2020高考数学模拟试卷含答案

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 2
1
=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、
l 表示斜高或
P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长
如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 33
4
R V π=球 次的概率 其中R 表示球的半径
k n k k n n P P C k P --=)1()(
第I 卷（选择题，共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．函数 y=－x(x+2)(x ≥0)的反函数定义域为
（ ） A ． [)+∞,0
B ．(]0,∞-
C ． （0，1）
D ．(]1,∞-
2．若2,
2,22,x y x y x y ≤⎧⎪≤+⎨⎪+≥⎩
则的取值范围是
（ ）
A ．[2，6]
B ．[2，5]
C ．[3，6]
D ．[3，5]
3．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在的直线
（ ） A ．平行
B ．垂直
C ．相交
D ．异面
4．函数||log )(b x x f a -=（0>a ，且1≠a ）是偶函数，且在),0(+∞上单调递减，
则
)
3(-a f 与
)
2(-b f 的大小关系是
（ ）
A ．)2()3(->-b f a f
B ．)2()3(-≥-b f a f
C ．)2()3(-≤-b f a f
D ．)2()3(-<-b f a f
5．复平面内点Z 1、Z 2对应复数分别为z 1 z 2 若|z 1-z 2|=|z 1+z 2|(z 1z 2≠0)则
向量21OZ OZ 与所成
的角为 ( ) A.0°
B.60°
C.90°
D.120°
6.设曲线y ＝1
x 2和曲线y ＝1
x 在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tan θ＝
（ ）
A .1
B .1
2
C .13
D .23
7．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右准线与两渐近线交于A 、B 两点，点
F 为右焦点，
若以AB 为直径的圆经过点F ，则该双曲线的离心率为
（ ） A ．
3
32 B ．2
C ．3
D ．2
8. 设函数)2
2
,0,0)(sin()(π
ϕπ
ωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3
2π=
x 对称，它的周期是π，则
（ ）
A ．)2
1
,0()(的图象过点x f
B ．上是减函数在区间]3
2,125[
)(π
πx f
C ．)0,12
5()(π是的图象的一个对称中心
x f D ．A x f 的最大值是)(
9. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心
30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为 （ ） A.0.5小时
B.1小时
C.1.5小时
D.2小时
10.弹子跳棋共有60颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有
（ ）
A ．11颗
B ．4颗
C ．5颗
D ．0
颗
11如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组
成，
七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内， 则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有 （ ）
A ． 40320种
B ． 5040种
C ． 20160种
D ． 2520种
12.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点
P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形 状为 （ ）
P
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13．二项式n x )sin 1(+的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值
为,2
5则x 在)2,0[π内的值为 ．
14．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化
为标准分，转化关系式为：s
x
x Z -=（其中x 是某位学生的考试分数，
x 是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标
准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z 分
数作线性变换转化成其他分数. 例如某次学业选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是：T=40Z+60. 已知在这次考试中某位考生的考
试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T 分数为 .
15. 如图：电路中五个方框均为保险匣。

框 内数字为通电时保险丝被烧断的概率， 假定通电后保险丝是否烧断是相互独立
的，则通电后不断路的概率为 .
16. 同住一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，
一人在梳头发，另一人在听音乐。

①A 不在修指甲，也不在看书 ②B 不在听音乐，也不在修指甲
③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲④D 既不在看书，也不在修指甲 ⑤C 不在看书，也不在听音乐
若上面的命题都是真命题，问她们各在做什么？
A 在 ；
B 在 ；
C 在 ；
D 在 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
.17. （本小题满分12分）若锐角求且满足,3
5
)sin(,7
13tan tan ,=
-=⋅βαβαβα （1）)cos(βα-； （2）)cos(βα+
2
1 3
141 6
1 51
A B E C D
18. （本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长是3，侧棱长是3，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ，
⑴求证：A 1C ⊥平面AEF ；⑵求二面角A —EF —B 的大小；⑶求点B 1到平面AEF 的距离。

19. （本小题满分12分） 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲
独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差.
20、（本小题满分12分）从边长2a 的正方形铁片的四个角各截一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正常数t .
（Ⅰ）把铁盒的容积V 表示为x 的函数，并指出其定义域； （Ⅱ）x 为何值时，容积V 有最大值.
A
B
C
D
E
F
A 1
B 1
C 1
D 1
21．（本小题满分12分）已知点F（1，0），直线1
:-
=x
l，点B是l上的动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M。

（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设1
:-
=x
l与x轴相交于H，直线BF与曲线C相交于P、Q两点，求证：向量HQ
HP,与向量HF的夹角相等。

