高中数学221椭圆及其标准方程1教案新人教A版选修2-1
人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第1课时)》教学设计
2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）一、教学目标 （一）学习目标 1.掌握椭圆的定义；2.掌握椭圆标准方程的推导和标准方程. （二）学习重点椭圆的定义及椭圆标准方程. （三）学习难点椭圆标准方程的建立和推导. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务 写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 距离的和 等于常数 c ，大于12||F F 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两定点间距离叫做 椭圆的焦距 .（2）椭圆的标准方程： 焦点在x 轴上： 2221(0)y a b a b+=>> .焦点在y 轴上： 2221(0)x a b a b+=>> .2.预习自测判断分别满足下列条件的动点M 的轨迹是否为椭圆（1）到点()12,0F -和点()22,0F 的距离之和为6的点的轨迹； （2）到点()12,0F -和点2(2,0)F 的距离之和为4的点的轨迹； （3）到点()12,0F -和点2(2,0)F 的距离之和为3的点的轨迹.【解题过程】当12||||2MF MF a +=，且122||a F F >的常数时M 点的轨迹为椭圆，故（2）（3）不是.【思路点拨】注意把握椭圆的定义. 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是.（4）已知动圆P 过定点(3,0)A -，并且与定圆22:(3)64B x y -+=内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A.线段B.直线C.圆D.椭圆 【解题过程】设动圆P 与定圆B 内切于M ，由条件知：||||||||||8PA PB PM PB BM +=+==，故P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆.【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D （二）课堂设计 1.新知讲解探究一 创设情景，认识椭圆 ●活动① 归纳提炼概念画一画：①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？②将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？ 动画演示作图过程.提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？ ②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？③笔尖所对应的动点M 到定点的距离有什么长度之间的关系？ 总结：笔尖对应的动点M 到直线两个端点的长度之和固定不变.【设计意图】学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识.提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）我们把平面内到两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫作椭圆.●活动② 辨析概念问题1：定义中的常数等于21F F ，则动点的轨迹是什么？问题2：定义中的常数小于21F F ，则动点的轨迹是什么？椭圆相关概念：两个定点1F ，2F 叫作椭圆的焦点．．．．．，两个焦点1F ，2F 间的距离叫作椭圆的焦距．．．．．. 【设计意图】使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风. 探究二 推导椭圆的标准方程 ●活动① 利用定义求方程动手演算：让学生动手，求推导焦点在x 轴上的椭圆的标准方程①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）以直线21F F 为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.②设点：设焦距为()20c c >，则()()12,0,0F c F c -.设(),M x y 为椭圆上任意一点，点M 与点12F F 、的距离之和为()222a a c >.③列式：动点M 满足的几何约束条件: 122MF MF a += 2a =④化简：()()a y c x y c x 22222=+-+++1F 2F∴()()22222y c x a y c x +--=++∴两边同时平方、整理得：()222y c x acx a +-=-将上式两边平方、整理得：2222222222422y a c a cx a x a x c cx a a ++-=+-()()22222222c a a y a x c a-=+-122222=-+c a y a x 分析22c a -的几何含义，令222b c a =-得到焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是什么？（由学生动手列式，()()a c y x c y x 22222=-++++，引导学生观察焦点在x轴上与焦点在y 轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y 轴上椭圆的标准方程）如果椭圆的焦点在y 轴上，其焦点坐标为()c F -,01，()c F ,02，用同样的方法可以推出它的标准方程()012222>>=+b a bx a y ●活动② 归纳梳理、理解提升 椭圆的标准方程及方程特点焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程： 12222=+b y a x （0>>b a ） 12222=+b x a y （0>>b a ）学生思考：（1）椭圆的标准方程中三个参数b c a ,,的关系怎样？（2）如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？总结方程特征：（1）.0,0222>>>>+=c a b a c b a ， （2）哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上.【设计意图】通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.有助于教学目标的实现，培养学生的总结归纳能力，而且使学生体会和学习类比的思想方法.●活动③ 互动交流、初步实践判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的坐标（1）1162522=+y x （在x 轴上，焦点为()0,3-，()0,3）（2）116914422=+y x （在y 轴上，焦点为()5,0-，()5,0）（3）112222=++m y m x （在y 轴上，焦点为()1,0-，()1,0）●活动④ 巩固基础、检查反馈例1.已知a =c =，则椭圆的标准方程为（ ）A.2211312x y +=B.2211325x y +=或2212513x y += C.22113x y += D.22113x y +=或22113y x += 【知识点】椭圆的标准方程. 【解题过程】由222a b c =+知21b =. 【思路点拨】通过焦点的位置判断方程. 【答案】D同类训练 已知椭圆的焦点为(1,0)-和(1,0)，点(2,0)P 在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A.22143x y += B.2214x y += C.22143y x += D.2214y x += 【知识点】椭圆的标准方程. 【解题过程】由222a b c =+知23b =. 【思路点拨】通过焦点的位置判断方程. 【答案】A例2 椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.7D.8 【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由210a =知P 到另一个焦点的距离为8. 【思路点拨】通过定义122PF PF a +=计算. 【答案】D同类训练 已知F 1、F 2是椭圆 192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，则三角形MF 2N 的周长为 . 【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由221212101020MN MF NF MF MF NF NF ++=+++=+=.【思路点拨】通过定义122PF PF a +=计算. 【答案】20. 3.课堂总结 知识梳理（1）椭圆的定义：平面内到两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫作椭圆.（2）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上：12222=+by a x （0>>b a ）；焦点在y 轴上：12222=+bx a y （0>>b a ）.