c =2b ． 由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，a 2−b 2=bc ，可得cosA =c 2−bc2bc =4b 2−2b 24b 2=12， ∴A =60°．解析：由条件利用正弦定理求得c =2b ，再由余弦定理以及a 2−b 2=bc ，求得cos A 的值，从而求得A 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题． 22.答案：解：(1)在Rt △PON 中，PN =200sin θ,ON =200cos θ，在Rt △OQM 中， QM =PN =200sin θ，OM =QMtan 60°=√3=200√33sin θ ，所以MN =ON −OM =200cos θ− 200√33sin θ， 因为矩形MNPQ 是正方形，∴MN =PN ，所以200cos θ−200√33sin θ=200sin θ， 所以(200+200√33)sin θ=200cos θ，所以tan θ=11+√33=33+√3=3−√32 ．(2)因为∠POM =θ，所以，即PS +PT =200sin θ+200sin (60°−θ)=200(sinθ+√3cosθ−1sinθ) =200(12sin θ+√32cos θ)=200sin (θ+60°),因为0°<θ<60°，所以当θ+60°=90°，即θ=30°时，PS+PT最大，此时P是AB的中点．解析：本题考查三角函数模型的应用，属于较难题．(1)先求得PN和MN的三角函数式，再由MN=PN列出等式，即可得出tanθ的值；(2)由题可得PS+PT=200sin (θ+60°)，由三角函数的性质即可得出．。
辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高一12月月考数学试题 扫描版含答案
郊联体高一试题数学答案第I卷（选择题）一、选择题：(每小题5分,共60分)1B 2C 3D 4A 5B 6D 7 B 8C 9A 10C 11D 12D第II 卷（非选择题）二、填空题(每题5分，满分20分) 13.< 14．1.56 15.16.(](),02,-∞+∞U三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分） 【详解】（1）------------5分 （2）由（1）可得求得所以-----------10分(结果错误0分，开闭区间错一处扣一分，不给步骤分) 18、（本小题满分12分）（1）181--------------6分 （2）23---------------12分(结果错误0分，不给步骤分)19（本小题满分12分）.（1）要使函数有意义：则有，解之得：-3＜x ＜1，所以函数的定义域为：（-3，1）-------4分 （3）函数可化为：，即20.解：（1）函数在上是增函数.----------3分函数是奇函数. ---------------6分(2)是奇函数，则由可得：，又在上是增函数，则得，.故原不等式的解集为：. ------------12分21.（本小题满分12分）试题详细分析：（1）当时， 当时，，那么，即综上---------------------------------4分（2）记，设的两实根分别为 ，当时，有，即 ；---------6分当时，有，即，此时，或不符合（舍去）----8分当时，有可得---------10分综上，的取值范围是或.---------------------12分22．（1）略解：由2)3()21(-=+g f解得22=a ．…………………………………………………………………3分（2）略解：]3,21[),27(log )(2∈+-=x x x x h a ． ①]1649,23[1649)47(2722∈+--=+-x x x当1>a 时，a x h a ⇒-==223log )(min 不存在；当10<<a 时，7421649log )(min =⇒-==a x h a ．综上，实数a 的值为74．-----------------7分②由题知，在区间]3,21[上，函数)(x h 的值域是)(x ϕ值域的子集．易得)(x ϕ的值域为),2[+∞-． 当1>a 时，)(x h 的值域为]1649log ,23[log a a， 应有⇒-≥223log a1>a 时均符合 当10<<a 时，)(x h 的值域为]23log ,1649[log a a应有74021649log ≤<⇒-≥a a综上，实数a 的取值范围为]74,0(),1(⋃+∞．………………12分- 11 -。
(全优试卷)辽宁省实验中学分校高一12月月考数学试题 Word含答案
辽宁省实验中学北校2016-2017上12月测试 命题人:李慧 校正人:谷志伟'1=()3V h S S +台2=4S R π球 34=3V R π球 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.．下列结论中，不正确的是( )A ．平面上一定存在直线B ．平面上一定存在曲线C ．曲面上一定不存在直线D ．曲面上一定存在曲线2.有下列三种说法①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱 ③棱柱的侧面都是平行四边形．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33.已知水平放置的正ABC ∆的边长为a ,则△ABC 的平面直观图△'''A B C 的面积为( )A.24a B.28a C.28a D.216a 4.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A.283π B.163π C.483π+ D.12π(第4题) (第5题)5.如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ） A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,EFGH 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形 6.下列命题，正确的是( )A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面 C ．若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面 D ．依次首尾相接的四条线段必共面7.已知直线,a b 和平面,αβ,给出以下命题，其中真命题为( )A ．若//,//a βαβ,则//a αB ．若//,,a αβα⊂则//a βC ．若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．若//,//,//a b βααβ，则//a b 8.下面给出四个命题：①若平面α∥平面β，,AB CD 是夹在α，β间的线段，若//,AB CD 则AB CD =；②若,a b 异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 一定是异面直线；③过空间任一点，可以做无数条直线和已知平面α平行；④平面α∥平面β，,//,P PQ αβ∈则PQ α⊂ 其中正确的命题是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①④ 9.已知两直线,m n ，两平面,αβ，且,m n αβ⊥⊂，下面有四个命题： ①若//,αβ则m n ⊥；②若m n ⊥，则//αβ；③若//m n ，则有αβ⊥； ④若αβ⊥，则有//m n . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(第10题) (第11题)10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E G ，F ，分别为棱1111AA BB A B ，，的中点，则点G 到平面1EFD 的距离为（ ）A.2 B.2 C.12D.511.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A.π36 B.π8 C.π29 D.π82712.三棱锥的棱长均为 ）A ．36πB ．72π C. 144π D ．288π二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，形成的几何体体积是 14. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 到平面1A BD 的距离为 _________ 15. 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为 ．(第15题) (第16题)16. 如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线,E F 的平面分别与棱'BB 、'DD 交于,M N ，设[]x,x 0,1BM =∈,给出以下四个命题：（1）''MENF BDD B ⊥平面平面； （2）当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； （3）四边形MENF 周长()[],0,1,L f x x =∈则12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数； （4）四棱锥'C MENF -的体积()V h x =为常函数； 以上命题中真命题的序号为_____________三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（本小题满分10分）正四棱台1AC 的高是8cm ，两底面的边长分别为4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱的长、斜高、表面积、体积18．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知区间()[)1,6,7,4A B ==-，求A B =（ ）A ．()7,6-B ．[)7,6-C ．()1,4D ．(]1,4【答案】B【解析】在数轴上画出区间A ，B 即可解. 【详解】 如图：[7,6)A B =-.故选：B. 【点睛】考查区间的并集.利用数轴解更直观.题目较易.2．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.3．某小学、初中、高中一体化学校，学校学生比例如下图，对全校学生采用分层抽样进行一次调查，样本容量为240人，则其中初中女生有（ ）人A ．18B ．42C ．32D ．48【答案】D【解析】由图可知初中男生占比为40%，可求出女生占比，则初中生人数乘以女生占比，即可解初中女生人数， 【详解】由图可知，男生占比40%，则女生占比60%，初中生人 数为80，∴8060%48⨯=人. 故选：D. 【点睛】考查根据扇形图，条形图求样本中个体的数量.题目较为简单. 4．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B【解析】易知函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数,(1)(2)0f f ⋅<,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间. 【详解】函数ln y x =是()0,∞+上的增函数,23y x =-是R 上的增函数, 故函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数.(1)ln12310f =+-=-<,(2)ln 2223ln 210f =+⨯-=+>,则()0,1x ∈时,()0f x <;()2,x ∈+∞时,()0f x >,因为(1)(2)0f f ⋅<,所以函数()ln 23f x x x =+-在区间()1,2上存在零点. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.5．2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ） A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，不是互斥事件 C ．既是互斥事件，也是对立事件 D ．既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案. 【详解】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.6．