22．（本小题满分14分）已知)2
(
4
1
)
(
2
-
<
-
=x
x
x
f，
（1）设}
{
*,
),
(
1
,11
1
1n
n
n
a
N
n
a
f
a
a求
∈
-
=
=-
+
的通项；
（2）求
n
n
n
n
n
n a
a
a
a
a
2
1
2
1
2
2
lim
-
-
∞
→
-；
（3）设,
,
1
2
2
2
2
2
1n
n
n
n
n
S
S
b
a
a
a
S-
=
+
+
+
=
+
Λ
Λ是否存在整数m，对一切n∈N*，都有
25
m
b
n
<成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.
参 考 答 案
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．656
ππ
或
14、 84 15、 36
29
16、 A 在听音乐 ； B 在看书； C 在修指甲； D 在梳头发 三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分） 解：（1）
)
12(.5
1
)cos(,32)cos(1037
1317131tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos )cos()cos()2()
6(3
2
)(sin 1)cos(.2
0,035)sin()
2(,2
2
,,2分于是又由分则而分则为锐角ΛΛΛΛΛΛΘ-=+=--=+
-
=
+-=
+-=-+=--=-∴<-<>=
-<
-<-βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαπ
βαβαπ
βαπ
βα 第（2）题另解：由713tan tan =
⋅βα得到713cos cos sin sin =⋅⋅βαβα，再由（1）3
2
)cos(=-βα
得3
2
sin sin cos cos =+βαβα， 解得30
13
sin sin ,307cos cos =
=
βαβα， ∴5
1sin sin cos cos )cos(-=-=+βαβαβα……（12分）
18．（本小题满分12分）
（1）．证明：在正四棱柱中，A 1D 是A 1C 在平面ADD 1A 1上的射影，∵ A 1D ⊥AF ，∴A 1C ⊥AF ，同理由A 1B ⊥AE 可得A 1C ⊥AE ，∴A 1C ⊥平面
AEF ；……（4分） （2）．解：由AD=，AA=3，A 1D ⊥AF ，A 1B ⊥AE ，易求得BE=DF=1，连结BD 、AC ，设它们交于点O ，取EF 的中点M ，连结AM 、OM ，∵
AO ⊥平面BEFD ，OM ⊥EF ，∴∠AMO 就是所求二面角的平面角…………（6分），在直角三角形AOM 中，MO=1，26=AO ，∴2
6tan =∠AMO ，∴2
6
arctan
=∠AMO ；…………（8分） （3）．设B 1到平面AEF 的距离为h ，在△AEF 中，AM=
2
6
，EF=6，由11AEB F AEF B V V --=得h=
5
15
2…………（12分） 19．（本小题满分12分）
解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2. ……（2分） 则P （A ）=P 1=0.6,P(B)=P 2
:
48
.08.06.0)()()2(44.08.04.02.06.0)()()()()1(08
.02.04.0)()()0()2()6(8.032.04.092
.06.06.0)4(92.0)1)(1(1)(1)(2222212121的概率分布为分即则分ξξξξ=⨯=⋅===⨯+⨯=+===⨯=⋅=====-+∴=-+=---=⋅-=+B P A P P B P A P B P A P P B P A P P P P P P P P P P P P B A P B A P ΛΛΛΛ
……………………………………（8分）
)
12(4.096.136.2)()(4
.01728.00704.01568.048
.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10()10(4.196.044.048.0244.0108.0022222分或利用分ΛΛΛΛ=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξξE E D D E
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知正方形的长为2a -2x ,高为x ，
)
5(}2120|{.
2120,021212.2120,0,22,0)3(,)(4)22(22分函数的定义域为分则ΛΛΛΘΛΛt
at
x x t
at x t a t at a t at
x a x t x a x a x x a x x x a V +≤<∴+≤<∴>+=+-⎪⎩⎪⎨⎧+≤<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<∴-=⋅-= （Ⅱ）x a ax x x a x V 2232484)(4+-=-=
,41,2123)6()(3
,0,
4161222时即若分舍去或则令≥+≤==
='+-='∴t t at a a x a
x V a ax x V ΛΛΛ
)
12.(,212410;
,3,41:)
11()(212,]212,0(,041612,410,2123)9(.,3.,,322分取最大值容积时时当取最大值容积时当综上知分取最大值时当上是增函数在时即若分取最大值时当存在最大值而取极大值当ΛΛΛΛΛΛV t at
x t V a
x t x V t
at
x t
at V a ax x V t t at a V a
x V V a x +=<<=≥+=∴+∴>+-='<<+>=∴=
∴ 21．（本小题满分12分）
解（1）由已知易得|MF|=|MB|由抛物线定义得点M 的轨迹方程为
,42
x y
=（x ≥0）……（4分）
（2）设直线BQ 方程,1+=my x 设P ),(),,(2211y x Q y x
则⎩⎨⎧+==1
42my x x y 消去x 得0442=--my y ∴1,42121=-=x x y y 而),1(11y x += )0,2(= ∴1
61)1(2)1(2),cos(12
112
1
211+++=
+++=
x x x y x x HF HP
同理1
6116111
1
61),cos(12
111
2
1
122
22+++=
+++=
+++=
x x x x x x x x x
∵向量所成角范围在[0，π]上 ∴结论成立。

……（12分） 22．（本小题满分14分）
解：（1）4
1)(2
-=
=
x x f y 的值域y>0，解得
,1),0(41)(12
1
=>-+=-a x x
x x f
0,41112
1
>+=
+a an
a a n
n 由知⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+=
>+2221
1,41
1
,0n n n n a a a a 则
是等差数列（n ∈N*）. 所以，
*)..(03
41),1(411
2N n n a n a n n
∈>-=-+=……（4
分）
（2）3
81
7816826
82
7
82lim
2lim
21212-⋅
-⋅---
-=⋅⋅-∞→--∞→n n n n n a a a a a n n
n n n
n n
=.2
1
786838lim 3
817868lim
=-+--=----∞→∞
→n n n n n n n n ……（8分）
（3）.1
81541141,3419151112++++++=-=-++++
=+n n n S S b n S n n n n
ΛΛ 考虑.0)2
81981()281581(1419815811<+-+++-+=+-+++=-+n n n n n n n b b n n
所以，{}n b 是递减数列，b 1是最大的，,15
14
9151
1=
+=b ……（12分）由于,,9
70252514,254514Z m m m ∈=⨯><所以m min =8…………（14分） .。