中考数学几何模型专题突破
中考数学几何模型重点突破讲练专题28 圆中的定弦定角和最大张角模型(学生版)
（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦 CD 的长；
（2）已知点 E 是“蛋圆”上的一点（不与点 在“蛋
圆”上，求点 E 坐标；
（3）点 P 是“蛋圆”外一点，满足 BPC 60 ，当 BP 最大时，直接写出点 P 的坐标．
【例 2】数学概念
若点 P 在 ABC 的内部，且 APB 、BPC 和 CPA 中有两个角相等，则称 P 是 ABC 的“等角点”，特别地，
若这三个角都相等，则称 P 是 ABC 的“强等角点”.
理解概念
（1）若点 P 是 ABC 的等角点，且 APB 100 ，则 BPC 的度数是
H ，连接 BH ，点 C 在移动的过程中， BH 的最小值是______．
6．如图，已知 C 、 D 在以 AB 为直径的 O 上，若 CAB 30 ，则 D 的度数是_________．
7．如图，直线 l 与⊙O 相交于点 B、D，点 A、C 是直线 l 两侧的圆弧上的动点，若⊙O 的半径为 1，∠A＝
o
.
（2）已知点 D 在 ABC 的外部，且与点 A 在 BC 的异侧，并满足 BDC BAC 180 ，作 BCD 的外接圆
O ，连接 AD ，交圆 O 于点 P .当 BCD 的边满足下面的条件时，求证： P 是 ABC 的等角点.（要求：只选
择其中一道题进行证明！
）
①如图①， DB DC
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有
.
（填序号）
一、单选题
1．如图，C，D 是 O 上直径 AB 两侧的两点，若 ABC 20 ，则 ∠BDC 的度数是（
专题13 A字型和反A字型相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题13A 字型和反A 字型相似模型【模型1】A 字型相似模型如图13-1，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ABC ∆，只要知道BC DE //即可。
【模型2】反A 字型相似模型如图13-2，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ACB ∆，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道ACB ADE ∠=∠或ABC AED ∠=∠。
【例1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．4：25B ．2：3C ．4：9D ．2：5【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】解：∵AE =2，EC =3，∴AC =AE +EC =5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴2224525ADE ABC S AE S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：A ．【例2】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求:AN NC的值．【答案】12【分析】解法1：过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDH BCN ∽和DHM ANM ∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDM BCH △∽和AMN CHN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出AHM DBM △∽△和AHN CBN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ，根据三角形中位线定理得出AN NH CH ==，即可得出答案；【解析】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN ∽，所以DH BD CN BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==．因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽，所以DH DM AN AM=．因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==．所以DH AN =，所以12AN CN =．解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以12AM CH =．因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△，所以12AN AM CN CH ==．解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△，所以AH AM BD DM=．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△，所以AN AH CN BC=．因为D 为BC 的中点，且AH BD =，所以12AN BD CN BC ==．解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN 中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==．所以12AN CN =．【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】如图②，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 在边AB 上，且AE =2BE ，点F 在边CB 上，CF =2BF ．O 为AC 的中点，连结EF 、OE 、OF ．（1）EF 与AC 的数量关系为__________．（2）OEF 与ABC 的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF 与AC 的数量关系为13EF AC =；（2）OEF 与ABC 的面积比为2:9．【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DE AD ADE ABC BC AB ==∠=∠，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BE BF BA BC ==，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得11,22OM BC ON AB ==，设,BE a BF b ==，再根据三角形的面积公式分别求出OEF 与ABC 的面积，由此即可得出答案．【解析】定理证明： 点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，12AE AD AC AB ∴==，在ADE 和ABC 中，12AE AD AC AB A A⎧==⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ABC ∴ ，1,2DE AD ADE ABC BC AB ∴==∠=∠，//DE BC ∴，且12DE BC =；定理应用：（1）2,2AE BE CF BF == ，13BE BF BA BC ∴==，在BEF 和BAC 中，BE BF BA BC B B⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，BEF BAC ∴~ ，13EF BF AC BC ∴==，即13EF AC =；（2）如图，过点O 作OM AB ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，即AB BC ⊥，//,//OM BC ON AB ∴，点O 是AC 的中点，OM ∴、ON 是ABC 的两条中位线，11,22OM BC ON AB ∴==，设,BE a BF b ==，则332,3,2,3,,22AE a AB a CF b BC b OM b ON a ======，1122BEF S BE BF ab ∴=⋅= ，1322AOE S AE OM ab =⋅= ，1322COF S CF ON ab =⋅= ，1922ABC S AB BC ab =⋅= ，OEF ABC BEF AOE COF S S S S S ab ∴=---= ，2992OEF ABC S ab S ab ∴== ，即OEF 与ABC 的面积比2:9．一、单选题1．如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B =∠ACD ，则图中相似三角形有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解析】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ACD ∽△ADE ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB ，∵∠B =∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故共4对，故选：C ．2．如图，已知,ADE ABC V :V 若:1:3,AD AB ABC =V 的面积为9，则ADE 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可．【解析】解：∵△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：3，∴21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ABC 的面积为9，∴1=99ADE S ，∴S △ADE ＝1，故选：A ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A ．