已知向量(1)a m =，u r ，(32)b m =-，u r，则3m =是a //b 的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】当//a b 时，求m ，然后再判断充分必要条件. 【详解】 当//a b 时，()2130m m --⨯= ，即2230m m --=，解得：1m =-或3m =，3m ∴=是//a b 的充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示求参数和充分必要条件结合的简单综合问题，属于基础题型.7．已知()50.2382,2,ln 3a b c ==-=,则（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】将0.22和02比，8ln 3和ln e 比即可解. 【详解】 由题意得：50.23221(2)0a b =>==-<，，80ln ln 13c e <=<=.∴a c b >>. 故选：D. 【点睛】考查指数函数，对数函数的性质，利用特殊值比较即可解，题目较为简单.8．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m 的取值范围是[2，4]，故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．9．已知函数()()()2log 12x f x f x ⎧+⎪=⎨+⎪⎩66x x ≥<，则()5f =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】利用分段函数的解析式，可得()25(7)log 8f f ==，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()2log 1,62,6x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()225(52)(7)log (71)log 83f f f =+==+==，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E为顶点的多边形为正五边形，且PT AT =.下列关系中正确的是（ ）A ．512BP TS RS +-=B ．512CQ TP TS ++=C ．512ES AP BQ -= D ．512AT BQ CR -+=【答案】A【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【详解】在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT =． 在A 中，51BP TS TE TS SE RS +-=-==，故A 正确； 在B 中，51CQ TP PA TP TA ST ++=+==，故B 错误； 在C 中，512ES AP RC QC QB --=-=，故C 错误； 在D 中，51,AT BQ SD RD CR RS RD SD -+=+==-， 若51AT BQ CR -+=，则0SD =，不合题意，故D 错误． 故答案为：A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．二、多选题11．(多选题)下列命题正确的有（ ）A ．命题p ：“R x ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，210x x ++≥”.B ．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=,那么集合M N ⋂=(3,1)-.C ．函数()2ln 1y kx kx =-+的定义域为R ，则k <0或k >4. D ．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为3，90%分位数为9.5. 【答案】AD【解析】分别对A ，B ，C ，D 四个选项进行判断，找出正确的选项. 【详解】A . 命题p ：“R x ∃∈，使得210x x ++<”， p ⌝，将存在 换成任意，再将结论否定，得：“x R ∀∈，210x x ++≥”，正确B . 已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么 集合(3,1)M N ⋂=-，应写成集合的形式，{(3,1)}M N ⋂=-, B 项错误.C . 函数()2ln 1y kx kx =-+的定义域为R ，则21k kx -+恒大于0， 当0k =，则有10>，恒成立，当k 0<，不等式不恒成立, 当0k >，则240k k -<，∴04k <<，C 项错误.D . 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，一共十个数字，1025% 2.5,1090%9⨯=⨯=， 故25%分位数为3，90%分位数为9.5.正确. 故选：AD. 【点睛】考查命题的否定，集合的形式，对数函数的定义域，以及求分位数的问题.属中档题.分位数补充：一般地，一组数据的第p 百分数是这样一个值，它使得这组数据中至少有(100)%p -的数据大于等于这个值.可以通过以下步骤计算一组n 个数的第p 百分位数：第一步，按从小到大排列原始数据.第二步，计算%i n p =⨯.第三步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据，若i 不是整数，则第p 百分位数为第i 与第(1)i +项数据的平均值.12．（多选题）设函数()||f x x x bx c =-+，则下列命题中正确的是（ ） A ．当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值； B ．当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数； C ．若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =； D ．方程()0f x =可能有三个实数根. 【答案】BCD【解析】分析A ，B ，C ，D 四个选项，判断正确的选项，考虑用特殊值法. 【详解】A .当0b >时，22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令2,0b c ==，则222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，可知函数()f x 在R 上无最小值，A 项错误.B .当0b <时，22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令120x x <<，代入2()f x x bx c =-+，22121221()()()f x f x x x b x x -=-+-， 由2212210,0,0x x x x b -<-><可知12())0(f x f x -<，()f x 在[0,)+∞单调递增，同理可得()f x 在(,0)-∞单调递增，且22min max ()(0)()x bx c f c x bx c -+==>--+，函数()f x 在R 是单调增函数，B 项正确.C . 由(2019)(2019)2020f f +-=，将2019,2019x x ==-代入22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩ ，解得1010c =.C 项正确. D .令2b =-，0c =则()||20f x x x x =-=，解得0,2,2x =-.D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】考查分段函数，含绝对值的二次函数以及二次函数的性质.属中档题.三、填空题13．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．【答案】5 8【解析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴()9151018245y+++++=16.8，解得：y＝8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．14．如图，在6×6的网格中，已知向量的,,a b c起点和终点均在格点，且满足向量(,)a xb yc x y R=+∈，那么x y-=________.【答案】0【解析】先作单位向量,i j，再用单位向量表示a，b，c，再根据平面向量的基本定理得出关于x，y的方程组，解出x，y，即可得出x y-的值.【详解】如同做单位向量,i j，则2,22,24a i j b i j c i j =-=+=-， (22)(24)xb yc x y i x y j ∴+=++-，又∵a xb yc =+，∴2(22)(24)i j x y i x y j -=++-，∴222124x y x y =+⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴0x y -=. 故答案为：0. 【点睛】考查平面向量的基本定理,平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e ，2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）15．已知x ＞0，y ＞0，lg 2lg8lg 2x y +=,则的最小11x y+值是_______【答案】4+【解析】先根据对数运算得31x y +=，再利用基本不等式中“1”的用法求出11x y+的值. 【详解】由lg 2lg8lg 2xy+=得31x y +=.则113(3)(+)411y x x y x x y y x y+=+=++4≥+当且仅当x =,即x =，y =时取等号.故答案为：4+【点睛】考查对数运算，基本不等式中“1”的用法.注意取等号.题目较易.16．已知定义在{}0x x ≠的偶函数()f x 满足()()()f x f y f xy +=且当1x >时，()0f x >，则()1()0x e f x -<的解集为___________.【答案】(),1(0,1)-∞-⋃【解析】先求(1),(1)f f -的值，再证明函数()f x 的单调性，再分类讨论()1()0xef x -<即可解.【详解】令1,1x y ==，则有(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f =，令1,1x y =-=-，则(1)(1)(1)f f f -+-=，(1)0f -=.令1x x =，11y x =，则111()()(1)0f x f f x +==，111()()f f x x =-. 令120x x <<，由1x >时，()0f x >，则211x x >，21()0x f x >， 22211111()()()()()0f x f x f f x f x x x ⋅=+=->， ∴函数()f x 在(0,)+∞为增函数，又∵函数()f x 在{}0x x ≠为偶函数，∴函数()f x 在(,0)-∞为减函数.由()1()0xe f x -<，则10()0x e f x ⎧->⎨<⎩或10()0x e f x ⎧-<⎨>⎩，解得1x <-或01x <<.故答案为：(),1(0,1)-∞-⋃. 【点睛】考查函数的奇偶性，单调性，抽象函数，解函数不等式.其中利用1x >，()0f x >证明函数()f x 的单调性为解题关键.四、解答题17．已知平面向量a ，b ，() 1,2a =. （1）若()0,1b =，求2a b +的值； （2）若()2,b m =，a 与a b -共线，求实数m 的值. 【答案】（1；（2）4.【解析】（1）结合已知求得：2(1,4)+=a b ，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解.（2）求得：(1,2)m -=--a b ，利用a 与a b -共线可列方程1212m --=，解方程即可. 【详解】解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ，所以2214+=+=a b （2）(1,2)m -=--a b ， 因为a 与a b -共线，所以1212m--=，解得4m =. 【点睛】本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题。
2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题(解析版)
【答案】AD
【解析】分别对 A，B，C，D 四个选项进行判断，找出正确的选项.
