第12章练习答案
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T1 0
1 1 v T2 m木块v 2 4 m轮( 2 r 2 ) 2 2 r
1 39 （m木块 4 m轮）v 2 2 25
2
q
W12 (m木块 g 4m轮g )S sinq
由动能定理有
1 （m木块 3m轮）v 2 （m木块 4m轮）gS sin q 2
M
A
O
C
OA
2 6πMn l 17m
12-5. 如图所示系统中，mA=mB=5kg，k=7N/cm。均质圆盘A只
能在斜面上作纯滚动。今将圆盘从平衡位置向下移过10cm后放
开。求当圆盘回到平衡位置时斜面的速度。 解：水平方向动量守恒，有
mBvB mA (vB vr cos30 ) 0,
2 2 vA vB vr2 2vB vr cos 30
k
A
30
vr
4 3 vB 3
B
vB
7 2 vB 3
vr
vA
由动能定理，得
1 1 2 T2 T1 k ( st )2 k st mg sin 30 2 2 1 1 1 2 2 2 2 T J m v m Av A 3mv B 2 A A A T1 0, 2 2 2
W mA gvA d t mA g( R r )dt
r R C
D B
A
1 1 1 2 dT d [ m( 2 R 2 ) 2 m A v A ] d { [ m( 2 R 2 ) m A ( R r ) 2 ] 2 } 2 2 2
[m( 2 R 2 ) mA ( R r )2 ] mA g( R r ) mA g ( R r ) m( 2 R 2 ) mA ( R r )
FN
aC FD FS
12-7. 如图所示，均质杆长2l，重G，细绳源自文库l，摩擦不计。求杆 由图示静止位置滑到细绳的虚线位置时，杆端B的速度。 解：由T2 T1 W ，得
A
O
l
A
1G 2 3 vC G[ l ( 3l l )] 2g 2
C
B B
v A vB vC gl
aC R m A gR( R r ) m( 2 R 2 ) m A ( R r )
（2）研究塔轮
maC FD Fs
m( 2 R 2 ) FD ( R r )
r R C mg
D
得
m( 2 R 2 ) FD Rr
m( 2 Rr) FS Rr
O
T杆
1 1 1 2 v 2 2 m1v0 m( 2r ) 2 0 m1v0 2 2 12 3 r
2
3 2 2 T ( m m1 )v0 4 3
12-2. 重为200N的木块上装有4个重量均为20N的轮子，在倾 角q=30°的斜面上滚下，如图所示。设轮子的半径为5cm， 惯性半径为4cm，求从静止开始滚过1m时木块的速度。 解：
12-8. 均质杆OA长l，重G，可绕水平轴O转动，另一端A与均质 圆盘的中心铰接，如图所示。圆盘半径r，重P1。当杆处于右侧 水平位置时，将系统无初速度释放，不计摩擦。求杆与水平线
成q角瞬时杆的角速度和角加速度。
解：由T2 T1 W ，得
1 1 G 2 P1 2 2 G P1 [ l l ] ( )l sinq 2 3g g 2g g
vK vA cosj r cosj
vA
A
M
vK Dv
A
B
j
O
vr
K
C
1 1 G1 2 2 1 G2 2 1 G3 2 G1 2G2 2G3 cos2 j 2 2 T2 r r 2 g v AB 2 g v K 2 2 g 4 g
由动能定理 T2 T1 Mj 得
vB
再 0.1m 而 解得
m g sin 30 st 0.035m k
k ( 2 2 ) 2 g sin30 vB 0.48m/s 2m
12-6. 如图所示的均质塔轮的质量m，外轮半径R，内轮半径r， 对其中心轴的惯性半径。今在塔轮的内圆上绕一软绳，绳的另 一端通过定滑轮B悬挂质量为mA的重物，塔轮沿水平面纯滚动， 不计滚动阻力和滑轮B及软绳的质量。试求绳的张力和水平面对 塔轮的摩擦力。 解：（1）由 dT / d t W ，得
v 2 （m木块 4m轮） gS sinq 39 m木块 4 m轮 25 2 280 1 9.8 1 2.9cm/s 324.8 2
12-3. 如图所示，十字形滑块K重G3，把固定杆CD和重为G2的 杆AB联接成直角，杆AB的点A与半径为r、重量为G1的均质圆 盘铰链。盘上作用一不变力偶矩M。忽略摩擦，求圆盘的角速 度与其转角j的关系。设机构位于水平位置。 解：分析系统， T1 0 分析运动，AB杆做平动。K为动点， v v v AB为动系，有 K A r
O
q
A
A
得
G 2 P1 3g sinq G 3P1 l
对(a)求导得 G 2 P1 3g cosq G 3P1 l
12-1. 在半径为r、质量m为的均质圆盘的直径上固结一长为2r、
质量为m1的均质细杆。圆盘作纯滚动。已知圆盘中心的速度
为v0。求系统的动能。
解：
T T盘 T杆
T盘 1 2 1 1 2 v0 3 2 m v0 m r m v0 2 2 2 4 r
2
v0
4 gMj r 2 (G1 2G2 2G3 cos2 j )
12-4. 图示机构，各构件的质量均为m，曲柄OA=l在不变力偶 矩M作用下绕O轴从图示位置开始转n圈后，求此时曲柄OA的 角速度。 解：由 T2 T1 W ，得
