《常微分方程》所有证明题及答案

证 明 题（每题10分）

1、设函数f (t)在[,)0+∞上连续且有界，试证明方程

dx

dt

x f t +=()的所有解均在[,)0+∞上有界.

2、设函数f (x),p(x)在[,0+∞）上连续，且b x f a x p x <>=+∞

→|)(|0)(lim 且(a,b ,为常数)

求证：方程

()()dy

p x y f x dx

+=的所有解均在[,)0+∞上有界.

3、设函数f (x)在[,0+∞）上连续，且lim ()x f x b →+∞

=又a >0，

求证：方程()dy ay f x dx +=的一切解()y x ，均有lim ()x b y x a

→+∞=

4、设函数y (x)在[,)0+∞上连续且可微，且lim['()()]x y x y x →+∞

+=0试证lim ()x y x →+∞

=0 5、若y 1(x ),y 2(x )为微分方程12()()()0y p x y x p x y '''++=的两个解，则它们的朗斯基

行列式为w y y ke p x dx

(,)

()121==⎰

-其中k 为由y 1(x ),y 2(x )确定的常数

6、已知()f x 是连续函数。

（1）求初值问题0

()

|0x y ay f x y ='+=⎧⎨=⎩的解()y x ，其中a 是正常数。

（2）若|()|f x k ≤（k 为常数），证明当0x >时有|()|(1)ax

k y x e a

-≤-。

7、已知当1x >-时()f x 具有一阶连续导数，且满足()01()()01(0)1

x f x f x f t dt x f ⎧

+-=⎪+⎨⎪=⎩⎰ （1）求()f x '；

（2）证明：当0x ≥时有()1x

e f x -≤≤。

8、设12(),()y x y x 是方程()()y p x y q x '+=的两个不同的解，求证它的任何一个解()y x 满

足恒等式：

121()()

()()

y x y x K y x y x -=- （K 为常数）

9、当x -∞<<∞时，()f x 连续且|()|f x M ≤。证明：方程

()y y f x '+= （1）

在区间x -∞<<∞上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数()f x 是以ω为周期的周期函数，则这个解也是以ω为周期的周期函数。

10、设函数(),()f u g u 连续可微，且()()f u g u ≠，试证方程()()0yf xy dx xg xy dy +=

有积分因子 1

[(()())]

x y f x y g x y μ-=-

11、证明方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=具有形如[(,)]x y μμϕ=的积分因子的充要条件为

1

[(,)]M N N M f x y y

x x y ϕϕϕ-⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂--= ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，并求出这个积分因子。

12、证明贝尔曼（Bellman ）不等式。设k 为非负常数，()f t 和()g t 是区间t αβ≤≤上的

非负连续函数，且满足不等式 ()()(),t

f t k f s

g s d s α

≤+⎰t αβ≤≤

则有 ()

()e x p

()t

f t k

g s d s α

≤⎰

， t αβ≤≤。

13、设在方程()()0y p x y q x y '''++=中，()p x 在某区间I 上连续且恒不为零，试证：它

的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I 上的严格单调函数。

14、假设1()0x t ≠是二阶齐次线性方程 12()()0x a t x a t x '''++= 的解，这里1()a t 和

2()a t 是区间[,]a b 上的连续函数。试证：2()x t 为方程的解的充要条件是12112[,][,]0W x x a W x x +=。其中12[,]W x x 表示12(),()x t x t 的朗斯基行列式。

15、在方程32()y y y f x '''++=中，()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()0x f x →+∞

=。试证明：

已知方程的任一解()y x 均有lim ()0x y x →+∞

=。

16、设()f x 为连续函数，且满足0

()sin ()()x f x x x t f t dt =-

-⎰

。求证：

1()sin cos 22x

f x x x =+.

17、设()X t 是常系数线性方程组()

()dx t Ax t dt

=的基解矩阵，适合条件(0)X E =，试证对

任何,t s 成立等式 ()()()X t s X t X s +=.

18、设()X t 是连续的n 阶方阵，(0)X 存在，且适合关系()()()X t s X t X s +=，|(0)|0X ≠.

试证：存在n 阶常值方阵A ，使得()

()dX t AX t dt

=。

证 明 题 答 案

1、证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t 0)=x 0,t 0∈[0+∞)

由一阶线性方程的求解公式有00

()

()0()()t t t s t t x t x e

f s e ds ---=

+⎰

现只证()x t 在[t 0,+∞)有界，设|()|f t M ≤,t ∈[0+∞) 于是对t 0≤t<+∞有

0()

0||||M t t x x e

--≤+

()|()|t

M s t t f s e ds -⎰

≤|x 0|+0

t

t

s t Me e ds -⎰

≤|x 0|+M[10--e t t ()

] ≤|x 0|+M 即证

2、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件

y(x 0)=y 0,x 0∈[,)0+∞由一阶线性方程的求解公式有

y x y e

f s e ds x x s x x x

()()()

()=+---⎰000

现只证y(x)在[x 0,+∞)有界，不妨设x 0充分大 于是对x 0≤x<+∞有 lim ()x p x a →∞

=>0,则存在M 1>0,使当x ≥ x 0时,有p(x)≤M 1

||||()

y y e

M x x ≤+

--00|()|()f s e ds M s t x x

-⎰

≤|y 0|+b

M e M x x 1

10()()--- ≤|y 0|+

b

M 1

即证 。 3、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件

y(x 0)=y 0,x 0∈[,)0+∞由一阶线形方程的求解公式有

y y e

f s e

ds a x x x x

a s x =+---⎰000

()

()()

y y e

e

f s e ds a x x ax

x x

as

=+---⎰

000

()

()

两边取极限

lim ()lim lim ()()

x x a x x x ax

x x

y x y e

e

f s e ds as

→+∞

→+∞

--→+∞

-=+⎰

000

=

lim

x →+∞

()as

x

x ax

f s e ds e ⎰

=

lim x →+∞

()ax

ax

f x e

b

ae

a

=