12B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】试题解析：由题意得：DE ⊥AC ，∴∠DEA =90°，∵∠C =∠DEA ，∵∠A =∠A ，∴△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC,∵A ′为CE 的中点，∴C A ′=E A ′，∴C A ′=E A ′=AE ，∴AE AC =DE BC =13，∴DE =1.故选D.二、填空题4．如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【解析】解：过P 作BC 的平行线交AB 、AC 于点D 、E ，过P 作AB 的平行线交AB 于点I 、G ，过P 作AC 的平行线交AC 于点F 、H ，∵DE//BC ，IG//AB ，FH//AC ，∴四边形AFPI 、四边形PHCE 、四边形DBGP 均为平行四边形，△FDP ∽△IPE ∽△PGH ∽△ABC ，∵12331227S S S ===，，，∴FP ：IE ：PH=1：2：3，∴AI ：IE ：EC=1：2：3，∴AI ：IE ：EC ：AB=1：2：3：6，S △ABC ：S △FDP =36：1，∴S △ABC =36×3=108．故答案为:108．5．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果3AD =，ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，则AC 的长为________．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C ，∠DAE=∠CAB ，根据相似三角形的判定得到△DAE ∽△CAB ，根据相似的性质得S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后把三角形面积代入计算即可．【解析】解：∵∠ADE=∠C ，而∠DAE=∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，∴△ABC 的面积=9+16=25，∴2925AD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AC=5．故答案为5．三、解答题6．如图，△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．（1）求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【解析】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∴△AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2，∵∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ∴△ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36，∵△AMN 的面积是△ABD 面积的29，∴6t ﹣t 2＝2369⨯，∴t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若△AMN ∽△ABD ，则有AM AN AB AD =，即122612t t -=，解得t ＝3，若△AMN ∽△ADB ，则有AM AN AD AB =，即122126t t -=，解得t ＝245，答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABD 相似．7．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S == ，求21S S的取值范围．【答案】21104S S <≤【分析】作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【解析】解：如图所示，作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====，∴GF m x AF m-=，∴()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯= ，整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵点D 在AB 上，0m >，∴0x m <<，210m -<，∴抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14，当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．8．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t =【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分①Rt CPQ Rt CAB ∽△△和②Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解析】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∵AC =20cm ，∴CP =（20-4t ）cm ，在Rt △CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∴3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-；（3）分两种情况：①当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =；②当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =．因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．9．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC =．（1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝ADE ∽△AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==，最后问题可求证．【解析】解：（1）∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =，∵AF AE FE EC =，∴AF AD FE BD =，∴DF ∥BE ；（2）∵AF ＝2，EF ＝4，∴由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6，∵AB ＝∴13AD AB ==∴363AE AD AB AE ====，∴3AE AD AB AE ==，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△AEB ．10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，点D 为圆上一点且∠ADC =∠AOF ，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系；（2）若sin C =13，BD =8，求EF 的长．【答案】（1）CD 与⊙O 相切；（2）2EF =．【分析】（1）要判断CD 与⊙O 的位置关系，可连接OD ，判断OD 与CD 能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF =OF -OE ，所以要求EF ，只需设法分别求出OF 和OE 的长度即可；由于AB 是⊙O 的直径，可以判断出OF 与BD 平行的位置关系，从而利用OAE BAD △∽△和OCF BCD △∽△，即可分别求出OF 和OE 的长度．【解析】（1）CD 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADO +∠BDO =∠DAO +∠B =90°，∵OF ⊥AD ，OD =OA ，∴∠AOD =2∠AOF ，∠DAO =∠ODA ．∵∠AOD =2∠B ，∴∠ADC =∠B ．∴∠ADC +∠ADO =90°．∴OD ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线．∴CD 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCD 中，∵1sin 3C =，∴13OD OC =，∴3OD r OC r ==，．∵OA =r ，∴AC =OC -OA =2r ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ．∴OAE BAD △∽△且OCF BCD △∽△．由OAE BAD △∽△，得，12OE OA BD AB ==．∴118422OE BD ==⨯=．由OCF BCD △∽△，得，34OF OC BD BC ==．∴338644OF BD ==⨯=．∴642EF OF OE =-=-=．11．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC ∆∆ ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE AB AF AC =，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AG CD AD =，∴EG FG BD CD=．12．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 上，过点E 作EF ⊥BC ，点G 在FE 的延长线上，且GA=GE ．