【详解】
A. 命题 p ：“ x R ，使得 x2 x 1 0 ”， p ，将存在
换成任意，再将结论否定，得：“ x R ， x2 x 1 0 ”，正确
B. 已知集合 M = {(x, y) | x + y = 2}, N = {(x, y) | x - y = 4}，那么
且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以 A, B, C, D, E 为顶点的多边形为正五边
PT 5 1
形，且 AT
2 .下列关系中正确的是（ ）
BP TS
5
1
RS
A．
2
CQ TP
5 1TS
B．
2
ES AP
D. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，一共十个数字，10 25% 2.5,10 90% 9 ，
故 25%分位数为 3，90%分位数为 9.5.正确. 故选：AD. 【点睛】
考查命题的否定，集合的形式，对数函数的定义域，以及求分位数的问题.属中档题.分位数补充：一般
地，一组数据的第 p 百分数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 (100 p)% 的数据大于等于这个
值.可以通过以下步骤计算一组 n 个数的第 p 百分位数：第一步，按从小到大排列原始数据.第二步，
计算 i n p% .第三步，若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j ，则第 p 百分位数为第 j 项数据，
若 i 不是整数，则第 p 百分位数为第 i 与第 (i 1) 项数据的平均值.
A B [7, 6) .
2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一12月月考数学试题 扫描版
郊联体高一试题数学答案第I 卷（选择题）一、选择题：(每小题5分,共60分)1B 2C 3D 4A 5B 6D 7 B 8C 9A 10C 11D 12D第II 卷（非选择题）二、填空题(每题5分，满分20分)13.< 14．1.56 15. 16. (](),02,-∞+∞U三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）【详解】（1）------------5分 （2）由（1）可得求得 所以-----------10分 (结果错误0分，开闭区间错一处扣一分，不给步骤分)18、（本小题满分12分）（1）181 --------------6分 （2）23 ---------------12分 (结果错误0分，不给步骤分)19（本小题满分12分）.（1）要使函数有意义：则有，解之得：-3＜x ＜1，所以函数的定义域为：（-3，1）-------4分（3）函数可化为：，即由得224log 4=-=a a 得--------------------12分20.解：（1）函数在上是增函数.----------3分函数是奇函数. ---------------6分(2)是奇函数，则由可得：，又在上是增函数，则得，.故原不等式的解集为：. ------------12分21.（本小题满分12分）试题解析：（1）当时， 当时，，那么，即 综上---------------------------------4分 （2）记，设的两实根分别为 ， 当时，有，即 ；---------6分 当时，有，即，此时，或不符合（舍去）----8分当时，有可得---------10分 综上，的取值范围是或.---------------------12分22．（1）略解：由2)3()21(-=+g f 解得22=a ．…………………………………………………………………3分（2）略解：]3,21[),27(log )(2∈+-=x x x x h a ． ①]1649,23[1649)47(2722∈+--=+-x x x 当1>a 时，a x h a ⇒-==223log )(min 不存在；当10<<a 时，7421649log )(min =⇒-==a x h a ．综上，实数a 的值为74．-----------------7分 ②由题知，在区间]3,21[上，函数)(x h 的值域是)(x ϕ值域的子集． 易得)(x ϕ的值域为),2[+∞-．当1>a 时，)(x h 的值域为]1649log ,23[log a a， 应有⇒-≥223log a 1>a 时均符合 当10<<a 时，)(x h 的值域为]23log ,1649[log a a应有74021649log ≤<⇒-≥a a 综上，实数a 的取值范围为]74,0(),1(⋃+∞．………………12分。
辽宁省实验中学分校2019-2020学年高二12月月考数学(理)试题Word版含答案
数学（理）学科 高二年级一、选择题（每小题5分，满分60分）1. 若复数z 满足()543=-z i ，则z 的虚部为（ ） A. i 54- B.54- C. i 54 D.54 2.抛物线22y x =的焦点坐标是（ ） A. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭3. “46k <<”是“方程22164x y k k +=--表示椭圆”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 285.与椭圆222211312x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为（ ） A ．2222143x y -= B ．22221135x y -= C ．2222134x y -= D ． 222211312x y -= 6．若z C ∈，且221z i +-=，则12z i -+的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67.方程()1xy x y +=所表示的曲线（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y x =对称8.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A. (B. (C.D. 9.A 、B 分别是椭圆2213x y +=的左顶点和上顶点， C 是该椭圆上的动点，则点C 到直线A B 的距离的最大值为（ ）2 D. 2+10.已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若坐标原点O 恰为2ABF ∆的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ）3 11.过双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点()F ,0c -（0c >），作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长F E 交双曲线右支于点P ，若F 2OP +O =OE ，则双曲线的离心率为（ ）A C D 12.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C , 1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF 的面积为则准线l 的方程为( )A. x =x =- C. 2x =- D. 1x =-二、填空题（每小题5分，满分20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是14. 已知动圆M 与圆1C :()4322=++y x 外切，与圆()43:222=+-y x C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程____________15. 如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆()22216x y -+=的实线部分（包含交点）上运动，且AB总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是____________. 16.已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是三、解答题（满分70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17．（满分10分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.（1）以(和为焦点，长轴长为4的椭圆的标准方程；（2）双曲线的渐近线方程为y =，且过点)的双曲线的标准方程。
辽宁省实验中学2019-2020学年度高一上学期数学试题
(A){x | 0 x 1或 2 x 4}
(B){x |1 x 2}
(C)
(D){x | x 0 或 x 4}
解析：解不等式，化简集合 A，B，先求出 B 的补集，最后求出结果。 答案：A
2．命题
p
:
x
0
，
x3 x
2
0
，则命题
p
的否定为（
）
沈阳简化数学 (A)x0, x3 0 x2
(B)[3, 4]
(C)[1, 2]
(D) (2,3]
解析：考察不等式的解法，牢记大于取两边，小于取中间，分式不等式需要注意分母不可是零。
答案：D
5．已知 x1 ，x2 是关于
x 的一元二次方程 x2
(2m 3)x m2
0 的两个不相等的实数根，并且满足
1 x1
1 x2
1，
则实数 m 的值为（ ）
答案：C
10．已知
x，y
满足
1 1
x
x
y
3 y 1
的解集为集合
A，则下列命题为真命题的是（
）
(A) (x, y) A, 4x 2 y 2
(B) (x, y) A, 4x 2 y 2
(C) (x, y) A, 4x 2 y 10
(D) (x, y) A, 4x 2 y 10
的取值范围________.