重难点归纳（1）区分焦点：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上；（2）标准方程中,,a b c 的关系：.0,0222>>>>+=c a b a c b a ， （三）课后作业 基础型 自主突破1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2. 【思路点拨】几何性质判断图形. 【答案】D.2.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是（ ） A.5 B.3或8 C.3或5 D.20 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1，∴m ＝5或m ＝3，故选C.【思路点拨】确定焦点位置再结合222a b c =+可得m 的值. 【答案】C3.椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是（ ）A.(±a －b ，0)B.(±b －a ，0)C.(0，±a －b )D.(0，±b －a ) 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a ).【思路点拨】将方程整理为椭圆的标准形式. 【答案】D4.中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是（ ）A.x 281＋y 245＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1D.x 281＋y 236＝1 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C. 【思路点拨】由几何性质即可. 【答案】C5.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________. 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意可得⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.【思路点拨】由椭圆定义及几何关系可得,,a b c 的值. 【答案】x 24＋y 23＝16.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________.【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4. ∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 【思路点拨】由椭圆几何性质即可. 【答案】2 3 能力型 师生共研1.已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A.m <2B.1<m <2C.m <－1或1<m <2D.m <－1或1<m <32 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意得⎩⎨⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.【思路点拨】根据焦点的位置可确定椭圆方程形式为22221(0)y x a b a a +=>>.【答案】D2.若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D. 【思路点拨】由椭圆定义即可. 【答案】D 探究型 多维突破1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；（2）a c ＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】（1）由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).由椭圆的定义知，28a =+=， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. （2）由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又135a c =，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 【思路点拨】由椭圆性质求解即可. 【答案】见解析2.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.【知识点】椭圆的标准方程及几何性质. 【解题过程】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433. 【思路点拨】由定义可知焦点三角形12PF F 的面积：2tan2S b θ=，其中12F PF θ∠=.【答案】见解析自助餐1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（ ）A.x 216＋y 2＝1B.x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1D.x 25＋y 220＝1【知识点】椭圆的标准方程及几何性质.【解题过程】由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.【思路点拨】由椭圆定义即可.【答案】C2.已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上.若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.95B.3C.977D.94【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形.且b ＝3>7＝c .∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点，∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.【思路点拨】由椭圆定义即可.【答案】D3.已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.射线D.直线【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上.【思路点拨】根据椭圆定义判断.【答案】A4.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值是（ ）A. 3B.2C.2 3D.4【知识点】椭圆的定义及几何性质.【解题过程】由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.【思路点拨】根据椭圆定义判断..【答案】A5.已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________.【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题设知1c =. 结合椭圆的定义得：12122||||2||4a PF PF F F =+==，故2,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=. 【思路点拨】利用椭圆的定义求,a c ，再利用222a b c =+求b .【答案】22143x y += 6.如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋12(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.【思路点拨】由椭圆定义，转换即可. 【答案】35。
人教A版高中数学选修1-1教案：2.2.1椭圆及其标准方程
以探究问题为中心，感受推导椭圆方程的必要性和实际意义.通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风，通过椭圆标准方程的推导化简，体会数学的“对称美”和“简洁美”.通过师生、生生的合作学习，增强小组协作能力的培养，形成学习数学知识的积极态度.
四、教学过程
（一）创设情境，认识椭圆．
将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用笔挑起细绳并绷紧，移动笔，可画出什么图形？
(1)取一条细绳；
(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点 、 ；
(3)用笔尖（ ）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？
通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力
六、教学评价设计
1．知识点：椭圆的定义及其标准方程
2．数学方法：用坐标法求动点轨迹方程
3．数学思想：数形结合思想、化归思想、不怕困难的思想
（设计意图：在总结时采用“知识点、方法、思想”的方式，目标明确，重点清晰，易于掌握所学内容，构建知识链。）
七、教学板书
椭圆及其标准方程
一．椭圆的定义 三.例题
四.小结
课题名称：椭圆及其标准方程
姓名
工作单位
年级学科
高二数学
教材版本
人教A班2-1
一、教学难点内容分析
经历椭圆概念的探求过程，体会从形象到抽象、从具体到抽象的过程，培养学生的动手能力、合作学习能力以抽象概括能力，掌握推导椭圆方程的一般方法．
二、教学目标
掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．通过对椭圆的标准方程的探求，能根据椭圆方程和实际问题求a,b,c.