（1）求证：AG 与⊙O 相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接OA ，由OA=OB ，GA=GE 得出∠ABO=∠BAO ，∠GEA=∠GAE ；再由EF ⊥BC ，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA ，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC 为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF ∽△BCA ，求得EF 、BF 的长，进一步在△OEF 中利用勾股定理得出OE 的长即可．【解析】（1）连接OA ，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE ∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF BE EF BA BC AC==∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，∴=．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F 在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【解析】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴26 5BNBN-=，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∴1843x BNx-=-，∴y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时，由BN BM CN CF=得，926BN x BN x-=+∴CN ＝2(92)3x x --，∴y ＝12(92)323x x -⋅⨯-＝2763x x --；（3）如图4，∵EG AB ∥，∴13CG EG CB AB ==，∴CG ＝13CB ＝2，∴GB ＝CB ﹣CG ＝4，∴BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时，9﹣2x ＝5，∴x ＝2，如图5，当EM ＝EB ＝5时，作EH ⊥AB 于H ，∴BM ＝2BH ＝2EG ＝6，∴9﹣2x ＝6，∴x =32，如图6，当EM ＝BM 时，作MH ⊥BE 于H ，在Rt △BMH 中，BH ＝1522BE =，cos ∠MBH ＝cos ∠BEG ＝35EG BE =，∴BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∴9﹣2x ＝256，∴x ＝2912，综上所述：x ＝2或32或2912．14．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E ，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t为___________时，//PQ AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为()2cmy，求y与t的函数关系式.（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为'F，是否存在某一时刻t，使得点P，E，'F三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t=--+；（351；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=35t，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB=，可得出BE=52t，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得PE APDB AD=，可得PE=6-32t，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则1524BN EN BE t===，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t =83，∴当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，∵∠ADB =90°，∴BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A =∠QBH ，又∵∠ADB =∠BHQ =90°，∴△ADB ∽△BHQ ，∴BD AB QH BQ =，即610QH t=，∴35QH t =，∵PE ∥BD ，∴DP BE AD AB =，即2810t BE =，∴52BE t =，∴y =S 四边形APQB -S △BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∵PE ∥BD ，∴∠APE =∠ADB ，∵∠A =∠A ，∴△APE ∽△ADB ，∴PE AP DB AD =，即8268PE t -=，∴362PE t =-，∵点E 在线段PQ 的垂直平分线上，∴EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∴222234()55BH BQ QH t t =-=-=∴45335210EH BH BE t t t =+=+=，Rt △EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2，∴2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：1251,510t t =-=-<（舍去），∴当t 51时，点E 在PQ 的垂直平分线上；（4）连接FF '交AB 于点N ，∵点F 关于AB 的对称点为F ′，∴∠FEB =∠F ′EB ，FN ⊥EB ，∵点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∴∠F ′EB =∠ABD ，∴∠FEB =∠ABD ，∴EF =FB ，∴15,24BN EN BE t ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DPF =∠FQB ，∵DFP =∠BFQ ，∴△DPF ∽△BQF ，∴2DF DP BF BQ==，∴DF =2BF ，∴2BF +BF =6，∴BF =2，∵∠FBN =∠ABD ，∠FNB =∠ADB ，∴△BNF ∽△BDA ，∴BN BD BF AB=，∴564210t =，解得：t =2425，∴存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425．15．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．【答案】（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【解析】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．。
中考数学几何题突破解题技巧
中考数学几何题突破解题技巧数学几何是中考数学中的一大难题。
许多同学在几何题上遇到困难，觉得难以理解和解题。
今天我们就来分享一些突破解题的技巧，帮助同学们在中考几何题中取得更好的成绩。
一、几何基本概念的理解和掌握在解几何题之前，首先要掌握几何基本概念。
例如，点、线、面及其相互关系是几何学的基本元素，几何图形的分类和性质也是我们解题过程中必须要了解的内容。
只有对这些基本概念和知识掌握得扎实，才能在解题时运用自如，准确地理解和描述问题。
二、准确绘制几何图形解几何题时，正确绘制几何图形是非常重要的一步。
在绘制图形时，要注意几何图形的相对位置和比例关系，保证图形的准确性。
同时，可以通过画辅助线、标注和标记等方法，更好地理解和解题。
绘制准确的几何图形对于解题过程的推理和证明有着重要的影响。
三、应用几何定理和性质几何题的解题过程中，运用几何定理和性质是非常重要的。
同学们要熟悉并掌握几何定理，灵活地应用到解题中去。
例如，利用三角形的重心性质、全等三角形的性质、平行线的性质等等。
掌握这些几何定理和性质，可以大大简化解题过程，提高解题效率。
四、运用几何分析和推理解几何题时，需要通过几何分析和推理来解决问题。
同学们可以通过观察、比较、推导、推理等方法，分析图形的性质和问题的特点，找到问题的解题思路。
在推理过程中，也可以利用条件、结合定理和性质来得到结论，解决问题。
五、练习和总结几何题的解题技巧需要通过不断的练习和总结来提高。
同学们可以多做几何题，尤其是一些经典的例题，熟悉和掌握题型的解题思路和方法。
通过练习，可以更加熟悉和熟练地运用几何定理和性质。
同时，在解题过程中可以总结经验和技巧，形成自己的解题方法。
六、思维开阔，勇于创新几何题的解题过程中，需要同学们思维开阔，勇于创新。
有时候，问题的解法可能不只有一个，要善于发现不同的解题思路。
同时，还要勇于尝试和探索新的解题方法，对于复杂的几何问题，可以尝试运用平面几何与向量、解析几何等其他数学知识相结合，从不同的角度进行思考和解决。
专题27 切线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题27切线模型【模型1】双切线模型已知如图27-1，点P 为⊙O 外一点，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，根据切线的性质，可证明P AO ∆≌PBO ∆,︒=∠+∠180AOB APB ，PO 垂直平分AB 。
【模型2】割线定理如图27-2，已知在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点P ，点P 在⊙O 外⇒PB PD P A PC ∙=∙。
【证明】如图27-5，连接AD 、BC ，P P ∠=∠，BA ∠=∠∴PDA ∆∽PCB∆∴PCPD PB P A =∴PBPD P A PC ∙=∙【模型3】切割线定理如图27-3，已知在⊙O 中，弦AC 的延长线交⊙O 的切线PB 于P ⇒P A PC PB ∙=2。
