数理统计第一次实验报告

一．实验题目实验1：经验分布函数（1）取25=1μσ=及，n=100，产生n 个服从()2,N μσ分布的随机数作为取自正态总体()2,N μσ的样本值1,,n x x L ，在同一坐标下画出它的经验分布函数，并与总体分布函数进行比较。

（2）改变n ，重做实验（1），体会格列文科定理的内涵。

实验2：直方图假定某班60个男生身高（单位:cm ）,数据如下：166,169,181,173,165,169,170,163,175,164,171,162,156,159,173,168,167,165,172,170,180,177,161,170,164,163,172,167,157,165,168,174,165,168,162,163,159,163,167,173,161,160,165,160,173,164,166,152,163,164,176,160,164,167,158,172,167,168,167,170现在希望通过这些数据来确定该班身高的分布。

解：基本步骤：第一步：找出数据的最大值181，最小值152，极差R=181-152=29； 第二步：分组定组距。

分组没有通用原则，通常数据个数50n ≥时，分成10组以上，当50n ≤时，一般5组左右。

分组数m 确定后，可按1R Rd m m <≤-来确定组距d 。

第三步：定分点，定区间：取起点a=151.5，终点181.5，从而作图区间为[151.5,181.5]（取各组的边界值比身高多一位小数，为的是使每个身高都落在一个组的内部）。

第四步：列出样本值落入各组的频数和频率。

第五步：做频率直方图。

直方图是最常用的一种表现数据的方法，它通常把值域分成若干相等的区间，于是数据就按区间分成若干组，每组做成一个矩形，其高和该组中数据的多少成比例，其底为所属区间,这些矩形就是直方图，它给数据的分布一个直观的形象。

直方图以组距为底，以频率为高作矩形。

可以想象，若得到的数据很多，这时，直方图的分组增多，组距变得很小，画出的直方图顶端阶梯形近似一条曲线，于是可以用这条曲线近似描述该组数据的分布规律。

（2）改变实验（1）中的组距，将得到的图形与（1）得到的图形比较，你能得到什么结论？实验3：设样本1,n X X L 取自总体U （a,b ）,a,b 为未知参数，试求a ，b 的矩估计和极大似然估计。

由计算可以得出a ，b 的矩估计量分别为：$1a X =，1b X =+$极大似然估计分别为：$21a X *=，2n b X *=$下面进行模拟：（1） 取a=0，b=1，N=50，产生N 个服从U （a,b ）分布的随机数当做样本，分别代入式中计算a ，b 的估计值，并与理论值0,1比较；（2） 将（1）重复10次，用10次估计值的平均值作为a ，b 的估计，并与（1）的结果比较，体会其中包含的概率思想。

实验4：设总体X 服从正态分布(),1N μ，取0μ=，从总体抽取10组容量为20的样本，分别以X 和1X 作为总体均值μ的估计量，计算10组估计值并描在图上。

（将点描在坐标轴上），从中你可以得到什么结论？图1：以X 作为估计量-0.3-0.2-0.10.10.2-1-0.50.51图2：以1X 作为估计量-2-1.5-1-0.50.51 1.5-1-0.50.51实验5：已知1,,n x x L 来自正态总体()2,N μσ，其中1σ=，取0.01α=，求置信度为0.99的μ置信区间。

二．分析与解答实验1：经验分布函数首先产生100个服从N(5,1)分布的随机数作为样本值x x x 10021...,.rnorm(100,mean=5,sd=1)根据产生的数据画出正态分布的经验分布函数： w<-(rnorm(100, mean = 5, sd = 1))curve(pnorm(x,mean(w),sd(w)),xlim=c(0,20),col="blue",lwd=3)与总体正态分布函数进行比较：x <- seq(0,20,length.out=100)lines(x,pnorm(x,5,1),col="red")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"sd=",c(1,1)),lwd=1,col=c("red","blue"))当取n的值为200：w=(rnorm(200, mean = 5, sd = 1))curve(pnorm(x,mean(w),sd(w)),xlim=c(0,20),col="blue",lwd=3)x <- seq(0,20,length.out=200)lines(x,pnorm(x,5,1),col="green")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"sd=",c(1,1)),lwd=1,col=c("green","blue"))当取n的值为300：w=(rnorm(300, mean = 5, sd = 1))curve(pnorm(x,mean(w),sd(w)),xlim=c(0,20),col="blue",lwd=3)x <- seq(0,20,length.out=300)lines(x,pnorm(x,5,1),col="orange")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"sd=",c(1,1)),lwd=1,col=c("blue","orange"))设X1,X2,…,Xn 是取自总体X 的随机样本，Fn(x)是总体X 的经验分布函数，当n →∞时由格列汶科定理知：1)0|)()(|(sup lim ==-+∞<<∞-∞>-x F x F P n x n该定理当样本容量n 充分大时,经验分布函数Fn(x)可以作为总体分布函数F(x)的一个良好的近似。