解析：因为非 p 是非 q 的必要不充分条件，所以 p 是 q 的充分不必要条件，原问题直接难度下降，解不等
式即可。 a 2 b 2a, b2 c 2b, c2 a 2c
b
c
a
答案：m≥4
15．已知 m 是方程 x2 5x 1 0 的一个根，则 m3 24m 2019 ________. 解析：遇到此类问题，常用方法是将数字移动到一边，未知数放在另一边，然后根据题意变化。 答案：2014
2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知区间()[)1,6,7,4A B ==-，求A B =U （ ） A ．()7,6- B ．[)7,6-C ．()1,4D ．(]1,4 【答案】B【解析】在数轴上画出区间A ，B 即可解. 【详解】 如图：[7,6)A B =-U .故选：B. 【点睛】考查区间的并集.利用数轴解更直观.题目较易.2．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.3．某小学、初中、高中一体化学校，学校学生比例如下图，对全校学生采用分层抽样进行一次调查，样本容量为240人，则其中初中女生有（ ）人A ．18B ．42C ．32D ．48【答案】D【解析】由图可知初中男生占比为40%，可求出女生占比，则初中生人数乘以女生占比，即可解初中女生人数， 【详解】由图可知，男生占比40%，则女生占比60%，初中生人 数为80，∴8060%48⨯=人. 故选：D. 【点睛】考查根据扇形图，条形图求样本中个体的数量.题目较为简单. 4．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B【解析】易知函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数,(1)(2)0f f ⋅<,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间. 【详解】函数ln y x =是()0,∞+上的增函数,23y x =-是R 上的增函数, 故函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数.(1)ln12310f =+-=-<,(2)ln 2223ln 210f =+⨯-=+>,则()0,1x ∈时,()0f x <;()2,x ∈+∞时,()0f x >,因为(1)(2)0f f ⋅<,所以函数()ln 23f x x x =+-在区间()1,2上存在零点. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.5．2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ） A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，不是互斥事件 C ．既是互斥事件，也是对立事件 D ．既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案. 【详解】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.6．已知向量(1)a m =，u r ，(32)b m =-，u r ，则3m =是a u r //b ur 的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】当//a b r r 时，求m ，然后再判断充分必要条件.【详解】 当//a b rr时，()2130m m --⨯= ，即2230m m --=，解得：1m =-或3m =，3m ∴=是//a b rr的充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示求参数和充分必要条件结合的简单综合问题，属于基础题型.7．已知()50.2382,2,ln 3a b c ==-=,则（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】将0.22和02比，8ln 3和ln e 比即可解. 【详解】 由题意得：50.23221(2)0a b =>==-<，，80ln ln 13c e <=<=.∴a c b >>. 故选：D. 【点睛】考查指数函数，对数函数的性质，利用特殊值比较即可解，题目较为简单.8．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]，故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．9．已知函数()()()2log 12x f x f x ⎧+⎪=⎨+⎪⎩66x x ≥<，则()5f =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】利用分段函数的解析式，可得()25(7)log 8f f ==，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()2log 1,62,6x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩， 则()225(52)(7)log (71)log 83f f f =+==+==，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E为顶点的多边形为正五边形，且512PT AT -=.下列关系中正确的是（ ）A ．512BP TS RS -=u u u r u u r u uu rB ．512CQ TP TS +=u u u r u u rC ．51ES AP --=u u u r u u u rD ．51AT BQ -+=u u u r u u u ru ur 【答案】A【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【详解】在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT =．在A 中，BP TS TE TS SE RS -=-==u u u v u u v u u v u u v u u vu uu v ，故A 正确；在B 中，12CQ TP PA TP TA ST +=+==u u u v u u v u u u v u u v u u v u uu v ，故B 错误；在C 中，12ES AP RC QC QB --=-=u u u v u u u v u u u v u u u vu u uv ，故C 错误；在D 中，AT BQ SD RD RS RD SD +=+==-u u u v u u u v u u u v u u u vu uv u u u v u u u v u u u v ，若AT BQ +=u u u r u u u ru u ur ，则0SD =u u u v v ，不合题意，故D 错误．故答案为：A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．二、多选题11．(多选题)下列命题正确的有（ ）A ．命题p ：“R x ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，210x x ++≥”.B ．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=,那么集合M N ⋂=(3,1)-.C ．函数()2ln 1y kx kx =-+的定义域为R ，则k <0或k >4. D ．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为3，90%分位数为9.5. 【答案】AD【解析】分别对A ，B ，C ，D 四个选项进行判断，找出正确的选项. 【详解】A . 命题p ：“R x ∃∈，使得210x x ++<”， p ⌝，将存在 换成任意，再将结论否定，得：“x R ∀∈，210x x ++≥”，正确B . 已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么 集合(3,1)M N ⋂=-，应写成集合的形式，{(3,1)}M N ⋂=-, B 项错误.C . 函数()2ln 1y kx kx =-+的定义域为R ，则21k kx -+恒大于0， 当0k =，则有10>，恒成立，当k 0<，不等式不恒成立, 当0k >，则240k k -<，∴04k <<，C 项错误.D . 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，一共十个数字，1025% 2.5,1090%9⨯=⨯=， 故25%分位数为3，90%分位数为9.5.正确. 故选：AD. 【点睛】考查命题的否定，集合的形式，对数函数的定义域，以及求分位数的问题.属中档题.分位数补充：一般地，一组数据的第p 百分数是这样一个值，它使得这组数据中至少有(100)%p -的数据大于等于这个值.可以通过以下步骤计算一组n 个数的第p 百分位数：第一步，按从小到大排列原始数据.第二步，计算%i n p =⨯.第三步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据，若i 不是整数，则第p 百分位数为第i 与第(1)i +项数据的平均值.12．（多选题）设函数()||f x x x bx c =-+，则下列命题中正确的是（ ） A ．当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值； B ．当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数； C ．若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =； D ．方程()0f x =可能有三个实数根. 【答案】BCD【解析】分析A ，B ，C ，D 四个选项，判断正确的选项，考虑用特殊值法. 【详解】A .当0b >时，22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令2,0b c ==，则222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，可知函数()f x 在R 上无最小值，A 项错误.B .当0b <时，22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令120x x <<，代入2()f x x bx c =-+，22121221()()()f x f x x x b x x -=-+-， 由2212210,0,0x x x x b -<-><可知12())0(f x f x -<，()f x 在[0,)+∞单调递增，同理可得()f x 在(,0)-∞单调递增，且22min max ()(0)()x bx c f c x bx c -+==>--+，函数()f x 在R 是单调增函数，B 项正确.C . 由(2019)(2019)2020f f +-=，将2019,2019x x ==-代入22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩ ，解得1010c =.C 项正确. D .令2b =-，0c =则()||20f x x x x =-=，解得0,2,2x =-.D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】考查分段函数，含绝对值的二次函数以及二次函数的性质.属中档题.三、填空题13．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．【答案】5 8【解析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x ＝5； 又∵乙组数据的平均数为16.8， ∴()9151018245y +++++=16.8，解得：y ＝8；综上，x 、y 的值分别为5、8． 故答案为：(1). 5 (2). 8 【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．14．如图，在6×6的网格中，已知向量的,,a b c r r r起点和终点均在格点，且满足向量(,)a xb yc x y R =+∈v vv ，那么x y -=________.【答案】0【解析】先作单位向量,i j r r ，再用单位向量表示a r ，b r ，c r，再根据平面向量的基本定理得出关于x ，y 的方程组，解出x ，y ，即可得出x y -的值. 【详解】如同做单位向量,i j r r，则2,22,24a i j b i j c i j =-=+=-r r r r r r r r r ， (22)(24)xb yc x y i x y j ∴+=++-r r r r ，又∵a xb yc =+r r r ，∴2(22)(24)i j x y i x y j -=++-r r r r ，∴222124x y x y =+⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴0x y -=. 故答案为：0. 【点睛】考查平面向量的基本定理,平面向量基本定理：如果1e u r ，2e u u r是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+r r r．（不共线的向量1e u r ，2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）15．