回归模型的函数形式

7
• 对于线性模型Yi = β1 + β2Xi+ i
•
Y对X的弹性可以表示为
dY dX
X Y
2
X Y
两种模型的区别： • 线性模型给出点弹性。 • 双对数模型给出常数弹性。
8
• 一需求函数： ln Yi 3.96 0.23ln X i
Se=(0.0416) (0.0250) t= (95.233) (-9.088) R2=0.911
p值=(0.0000)(0.0000) R2=0.9738
增长率=？
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线性对数（lin-log）模型
Yi 1 2 ln Xi ui
2
dY d(ln X
)
dY dX / X
• β2 的含义： X的一个单位相对变化，引起Y的平均绝对增量
▪ 即：X增加1%时，Y改变β2 /100
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劳动力供给函数
给M2(X）的数据。 试求当货币供给增加1%时，GNP的绝对增加值。 回归模型：Y=-16329.0+2584.8lnX t=(-23.494) (27.549) p值=(0.0000) (0.0000) R2=0.9832 回归系数的含义？
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线性对数关系的选择
lnYi 1 2 X ui Y Yi 1 2 ln Xi ui
dY 2
dX X • DATA4-1:1990年圣地亚哥
大学城独栋房屋的数据 Y • price:售价（千美元） • sqft:居住面积（平方英尺） • bedrms:卧室数 • baths:浴室数
X
Y对X的边际增量递减
1X9
模型的选择
• DATA4-1:1990年圣地亚哥大学城独栋房屋的数据 • price:售价（千美元） • sqft:居住面积（平方英尺） • bedrms:卧室数 • baths:浴室数
Z2
X
2 2
,
Z3
X3,
Z4 log X4
Y 1 2Z2 3Z3 4Z4 u
参数非线性:
Y 1 2X2 3X3 23X4 u
3
常用的可线性化回归模型
通过适当变量代换可变为参数线性的模型
• 双对数模型 • 半对数模型 • 多项式模型 • 倒数模型
4
一、双对数模型
需求量模型： X=书的价格 Y=书的需求量 随机误差项 建立模型如下：
劳动力供给模型： • hours=33+45.1 log(wage) • wage：每小时工资 • hours：每周工作的小时数 ➢工资每增加1%将使每周工作的小时数增加：
• 0.45小时
17
线性对数(lin-log)模型
Yi 1 2 ln Xi ui
例：使用1973 ～ 1987年美国的GNP(Y）与货币供
• β2 的含义：X增加一个单位，Y的平均增量 • 表示因变量的绝对增量。
2）对数线性模型
• β2 的含义：因变量的相对增量。 • 增长率或衰减率
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lnYi 1 2t ui
例：使用1972 ～ 1991年美国实际GDP数据。 试确定这一期间实际GDP的增长率。
回归模型：lnGDP=8.0139+0.0247t se=(0.0114)(0.00956) t=(700.54)(25.8643)
回归模型的函数形式
多元回归模型的应用
线性模型
y
非线性模型
• 实际经济活动中 的许多问题，都 可以最终化为线 性问题。
• 线性回归模型具
x
有普遍意义。
2
“线性”回归的含义
方程中的参数是线性的
变量和参数均为线性:
Y 1 2X2 3X3 4X4 u
参数线性，变量非线性:
Y
1
2
X
2 2
3
X 3 4 log X4 u
• inpcost :投入成本
dY dX
2
23 X
output
unit cos t 1 2output 3output2
4inpcos t kinpcos t 2 ui 22
模型的选择
unit cos t 1 2output 3output2 4inpcos t kinpcos t 2 ui
• 收入上的门槛水平 • 消费上的满足水平
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• Y：产出（GDP）
• X1：劳动投入（总就业人数）
• X2：资本投入（固定资本）
回归结果：lnY=-1.6524+0.3397lnx1+0.8640lnx2
se=(0.6062) (0.1857) (0.0934)
t= (-2.73) (1.83) (9.06)
p值=(0.014) (0.085) (0) r2=0.995
price 1 2 ln( sqft ) 3 ln( bedrms ) 4 ln( baths) ui
price 1 2 ln( sqft ) 3 ln( bedrms ) ui price 1 2 ln( sqft ) 3bedrms ui
20
多项式回归模型
Polynomial regression models
Yi 1 2 X i 3 X 2 k X k ui
• 在生产成本函数领域应用广泛
21
Yi 1 2 X i 3 X 2 k X k ui
• DATA6-1:一家公司20年 的成本函数数据。
unit cos t
• unitcost :单位成本（美元）
• output :产量
log(wage) 2.78 0.094 educ
• 多受一年教育将使每小时工资增加多少？ • 9.4%
13
lnYi 1 2t ui — 恒定的增长模型
对数线性（log-lin)模型
测度增长率：人口、GDP、贸易……
• 线性模型与对数线性模型的区别 1）线性模型 Yi= β1 + β2 Xi+ ui
6
lnYi 1 2 ln Xi ui
β2的含义 对于一般的模型 Y=f(X)
根据弹性的定义，Y对X的弹性可以表示为
Y / Y Y X dY X
E
X / X X Y dX Y
2
d(ln Y ) d(ln X )
dY dX
X Y
• 在双对数模型中，解释变量的系数表示弹性。
• 双对数模型的重要假定：弹性是常数
规模报酬参数：反映产出对投入的比例变动。
• 规模报酬不变
• 规模报酬递增
• 规模报酬递减
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二、半对数模型
lnYi 1 2 X ui
对数到线性（log-lin)模型回归系数 β2 的含义：
2
d(ln Y dX
)
dY / Y dX
• β2 ：X增加一Leabharlann Baidu位时，Y的相对变化
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对数工资方程
• 每小时工资与受教育年数的关系：
• 弹性？
9
柯布—道格拉斯生产函数
Yi
AX
i
Ki
i
X= 劳动力投入量 K=资本投入量 Y=产出量
变换，得如下参数线性模型
ln Yi 0 ln X i ln Ki ui
βi …称为偏弹性系数 含义：当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。
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例：使用1955 ～ 1974年墨西哥的数据得到 这一期间墨西哥的生产函数。
Yi
X
i
2
i
(1)
对（1）式取对数得到
lnYi 1 2 ln Xi ui (2)
其中 1 ln , ui ln i
5
lnYi 1 2 ln Xi ui
▪ 经过变换可变为线性的模型称为实质线性模型。 ▪ 双对数模型的参数估计
使用最小二乘法得到 β1 、β2的估计值 使用的因变量：lnY，自变量：lnX。
unit cos t 1 2output 3output2 4inpcos t ui
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倒数模型
reciprocal models
Yi
1
2
1 Xi
ui
24
（一）生产的固定成本与产出水平
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（二）菲利普斯曲线
• 自然失业率 • 失业率再增长，工资下降率渐近底限
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（三）恩格尔支出曲线