6、7(正弦交流电的基本概念及相量表示法)

不变， 所以以下讨论 讨论同频率正弦波 因角频率 ω 不变 ， 所以以下 讨论 同频率正弦波 可不考虑，主要研究幅值与初相位的变化 幅值与初相位的变化。 时，ω 可不考虑，主要研究幅值与初相位的变化。
例
已知： 已知：
幅值： 幅值：
i = sin (1000 t + 30 ° )
1 I= = 0.707A 2
u t
T
u t
T
一、正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性： 正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于传输； 便于运算； 便于运算； 有利于电器设备的运行； 有利于电器设备的运行； . . . . .
最大值电量名称 最大值 电量名称 必须大写，下 标加 m。
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅值。 在工程应用中常用有效值表示幅值。常用交流 有效值表示幅值 电表指示的电压、电流读数， 电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有 效值。标准电压 效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。 ，也是指供电电压的有效值。
相量的书写方式
最大值
& Um
ϕ
有效值
& U
& 、I m m
(1)描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其 描述正弦量的有向线段称为相量 。 则用符号： & 幅值用最大值表示 ，则用符号： U
(2)在实际应用中，幅值更多采用有效值，则用符号： 在实际应用中，幅值更多采用有效值，则用符号： 在实际应用中 (3)相量符号 U、I 包含幅值与相位的信息。 相量符号 & & 包含幅值与相位的信息。
相量的复数表示
将复数
& 放到复平面上，可如下表示： U 放到复平面上，可如下表示： & U
U ϕ
+1
j
b
U =
a +b −1 b ϕ = tg a
2
2
a
& U = a + jb = U cos ϕ + jU sin ϕ
& U
b
U
ϕ
a
欧 拉 公 式
& U = a + jb = U (cosϕ + j sinϕ ) =U e ⇒ U∠ϕ
设：
& U1 = U1e jϕ 2 & U =U e
2 2
jϕ 1
则：
& U 1 U 1 j (ϕ 1 − ϕ 2 ) = e & U2 U2
复数符号法应用举例
已知瞬时值，求相量。 例1: 已知瞬时值，求相量。 π i = 141.4 sin 314t + A 6 已知: 已知: π u = 311.1sin 314t − V 3 解：
−π / 3
220
U&
例2：已知相量，求瞬时值。 ：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形 式为： 式为： & o
I 1 = 100 ∠ − 60
j 30
o
A
& I 2 = 10 e
求：
A
rad
i1、 i
i1 = 100 i 2 = 10
2
解： ω = 2 π f = 2 π × 1000
1 f = T
2π ω= = 2π f T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 电网频率： 美国 、日本 60 Hz * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz 有线通讯频率： * 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz 无线通讯频率： × Hz
正弦波特征量之三 —— 初相位
i = 2 I sin (ω t + ϕ )
i1
ϕ2
i2
ωt
ϕ1
i1 = I m1 sin(ω t + ϕ 1 ) i2 = I m2 sin(ω t + ϕ
2
ϕ = (ω t +ϕ 2 ) − (ω t +ϕ 1 ) = ϕ 2−ϕ1
)
两种正弦信号的相位关系
同 相 位
i2
ϕ2 ϕ1
i1
i2
t
i1
ϕ1 = ϕ2
相 位 领 先 相 位 落 后
2、正弦波的特征量（三要素） 正弦波的特征量（三要素） i
i = I m sin(ω t + ϕ )
ωt
Im
电流幅值（最大值） ： 电流幅值（最大值） 角频率（弧度/秒 ： 角频率（弧度 秒）
： 初相位
Im
ϕ
特征量: 特征量:
ω ϕ
正弦波特征量之一—— 幅值 正弦波特征量之一
i = I m sin (ω t + ϕ )
电器 最高耐压
=300V
有效值 U = 220V 电源电压 最大值 Um =
2 ⋅ 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值， 该用电器最高耐压低于电源电压的最大值， 所以不能用。 所以不能用。 不能用
正弦波 特征量之二 —— 角频率
i
ωt
T
描述变化周期的几种方法： (1)周期 T：变化一周所需的时间。单位： (1)周期 T：变化一周所需的时间。单位：秒，毫秒... (2)频率 f：每秒变化的次数。 单位：赫兹，千赫兹 ... 频率 每秒变化的次数。 单位：赫兹， (3)角频率ω：每秒变化的弧度。 单位：弧度 秒 角频率 每秒变化的弧度。 单位：弧度/秒
& U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅1 )
o
Fra Baidu bibliotek
& U = 3 − j4
& U = −3 + j 4
& U = −3 − j 4
u = 5 2 sin(ω t − 53⋅1 )
o
u = 5 2 sin(ω t + 126 ⋅ 9 )
o
u = 5 2 sin(ω t − 126 ⋅ 9 )
∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 > 0
ϕ1 ϕ2
i1 领先于 i2 t
i1
∆ϕ = ϕ1 −ϕ2 < 0
ϕ2
ϕ1
i2
t
i1 落后于 i2
三相交流电路：三种电压初相位各差120 三相交流电路：三种电压初相位各差120 。
ο
uA uB
uC
ωt
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。 可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
ϕ ϕ
相量的复数运算
1. 加 、减运算
& U 1 = a 1 + jb 1 设： & U 2 = a 2 + jb 2
则：
& & & U = U1 ± U 2 = (a1 ± a2 ) + j (b1 ± b2 ) = Ue
jϕ
2. 乘法运算
& = U e jϕ 1 U1 1 设： & = U e jϕ 2 U2 2
第2章 章
交流电路
§ 2.1 正弦交流电的基本概念及 相量表示法 § 2.2 单相交流电路 § 2.3 三相交流电路
§2.1