已知x ＞0，y ＞0，lg 2lg8lg 2x y +=,则的最小11x y+值是_______ 【答案】423+【解析】先根据对数运算得31x y +=，再利用基本不等式中“1”的用法求出11x y+的值. 【详解】由lg 2lg8lg 2xy+=得31x y +=.则113(3)(+)411y x x y x x y y x y+=+=++4≥+当且仅当x =,即x =，y =时取等号.故答案为：4+【点睛】考查对数运算，基本不等式中“1”的用法.注意取等号.题目较易.16．已知定义在{}0x x ≠的偶函数()f x 满足()()()f x f y f xy +=且当1x >时，()0f x >，则()1()0x e f x -<的解集为___________.【答案】(),1(0,1)-∞-⋃【解析】先求(1),(1)f f -的值，再证明函数()f x 的单调性，再分类讨论()1()0xef x -<即可解.【详解】令1,1x y ==，则有(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f =，令1,1x y =-=-，则(1)(1)(1)f f f -+-=，(1)0f -=.令1x x =，11y x =，则111()()(1)0f x f f x +==，111()()f f x x =-. 令120x x <<，由1x >时，()0f x >，则211x x >，21()0x f x >， 22211111()()()()()0f x f x f f x f x x x ⋅=+=->， ∴函数()f x 在(0,)+∞为增函数，又∵函数()f x 在{}0x x ≠为偶函数，∴函数()f x 在(,0)-∞为减函数.由()1()0xe f x -<，则10()0x e f x ⎧->⎨<⎩或10()0x e f x ⎧-<⎨>⎩，解得1x <-或01x <<.故答案为：(),1(0,1)-∞-⋃. 【点睛】考查函数的奇偶性，单调性，抽象函数，解函数不等式.其中利用1x >，()0f x >证明函数()f x 的单调性为解题关键.四、解答题17．已知平面向量a r ，b r，()1,2a =r . （1）若()0,1b =r，求2a b +r r 的值； （2）若()2,b m =u r ，a r 与a b -r r共线，求实数m 的值. 【答案】（1；（2）4.【解析】（1）结合已知求得：2(1,4)+=r ra b ，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解.（2）求得：(1,2)m -=--r r a b ，利用a r 与a b -r r 共线可列方程1212m --=，解方程即可. 【详解】解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=r r a b ，所以2+==r r a b （2）(1,2)m -=--r ra b ，因为a r 与a b -r r 共线，所以1212m--=，解得4m =.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题。
2019-2020学年辽宁省实验中学实验班高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年辽宁省实验中学实验班高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若U ={1,2，3，4，5，6，7，8}，A ={1,2，3}，B ={5,6，7}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {4,8}B. {2,4，6，8}C. {1,3，5，7}D. {1,2，3，5，6，7} 2. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(1+x)=f(1−x)，则f(10)的值为( )A. 0B. 2C. 5D. 103. 函数y =log (x−2)(5−x)的定义域是( )A. (3,4)B. (2,5)C. (2,3)∪(3,5)D. (−∞,2)∪(5,+∞) 4. 幂函数的图象过点(2,8)，则它的单调递增区间是( )A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,+∞) 5. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n (1≤n ≤6,n ∈N ∗)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着n (1≤n ≤6,n ∈N ∗)的增加，下列说法正确的是( )A. Eξ增加，Dξ增加B. Eξ增加，Dξ减小C. Eξ减小，Dξ增加D. Eξ减小，Dξ减小6. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A. C 804⋅C 106C 10010B.C 806⋅C 104C 10010C.C 804⋅C 206C 10010D.C 806⋅C 204C 100107. 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(1,22)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,5]内的概率为( )A. 45.6%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%8. 设，则( )A. a <c <bB. c <a <bC. b <c <aD. c <b <a9. 函数f(x)=2x−log 12x 的零点所在区间为( ) A. (0,14) B. (14,12) C. (12,0) D. (1,2)10. 已知随机变量X 满足D (X )=2，则D (3X +3)的值等于( )A. 20B. 18C. 8D. 611. 把编号分别为1，2，3，4，5五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为( )A. 36B. 40C. 42D. 4812.设函数f(x)=e x+x−2,g(x)=lnx+x2−3.若实数a,b满足f(a)=0，g(b)=0，则()A. g(a)<0<f(b)B. f(b)<0<g(a)C. 0<g(a)<f(b)D. f(b)<g(a)<0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.满足{1,3}∪A={1,3，5}的集合A的个数是____．14.(x2−ax+2y)5的展开式中x5y2的系数为240，则实数a的值为______15.某停车场有6个停车位，现停进了4辆不同的轿车，考虑到进出方便，要求任何三辆车不能连续停放在一起，共有______种停法．(用数字作答)．16.已知函数f(x)满足：f(1)=1，8f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y)，(x,y∈R)，则8f(10)=__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简求值：(1)已知a12+a−12=3，求a+a−1；(2)(lg5)2+lg2×lg50．18.已知集合A={x|2<x<6}，B={x|3<x<9}，C={x|x>a}，全集为实数集R．(1)求∁R A和(∁R A)∩B；(2)如果A∩C≠⌀，求a的取值范围．)n的展开式中各项的二项式系数之和为32．19.已知(2x+√x(1)求n的值；)n的展开式中x2项的系数；(2)求(2x+√x(3)求(x√x )(2x+√x)n展开式中的常数项．20.由中央电视台综合频道(CCTV−1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课，每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如表的2×2列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35．(1)完成上述表格并根据表格判断是否有95％的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；(2)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望．附：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．21. 已知f(x)=xx +21是定义在[−1,1]上的函数．判断并证明f(x)的单调性；22. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=m −3x(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x ∈[2,8]时，不等式f ((log 2x )2)+f (5−alog 2x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵U={1,2，3，4，5，6，7，8}，A={1,2，3}，B={5,6，7}，∴(∁U A)∩(∁U B)={4,5，6，7，8}∩{1，2，3，4，8}={4，8}，故选：A．根据集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：【分析】本题考查奇函数的性质以及函数周期性．属基础题．利用奇函数的性质f(0)=0及条件f(1+x)=f(1−x)得f(x+4)=f(x)，函数周期为4，即可求出f(10)．【解答】解：因为f(1+x)=f(1−x)，所以f(2+x)=f(−x)，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，f(0)=0，所以f(2+x)=−f(x)，所以f(x+4)=f(x)，函数周期为4，所以f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1−1)=f(0)=0．故选A．3.答案：C解析：解：由{5−x>0 x−2>0 x−2≠1，解得2<x<5且x≠3．∴函数y=log(x−2)(5−x)的定义域是：(2,3)∪(3,5)．故选：C．直接由对数的运算性质列出不等式组，求解即可得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．4.答案：D解析： 【分析】本题考查幂函数的单调递增区间的求法，是基础题，解题时要注意幂函数的性质的合理运用．由幂函数y =x a 的图象过点(2,8)，求出y =x 3，由此能求出它的单调递增区间． 【解答】解：∵幂函数y =x a 的图象过点(2,8)， ∴2a =8，解得a =3， ∴y =x 3，它的单调递增区间是(−∞,+∞)． 故选：D ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查了超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查了推理能力计算能力，属于难题． 依题意，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即X ～H(6,3，n)，故EX =n2，再从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即X ～H(6,3，n)，ξ服从两点分布，所以Eξ=P(ξ=1)=12+12n+2 ，随着n 的增大，Eξ减小；Dξ=1−P(ξ=1)=12−12n+2， 随着n 的增大，Dξ增大； 【解答】解：依题意，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即X ～H(6,3，n)， 其中P (x =k )=C 3k C 3n−kC 6n ，其中k ∈N ，k ≤3且k ≤n ，EX =3n 6=n2．故从甲盒中取球，相当于从含有n2+1 个红球的n +1个球中取一球，取到红球个数为ξ个，故P(ξ=1)=n2+1n+1=12++12n+2，随着n 的增大，Eξ减小； Dξ=1−P(ξ=1)=12−12n+2 ，随着n 的增大，Dξ增大； 故选C ．6.答案：D解析：解：本题是一个古典概型， ∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有C 10010种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有C 806C 204种取法，由古典概型公式得到P =C 806C 204C 10010，故选：D ．本题是一个古典概型，试验包含的总事件是袋中有80个红球20个白球，从袋中任取10个球共有C 10010种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有C 806C 204种取法，根据古典概型公式得到结果．本题非常具有代表性，本题考查古典概型，这样的问题可以变形一系列题目，其中恰有6个红球的概率把6变为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10个红球，也可以变化球的颜色来构造题目．7.答案：B解析： 【分析】本题考查正态分布的概率的计算，属于较容易题． 利用正态分布的对称性直接得出结果． 【解答】解：某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(1,22)，所以其长度误差落在区间(3,5]内的概率P =(3<ξ≤5)=P(μ+σ<ξ≤μ+2σ) = 12[P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)−P(μ−σ<ξ≤μ+σ)]=12×(0.9544−0.6826)=13.59% 故选B ．