二．椭圆的标准方程 五.作业
高中数学《2.1.1椭圆及其标准方程》教案 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学教案
word1 / 1课题 椭圆及其标准方程教 学 程 序教学内容设计意图 授课 课型 新授课 班级 令22c a PO b -==，那么①式就是方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.2、例题 例1 填表：椭圆方程 a 的值 b 的值 c 的值 焦点坐标1352222=+y x 14922=+y x 11216722=+y x1542222=+y x注：表格中最后一个椭圆方程表示焦点在y 轴上的椭圆，教师点拨后，由学生在课下独立完成推导. 例 2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是)0,2(-，)0,2(，并且经过点)23,25(- ，求它的标准方程. 3、习题（见题签）四、小结焦点在x 轴上的椭圆的标准方程；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程. 五、作业必做题：课本第49页第2题； 选做题：课本第49页第5（1）（2）题.学生对数形结合思想还不能熟练应用，所以教师引导学生思考问题，逐步掌握这种数学思想.给学生更多的应用数学思想的空间，分层梯度训练让学生夯实基础，逐步提高.激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 教具 自制教具课时1课时时间教 学 目 的 1、掌握椭圆的定义及其标准方程；能正确推导椭圆的标准方程；明确焦点、焦距的概念.2、培养学生的动手能力和合作学习的能力；渗透类比推理、分类讨论和数形结合思想.3、激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.重点 椭圆的定义和椭圆的标准方程.难点椭圆标准方程的推导.教 学 程 序教学内容设计意图 一、复习提问：简述求曲线方程的步骤.二、新课引入1、椭圆概念的引入2、椭圆的定义取一条定长的细绳，把它的两端固定 在黑板上，使两固定点的距离小于细绳的 长度.用粉笔把绳子拉紧，在黑板上慢慢 移动，画得一个椭圆，边画边问：什么是 固定的，不变的？什么是变化的？然后请 同学们用语言来表述这条轨迹，提问后教 师讲评，归纳成：椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于∣F 1F 2∣）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.三、讲解新课1、椭圆标准方程的推导：复习求曲线方程的步骤，让学生在巩固旧知的基础上探究新知．教师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.板书设计 椭圆及其标准方程椭圆的定义： 推导： 例题、习题：椭圆的标准方程：。
人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计《人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标知识与技能：(1)初步掌握椭圆的定义及其标准方程。
(2)能对两个根号的代数式化简。
过程与方法：(1)能动手从圆中做出椭圆和用绳子画出椭圆，能将它转化成数学语言。
(2)能在分组讨论及引导下化简两个根号的代数式。
(3)类比圆的学习过程学习椭圆。
情感与价值观：体会数形结合的思想，方程思想，类比的思想在本节课中的应用。
感悟椭圆及椭圆方程的对称美。
教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程，理解坐标法的基本思想。
教学难点：椭圆标准方程的推导与化简。
教学过程：(一)椭圆概念的形成画一画，椭圆初步印象师：前面我们学习了圆，现在我们在圆中进行一个作图游戏，如图，圆的圆心为，在圆内取异于一定点，在圆上取一点，连接，做出线段的垂直平分线交于，然后在圆上依次取，依次得。
最后用一条光滑的曲线连接，。
为了方便大家画图，我给每个小组设计了一个画板。
请各小组合作完成作图。
(PPT演示一个作图例子)师：大家得到了什么图形呢?学生：椭圆师：为了图形更加的准确，我们用计算机验证一下。
(PPT几何画板演示)师：的确是一个椭圆，生活中还有哪些物品是椭圆形的呢?学生：师：我也准备了几个，请大家看看。
(PPT演示图片)师：椭圆就是我们这节课要研究的对象。
(PPT演示标题)。
通过本节课的学习，将达到以下目标。
(PPT演示三维目标)师：我们对椭圆已经有了一个初步印象，请分析刚才做出椭圆的过程中，哪些内容是确定的，哪些内容是变化的呢?(PPT演示作图例子) 学生：师：在平面内确定两个定点，动点到两个定点的距离之和为定值。
所以我们可以取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，就可以画出椭圆。
请各小组试一试。
议一议，椭圆定义的条件师：大家注意到，板上有3根绳子，大家选的那一根?学生：师：如果用另外两根，能画出什么图形呢?学生：一根画出线段，另外一根画不出任何图形。
人教A版高中数学选修2-1教案椭圆及其标准方程
变式：它们的斜率之积是m（m＜０），点 的轨迹是什么？
求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.
（教师引导——示范书写）
例4在直角坐标系中，设椭圆C： （ ）的左右两个焦点分别为 ，过右焦点 且与 轴垂直的直线 与椭圆C相交，其中一个交点的坐标为（ ，1）。
情感态度与价值观
通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点。
教学用具
教学重点
椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.
教学难点
椭圆标准方程的建立和推导
教学步骤及要点：
4．举例求与椭圆有关的点的轨迹方程
例1在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足.当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？
相关点法：寻求点 的坐标 与中间 的关系，然后消去 ，得到点 的轨迹方程.
（教师引导——示范书写）
例2已知动圆M过定点A（-3，0），并且在定圆 的内部与其相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
（2）设 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 ，焦点 的坐标分别为 ， ，
（3）又设 与 的距离之和等于 ，根据椭圆的定义，则有 ，
（4）用两点间的距离公式代入，画简后的 ，此时引入 要讲清楚.
即椭圆的标准方程是 .根据对称性，若焦点在 轴上，则椭圆的标准方程是 .两个焦点坐标 .