11 2 2 1 3 ml OA m(lOA ) 2 m(lOA ) 2 M 2 πn 23 2 4
1 1 v T2 m木块v 2 4 m轮( 2 r 2 ) 2 2 r
1 39 （m木块 4 m轮）v 2 2 25
2
q
W12 (m木块 g 4m轮g )S sinq
由动能定理有
1 （m木块 3m轮）v 2 （m木块 4m轮）gS sin q 2
M
A
O
C
OA
2 6πMn l 17m
12-5. 如图所示系统中，mA=mB=5kg，k=7N/cm。均质圆盘A只
能在斜面上作纯滚动。今将圆盘从平衡位置向下移过10cm后放
开。求当圆盘回到平衡位置时斜面的速度。 解：水平方向动量守恒，有
mBvB mA (vB vr cos30 ) 0,
2 2 vA vB vr2 2vB vr cos 30
k
A
30
vr
4 3 vB 3
B
vB
7 2 vB 3
vr
vA
由动能定理，得
1 1 2 T2 T1 k ( st )2 k st mg sin 30 2 2 1 1 1 2 2 2 2 T J m v m Av A 3mv B 2 A A A T1 0, 2 2 2
W mA gvA d t mA g( R r )dt
r R C
D B
A
1 1 1 2 dT d [ m( 2 R 2 ) 2 m A v A ] d { [ m( 2 R 2 ) m A ( R r ) 2 ] 2 } 2 2 2
[m( 2 R 2 ) mA ( R r )2 ] mA g( R r ) mA g ( R r ) m( 2 R 2 ) mA ( R r )
FN
aC FD FS
12-7. 如图所示，均质杆长2l，重G，细绳源自文库l，摩擦不计。求杆 由图示静止位置滑到细绳的虚线位置时，杆端B的速度。 解：由T2 T1 W ，得
A
O
l
A
1G 2 3 vC G[ l ( 3l l )] 2g 2
C
B B
v A vB vC gl
aC R m A gR( R r ) m( 2 R 2 ) m A ( R r )
（2）研究塔轮
maC FD Fs
m( 2 R 2 ) FD ( R r )
r R C mg
D
得
m( 2 R 2 ) FD Rr
m( 2 Rr) FS Rr
O
T杆
1 1 1 2 v 2 2 m1v0 m( 2r ) 2 0 m1v0 2 2 12 3 r
2
3 2 2 T ( m m1 )v0 4 3
12-2. 重为200N的木块上装有4个重量均为20N的轮子，在倾 角q=30°的斜面上滚下，如图所示。设轮子的半径为5cm， 惯性半径为4cm，求从静止开始滚过1m时木块的速度。 解：
12-8. 均质杆OA长l，重G，可绕水平轴O转动，另一端A与均质 圆盘的中心铰接，如图所示。圆盘半径r，重P1。当杆处于右侧 水平位置时，将系统无初速度释放，不计摩擦。求杆与水平线
成q角瞬时杆的角速度和角加速度。
解：由T2 T1 W ，得
1 1 G 2 P1 2 2 G P1 [ l l ] ( )l sinq 2 3g g 2g g
vK vA cosj r cosj
vA
A
M
vK Dv
A
B
j
O
vr
K
C
1 1 G1 2 2 1 G2 2 1 G3 2 G1 2G2 2G3 cos2 j 2 2 T2 r r 2 g v AB 2 g v K 2 2 g 4 g
由动能定理 T2 T1 Mj 得
vB
再 0.1m 而 解得
m g sin 30 st 0.035m k
k ( 2 2 ) 2 g sin30 vB 0.48m/s 2m
12-6. 如图所示的均质塔轮的质量m，外轮半径R，内轮半径r， 对其中心轴的惯性半径。今在塔轮的内圆上绕一软绳，绳的另 一端通过定滑轮B悬挂质量为mA的重物，塔轮沿水平面纯滚动， 不计滚动阻力和滑轮B及软绳的质量。试求绳的张力和水平面对 塔轮的摩擦力。 解：（1）由 dT / d t W ，得
v 2 （m木块 4m轮） gS sinq 39 m木块 4 m轮 25 2 280 1 9.8 1 2.9cm/s 324.8 2
12-3. 如图所示，十字形滑块K重G3，把固定杆CD和重为G2的 杆AB联接成直角，杆AB的点A与半径为r、重量为G1的均质圆 盘铰链。盘上作用一不变力偶矩M。忽略摩擦，求圆盘的角速 度与其转角j的关系。设机构位于水平位置。 解：分析系统， T1 0 分析运动，AB杆做平动。K为动点， v v v AB为动系，有 K A r
O
q
A
A
得
G 2 P1 3g sinq G 3P1 l
对(a)求导得 G 2 P1 3g cosq G 3P1 l
12-1. 在半径为r、质量m为的均质圆盘的直径上固结一长为2r、
质量为m1的均质细杆。圆盘作纯滚动。已知圆盘中心的速度
为v0。求系统的动能。
解：
T T盘 T杆
T盘 1 2 1 1 2 v0 3 2 m v0 m r m v0 2 2 2 4 r
2
v0
4 gMj r 2 (G1 2G2 2G3 cos2 j )
12-4. 图示机构，各构件的质量均为m，曲柄OA=l在不变力偶 矩M作用下绕O轴从图示位置开始转n圈后，求此时曲柄OA的 角速度。 解：由 T2 T1 W ，得
11 2 2 1 3 ml OA m(lOA ) 2 m(lOA ) 2 M 2 πn 23 2 4