五年级下册数学思维训练讲义-第六讲最大公因数人教版

第六讲 最大公因数
第一部分：趣味数学
马小跳的生日会
今天是马小跳的生日，他请了许多朋友来和他一起庆祝
生日。

不一会儿，大家都到齐了。

唉！原来所有人都被马小
跳骗了。

说是来聚会，谁知道是来干活的呀！张达、毛超、唐飞、安琪儿都被马小跳安排了各种活计。

马小跳给安琪一根长74厘米的蓝彩带和一根长 66厘米的黄彩带，还说要剪成同样长的小段，要最长的。

最后还要给他每根剩下2厘米。

过了一会儿，安琪儿嘟着嘴来了。

“马小跳，我不知道这个该怎么剪。

我本来就不聪明，你还出个这么绕的问题。

你要是嫌我笨，不喜欢我就直说，不需要这样拐弯抹角的。

”安琪儿好像有点生气。

“没有，没有，我绝对没有那个意思。

”马小跳连忙解释。

“是8厘米！”在他们谈话的过程中，路曼曼已经把答案心算出来了。

“你，你怎么知道的啊？”路曼曼这个突然的答案惊住了马小跳。

“是这样的。

你要安琪儿把两根彩带各剩下2厘米，那咱们就先剪掉这2厘米。

74-2=72厘米，66-2=64厘米。

你还要她剪成同样长的最长小段，也就是求72和64的最大公因数，最大公因数是8。

所以每小段最长是8厘米。

”路曼曼就像老师一样给大家上了一课。

第二部分：奥数小练
例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
思路导航： 7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。

因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。

75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4故事
种裁法。

如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。

练习一
1.把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？
2.一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
3.将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？
例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
思路导航： 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。

要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。

现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。

（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
练习二
1.一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2.有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组
分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
3.五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？
例题3 有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
思路导航：要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。

240、200和480的最大公约数是40，所以每小段最长是40厘米。

练习三
1.有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。

如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
2.用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
3.工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。

已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比
每个工人多加工13个。

这批工人最多有多少人？
例题4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。

已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。

现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
思路导航：由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。

因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。

练习四
1.一条公路由A经B到C。

已知A、B相距300米，B、C相距215米。

现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？
2.有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
3.甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？
例题5 用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
思路导航：前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。

但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。

第一步：1072÷469，余134；
第二步：469÷134，余67；
第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。

这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。

练习五
1.用辗转相除法求568和1065的最大公约数。

2.试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。

3.判断11111/15015是不是最简分数。

第三部分：数学史话
中国古代求最大公因数的方法
---------更相减损术
同学们，在这一单元中我们学习了用短除式的方法求两个
数的最大公因数，你知道中国古代人是怎么求最大公因数的吗？
看一看下面的介绍吧！
更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公因数的算
法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公因数的场合。

它的方法被归纳为：“可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

”翻译出来为：
第一步：任意给出两个非０自然数；判断它们是否都是偶数。

若是，用2约分；若不是，执行第二步。

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的数与较小数相等为止，则这个数（相等的数）就是所求的最大公因数。

如果没看明白就来看看下面这个例子吧：
例如：用更相减损术求91与49的最大公因数.
解：由于49不是偶数，把91和49以大数减小数，并辗转相减，
即：91－49＝42 49－42＝7 42－7＝35
35－7＝28 28－7＝21 21－7＝14
14－7＝7
所以，91与49的最大公因数是7。

聪明的小朋友们你能看出其中的奥秘吗？想一想为什么这样可以求出最大公因数？这种方法与我们所学的短除式的方法有没有联系？哪种方法更好呢？
参考答案：
练习一
1.1米3分米5厘米=135厘米 1米5厘米=105厘米
135=3×3×3×5 105=3×5×7 135和105的最大公因数是：3×5=15
即裁成的正方形的边长是15厘米。

（135×105）÷（15×15）
=14175÷225
=63（个）
答：裁成的正方形边长最大是15厘米，至少可以裁成63个这样的正方形。

2.45=3×3×5 30=2×3×5 45和30的最大公因数是：3×5=15
答：这种正方形的边长最长是15厘米。

3.80=2×2×2×2×5 60=2×2×3×5
所以80和60的最大公因数是：2×2×5=20
即小正方形的最大的边长是：20米
所以小正方形的面积为：20×20=400（平方米）
答：小正方形的面积是400平方米。

练习二
1.4分米5厘米=45厘米 3分米6厘米=36厘米 2分米4厘米=24厘米
所切成的正方体的棱长为45、36和24的公因数,要求最大,就是求他们的最大公因数。

45、36和24的最大公因数为3,则正方体的棱长为3cm。

则：45÷3=15 36÷3=12 24÷3=8
15×12×8=1448（个）
2.50=2×5×5 75=5×5×3 100=2×2×5×5
所以50、75和100的最大公因数是：5×5=25；所以最多能分给25个小组。

3.24=2×2×2×3 36=2×2×3×3 42=2×3×7
所以24、36、42的最大公因数是2×3=6。

24÷6=4（组） 36÷6=6（组） 42÷6=7（组）
答：每组最多有6人，五年级三个班分别可以分为4组、6组、7组。

练习三
1.﹙60,40,24﹚的最大公因数是4厘米。

2.1072＝2×2×2×2×67 469＝7×67 所以，1072和469的最大公因数为67 ，剪成面积相等的正方形，并没有剩余，所以，这些正方形的边长最大为67。

3.由于2100-7=2093=7×13×23 1800-6=1794=2×3×13×23
1600-13=1587=3×23×23
又求最多有多少人，三个数的最大公因数是23，所以这批工人最多有23人。

故答案为：23
练习四
1.300÷2=150（米） 215÷2=107.5（米）
因为150÷107.5=1…42.5 107.5÷42.5=2…22.5
42.5÷22.5=1…20 22.5÷20=1…2.5 20÷2.5=8
所以150和107.5这两个数的最大公因数就是2.5。

答：两树间的距离最多有2.5米。

2.求336、252、210的最大公因数：42份
336÷42=8（支） 252÷42=4（块） 210÷42=5（个）
3.288=2×2×2×2×2×3×3 36=2×2×3×3
甲乙两数的最大公因数是4，甲是36，那么乙肯定不能被3整除，否则最大公因数就是12，故3不是乙数的因数，
所以乙数=2×2×2×2×2=32。

练习五
1.1065÷568=1……497（余数） 568÷497=1 ……71 497÷71=7
那么568和1065的最大公因数就是71了。

2.3135=1547×2+41（即只要求 44 和 1547 的最大公因数 即可）
1547=41×37+30 （同理）
41=30×1+11
30=11×2+8
11=8×1+3
8=3×2+2
3=2×1+1
所以 1 是他们的公因数,即两者互质 。

3.15015÷11111余3904， 11111÷3904余3303， 3904÷3303余601，
3303÷601余298， 601÷298余5， 298÷5余3
无法整除，公因数只有1，所以11111与15015两数互质。

15015
11111是最简分数。