第三章 章末复习课_1

章末复习课

一、复数的概念

1．复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、复数相等、共轭复数及复数的模等知识点，其中，复数的分类及复数的相等是热点，复数分类中“纯虚数”的条件是难点和易错点．

2．掌握并运用复数的概念，可以培养学生的直观想象和逻辑推理素养．

例1 (1)设i 是虚数单位，若复数a ＋6＋2i i －1

(a ∈R )是纯虚数，则a 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

答案 C

解析 ∵a ＋6＋2i i －1＝a ＋(6＋2i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )

＝a ＋－4－8i 2＝a －2－4i 是纯虚数， ∴a －2＝0，即a ＝2.

(2)设i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋i(a ∈R )满足z 2＋z ＝1－3i ，则|z |等于( ) A.2或 5

B ．2或5 C. 5

D ．5

答案 C

解析 由题意知z 2＋z ＝(a ＋i)2＋a ＋i ＝a 2－1＋a ＋(2a ＋1)i ＝1－3i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 2－1＋a ＝1，2a ＋1＝－3，解得a ＝－2. ∴z ＝－2＋i ，故|z |＝(－2)2＋12＝ 5.

反思感悟 复数概念问题求解策略

复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)即可．

跟踪训练1 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( )

A ．1 B. 2 C. 3

D ．2

答案 B

解析 由已知可得x ＝1，y ＝1，∴|x ＋y i|＝ 2.

(2)复数z ＝2＋a i 1＋i

(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2

答案 D

解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )

＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫2＋a 2，a －22且在虚轴上， 所以2＋a ＝0，即a ＝－2.

二、复数代数形式的四则运算

1．复数的四则运算的基本思路是利用运算法则进行计算，计算时可利用i 的幂的性质和一些结论．

2．复数的四则运算可以提升学生的数学运算素养．

例2 (1)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝3i ，则z 等于( )

A.32＋32

i B.32－32i C.34＋34

i D.34－34i 答案 C

解析 由已知得z ＝3i 1＋3i ＝3i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )

＝3＋3i 4＝34＋34i. (2)复数z ＝|(3－i)i|－i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )

A ．2－i

B ．2＋i

C ．4－i

D ．4＋i 答案 B

解析 z ＝|(3－i)i|－i 5＝2－i ，所以复数z 的共轭复数为2＋i.

反思感悟 复数运算的求解策略

复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，注意利用虚数单位i 的周期性把i 的幂写成最简形式．

跟踪训练2 (1)已知z 1＋i

＝2＋i ，则复数z 等于( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i

答案 B

解析 ∵z

1＋i

＝2＋i ， ∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.

(2)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，求z 2.

解 ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝(1＋i )i i 2＝i －1－1

＝1－i ， ∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i.

三、复数的几何意义

1．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

2．理解并应用复数的几何意义，可以提升学生的直观想象的核心素养．

例3 (1)设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2等于

( )

A ．－5＋12i

B ．－5－12i

C ．－13＋12i

D ．－13－12i 答案 A

解析 z 1＝3－2i ，则z 2＝－3＋2i ，

所以z 1·z 2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i.

(2)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

答案 B

解析 由题图，知复数z 1＝－2－i ，z 2＝1＋2i ， 则z 1z 2＝－2－i 1＋2i ＝(－2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－45＋35

i ，其对应的点位于第二象限． (3)若z ∈C ，且|z －2i|＝1，求|z －3－i|的最大值．

解 如图，

|z －2i|＝1表示以C (0,2)为圆心，1为半径的圆，

则|z －3－i|的最大值是指点A (3,1)到圆的最大距离，

可求得最大距离为|AC |＋1＝32＋12＋1＝10＋1.

反思感悟 复数的几何意义问题求解策略

(1)要掌握复数的几何意义首先要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．

(2)复数加减法的几何意义实质上是向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，由减法的几何意义可知|z 1－z 2|表示复平面上两点Z 1，Z 2之间的距离．

跟踪训练3 (1)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是3＋i ，点A 关于虚轴的对称点

为B ，则向量OB →对应的复数是( )

A ．1＋3i

B ．－3＋i