8.答案：D解析： 【分析】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题． 【解答】解：因为a =log 23，b =log 2√3， ，所以，∴c <b <a. 故选D ．9.答案：B解析：解：∵函数f(x)=2x−log 12x ， ∴f(14)=√24−2<0，f(12)=√2−1>0，可得f(14)f(12)<0．根据函数的零点的判定定理，可得函数f(x)=2x−log 12x 的零点所在区间为(14 ,12)， 故选：B ．由函数的解析式求得f(14)f(12)<0，再根据函数的零点的判定定理，可得函数f(x)=2x −log 12x 的零点所在区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，根据函数的解析式求函数的值，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．10.答案：B解析： 【分析】本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用． 由随机变量X 满足D(X)=2及D(3X +3)=32D(X)，能求出结果． 【解答】解：∵随机变量X 满足D(X)=2， ∴D(3X +3)=32D(X)=9D(X)=18． 故选B ．11.答案：A解析： 【分析】本题考查了排列组合，属于中档题，将情况分为两类可以简化运算.将情况分为113和122两种情况，相加得到答案． 【解答】解：当分的票数为1,1,3这种情况时：C 31×3×A 22=18种，当分的票数为1,2,2这种情况时：一张票数的人可以选择1,3,5，即有C 31×A 22×3=18种，∴不同分法的种数为36，故答案选A．12.答案：A解析：由于y=e x及y=2−x关于x是单调递增函数，∴函数f(x)=e x+x−2在R上单调递增．分别作出y=e x，y=2−x的图象，∵f(0)=1+0−2<0,f(1)=e−1>0,f(a)=0，∴0<a<1.同理g(x)=lnx+x2−3在R+上单调递增，g(1)=ln1+1−3=−2<0，由于g(√3)=ln3>0，故由g(b)=0，可得1<b<ln√3+(√3)2−3=12√3.∴g(a)=lna+a2−3<g(1)=ln1+1−3=−2<0，f(b)=e b+b−2>f(1)=e+1−2=e−1>0.∴g(a)<0<f(b).故答案为：g(a)<0<f(b).故选A．13.答案：4解析：【分析】本题考查并集及其运算，属于基础题型，利用并集的性质可得集合A中至少含有元素5是本题的关键；【解答】解：由{1,3}∪A={1,3，5}知，集合A中至少含有元素5，故A可为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3，5}．14.答案：−2解析：【分析】本题考查了二项式定理的应用，是中档题．化(x2−ax+2y)5=[(x2−ax)+2y]5，利用二项展开式的通项公式求得展开式中x5y2的系数，列方程求出a的值．【解答】解：(x2−ax+2y)5=[(x2−ax)+2y]5，其展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(x2−ax)5−r⋅(2y)r，令r=2，得T3=C52⋅(x2−ax)3⋅4y2=40x3⋅(x−a)3⋅y2=40x3y2(x3−3ax2+3a2x−a3)，∴展开式中x5y2的系数为40⋅(−3a)=240，解得a=−2．故答案为−2．15.答案：360解析：解：第一步：先将4辆车停好，有A44=24种，形成了不包含两端的3个间隔，第二步：再将其中一个空停车位插入其中一个有3种，这时又形成了5个间隔，包含两端，其中与空停车相邻的按一个计算，第三步：最后将剩余的一个空停车位插入其中一个有5种，根据分步计数原理可得，共有24×3×5=360种，故要求任何三辆车不能连续停放在一起，共有360种，故答案为：360分三步，采取插空法，根据分步计数原理可得．本题考查了分步计数原理，关键采取插空法，属于中档题．16.答案：18解析：令y=1，则8f(x)f(1)=f(x+1)+f(x−1)，所以f(x)=f(x+1)+f(x−1)，所以f(x+ 1)=f(x+2)+f(x)，所以f(x+2)+f(x−1)=0，即f(x)+f(x+3)=0，所以f(13)=−f(10)= f(7)=−f(4)=f(1)=1．817.答案：解：(1)由a12+a−12=3，得：(a12+a−12)2=9，所以(a12)2+2a12⋅a−12+(a−12)2=9，即a+2+a−1=9，所以a+a−1=7；(2)(lg5)2+lg2×lg50=(lg5)2+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1．解析：(1)把已知的等式两边平方即可求出a+a−1；(2)把lg50展成对数的和，然后提取公因式lg5可得结果．本题考查了指数式和对数式的运算，解答的关键就是熟记运算性质，属基础题．18.答案：解：(1)因为A={x|2<x<6}，B={x|3<x<9}，所以求∁R A={x|x≤2或x≥6}，(∁R A)∩B={x|6≤x<9}；(2)A ={x|2<x <6}，C ={x|x >a}， 如果A ∩C ≠⌀，则a 的取值范围是a <6．解析：(1)根据补集与交集的定义，计算即可； (2)根据交集与空集的定义，写出a 的取值范围． 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．19.答案：解：(1)由题意结合二项式系数的性质可得2n =32，解得n =5．(2)由题意得(2x √x )n 的展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅25−r ⋅x 5−3r 2，令5−3r 2=2，解得r =2，所以展开式中x 2项的系数为23×C 52=80．(3)由(2)知，(2x +x )n 的展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅25−r ⋅x 5−3r2，令5−3r 2=−1，解得r =4；令5−3r 2=12，解得r =3，故(x −√x )(2x +√x )n 展开式中的常数项为 21⋅C 54−22⋅C 53=−30．解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． (1)利用二项式系数的性质求得n 的值．(2)利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x 2项的系数． (2)利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．20.答案：解：(1)完成2×2列联表如下：则K 2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=65×35×45×55=1001≈0.1<3.841，∴没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．(2)从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为P =23， 随机抽取3人，X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=(13)3=127，P(X =1)=C 31(23)(13)2=627=29，P(X =2)=C 32(23)2(13)=49，P(X =3)=(23)3=827， ∴X 的分布列为：∴EX =0×27+1×9+2×9+3×27=2．解析：(1)完成2×2列联表，求出K 2=1001001≈0.1<3.841，从而没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．(2)从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为P =23，随机抽取3人，X 的可能取值为0，1，2，3，由此能求出X 的分布列和EX ．本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是中档题．21.答案：解：函数f(x)在[−1,1]上为增函数．证明如下，任取−1≤x 1<x 2≤1，f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+1−x2x 22+1，=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)<0，∴−1≤x 1<x 2≤1，−1<x 1x 2<1， ∴1−x 1x 2>0． ∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)为[−1,1]上的增函数．解析：本题主要考查利用定义法求函数的单调性，属于基础题． 任取−1≤x 1<x 2≤1，再比较f(x 1) 与 f(x 2)的大小即可．22.答案：解：当x =0时，f(0)=0.得m =1．(1)当x <0时，−x >0，f(−x)=1−3−x ， 又f(x)是奇函数，f(−x)=−f(x)， 故f(x)=−1+3−x ，故f(x)={1−3x ,x ≥0−1+3−x ,x <0；(2)f(log 22x)+f(5−alog 2x)≥0得f(log 22x)≥−f(5−alog 2x)．∵f(x)是奇函数，∴得f(log 22x)≥f(alog 2x −5)． 又f(x)是减函数，所以log 22x −alog 2x +5≤0.x ∈[2,8]恒成立． 令t =log 2x ，x ∈[2,8]，则t ∈[1,3]， 得t 2−at +5≤0对∀t ∈[1,3]恒成立． 令g(t)=t 2−at +5，t ∈[1,3]，g max (t)=max{g(1),g(3)}≤0∴{g(1)≤0g(3)≤0， 解得a ≥6．解析：本题考查函数的奇偶性，涉及函数恒成立和二次函数区间的最值，属中档题． (1)根据奇函数的性质即可求出；(2)根据函数的单调性和奇函数的性质可得不等式f(log 22x)+f(5−alog 2x)≥0恒成立，t =log 2x ，问题转化为得t 2−at +5≤0对∀t ∈[1,3]恒成立，根据二次函数的性质即可求出．。
辽宁省实验中学分校高一数学12月月考试题
辽宁省实验中学分校2015-2016学年度上学期月考试题数学学科 高一年级本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．已知U ＝R ，A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x≤－1}，则(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝ ( )．A ．φB ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x ≤－1}2．函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，g (x )＝0.5x－4的值域为N ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．[0,4)D ．[0，＋∞)3．如图1，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，则 （ ） A ．EF 与GH 互相平行 B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上4．下列各式中成立的是( )( )．A ．log 0.44<log 0.46B ．1.013.4>1.013.5C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 675．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=)1(,)1(,12)(2x ax x x x f x若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2D ．96．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e7．如下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 ( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．28．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球>S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球<S 正方体D ．不能确定9．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ， △BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则多面体的体积为（ ）A ．32 B.33C.34 D.2310．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④11．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60o，E 为AB 的中点，将△ADE 和△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为（ ）.A.2734πB.26πC.86π D.246π 12．若方程0-232=-k x x 在)1,1(-上有实根，求k 的取值范围。