【证明】如图27-4，连接AB 、BC ，PBC ∠为⊙O 的弦切角，∴APBC ∠=∠又 PP ∠=∠∴PCB ∆∽PBA∆∴P A PB PB PC =∴P APC PB ∙=2【例1】如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，记切点为A 、B ，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ．若∠ACB ＝62°，则∠APB 等于（）A ．68°B ．64°C ．58°D ．56°【例2】已知：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，4PA cm =，6AB cm =，3CD cm =.则PD =______cm .【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，射线BC 交⊙O 于点D ，E 是劣弧AD 上一点，且BE 平分FBA ∠，过点E 作EF BC ⊥于点F ，延长FE 和BA 的延长线交于点G ．(1)证明：GF 是⊙O 的切线；(2)若2AG =，6GE =，求⊙O 的半径．一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MA ＝AO ，MD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交MD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为2，则BC 的长是（）A ．4B ．23C ．22D ．32．如图，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，点C 为优弧AB 上一点，若ACB APB ∠=∠，则ACB ∠的度数为（）A ．67.5︒B ．62︒C ．60︒D ．58︒3．如图，⊙O 的半径为72，BD 是⊙O 的切线，D 为切点，过圆上一点C 作BD 的垂线，垂足为B ，BC ＝3，点A 是优弧CD 的中点，则sin ∠A 的值是（）A ．37B 77C 217D 21二、填空题4．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为____________5．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ．若O 的半径为3，5BC =，则PA 的长为______．6．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点．若60APB ∠=︒，则AOP ∠的大小为______．7．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点．若∠P ＝45°，则∠AOB ＝_____°．8．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且50E ∠=︒，则P ∠的度数为______．9．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，Q 是优弧 AB 上一点，若∠P =40°，则∠Q 的度数是________．三、解答题10．如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切于点D ，与AB 、AC 的延长线分别相切于点E 、F ，连接OB ，OC ．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．11．如图，已知P，PB分别与⊙O相切于点AB，∠APB＝60°，C为⊙O上一点．(1)如图②求∠ACB的度数；(2)如图②AE为⊙O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．12．如图，CD是⊙O的切线，切点为D，点C在直径AB的延长线上．(1)求证：∠CAD＝∠BDC；(2)若tan∠BDC＝23，AC＝3，求CD的长．13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C．BD PD，垂足为D，连接BC．(1)求证：BC 平分∠PBD ；(2)若4cm PA =，42cm PC =，求⊙O 的半径．14．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 是⊙O 的切线，AC 、CD 是⊙O 的弦，且CD AB ⊥，垂足为E ，连接BD 并延长，交AM 于点P ．(1)求证：CAB APB ∠=∠；(2)若⊙O 的半径5,8r AC ==，求线段PD 的长．15．如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．(1)直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；(2)若2CA =，4CD =，求DE 的长．16．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，直线PO 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于点C ．(1)求证：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．。
2024中考数学核心几何模型重点突破专题01 线段的中点模型(含解析)
2024中考数学核心几何模型重点突破专题01线段的中点模型模型分析【理论基础】如图，已知点M 是线段AB 的中点⇒AB BM AM 21==【模型变式1】双中点求和型如图已知点M 是线段AB 上任意一点，点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MD CM CD +=AB MB AM CD 212121=+=∴AB CD 21=∴【模型变式2】双中点求差型如图点M 是线段AB 延长线上任意一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MDCM CD -=)(212121MB AM MB AM CD -=-=∴AB CD 21=∴【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。
典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或32．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC =B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm4．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF ＝8，CD ＝4，则AB 的长为（）A ．10B ．12C ．16D ．18二、填空题5．如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝8cm ，则CD ＝___cm ．6．在直线上取A ，B ，C 三点，使得AB ＝9cm ，BC ＝4cm ，如果O 是线段AC 的中点，则线段OA 的长为_____．7．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，则AD 的长为_____cm ．8．如图，C ，D 两点将线段AB 分为三部分，AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，且AC ＝6．M 是线段AB 的中点，N 是线段DB 的中点．则线段MN 的长为____________．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C ，D 是线段AB 上的两个点，点M 、N 分别为AC 、BD 的中点(1)若AB =16cm ，CD =6cm ，求AC +BD 的长和M ，N 的距离；(2)如果AB =m ，CD =n ，用含m ，n 的式子表示MN 的长10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．参考答案与详细解析典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【解析】解：根据题意画图如下：∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =+=+==；∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =-=-==．故选：D ．【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC 的长，根据线段的和差可得AB 的长，根据中点的性质可得BM 的长，再根据线段的和差可得MN 的长．【解析】由N 是CB 的中点，NB =5，得：BC =2NB =10．由线段的和差，得：AB =AC +BC =8+10=18．∵M 是AB 的中点，∴1118922MB AB ==⨯=，由线段的和差，得：MN =MB -NB =9-5=4，故答案为：4.【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）10；（2）12a ；（3）12a ；（4）线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.