高考数学专题二数列第2讲数列的求和问题学案文

第2讲 数列的求和问题

[考情考向分析] 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想．

热点一 分组转化法求和

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．

例1 (2018·北京海淀区模拟)已知等差数列{a n }满足2a n ＋1－a n ＝2n ＋3(n ∈N *

)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{}a n ＋b n 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为2a n ＋1－a n ＝2n ＋3，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

2a 2－a 1＝5，2a 3－a 2＝7，所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋2d ＝5，

a 1＋3d ＝7，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝1，d ＝2，

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *

)．

(2)因为数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＋b n ＝2

n －1

，

因为a n ＝2n －1，所以b n ＝2n －1

－(2n －1)．

设数列{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝(1＋2＋4＋…＋2

n －1

)－[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]

＝1－2n

1－2－n (1＋2n －1)2

＝2n －1－n 2

， 所以数列{b n }的前n 项和为2n

－1－n 2

(n ∈N *

)．

思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．

跟踪演练1 已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2

－dx －3<0的解集为(－1,3)，

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝2n a

＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .

解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

d a 1

＝2，

－3

a 1

＝－3，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

d ＝2，a 1＝1.

故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＝2n －1(n ∈N *

)． (2)据(1)求解知a n ＝2n －1， 所以b n ＝2n

a ＋2a n ＝2

2n －1＋2(2n －1)＝4

n

2

＋4n －2，

所以S n ＝12(4＋42＋43＋ (4)

)＋(2＋6＋10＋…＋4n －2)＝12×4(1－4n

)1－4＋n (2＋4n －2)2

＝4

n ＋1

6＋2n 2－23

(n ∈N *

)． 热点二 错位相减法求和

错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．

例2 (2018·百校联盟联考)已知等比数列{a n }的公比q ≠1，前n 项和为S n (n ∈N *

)，a 1＋a 3＝S 4S 2

，a 1－1，a 2－1，a 3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝a n lg a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由a 1＋a 3＝S 4S 2

得，

a 1＋a 1q 2

＝S 2(1＋q 2)S 2

＝1＋q 2

，

所以a 1＝1，

由a 1－1，a 2－1，a 3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项， 得a 3－1－(a 1－1)＝4[(a 2－1)－(a 1－1)]， 即a 3－a 1＝4(a 2－a 1)，

即q 2

－1＝4(q －1)，即q 2

－4q ＋3＝0， 因为q ≠1，所以q ＝3，所以a n ＝3

n －1

(n ∈N *

)．

(2)b n ＝a n lg a n ＝(n －1)·3

n －1

lg 3，

所以T n ＝[0＋3＋2×32

＋3×33

＋…＋(n －1)×3

n －1

]lg 3，

3T n ＝[0＋32

＋2×33

＋3×34

＋…＋(n －1)×3n

]lg 3， 两式相减得，－2T n ＝[3＋32

＋33

＋…＋3n －1

－(n －1)×3n

]lg 3＝3(1－3n －1

)lg 31－3

－(n －1)·3n

lg

3

＝－3lg 32－⎝ ⎛⎭

⎪⎫n －32·3n lg 3，

所以T n ＝3lg 34＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫n 2－34·3n lg 3(n ∈N *

)．

思维升华 (1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．

(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．

(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．

跟踪演练2 (2018·安庆模拟)在等差数列{a n }中a 4＝9，前三项的和为15. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

a n 3n 的前n 项和S n .

解 由题意得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋3d ＝9，

3a 1＋3d ＝15，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝3，d ＝2，

∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *

)．

(2)S n ＝a 13＋a 232＋…＋a n 3n ＝33＋532＋733＋…＋2n ＋1

3

n ，①

13S n ＝33＋53＋…＋2n ＋1

3

，② ①－②得，23S n ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1

33＋…＋13n －2n ＋13n ＋1，

∴S n ＝2－

n ＋2

3

(n ∈N *

)．

热点三 裂项相消法求和

裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于⎩⎨

⎧⎭

⎬⎫1a n a n ＋1或⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．

例 3 (2018·天津市十二校模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a ()S n －a n ＋1(n ∈N *

)(a 为常数，a ≠0，a ≠1)．