(完整)北师大版初二数学《一次函数》教案

一次函数

定义：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一．．的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数． 例1：求下列函数中自变量x 的取值范围： (1)2

1

+=x y ； (2)2-=x y ．

例2：圆柱底面半径为5cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与圆柱的高h （cm ）之间的函数关系式为 ，它是 函数．

定义：一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成 （k 、b 为常数，k ≠0）形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的____________．正比例函数是一次函数的特殊情况．

例1：有下列函数：①y ＝－x －2；②y ＝－2

x ；③y ＝－x 2＋（x +1）(x －2)；④y ＝－2，

其中不是一次函数的是 ．（填序号）

例2：要使y ＝（m －2）x n －

1＋n 是关于x 的一次函数，则m 、n 应满足______________． 例3：已知y =(k －1)2

k x 是正比例函数，则k = ． 【变式练习】

1、若函数y = (k ＋1)x ＋k 2－1是正比例函数，则k 的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．±1

D ．－1

2、若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（ ） A . 0 B .

23 C . 23- D . 3

2

- 3.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ）

22221A.3(1) B.y=x+

x

1

C.y=

-x D.y=(x+3)-x x

y x

考点：正比例函数的图象和性质

例1 已知正比例函数y = kx ( k ≠0 ) 的图象过第二、四象限，则（ ）

A ．y 随x 的增大而减小

B ．y 随x 的增大而增大

C ．当x <0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x 的增大而减小

D ．不论x 如何变化，y 不变 例2 已知3

2)12(--=m x m y 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m 的值为_______.

【变式练习】

1、正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大.

2、函数y = (k －1)x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是 ( ) A .0k C .1≤k D .1

考点：一次函数的图象和性质

总结：一次函数的图象

一次函数y =kx +b 的图象是经过点(0，b )，（－

k

b

，0）的一条直线 正比例函数y =kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线，如下表所示．

例1：已知函数y =(m －3)x －3

2

，当m________时，y 随x 的增大而增大；当m _________时，y 随x 的增大而减小．

例2：已知正比例函数y =(3k －1)x ，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ） A ．k <0 B ．k >0 C ．k <13 D ．k >13

例3：如图，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m n ，为常数，且mn 0≠）图象的是（ ）

【变式练习】

1、两个一次函数y 1= mx ＋n ，y 2= nx ＋m ，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）

2、已知函数22

1

+-

=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是（ ） A .2325≤<-y B .2523<

523≤

3、若关于x 的函数1

(1)m y n x

-=+是一次函数，则m = ，n .

4、若m < 0，n > 0，则一次函数y= mx + n 的图象不经过（ ）

A .第一象限

B . 第二象限

C .第三象限

D .第四象限

考点：直线的平移:

例1：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．

y ＝2x 与y ＝2x ＋3

观察y ＝2x 与y ＝2x ＋3两条直线，它们有什么样的位置关系? 请回答：两条直线11

y b kx +=与22b kx y +=平行，那么1k ____2k ，1b ____2b

直线的平移: 左“+”右“－”，上“+”下“－”

b kx y +=向左（右）平移p 个单位

b p x k y +±=)(

b kx y += p b kx y ±+=

向上（下）平移p 个单位

Ｏ x

y

x

y

Ｏ

x

y

Ｏ

x

y

Ｏ Ａ

Ｂ

C ．

D ．

点的平移同样按照“左‘+’右‘－’，上‘+’下‘－’”．平移几个单位就加上或者减去几． 例2：直线y ＝－2x 与直线y ＝－2x －4的位置关系是__________．

函数y ＝－2x －4图象可以由函数y ＝－2x 的图象向______平移_____个单位得到． 【变式练习】

1、下列说法是否正确，为什么?

（1）直线y = 3x ＋1与y =－3x ＋1平行； （2）直线212+

=x y 与2

1

2-=x y 重合； （3）直线y =－x －3与y =－x 平行； （4）直线12

1

+=

x y 与15.0+=x y 相交. 2、将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y ＝－x －5向上平移5个单位，得到直线 .

考点：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入：

（1）设一次函数表达式为y =kx +b ；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k 与b 的值；

（4）将k 、b 的值带入y =kx +b ，得到函数表达式．

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（－1，－3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx +b （k ≠0），

由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-==.

35,3

4b k ∴此函数的关系式为y =3534-x ．

例1：已知正比例函数的图象如下图如示，则正比例函数的解析式为多少?