通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式： 和
（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求 的面积
选修2-1：椭圆及其标准方程(一)教案案
一、教案背景1、面向学生：高中学科：高二数学2、课时：1课时3、学生课前准备：（1）预习课本，思考：椭圆的定义及标准方程及其推导方法.（2）思考：椭圆定义中应该注意那些.（3）思考：标准方程是如何推导的.二、教学课题：《椭圆及其标准方程》第一课时1、理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；2、进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用.3、重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简三、教材分析1、本节教材整体来看是两大块内容：意识椭圆的定义；二是椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把用坐标法对椭圆的研究放在了重点位置上.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的.2、这节课的重点是椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想；难点是椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用；标准方程推导的关键是含有两个根式的等式化简.四、教学方法1、用模型结合多媒体课件演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，加强概念的形成过程教学.2、对椭圆的标准方程的推导，可采用观察、分析、归纳、抽象、概括、自主探究、合作交流的教学方法，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性.3、本节课坚持推行“学案引导——自主学习——合作探究——精讲点拨——巩固练习”的课堂教学模式，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．五、教学过程课前预习，搜寻问题1、椭圆的定义及注意事项：2、椭圆的标准方程的推导：3、椭圆的标准方程有那几种形式：课内探究，答疑解惑一、创设情景、引入概念首先用多媒体演示“神州七号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图．★问一：“神州七号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？二、尝试探究、形成概念学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆．实验探究：保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？椭圆的定义：找定义的关键处：①平面曲线；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于| F1F2|．三、标准方程的推导归纳求曲线方程的一般步骤：建系→设点→列出方程→化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则．★问二：怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？推导过程：思考：观察右图，能从中找出表示,a c12222=+byax．（0a b>>）此即为椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是)0,()0,(21cFcF-，中心在坐标原点的椭圆方程．M2F1F★问三：如果椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，a ，b ，c 意义同上，椭圆的方程形式又如何？注意理解以下几点：① 在椭圆的两种标准方程中，都有0>>b a 的要求；② 在椭圆的两种标准方程中，由于22a b >，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③ 椭圆的三个参数,,a b c 之间的关系是222a b c =+，其中0,0,a b a c b c >>>>和 大小不确定．四、尝试应用1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？2、 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是()04，-、()04，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10，结果如何？五、典例分析：例：写出适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是()20-，、()20，，并且经过点P ⎪⎭⎫⎝⎛-2523，． 11)4(2222=++m y m x 123)3(22-=--y x 0225259)2(22=--y x 11625)1(22=+y x六、课堂练习1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a =4,b =3,焦点在x 轴； （2）a =5,c =2,焦点在y 轴上．2．椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为 ．课后反思，巩固练习1、课后反思与体验<1>、本节课我学到了哪些知识，是用什么方法学会的？<2>、我还有什么知识没有掌握，是什么原因导致的？<3>、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方法？<4>、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。
高中数学 2.2椭圆教案一 新人教A版选修2-1
2.6.1曲线与方程求曲线的轨迹方程（第一课时）一、教学目标：1、理解曲线的方程和方程的曲线．2、掌握求曲线方程的方法直接法和代入法3、通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．二、教学重点、难点：求曲线的方程．三、教学方法：启发引导法，讨论法．四、教学过程：引入：曲线C ：符合某种条件的点的集合（或点的轨迹），这从形状上描述，由点和坐标建立对应关系动点),(y x ，定点),(b a ，这样可以从方程0),(=y x f 数的角度研究曲线。
如：1、一三象限的角平分线C 与22y x =（曲线上找不到不满足这个方程的点，称纯粹性）2、单位圆C 与方程21x y -=（满足方程的解的点都在曲线C 上，称完备性）同时满足1、2称C 与0),(=y x f 等同的，曲线称为方程的曲线，方程为曲线的方程（一）新授1、研究方程的曲线2、如何求曲线的方程，三种方法：定义法，直接法，代入法。
3、直接法求点的轨迹步骤：建系设点→满足条件→列出方程→化简→证明，通常第三和五部可省略，但要注意有无遗漏增生一些点，常见的ABC ∆中三点不共线，直线点斜式要满足斜率存在等。
（二）实例例1：《名师》P32例1例2：方程01)1(=--+x y x 所表示的曲线例3求)7,3(),1,1(B A --的中垂线的方程（课本P35例2）例4A 为定点，线段C B ,在定直线l 上滑动，已知3=BC ，求A B C ∆的外心的轨迹方程（《名师》P33变式2）例5过点)4,2(P 作两条互相垂直的直线交y x ,轴于B A ,两点，设M 为线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程。
（直接法）例6点)0,3(A 为单位圆外一点，P 为圆上任意一点，若AP 的中点为M ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程。
（代入法、定义法）五、总结及作业：这节课我们学习了曲线的方程和方程的曲线，且学会定义法、直接法、代入法求轨迹方程，要注意纯粹性和完备性。
高中数学选修2-1 221椭圆及其标准方程公开课教学设计
§2.2.1 椭圆及其标准方程■ 一、教学背景——————————————————————————————1.1 学生特征分析学生的知识储备：必修二学习了直线方程，圆的方程，初步体会了方程与几何对象的对应关系，并能运用代数方程解决一些简单的几何问题。
学生的方法储备：由于必修二直线方程和圆的方程的学习和本章第一节曲线与方程的学习，学生应基本理解运用坐标法将几何问题代数化的想法，但还缺少实际运用，对方法的认识不够深刻。
1.2教师特点分析自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于将学科课程与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。
不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。
1.3 学习内容分析从知识上来讲：椭圆是本章中学到的第一个圆锥曲线，也是三种圆锥曲线中最重要的一个。
对上一节来言，是运用坐标法研究曲线几何性质的一次实际运用，也是进一步研究椭圆几何性质的基础。
从方法上来讲：为后续双曲线和抛物线的学习奠定了理论基础，起示范的作用。
因此无论内容上还是方法上，本节都起着承上启下的作用。
■二、设计思想————————————————————————————————学生已经学习了直线和圆的方程，并且学习了曲线与方程的关系，初步理解求曲线方程的想法。
本节课椭圆无论在定义的发现还是方程的推导上都是很好的教学素材。
因此在定义的发现环节，精心设计学生活动，有教师的展示，有学生的动手实验，注重概念的生成过程。
在方程的推导阶段，注重数学思想方法的渗透，类比的思想，数形结合的思想。
不断强调几何关系和代数表示之间的关系，为学生充分领会解析几何的思想方法提供指导。
在例题的选取上，注重层次感，让不同层次的学生都能学到不同层次的数学。
讲练结合，讲在关键处，讲在练之后，让学生经历挫折，调整，成功的过程。
在问题的设计方面，充分考虑不同层次的学生情况，充分体现学生的分组讨论，团结合作。
在学生的分组上，考虑4人小组，每组依据层次编为1—4号，不同小组同号码段学生层次接近，营造即有合作又有竞争的课堂教学氛围。
人教版数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
人教版数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
教材：普通高中课程标准实验教科书选修2-1
章节：第二章 2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）
面向学生：高二年级
普通高中课程标准实验教科书选修2-1
椭圆及其标准方程（第一课时）
一、教学目标：
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.