【分析】（1）先求解,AC 再利用中点的含义求解,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（2）先利用含a 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含a 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（3）先利用含,a b 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含,a b 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【解析】解：（1）20,8AB BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1128,14,4,22AB BC AC MC AC NC BC ∴+======14410.MN MC NC ∴=-=-=（2）,8AB a BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1118,4,4,222AB BC AC a MC AC a NC BC ∴+==+==+==1144.22MN MC NC a a ∴=-=+-=（3）,AB a BC b ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，11111,,,22222AB BC AC a b MC AC a b NC BC b ∴+==+==+==1111.2222MN MC NC a b b a ∴=-=+-=（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】C【分析】先分C 在AB 上和C 在AB 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【解析】解：如图：当C 在AB 上时，AC =AB -BC =2,∴AD =12AC =1如图：当C 在AB 的延长线上时，AC =AB +BC =6,∴AD =12AC =3故选C ．2．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC=B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A 、C 、D 都可以确定点C 是线段AB 中点．【解析】解：A 、AC =BC ，则点C 是线段AB 中点；B 、AC +BC =AB ，则C 可以是线段AB 上任意一点；C 、AB =2AC ，则点C 是线段AB 中点；D 、BC =12AB ，则点C 是线段AB 中点．故选：B ．3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=12AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝8，CD＝4，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4，∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．故选：B．二、填空题5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得14CD AB，即可求得答案．【解析】解：∵点D是线段AB的中点，∴12AD AB=，∵C是线段AD的中点，∴12CD AD=，∴1182cm44CD AB==⨯=，故答案为：2．6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．【解析】解：分两种情况：①当点C在线段AB上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB-BC=9-4=5cm，∵O是线段AC的中点，∴1 2.52OA AC cm==；②当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB+BC=9+4=13cm，∵O是线段AC的中点，∴1 6.52OA AC cm==；故答案为：2.5cm或6.5cm．7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．【答案】11【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB＝2MB，CD＝2CN，∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．故答案为：11．8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，∴CD=6÷3×4=8，∴DB=6÷3×5=10，∴AB=6+8+10=24，∵M是线段AB的中点，∴MB=12AB=12×24=12，∵N是线段BD的中点，∴NB=12DB=12×10=5，∵MN=MB-NB，∴MN=12-5=7．故答案为：7．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm ；11cm ；(2)2m n +．【分析】（1）根据AC +BD =AB -CD 列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM +BN 的长度，再根据MN =AB -（AM +BN ）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB 、CD 的长度换成m 、n 即可【解析】(1)∵AB =16cm ，CD =6cm ，∴AC +BD =AB -CD =10cm ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=16-5=11（cm ）；(2)∵AB =m ，CD =n ，∴AC +BD =AB -CD =m -n ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=m -12（m -n ）=2m n +．10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．【答案】(1)见解析(2)线段MN 的长度为10．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【解析】(1)解：补全图形如图所示：；(2)解：由题意知可知AD =AB =BC ，且AB =10，∴AD =AB =BC =10，即CD =30，∵点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点，∴DM =12CD =15，DN =12AD =5，∴MN =DM -DN =10，∴线段MN 的长度为10．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．【答案】（1）2；（2）16．【分析】（1）由20AC =，点D 为线段AC 的中点，求得AD=DC=10，由8AB =，可求BD=AD-AB=2；（2）由1134BD AB CD ==，推出34AB BD CD BD ==，，由AE BE =，可用BD 表示3=2AE BE BD =，表示EC=132BD =13，求出2BD =，再求AE=3=可求，AC=AE+EC=16．【解析】（1）∵20AC =，点D 为线段AC 的中点，∴AD=DC=11201022AC =⨯=，∵8AB =，∴BD=AD-AB=10-8=2；（2）∵1134BD AB CD ==，∴34AB BD CD BD ==，，∵AE BE =，∴13=22AE BE AB BD ==，∵EC=313422BE BD DC BD BD BD BD ++=++==13，∴2BD =，∴AE=33=2322BD ⨯=，∴AC=AE+EC=3+13=16．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．【答案】（1）20,10；（2）14t =或6t =；（3）AD 的长为：1609或160.【分析】（1）由30AC BC +=，10AC BC -=，再两式相加，即可得到AC ，再求解BC 即可；（2）以A 为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示,,,,,A C B P D E 对应的数，由CD =25DE ，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；（3）以A 为原点画数轴，分三种情况讨论，当D 在A 的左侧，当D 在线段AB 上，当D 在B 的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示,,AD BD CE ，再利用1,2AD BD CE -=建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）AB =30，30AC BC ∴+=①又AC -BC =10②，①+②得：240,AC =20AC ∴=，10.BC ∴=（2）如图，以A 为原点画数轴，则,,,,A P C B 对应的数分别为：0,,20,30t ，点D 为线段PB 的中点，D ∴对应的数为：()1130+15,22t t =+点E 为线段PC 的中点，E ∴对应的数为：()1120+10,22t t =+1115205,22CD t t ∴=+-=-11111510151052222DE t t t ⎛⎫=+-+=+--= ⎪⎝⎭，CD =25DE ，1255,25t ∴-=152,2t ∴-=1522t ∴-=或152,2t -=-解得：14t =或6t =．由20t <，经检验：14t =或6t =都符合题意．（3）如图，以A 为原点画数轴，设D 对应的数为m ，当D 在A 的左侧时，AD BD -＜0，12AD BD CE ∴-≠，舍去，当D 在AB 上时，线段AD 的中点为E ，E ∴对应的数为：()110,22m m +=此时E 在AC 上，,30,AD m BD m ∴==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭123010,4m m ∴-=-940,4m ∴=160,9m ∴=1609AD ∴=，当D 在B 的右侧时，如图，同理：,30,AD m BD m ==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ∴--=-12060,2m ∴-=120602m ∴-=或12060,2m -=-解得：80m =-（舍去），160,m =160AD ∴=，综上：AD 的长为：1609或160.13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．