辽宁省实验中学分校2019届高三12月月考数学(理)试题Word版含答案
辽宁省实验中学分校2019届高三12月月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2.若复数z=cosθ﹣+（﹣sinθ）i（i是虚数单位）是纯虚数，则tanθ的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．±3.已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（） A．0B．4 C．﹣ D．4..已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9= （）A．9 B．17 C．36 D．815．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣646．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A． B． C． D．7已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③8.已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣9.如图所示，已知||=1，||=， =0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则m﹣n等于（）A． B． C．﹣ D．﹣10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师到3个边远地区支教，每地至少1人，其中甲和乙一定不去同一地区，甲和丙必须去同一地区，则不同的选派方案共有（）A．27种 B．30种 C．33种 D．36种11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． 2 C． D．312.若存在两个正实数x，y，使得x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪ C．[，+∞） D．（﹣∞，0）二、填空题(每小题5分，共30分)13.已知函数f（x）=为奇函数，且g（﹣e）=0，则a= ．14.若实数x，y满足条件：，则的最大值为15.在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=， =，则•的最小值为．16.给出下列四个结论：①若命题p：∃x0∈R，x+x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0；②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的否命题为：“若m≤0，则方程x2+x﹣m=0没有实数根”；③命题p：a=1是x＞0，x+≥2恒成立的充要条件．④设随机变量X 服从正态分布N （3，4），则P （X ＜1﹣3a ）=P （X ＞a 2+7）成立的一个必要不充分条件是a=±1或2其中正确的是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、(本小题满分12分)设锐角三角形ABC 的内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A = （Ⅰ）求B 的大小 ；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．18、(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .19、(本小题满分12分)在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数 为60（I ）请在图中补全频率分布直方图；（II ）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.① 若Q 大学本次面试中有B 、C 、D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试 成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率； ②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组中有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望.20、(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值； （Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论21、(本小题满分12分)已知函数()ln af x x =+(0)a >.(Ⅲ)讨论关于x 的方程32()1()22x bx a f x x ++=-的实根情况.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy 内，点),(y x P 在曲线C ：θθθ(sin ,cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数，R ∈θ上运动．以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0)4cos(=+πθρ．（Ⅰ）写出曲线C 的标准方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点M 在曲线C 上移动，试求ABM ∆面积最大值．23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 关于x 的不等式lg(|3||7|).x x m +--< （Ⅰ） 当1m =时，解不等式；（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，当m 为何值时，m x f <)(恒成立？辽宁省实验中学分校2019届高三12月月考数学（理）试题参考答案AACDC BCBBB CA13. ﹣1﹣e 14.15. -1 16. ①②④17、（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． 18、(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21． 当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722， 解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ， 于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．19、.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人-------------------4分20、(本小题满分12分)【答案】（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=， 在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=，所以 BC AC ⊥． 又因为 AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ． （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥． 因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． 所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -．在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),,0),,1)22C A BDE --． 所以 )1,21,23(-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,20.x y z -+=⎨= 取1z =，得=n (0,2,1)． 设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|5||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n ， 所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． （Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下：假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以 0,10.22b b tc =⎧-+=⎩ 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ， 即 002110⨯+⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． 21、(本小题满分12分)【答案】(共14分)解:(Ⅰ) ()ln af x x x=+,定义域为(0,)+∞, 则|221()a x af x x x x-=-=.因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈, 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a . (Ⅱ)由题意,以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤ 0(0)x >, 所以20012a x x ≥-+对00x >恒成立. 又当00x >时, 2001122x x -+≤, 所以a 的最小值为12.(Ⅲ)由题意,方程32()1()22x bx a f x x ++=-化简得 21ln 2b x x =-+12 (0,)x ∈+∞令211()ln 22h x x x b =--+,则1(1)(1)()x x h x x x x+-'=-=.当(0,1)x ∈时, ()0h x '>,当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<, 所以()h x 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减. 所以()h x 在1x =处取得极大值即最大值,最大值为211(1)ln1122h b b =-⨯-+=-. 所以 当0b ->, 即0b <时,()y h x = 的图象与x 轴恰有两个交点,方程32()1()22x bx a f x x ++=-有两个实根, 当0b =时, ()y h x = 的图象与x 轴恰有一个交点,方程32()1()22x bx a f x x ++=-有一个实根, 当0b >时, ()y h x = 的图象与x 轴无交点,方程32()1()22x bx a f x x ++=-无实根 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）消去参数θ，得曲线C 的标准方程：.1)1(22=+-y x由0)4cos(=+πθρ得：0sin cos =-θρθρ， 即直线l 的直角坐标方程为：.0=-y x（2）圆心)0,1(到直线l 的距离为22111=+=d ，则圆上的点M 到直线的最大距离 为122+=+r d （其中r 为曲线C 的半径），2)22(12||22=-=AB ．设M 点的坐标为),(y x ， 则过M 且与直线l 垂直的直线l '方程为：01=-+y x ， 则联立方程⎩⎨⎧=-+=+-011)1(22y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=22122y x ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=22122y x ，经检验⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=22122y x 舍去．故当点M 为)22,122(-+时，ABM ∆面积的最大值为 =∆max )(ABM S .212)122(221+=+⨯⨯ 23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<， 可得其解集为{|27}.x x <<（2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ，因x y lg =在),0(∞+上为增函数， 则1lg ≤t ，当7,10≥=x t 时，1lg =t ， 故只需1>m 即可， 即1m >时，m x f <)(恒成立．。
【KS5U解析】辽宁省实验中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析
A. 436B. 578C. 535D. 522
【答案】C
【解析】
【分析】
依据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．
【详解】第6行第6列的数开头的数为808，不合适，436合适，789不合适，535合适，
则第2个编号为535，
故选：C．
11.定义在 上的函数 满足:对任意 有 ，则
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，由 ， ，由特值法求得 ，令 ，可得结果.