3.培养探索数学的兴趣，培养探索数学的兴趣，提升数学抽象、数学建模、数学运算的数学素养。
二、二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、三、教学过程设计。
2019-2020年高中数学《2.2.1椭圆及其标准方程》教案 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学《2.2.1椭圆及其标准方程》教案 新人教A 版选修2-1◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标（1）预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．〖板书〗把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为时，椭圆即为点集．（ii ）椭圆标准方程的推导过程提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．（iii ）例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解．另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，则22222591444a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩例 2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．解法剖析：设点，则，；代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．◆情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．◆能力目标（1）想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（5）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第45页1、2、3、4、作业：第53页2、3、2019-2020年高中数学《2.2.1用样本的频率分布估计总体分布》导学案2新人教A版必修3则ｎ＝．。
高中数学211椭圆及其标准方程教案新人教A版选修
2．1.1 椭圆及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．2．过程与方法(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神；(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．●重点、难点重点：椭圆定义及其标准方程．难点：椭圆标准方程的推导过程．椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石．这给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实例使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生学习方式发生转变，采用“激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究”的学习方式，形成师生互动的教学氛围．学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示因椭圆位置的不确定性所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．●教学流程创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？⇒引导学生共同画图，观察、分析画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义.⇒通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a，b，c的意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义解决问题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程.⇒探究求与椭圆有关的轨迹方程的方法，完成例3、例4及其变式训练，从而解决如何求轨迹方程问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第19页)课标解读1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．(难点)椭圆的定义【问题导思】1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？【提示】椭圆．2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆的标准方程观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？【提示】以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2(对应学生用书第20页)椭圆定义的理解及简单应用(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；(2)椭圆x216＋y225＝1的两焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为________．【思路探究】(1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1的周长？【自主解答】(1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝20，∴△ABF1的周长为20.【答案】(1)线段F1F2(2)201．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c＞0，且a、c为常数．当a＞c时，集合P为椭圆上点的集合；当a＝c时，集合P为线段上点的集合；当a＜c时，集合P为空集．因此，只有|F1F2|＜2a时，动点M的轨迹才是椭圆．2．注意定义的双向运用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞|F1F2|)，则点P的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a.椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32【解析】 如图，F 2为椭圆右焦点，连MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4. 【答案】 B求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴2a ＝5＋42＋5－42＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的方程为：x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a ＞b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a 2、b 2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )和焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．【解】 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1 (m ＞0，n ＞0，m ≠n )，将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.求与椭圆有关的轨迹方程已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂足为P ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP →，求点M 的轨迹．【思路探究】设动点M x ，y ，P x 0，y 0→找M ，P 的关系→用点M 坐标表示点P 坐标→代入圆方程→得点M 轨迹【自主解答】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上， ∴x 20＋y 20＝9.将x 0＝x ，y 0＝3y 代入得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1.∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2＝1.1．转代法(即相关点法)求轨迹方程：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”．2．用转代法求轨迹方程大致步骤是：(1)设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；(2)找出P 、Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；(3)将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0，即得所求轨迹方程．设A 、B 是椭圆x 225＋y 216＝1与x 轴的左、右两个交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP 中点M 的轨迹方程．【解】 设P (x 0，y 0)，AP 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－52，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋5，y 0＝2y ，代入椭圆方程x 225＋y 216＝1，得2x ＋5225＋y 24＝1，所以AP 中点M 的轨迹方程是2x ＋5225＋y 24＝1. 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．【思路探究】 (1)解答本题时如何建系更简单？(2)由△ABC 的周长为18能否得到A 到B 、C 的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？【自主解答】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．1．本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A 的轨迹方程，解答时不要漏掉y ≠0这一条件． 2．