【答案】（1）52；（2）172【分析】（1）根据图示知AM ＝12AC ，AC ＝AB ﹣BC ；（2）根据已知条件求得CN ＝6，然后根据图示知MN ＝MC +NC ．【解析】解：（1）线段AB ＝20，BC ＝15，∴AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣15＝5．又∵点M 是AC 的中点．∴AM ＝12AC ＝12×5＝52，即线段AM 的长度是52．（2）∵BC ＝15，CN ：NB ＝2：3，∴CN ＝25BC ＝25×15＝6．又∵点M 是AC 的中点，AC ＝5，∴MC ＝12AC ＝52，∴MN ＝MC +NC ＝172，即MN 的长度是172．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．【答案】()17cm ；()22aMN =，证明解解析；()32bMN =，证明见解析；()4见解析【分析】()1根据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN CM CN =+即可求出MN 的长度即可；()2当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在12MN a =；()3点在AB 的延长线上时，根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，即可求出MN 的长度；()4根据前面的结果解答即可．【解析】解：()1,M N 分别是,AC BC 的中点，8,6AC cm CB cm ==11,22MC AC CN BC ∴==()12MN MC CN AC BC =+=+Q ()18672MN cm \=+=()22aMN =,M N 分别是,AC BC 的中点11,22MC AC CN BC ∴==又MN MC CN =+Q ()122a MN AC BC ∴=+=()32bMN =∵AC BC b -=，∴C 在点B 的右边，如图示：,M N 分别是,AC BC 的中点，AC BC b -=11,22MC AC NC BC ∴==又NM MC NC =-()122b MN AC BC ∴=-=()4只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M N ，分别是AC BC ，的中点．那么MN 就等于AB 的一半。
专题33 将军饮马模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
4.如图，在直线 两侧各有一个定点，分别是点 A、B，怎样在直线 l 上找到一点 P，使得
的值最大？
构图：作点 B 关于直线 l 的对称点 B’，连接 AB’并延长与 l 的交点即为点 P，如图所示：
5.如图，在直线 同侧有 A、B 两个定点，怎样在直线 上找到一点 P，使得
的
值最小？
构图：连接 AB，作 AB 的垂直平分线与直线 l 交于点 P，此时
12．如图，等边 ABC 的边长为 4，点 E 是 AC 边的中点，点 P 是 ABC 的中线 AD 上的动点， 则 EP CP 的最小值是_____．
13．如图，等边三角形 ABC 的边 BC 上的高为 6， AD 是 BC 边上的中线，M 是线段 AD 上的 -一个动点，E 是 AC 中点，则 EM CM 的最小值为_________．
一、单选题 1．如图，点 M 是菱形 ABCD 的边 BC 的中点，P 为对角线 BD 上的动点，若 AB＝2，∠A ＝120°，则 PM＋PC 的最小值为（ ）
A．2
B． 3
C． 2
D．1
2．已知线段 AB 及直线 l，在直线 l 上确定一点 P ，使 PA PB 最小，则下图中哪一种作图方
法满足条件（ ）．
构图：分别作点 P、Q 关于 OA、OB 的对称点 P’、Q’，连接 P’Q’分别交 OA、OB 于点 C、 D，此时△PCD 的周长最小值为 PQ＋P’Q’，如图所示：
【模型 3】两点两线 在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使得 PA＋PQ＋QB 的值最小. 1.A、B 两点都在直线的外侧
2.一个点在内侧，一个点在外侧
14．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，则 DN＋MN 的最小值是______．
专题10 几何变换中的三角形全等模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题10几何变换中的三角形全等模型【模型1】全等三角形中的平移变换【说明】平移前后的三角形全等。
平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【模型2】全等三角形中的折叠变换模型【说明】折叠问题实质上是利用了轴对称的性质。
轴对称变换的性质：①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.【模型3】全等三角形中的旋转变换模型旋转变换的性质：图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.【例1】如图，DEF 是由ABC 经过平移得到的，AC 分别交DE 、EF 于点G 、H ，若120B ∠=︒，30C ∠=︒，则DGH ∠的度数为（）A ．150°B ．140°C ．120°D ．30°【答案】A 【分析】根据平移可知：ABC DEF ≅ ，AC DF ∥，根据全等三角形对应角相等，得出120E B ∠=∠=︒，30F C ∠=∠=︒，即可得出∠D 的度数，再根据平行线的性质得出∠DGH 的度数即可．【解析】根据平移可知，ABC DEF ≅ ，AC DF ∥，∴120E B ∠=∠=︒，30F C ∠=∠=︒，∴180D E F∠=︒-∠-∠18012030=︒-︒-︒30=︒，∵AC DF ∥，∴180DGH D ∠+∠=︒，∴180********DGH D ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故A 正确．故选：A ．【例2】如图，纸片ABCD 的对边AD BC ∥，将纸片沿EF 折叠，CF 的对应边C F '交AD 于点G ．若AG GF =，且144∠=︒，则2∠的大小是（）A ．44︒B ．45︒C ．46︒D ．56︒【答案】C 【分析】利用等腰三角形和平行线的性质求得44AFG AFB ∠=∠=︒，再求得18092CFE C FE AFB AFG ∠+∠=︒-∠-∠=︒′，利用折叠的性质和平行线的性质即可求解．【解析】解：∵AG GF =，144∠=︒，∴144AFG ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，144∠=︒，∴144AFB ∠=∠=︒，∴18092CFE C FE AFB AFG ∠+∠=︒-∠-∠=︒′，由折叠的性质可得CFE C FE '∠=∠，∴192=462CFE ∠=⨯︒︒，∵AD BC ∥，∴2==46CFE ∠∠︒，故选C【例3】如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．【答案】(1)AE BD =，AE BD ⊥；(2)结论仍成立，理由见解析；(3)252+．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒即可；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒即可；（3）如图：由题意可知点P 在以AB 为直径的O 上运动，点D 在C 上运动，观察图形，可知当BP 与C 相切时，BCP 面积最大；此时，四边形CDPE 为正方形，5PD CD ==；然后在Rt BDC 运用勾股定理求出BD ，进而求出BP 的最大值，最后运用三角形的面积公式求解即可．【解析】（1）解：AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅ ，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥．（2）解：结论仍成立，仍有：AE BD =，AE BD ⊥；理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE 和BCD △中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅ ，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥．（3）解：如图：∵90APB ∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的O 上运动.∵5CD CE ==，∴点D 在C 上运动，观察图形，可知当BP 与C 相切时，BCP 面积最大.此时，四边形CDPE 为正方形，5PD CD ==.在Rt BDC中，BD ==当BCP的面积最大时，5BP BD DP =+=+，12S BP CD =⋅=一、单选题1．如图，三角形ABC ，三角形EFG 均为边长为4的等边三角形，点D 是BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，三角形EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值为（）A ．43B ．23C ．232-D ．434【答案】C 【分析】首先证明90AMF ∠=︒，判定出点M 在以AC 为直径的圆上运动，当M 运动到BM AC ⊥时，BM 最短来解决问题．