【详解】设 ，
由 ，
可得
则 ，
令 ，得 ，
令 ，
，
是奇函数，故选D.
【点睛】推断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性 必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
辽宁省试验中学2021—2022学年度上学期12月考高一数学试卷
一、选择题
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可求出集合 ， ，然后进行并集的运算即可．
【详解】解： ， ；
．
故选 ．
【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．
2.已知 ,则“ ”是“ ”的（ ）
，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.
【点睛】本题考查了依据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.
9.函数 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
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辽宁省实验中学北校2019-2020上12月测试'1=()3V h S S +台2=4S R π球 34=3V R π球 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.．下列结论中，不正确的是( )A ．平面上一定存在直线B ．平面上一定存在曲线C ．曲面上一定不存在直线D ．曲面上一定存在曲线2.有下列三种说法①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱 ③棱柱的侧面都是平行四边形．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33.已知水平放置的正ABC ∆的边长为a ,则△ABC 的平面直观图△'''A B C 的面积为( )222 24.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A.283π B.163π C.483π+ D.12π(第4题) (第5题)5.如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,EFGH 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形 6.下列命题，正确的是( )A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面 C ．若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面 D ．依次首尾相接的四条线段必共面7.已知直线,a b 和平面,αβ,给出以下命题，其中真命题为( )A ．若//,//a βαβ,则//a αB ．若//,,a αβα⊂则//a βC ．若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．若//,//,//a b βααβ，则//a b 8.下面给出四个命题：①若平面α∥平面β，,AB CD 是夹在α，β间的线段，若//,AB CD 则AB CD =；②若,a b 异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 一定是异面直线；③过空间任一点，可以做无数条直线和已知平面α平行；④平面α∥平面β，,//,P PQ αβ∈则PQ α⊂ 其中正确的命题是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①④ 9.已知两直线,m n ，两平面,αβ，且,m n αβ⊥⊂，下面有四个命题： ①若//,αβ则m n ⊥；②若m n ⊥，则//αβ；③若//m n ，则有αβ⊥； ④若αβ⊥，则有//m n . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(第10题) (第11题)10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E G ，F ，分别为棱1111AA BB A B ，，的中点，则点G 到平面1EFD 的距离为（ ）1211.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A.π36 B.π8 C.π29 D.π82712.三棱锥的棱长均为 ）A ．36πB ．72π C. 144π D ．288π二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，形成的几何体体积是 14. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 到平面1A BD 的距离为 _________15. 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为 ．(第15题) (第16题)16. 如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线,E F 的平面分别与棱'BB 、'DD 交于,M N ，设[]x,x 0,1BM =∈,给出以下四个命题： （1）''MENF BDD B ⊥平面平面； （2）当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； （3）四边形MENF 周长()[],0,1,L f x x =∈则12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数； （4）四棱锥'C MENF -的体积()V h x =为常函数； 以上命题中真命题的序号为_____________三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（本小题满分10分）正四棱台1AC 的高是8cm ，两底面的边长分别为4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱的长、斜高、表面积、体积18．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
求证：（1）PA ∥平面BDE ；(2)平面PAC ⊥平面BDE.19．（本小题满分12分）如图,正三棱锥P ABC -,已知2,3AB PA ==(1)求此三棱锥体积(2)若M 是侧面PBC 上一点,试在面PBC 上过点M 画一条与棱PA 垂直的线段,并说明理由.20．（本小题满分12分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。
（1）求证：直线1BD ∥平面PAC ；（2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC .21．（本小题满分12分）如图，'''ABC A B C -是正三棱柱，底面边长为,a ,D E 分别是','BB CC 上的一点，1,2BD a EC a == (1)求证：平面ADE ⊥平面''ACC A ； (2)求截面△ADE 的面积22．（本小题满分12分）如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M 是BD 的中点.PD 1C 1B 1A 1D CBA侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示（1）求出该几何体的体积；（2）求证：EM∥平面ABC；（３）试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.侧视图18题图俯视图辽宁省实验中学北校2019-2020上12月测试答案 CCDAC ABDCD BC13.163π14.316.(1)(2)(3)(4)17.解：如图：连结两底面中心o 1、o ，并连结11O A 和AO ，过E E AO E A 11，过于作⊥A 作AB EF ⊥于F ，则E A 1为高，F A 1为斜高，8,61===E A AF EF在EF A Rt 1∆中,1086222211=+=+=EF E A F A cm, 在AF A Rt 1∆中，342610222211=+=+=AF F A A A cm, ∴()67225616104441621S S S S ＝＋＋＝＋＝下上侧表⨯⨯⨯⨯+cm 2()8962562561616831V 1111D C B A -ABCD =+⨯+⨯⨯=cm 3 ∴棱台的侧棱长为342cm,斜高为10 cm,表面积为672 cm 2,体积为896 cm 318.证明（１）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴OE ∥AP ，又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE （2）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ，又∵AC ⊥BD ，且AC PO=O∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE 。
19.(1)V =(2)过M 作线段EF 平行于BC,则EF 为所求.理由:验证A P B C⊥20. 证明:（1）设AC 和BD 交于点O ，连PO ，由P ，O 分别是1DD ，BD 的中点，故PO//1BD ， 所以直线1BD ∥平面PAC（2）长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD 又1DD ⊥面ABCD ，则1DD ⊥AC ，所以AC ⊥面1BDD ，则平面PAC ⊥平面1BDD（3）PC 2=2，PB 12=3，B 1C 2=5，所以△PB 1C 是直角三角形。
1PB ⊥PC ，同理1PB ⊥PA ，所以直线1PB ⊥平面PAC 。
21. 证明(1)分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，则MN ∥A ′A ∥B ′B ，∴B ′、M 、N 、B 共面，B ′M ⊥A ′C ′， 又B ′M ⊥AA ′，∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′. 设MN 交AE 于P ，∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝a2，又DB ＝12a ，∴PN ＝BD .∵PN ∥BD ，∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ，∴PD ∥B ′M ， ∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，∴PD ⊥平面ACC ′A ′，PD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′. (2)PD ⊥平面ACC ′A ′， ∴PD ⊥AE ，PD ＝B ′M ＝32a ，AE ＝2a . ∴S △ADE ＝12×AE ×PD ＝12×2a ×32a ＝64a 2.22.由题意，EA ⊥平面ABC , DC ⊥平面ABC ,AE ∥DC,AE=2, DC=4 ,AB ⊥AC, 且AB=AC=2（Ⅰ）∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB, 又AB ⊥AC, ∴AB ⊥平面ACDE∴四棱锥B-ACDE 的高h=AB=2，梯形ACDE 的面积S= 6∴143B ACDE V S h -=⋅⋅=， 即所求几何体的体积为4 （Ⅱ）证明：∵M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接EM, MG,AG ， ∴ MG ∥DC ，且12MG DC =∴ MG AE，∴四边形AGME 为平行四边形， ∴EM ∥AG, 又AG ⊆平面ABC ∴EM ∥平面ABC. （Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，EM ∥AG ，又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AG ⊥BC,∴AG ⊥平面BCD ∴EM ⊥平面BCD ，又∵EM ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCD在平面BCD 中，过M 作MN ⊥DB 交DC 于点N,∴MN ⊥平面BDE 点N 即为所求的点∥=DMN ∽DCB34DN DMDN DB DC∴==∴=即34DN DC ∴=∴ 边DC 上存在点N ，满足DN=34DC 时，有NM ⊥平面BDE.。