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P 点，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】 如图，依题意知|PA |＝|PB |，所以|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2，所以点P 的轨迹为以A (－12，0)，F (12，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x 2＋y 2b 2＝1，又因为c＝12，a ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝34，从而所求的动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1. 【答案】 x 2＋43y 2＝1(对应学生用书第21页)忽略椭圆标准方程中a ＞b ＞0的条件致误方程x 2m 2＋y 2m －12＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围．【错解】 方程x 2m 2＋y 2m －12＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 2＜(m －1)2，解得m ＜12，所以实数m 的取值范围是(－∞，12)． 【错因分析】 错解只注意了焦点在y 轴上，而没有考虑m 2＞0且(m －1)2＞0，这是经常出现的一种错误，解题时要注意．【防范措施】 椭圆的焦点在x 轴上时，其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点在y 轴上时，其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，应用时一定要注意条件a ＞b ＞0，否则极易将焦点位置弄错．【正解】 方程x 2m 2＋y2m －12＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞0，m －12＞0，m －12＞m 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m ≠1，m ＜12.故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(0，12)．1．熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手．2．在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件a ＞c . 3．注意焦点分别在x 轴和y 轴上对应的椭圆方程的区别和联系． 4．求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．(对应学生用书第22页)1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．10B ．8C ．5D ．4【解析】 由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10. 【答案】 A2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3)【解析】 ∵a 2＝25，b 2＝16且焦点在y 轴上，∴c ＝3，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 【答案】 D3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 212＝1 【解析】 由题意c ＝8，a ＝10且焦点在y 轴上，∴b 2＝a 2－c 2＝100－64＝36，∴方程为y 2100＋x 236＝1. 【答案】 C4．已知一椭圆标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程． 【解】 ∵b 2＝9，c 2＝16，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(对应学生用书第89页)一、选择题1．已知平面内两定点A ，B 及动点P ，设命题甲是：“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由椭圆定义知甲⇒/ 乙，但乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件． 【答案】 B2．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m ＝( )A ．6B ．3C ．2D ．4【解析】 由题意椭圆焦点在x 轴上，则2m ＝3＋1＝4，∴m ＝2. 【答案】 C3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，∵|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．【答案】 B4．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2【解析】 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，∴a ＞3或－6＜a ＜－2. 【答案】 D5．(2013·天水高二检测)设集合A ＝{1,2,3,4}，m 、n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在x 轴上椭圆的个数是( )A ．6B ．8C ．12【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上，∴m ＞n ，因此，当m ＝4时，n ＝1,2,3；当m ＝3时，n ＝1,2；当m ＝2时，n ＝1，共6种情况．【答案】 A 二、填空题6．若方程x 2a ＋ay 2＝1表示椭圆，则实数a 应满足的条件是________．【解析】 将方程化为x 2a ＋y21a＝1，此方程表示椭圆须满足：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ≠1a ，解得a ＞0且a ≠1.【答案】 a ＞0且a ≠17．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，且焦距为4，则实数m ＝________.【解析】 由题意，焦点在y 轴上，焦距为4，则有m －2－(10－m )＝(42)2，解得m ＝8.【答案】 8图2－1－18．(2013·临沂高二检测)如图2－1－1所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．【解析】 ∵折叠后的M 与F 重合，∴|PM |＝|PF |，又∵|PM |＋|PO |＝r ，∴|PF |＋|PO |＝r ＞|OF |，故点P 的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆．【答案】 椭圆 三、解答题9．求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)过点A (63，3)和B (223，1)的椭圆． (2)过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆．【解】 (1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． ∵椭圆过点A (63，3)和B (223，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·632＋n ·32＝1，m ·2232＋n ·12＝1，解得m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)∵已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在所求椭圆上，∴9a 2＋4a 2－5＝1. ∴a 2＝15.∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.10．已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，P 是该椭圆上一点，且|PF 1|＝4，求：(1)|PF 2|的值； (2)∠F 1PF 2的大小．【解】 由题意知：a ＝3，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝7. (1)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6. ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2.(2)∵|F 1F 2|＝2c ＝27，由余弦定理： cos ∠F 1PF 2＝22＋42－2722×2×4＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.11．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．【解】 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)． ∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点， ∴x 0＝x 且y 0＝y2. 把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1中，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.(教师用书独具)(2013·北京高二检测)如图所示，点M 是椭圆x 264＋y 236＝1上的一点，F 1、F 2是左、右焦点，∠F 1MF 2＝60°，求△F 1MF 2的面积．图【解】 由椭圆的方程得a 2＝64，b 2＝36， ∴2a ＝16，c 2＝a 2－b 2＝28， ∴2c ＝47.由椭圆定义得：|MF 1|＋|MF 2|＝16，又△MF 1F 2中，由余弦定理得：|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos 60°.①2－②得：3|MF 1|·|MF 2|＝162－|F 1F 2|2＝162－(47)2. ∴|MF 1|·|MF 2|＝48.∴S △F 1MF 2＝12|MF 1|·|MF 2|sin 60°＝12 3.椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．【解析】 由于a 2＝9，b 2＝2，所以c ＝a 2－b 2＝7，故焦距|F 1F 2|＝27，又由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，且|PF 1|＝4，得|PF 2|＝2，再结合余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－2722×2×4＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.【答案】 2 120°。