【解析】解：如图，连接AE 、EC 、CG ，AD ，DE CD DF，==∠=∠，DEC DCE∴∠=∠，DFC DCF，∠+∠+∠+∠=︒180DEC DCE DFC DCFECF∴∠=︒，90∆是等边三角形，D是BC、EF的中点， 、EFG∆ABC∴∠=∠=︒，90ADC GDE∴∠=∠，ADE GDC∴∆≅∆，()ADE GDC SAS∴=，DAE DGCAE CG∠=∠，DA DG，=∴∠=∠，DAG DGAGAE AGC∴∠=∠，∴∆≅∆，AGE GAC SAS()∴∠=∠，GAK AGK∴=，KA KG，=AC EG∴=，EK KCKEC KCE∴∠=∠，，∠=∠AKG EKC∴∠=∠，KAG KCE\∥，EC AG∴∠=∠=︒，90AMF ECF∴点M在以AC为直径的圆上运动，∴当BM AC⊥时，且B、M在AC的同侧时，BM最短，Q，AB=4∴=2OB==，AO OM∴的最小值为2-．BM故选：C ．2．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点M 在CD 的边上，且DM ＝1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A ．3B ．C ．5D 【答案】C 【分析】连接BM ．先判定FAE MAB ∆∆≌，即可得到EF BM =．再根据4BC CD AB ===，3CM =，利用勾股定理即可得到，Rt BCM ∆中，5BM =，进而得出EF 的长．【解析】解：如图，连接BM ．AEM ∆ 与ADM ∆关于AM 所在的直线对称，AE AD ∴=，MAD MAE ∠=∠．ADM ∆ 按照顺时针方向绕点A 旋转90︒得到ABF ∆，AF AM ∴=，FAB MAD ∠=∠．FAB MAE ∴∠=∠，FAB BAE BAE MAE ∴∠+∠=∠+∠．FAE MAB ∴∠=∠．FAE MAB ∴∆∆≌（SAS ）．EF BM ∴=．四边形ABCD 是正方形，4BC CD AB ∴===．1DM = ，3CM ∴=．∴在Rt BCM ∆中，5BM ，5EF ∴=，故选：C ．3．如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB ＝20，BC ＝4，将纸片沿MN 折叠，点B '，C '分别是B ，C 的对应点，MB′与DC 交于K ，若△MNK 的面积为10，则DN 的最大值是（）A ．7.5B ．12.5C ．15D ．17【答案】D 【分析】作NE ⊥B M '于E ，NF ⊥BM 于F ，由折叠得∠1＝∠2，根据角平分线的性质得NE ＝NF ，可得四边形BCNF 是矩形，则NF ＝BC ＝4，根据△MNK 的面积为10得NK ＝MK ＝5，根据勾股定理得KE ＝3，则MF ＝ME ＝MK ﹣KE ＝5﹣3＝2，设DN ＝x ，则CN ＝20﹣x ，BM ＝BF +MF ＝20﹣x +2＝22﹣x ，由折叠可得BM ≥KM ，即22﹣x ≥5．可得x ≤17，即可得DN ≤17，则DN 的最大值是17．【解析】解：如图所示，过点N 作NE ⊥B M '于E ，NF ⊥BM 于F ，由折叠得∠1＝∠2，∴NE ＝NF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BFN ＝90°，AB CD ∥，∴四边形BCNF 是矩形，∠DNM =∠2，∴NE ＝NF ＝BC ＝4，∠1=∠DNM ，∴NK =MK ，∵△MNK 的面积为10，∴12KM •NE ＝12KN •NF ＝10，∴NK ＝MK ＝5，∴KE 22KN NE -3，在△MEN 和△MFN 中，12MEN MFN ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEN ≌△MFN （AAS ），∴MF ＝ME ＝MK ﹣KE ＝5﹣3＝2，设DN ＝x ，则CN ＝BF ＝20﹣x ，∴BM ＝BF +MF ＝20﹣x +2＝22﹣x ，由折叠得BM ≥KM ，即22﹣x ≥5．∴x ≤17，即DN ≤17，∴DN 的最大值是17．故选：D ．4．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①CQ ＝CD ；②四边形CMPN 是菱形；③P ，A 重合时，MN ＝PQM 的面积S 的取值范围是3≤S ≤5．其中正确的是（）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】B 【分析】先判断出四边形CNPM 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN ＝NP ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ ＝CD ，得Rt △CMQ ≌△CMD ，进而得∠DCM ＝∠QCM ＝∠BCP ＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P 与点A 重合时，设BN ＝x ，表示出AN ＝NC ＝8−x ，利用勾股定理列出方程求解得x 的值，进而用勾股定理求得MN ，判断出③正确；当MN 过D 点时，求得四边形CMPN 的最小面积，进而得S 的最小值，当P 与A 重合时，S 的值最大，求得最大值即可．【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM（折叠的性质），∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP（折叠的性质），∴PM＝CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CM＝CM，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2所示：设BN＝x，则AN＝NC＝8−x，在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，即42＋x2＝（8−x）2，解得x ＝3，∴CN ＝8−3＝5，AC∴CQ ＝12AC ＝∴QN∴MN ＝2QN ＝当MN 过点D 时，如图3所示：此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小（四边形CNPM 的边CN 上的高固定为AB 的长），此时四边形CNPM 是正方形，则S 最小＝14S 菱形CMPN ＝14×4×4＝4，当P 点与A 点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S 最大＝14×5×4＝5，∴4≤S ≤5，故④错误．故选：B ．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN ∠绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．【解析】∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S = ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.6．如图，在ABC 中，AB BC =，将ABC 绕点B 顺时针旋转，得到11A BC V ，1A B 交AC 于点E ，11A C 分别交AC ，BC 于点D ，F ，则下列结论一定正确的是（）A ．CDF A∠=∠B ．1AE CF =C ．11A DE C ∠=∠D ．DF FC=【答案】B 【分析】根据将△ABC 绕点B 顺时针旋转，得到△A 1BC 1，可证明△A 1BF ≌△CBE ，从而可得A 1E =CF ，即可得到答案．【解析】解：∵AB =BC ，∴∠A =∠C ，∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转，得到△A 1BC 1，∴A 1B =AB =BC ，∠A 1=∠A =∠C ，在△A 1BF 和△CBE 中111A C AB CB A BF CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△A 1BF ≌△CBE （ASA ），∴BF =BE ，∴A 1B -BE =BC -BF ，即A 1E =CF ，故B 正确，其它选项的结论都不能证明，故选：B ．7．如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1,2CD CF ==，则线段AE 的长为（）A2B1C ．13D ．12【答案】A 【分析】先证明△BFC ≌△CDE ，可得DE =CF =2，再用勾股定理求得CEAD =BCAE 的长．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC =AD ，∠ABC =∠D =90°，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠FCB ，∵BF EC ⊥，∴∠BFC =∠CDE ，∵把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，∴BC =EC ，在△BFC 与△CDE 中，DEC FCB BFC CDE BC EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFC ≌△CDE （AAS ），∴DE =CF =2，∴CE ===∴AD =BC =CE∴AE =AD -DE2，故选：A ．8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 在边BC 上，BE ＝EC ，将△DCE 沿DE 对折至△DFE ，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG 、BF ，给出以下结论：①△DAG ≌△DFG ；②BG ＝2AG ；③S △DGF ＝48；④S △BEF ＝725．其中所有正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】①根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL ”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ；②再由GF +GB ＝GA +GB ＝12，EB ＝EF ，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG ＝4，BG ＝8，即可判断；③根据①即可求出三角形DGF 的面积；④结合①可得AG ＝GF ，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF 的面积．