正弦交流电的基本概念及 相量表示法
如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复 变化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流 变化一次， 或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。 或电压。如正弦波、方波、三角波、 记做： 记做： u(t) = u(t + T )
I m = 1A
频率： 频率：
ω = 1000 rad/s ω 1000 f = = = 159 Hz 2π 2π
初相位： 初相位：
ϕ = 30°
二、正弦波的相量表示方法
正弦波的表示方法： 正弦波的表示方法：
i
♣ ♣
波形图 瞬时值表达式 相量
ωt
i = sin (1000 t + 30 ° )
必须 小写
1、正弦交流电的方向
正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。 正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。 实际方向和假设方向一致
i
u
R
i
t
实际方向和假设方向相反
交流电路进行计算时， 交流电路进行计算时 ， 首先也要规定物理 量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。 量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。
& U1
& U1
落后于
落后
？
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则 ：同频率正弦波相加
u2 = 2U2 sin (ω t +ϕ2 )
& U2
& U
同频率正弦波的 相量画在一起， 相量画在一起， 构成相量图。 构成相量图。
u1 = 2U1 sin (ω t +ϕ1)
ϕ
ϕ2
ϕ1
& U1
& & & U = U1 +U2
o
符号说明
& & U、I
正弦波的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 = 2U 1 sin (ω t + ϕ 1 ) u 2 = 2U 2 sin (ω t + ϕ 2 )
幅值： 设： 幅值：相量大小 相位： 相位： ϕ 2
& U2
ϕ2
>ϕ1
& U2
U2 > U1
& 领先 U & U2 1
ϕ1
有 效 值 概 念
热效应相当
∫
有
T
0
i R dt = I RT
2
2
有效值电量 有效值电量 必须大写 如：U、I 、
值
交流
直流
1 T 2 I= i dt ∫0 T
当 i = I m sin
(ω t +φ )
Im I = 2
问题与讨论
的电器， 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用 于 220V 的线路上? ~ 220V
如：
u1 = u2 =
2 U 1 sin (ω t + ϕ 1 ) 2U
2
u = u1 + u2
sin (ω t + ϕ 2 )
= 2U sin (ω t + ϕ )
结论: 结论:
= 2U1 sin (ω t + ϕ1 ) + 2U 2 sin (ω t + ϕ2 )
幅值、相位变化， 幅值、相位变化， 频率不变
jϕ
e +e cosϕ = 2 jϕ − jϕ e −e sinϕ = 2j
代数式
jϕ
− jϕ
指数式 极坐标形式
设a、b为正实数 、 为正实数
& = a + jb = U e jϕ U
& = −a + jb = U e jϕ U
ϕ
ϕ
在第一象限
在第二象限 在第三象限 在第四象限
& = −a − jb = U e jϕ U & = a − jb = U e jϕ U
注意： 注意：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 才能用相量表示 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上， 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上， 同频率的正弦量才能画在一张相量图上 不同频率不行。 不同频率不行。 新问题提出： 新问题提出： 提出 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 故引入相量的复数运算法。 相量的复数运算法 相量 复数表示法 复数运算
： （ωt + ϕ） 正弦波的相位角或相位
ϕ ：
t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。 时的相位，称为初相位或初相角
i
ωt
说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点， 说明：ϕ 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。 常用于描述多个正弦波相互间的关系。
ϕ
两个同频率正弦量间的相位差(初相差) 两个同频率正弦量间的相位差(初相差) 同频率正弦量间的相位差
= 6280
s
2 sin( 6280 t − 60 o ) A 2 sin( 6280 t + 30 ) A
o
正弦波的四种表示法 i Im
波形图
ϕ
T
ωt
瞬时值
u = U m sin (ω t + ϕ )
& U
相量图
& I
复数 符号法
& = a + jb =U e jϕ ⇒ U ∠ϕ U
提示
计算相量的相位角时， 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。 象限。如：
则：
& & & U = U 1 ⋅U 2 = U 1 ⋅U 2 ⋅ e
j (ϕ 1 + ϕ 2 )
说明： 说明：
设：任一相量 则：
& A
± j 90 o
90°旋转因子。+j逆时针 °旋转因子。 逆时针 顺时针转90° 转90°，- j顺时针转 ° ° 顺时针转
& ×e A
& = (± j)A
3. 除法运算 除法运算
♣
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有
向线段在纵轴上的投影值来表示。 向线段在纵轴上的投影值来表示。
u = U m sin(ω t + ϕ )
ω
ϕ
Um
ωt
ϕ
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
求：
i
、u 的相量
& = 141 .4 ∠30 o = 100 ∠ 30 o = 86 .6 + j 50 I 2
A
& = 311.1 ∠ − 60 o = 220∠ − 60 o = 110 − j 190.5 V U 2
& = 141.4 ∠30o = 100∠30o = 86.6 + j 50 A I 2 & = 311.1 ∠ − 60 o = 220∠ − 60 o = 110 − j 190.5 V U 2 I& 100 π /6