人教A版高中数学选修21椭圆及其标准方程教案
课题：椭圆及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析：《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。
从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。
因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。
二、教学目标分析：（一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.（二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.（三）情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.三、教学重点、难点：（一）．重点：椭圆定义及其标准方程（二）．难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法与教学手段采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。
教学手段：计算机课件辅助教学。
五、教学过程：（一）认识椭圆，探求规律:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图片，让学生从感性上认识椭圆.2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上黑板画（三）归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。
人教A版高中数学选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计第一课时一、内容和内容解析（一）内容椭圆及其标准方程（二）内容解析解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》（人民教育出版社，课程教材研究所和中学数学课程教材研究开发中心编著）A版选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时。
在选修2-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。
二、学生学情分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
三、目标和目标解析（一）目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
（二）目标解析1．经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；3.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。
《椭圆及其标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教案一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识。
解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科。
从知识上讲，本节是在直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。
解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上，在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路。
因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点。
本节课的教学重点是：椭圆的定义及其标准方程。
二、学生学情分析（1）学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程；（2）学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤；（3）学生对于利用数形结合思想解决问题的意识还不够强；（4）对含有两个根式方程的化简能力薄弱。
三、教学目标知识目标：（1）理解椭圆的定义。
（2）掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。
过程与方法：经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质。
情感目标：培养学生勇于探索，善于发现的创新思想，形成实事求是的科学态度并体会数学的简洁美、对称美。
教学难点及突破策略：1.本节课的教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简。
2.突破策略：引导学生类比建立圆的方程的方法，经过学生独立思考与交流讨论，在椭圆上建立恰当的直角坐标系；化简动点满足的代数方程时，引导学生注意观察方程的特点，对其进行移项变形后再通过平方运算进行化简，配合多媒体演示。
四、教学策略分析1.为了充分调动学生学习数学的积极性，促进学生主动思考，采用问题串引导探究活动，以问题作为引领，诱导学生积极思考；2.利用手工制作的教具和现代教育手段，把教学内容与教具及现代教育手段合理整合。
《椭圆及其标准方程》(第一课时)教学设计
《椭圆及其标准方程》（第一课时)教学设计一、教学内容分析教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。
椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用.一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练,同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面,教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点,并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。
因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。
椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，这是本节课的一个教学重点;而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例,让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程,有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
学生对“曲线与方程"的内在联系仅在“圆的方程"一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。
通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。
根据以上分析,确定本课时的教学难点和教学重点分别是:教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程,体会坐标法的应用。
教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程.二、学生学情分析在学习本节课前,学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。
而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学生熟悉的圆相比，对学生的抽象、分析、实践的能力要求比较高，可能困难要大一点,导致学生在学习中可能出现的困难是:学生动手作图慢;用尺规作图的思路可能出现障碍；受教材的影响，学生选择坐标系的思维可能受到限制；方程的化简也是一个难点.三、教学目标与目标解析根据新课程标准对本节课的要求以及对教材和学生情况的分析，本节课教学目标确定为：1、感受建立曲线方程的基本过程，使学生理解椭圆的定义。
新人教A版(选修2-1)《椭圆及其标准方程》word教案
学校：临清一中学科：数学编写人：周晨昌审稿人：张林椭圆及其标准方程【教学目标】1使学生理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，并能进行简单应用.2•通过数形结合，教学生猜想，培养学生的探索发现能力.3•帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神.【教学重难点】教学重点：对椭圆的定义的理解及其标准方程记忆，教学难点：椭圆标准方程的推导.【教学过程】一、复习并引入新课师：在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线•曲线和方程的关系是什么？生：如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x , y)=0的解，同时以方程f(x , y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线.师：圆的定义是：在平面上，至U定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？生：①平面上到两个定点 (距离为2d)距离的平方和等于定值 a(a >2d2)的点的轨迹是圆；②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆.(以上结论在本节课之前书上习题中，请学生自己总结. )师：由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究.二、讲授新课1 •请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题.图 2-24(1) 动点是在怎样的条件下运动的？ (2) 动点运动出的轨迹是什么？ 观察后请学生回答.生：动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下 运动的，轨迹是椭圆.师：椭圆这种曲线你在哪些地方见过？ 生：立体几何中圆的直观图是椭圆. 生：人造卫星的运行轨道.师：好，这种曲线在实际生活中是很常见的，很多物体的横截面的轮廓线也是椭圆, 可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的.(联系实际生活进行教学可以使教学内容亲切，激发学生的学习热情. )师：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？ (学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考.)