实验二：直方图基本步骤：第一步：找出数据的最大值181，最小值152，极差R=181-152=29； 第二步：分组定组距。

分组没有通用原则，通常数据个数50n ≥时，分成10组以上，当50n ≤时，一般5组左右。

分组数m 确定后，可按1R Rd m m <≤-来确定组距d 。

第三步：定分点，定区间：取起点a=151.5，终点181.5，从而作图区间为[151.5,181.5]（取各组的边界值比身高多一位小数，为的是使每个身高都落在一个组的内部）。

第四步：列出样本值落入各组的频数和频率。

第五步：做频率直方图。

直方图是最常用的一种表现数据的方法，它通常把值域分成若干相等的区间，于是数据就按区间分成若干组，每组做成一个矩形，其高和该组中数据的多少成比例，其底为所属区间,这些矩形就是直方图，它给数据的分布一个直观的形象。

直方图以组距为底，以频率为高作矩形。

可以想象，若得到的数据很多，这时，直方图的分组增多，组距变得很小，画出的直方图顶端阶梯形近似一条曲线，于是可以用这条曲线近似描述该组数据的分布规律。

【实验步骤】➢第一步自定义绘制频数直方图的函数HIST <- function(data,m){res <- 1:m; lable<- 1:m;A <- min(data)-1;B <- max(data)+1;dis <- (max(data)-min(data))%/%m + 1;for(j in 1:m){for(i in 1:length(data)){if( data[i]>A+(j-1)*dis && data[i] <= B-(m-j)*dis ) res[j]=res[j]+1;}lable[j]=paste(as.character(A+(j-1)*dis),"~",as.character(B-(m-j)*dis)) ;}barplot(res,width=1,names.arg=lable);}变量data用于存放数据，变量m表示分组数➢第二步改变分组个数，多次试验m=5的结果：M=10的结果：M=15的结果：【实验结论】组距越小，分组越细，对数据分布的刻画就越精确，相反的，如果采用较大的组距，更方便从整体上反应数据的大致分布情况。

实验三：（1）首先产生50个服从U（0,1）分布的随机数runif(50,min=0,max=1)矩估计：根据公式$()2113niia X X Xn==-∑首先计算出均值和方差：x2<-var(x)将计算的结果带入求取a的估计值：a1<-(x1-sqrt(3*x2))同理根据公式()2113niib X X Xn==+-∑$可求出b的估计量：将运算重复10次，用10次估计值的平均值作为a，b的矩估计值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10){a[i]<-i}a2=0;for(i in 1:10){x<-runif(50,min=0,max=1)x1<-mean(x)x2<-var(x)a[i]<-(x1-sqrt(3*x2))a2=a2+a[i]}a2/10同理将10次计算的结果求出平均值作为b的估计值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10){a[i]<-i}b2=0;{x<-runif(50,min=0,max=1)x1<-mean(x)x2<-var(x)a[i]<-(x1+sqrt(3*x2))b2=b2+a[i]}b2/10极大似然估计：x<-runif(50,min=0,max=1)b1=min(x)b2=max(x)将运算重复10次，用10次估计值的平均值作为a，b的极大似然估计值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10){a[i]<-ib[i]<-i}b1=0b2=0for(i in 1:10){x<-runif(50,min=0,max=1)a[i]=min(x)b[i]=max(x)b1=b1+a[i]b2=b2+b[i]}实验结论：矩估计法生成的结果是0.003933，1.004076极大似然估计法生成的结果是0.007297，0.9797615从而可得出，两种结果都还是比较接近理论值的，在此情况下，极大似然估计的估计效果比矩估计效果更理想实验4：【实验步骤】在R中输入以下代码：r<-matrix(rnorm(10*20),10,20) #抽取10组容量为20的样本MEAN<-1:10MIN<-1:10 #计算每一组样本的均值和最小值plot(0,ylim=c(-5,2),col="white");for(i in 1:10){MEAN[i]=mean(r[i,]);points(MEAN[i],pch=1,col="blue");MIN[i]=min(r[i,]);points(MIN[i],pch=0,col="green");} #在同一坐标轴上画出图像，蓝色表示均值，绿色表示最小值【实验结论】若取每次试验的样本容量为200，结论如下图：若取每次试验的样本容量为2000，结论如下图：可以看出如下几个结论：1. 可以证明，样本均值是μ的无偏估计量，图上的样本均值集中在μ的取值附近；2. 重复多次抽取样本，样本均值的离散程度（变化程度）小，而样本中最小值的离散程度比较高；3. 随着每次试验的样本容量的增加，样本均值的取值会越来越集中于0，而样本最小值则会越来越小。