师：当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化?生：当两个定点重合时，轨迹变化为圆；当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段.师：可见圆是椭圆的特例•据此你能得到什么结论？生：平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点.说明：观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复”如图2-24 .从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同小结完成下表，教师可用投影进行完整的总结.在平面上到两个定点 F i, F2距离之和等于定值 2a的点的轨迹为椭圆（加〉厲巧|）；弋线段（為=|F]Fj）1不存在（2枝<|耳兔）.最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F i, F2距离之和等于定值 2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a> IF1F2I .顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c（c > 0）表示.2.推导椭圆的标准方程.师：下面我们一起来推导椭圆的方程.教师提出问题：求到两个定点F i, F2距离之和等于定值 2a（2a >|F1F2|）的点的轨迹.师：求曲线方程的步骤是什么？生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性.师：那么此题应如何建立坐标系呢？建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线的斜率等）的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性.（让学生思考后回答）教师归纳大体上有如下三个方案:①取一个定点为原点，以 F i , F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图 2-25 ;②，如图2-27，推导出方程.解析：i)建系：以F i , 并设椭圆上任意一点的坐标为F 2所在直线为x 轴，线段F i F 2的中点为原点建立直角坐标系, M(x, y),设两定点坐标为:F i （-c , 0） , F 2（C , 0）, 2） 则 M 满足：|MF i |+|MF 2|=2a ,3） 坐标化即：J （x 二）行戸+J （x-5仃沪二2乳4） 化简.师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法?②以F i ，F 2所在直线为 ③以F i ，F 2所在直线为 y 轴，线段F 1F 2的中点为原点建立直角坐标系，如图 2-26 ；x 轴，线段F i F 2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案團 2-25生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法.师：好，下面我们就一起来完成这部分计算. (师生共同完成)十 C)? =2a- +y ；两边平方得:(x + c)2 + y 2 - 4a 2 -4a^(x - c)a + y 2 + (K - c)2 +『, 即f w J(n)2 + J ・两边再平方得：422 2 2 2 2 2 2 2 2a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y ，整理得：22 222 22 2(a -c )x +a y =a (a -c ).师：还有其它化简的方法吗？ 一般遇到化简根式的问题你应该想到什么？生：共轭根式.师：好，下面我们就通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式.(师生共同完成•此部分内容可根据学生情况选讲)2 2 2 2(x+c) +y -[(x-c) +y ]=4cx』(注+沪+寸=—+ a ©两边平方得 1 x 3 + 2cac + c 3 + y 3 = a a + 2cx + ——化简得： / 2 2、 2 2 2 2/ 2 2、 (a -c )x+a y =a (a -c ).师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x, y 的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？ (这里，数学审美成为研究发现的动力. )学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图 2-28，看看a 与c 的关系如何?②，由②十①得:③.①+③得:师：请结合图形找出方程中 a、c的关系.生：根据椭圆定义知道 a2> c2,且如图所示，a与c可以看成Rt△ MOF的斜边和直角边.师：很好！那我们不妨令 b2=a2-c2,则方程就变形为 b2x2+a2y2=a2b2,如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？生方程变册扌+春1・⑴师：其中a与b的关系如何？为什么？生：a> b>0,因为a与b分别是Rt△ MOF的斜边、直角边.教师指出（*）式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1）方程中条件a>b>0不可缺少（结合图形），当a=b>0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；（这实际上是一种极限情况.）2）b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2;3）请学生猜想：若用方案③ （即焦点在y轴上），得到的方程形式又如何呢？（启发学生根据对称性进行猜想）生t方程形式为^ + ― = 1- a y师：请同学们课后进行推导验证.师：此时方程中a与b的关系又如何？（结合图形请学生将条件 a>b>0补上.）三、例题例1. 平面内两个定点间的距离为 8,写出到这两个定点距离之和为 10的点的轨迹方程.解析：所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用R, F2表示，不妨以R, F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则 2a=10, 2c = 8,因为b2=a2-c2=9, 故所求轨迹方程为寻+ ¥“•（另一种情况壬+ ^T也可以，但只有一解）点评：很多学生不建立坐标系就写出了方程•强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系.变式训练1。
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课题：2.2.1椭圆及其标准方程（1）第1课时
课型：新授课
教学目标：
知识与技能目标
理解和掌握椭圆的概念、定义、会用椭圆的定义解决相关的实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
过程与方法目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量 的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
当 时，其轨迹为．
试试：
已知 ， ，到 ， 两点的距离之和等于8的点的轨迹是．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数 ．
新知２：焦点在 轴上的椭圆的标准方程
其中
若焦点在 轴上，两个焦点坐标，则椭圆的标准方程是．
※典型例题
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴ ，焦点在 轴上；
学习评价
※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）．
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．平面内一动点 到两定点 、 距离之和为常数 ，则点 的轨迹为（ ）．
A．椭圆 B．圆
C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如果椭圆 上一点 到焦点 的距离等于6，那么点 到另一个焦点 的距离是（ ）．
A．4 B．14 C．12 D．8
4．椭圆两焦点间的距离为 ，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 和 ，则椭圆的标准方程
是．
5．如果点 在运动过程中，总满足关系式 ，点 的轨迹是，它的方程是．
课后作业
情感、态度与价值观目标
能把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
批 注
教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。
教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 推导，分析
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P38~P40）
复习1：过两点 , 的直线方程．
复习2：方程 表示以为圆心,为半径的．
二、新课导学
※学习探究
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
⑵ ，焦点在 轴上；
⑶ ．
变式：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的范围．
小结：椭圆标准方程中： ； ．
例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方程 ．
变式：椭圆过点 ， ， ，求它的标准方程．
小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．
※动手试试
练1. 已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是（ ）．
A． B．6 C． D．12
练2 ．方程 表示焦点在 轴上的椭圆，求实数 的范围．
三、总结提升
※学习小结
1. 椭圆的定义：
2. 椭圆的标准方程：
※知识拓展
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在 轴上，焦距等于 ，并且经过点 ；
⑵焦点坐标分别为 ， ；
⑶ ．
2. 椭圆 的焦距为 ，求 的值．
教学后记：
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．
新知１：我们把平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
反思：若将常数记为 ，为什么 ？
当 时，