【解析】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠C ＝∠A ＝90°，由折叠可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG=⎧⎨=⎩，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；②∵正方形边长是12，∴BE ＝EC ＝EF ＝6，设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x +6，BG ＝12﹣x ，由勾股定理得：EG 2＝BE 2+BG 2，即：（x +6）2＝62+（12﹣x ）2，解得：x ＝4，∴AG ＝GF ＝4，BG ＝8，BG ＝2AG ，故②正确；③∵Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴S △DGF ＝S △ADG ＝12×AG •AD ＝12×4×12＝24，故③错误；④∵S △GBE ＝12BE •BG ＝12×6×8＝24，∵GF ＝AG ＝4，EF ＝BE ＝6，∴23BFG BEF S GF S EF ==△△，∴337224555BEF GBE S S ==⨯=△△，故④正确．综上可知正确的结论的是3个，故选：B ．二、填空题9．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AD =6cm ，则∠EAD 的正弦值为_____．【答案】724【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠的方法可得△ABC ≌△AEC ，△ADF ≌△CEF ，进而可得到可知AE =AB =8cm,CE =BC =AD =6cm,再设AF =x ,则EF =DF =（8-x ）cm,在Rt △ADF 中利用勾股定理可得22268x x +-=（），求得AF 的长，再通过勾股定理求得DF 的长，最后可得结果．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD =6cm,∴BC =AD =6cm,∵AB =8cm,∴10cm AC =,矩形纸片沿直线AC 折叠，则△ABC ≌△AEC ，∠E =∠B =90°，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD =BC=CE ，∠D =∠B =90°，∴∠E =∠D =90°，又∵∠AFD =∠EFC ，∴△ADF ≌△CEF （AAS ），可知AE =AB =8cm,CE =BC =AD =6cm,设AF =x ,则EF =DF =（8-x ）cm,在Rt △ADF 中，222AD DF AF +=，即：22268x x +-=（），解得x =254．∴AF =254，∴74DF ===，∴774tan 624DF EAD AD ∠===故答案为：724．10．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF =45°，将 DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到 DCM ．若AE =1，则FM 的长为__．【答案】2.5【分析】由旋转可得DE =DM ，∠EDM 为直角，可得出∠EDF +∠MDF =90°，由∠EDF =45°，得到∠MDF 为45°，可得出∠EDF =∠MDF ，再由DF =DF ，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF =MF ；则可得到AE =CM =1，正方形的边长为3，用AB -AE 求出EB 的长，再由BC +CM 求出BM 的长，设EF =MF =x ，可得出BF =BM -FM =BM -EF =4-x ，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为FM 的长．【解析】解：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM =∠FCD +∠DCM =180°，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE =DM ，∠EDM =90°，∴∠EDF +∠FDM =90°，∵∠EDF =45°，∴∠FDM =∠EDF =45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF FDM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF =MF ，设EF =MF =x ，∵AE =CM =1，且BC =3，∴BM =BC +CM =3+1=4，∴BF =BM -MF =BM -EF =4-x ，∵EB =AB -AE =3-1=2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，2222(4)x x +-=，解得： 2.5x =．故答案为：2.5．11．如图，点E 在正方形ABCD 的CD 边上，连结BE ，将正方形折叠，使点B 与E 重合，折痕MN 交BC 边于点M ，交AD 边于点N ，若tan ∠EMC ＝34，ME ＋CE ＝8，则折痕MN 的长为___________．【答案】【分析】过N 作NH ⊥BC 于H ，得到四边形ABHN 是矩形，根据矩形的性质得到NH ＝AB ，∠NHM ＝90°，证明△BCE ≌△NHM ，根据全等三角形的性质得到HM ＝CE ，设CE ＝3x ，则CM ＝4x ，根据勾股定理得到EM ＝5x ，求出x ，可得NH ＝9，再利用勾股定理计算即可．【解析】解：过N 作NH ⊥BC 于H ，则四边形ABHN是矩形，∴NH ＝AB ，∠NHM ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，AB ＝BC ，∴NH ＝BC ，∵将正方形折叠，使点B 与E 重合，∴MN ⊥BE ，BM ＝ME ，∴∠HNM ＋∠NMH ＝∠EBC ＋∠BMN ＝90°，∴∠EBC ＝∠HNM ，在△BCE 与△NHM 中，NHM C NH BC HNM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE ≌△NHM （ASA ），∴HM＝CE，在Rt△EMC中，∵tan∠EMC＝34 CECM=，∴设CE＝3x，则CM＝4x，由勾股定理得：EM＝5x，∵ME＋CE＝8，∴5x＋3x＝8，∴x＝1，∴EM＝5，HM＝CE＝3，CM＝4，∴BC＝BM＋CM＝EM＋CM＝9，∴NH＝9，∴MN=故答案为：12．如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP 的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝_____．【答案】【分析】将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，即可构建出直角三角形CGH，由勾股定理可求出GH的长度，再证明△FAG≌△GAH即可．【解析】解：将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，∵△ACH由△ABF旋转得到，∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=45°，∠ACB=45°∴∠HCG=90°在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH=∵∠FAG=45°∴∠BAF+∠GAC=45°∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45°在△FAG和△GAH中，AF=AH，∠FAG=∠GAH，AG=AG∴△FAG≌△GAH∴FG=GH=故答案为：13．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到AB=，则DP的长度为___________．点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若6【答案】2【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．【解析】解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12AB ＝3，由翻折可知：AF ＝AB ，EF ＝BE ＝3，∠AFE ＝∠B ＝90°，∴AD ＝AF ，∠AFP ＝∠D ＝90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中，AP AP AF AD =⎧⎨=⎩，∴Rt △AFP ≌Rt △ADP （HL ），∴PF ＝PD ，设PF ＝PD ＝x ，则CP ＝CD −PD ＝6−x ，EP ＝EF ＋FP ＝3＋x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2＝EC 2＋CP 2，∴（3＋x ）2＝32＋（6−x ）2，解得x ＝2，则DP 的长度为2，故答案为：2．14．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．【答案】2【分析】根据旋转的性质可知，△ADF ≌△ABG ，然后即可得到DF =BG ，∠DAF =∠BAG ，然后根据已知条件证明△EAG ≌△EAF ，设BE x =，在Rt CEF 中，由勾股定理可以求出BE 的长．【解析】解：由旋转可知，△ADF ≌△ABG ，∴3DF BG ==，∠DAF =∠BAG ，∵∠DAB =90°，∠EAF =45°，∴∠DAF +∠EAB =45°，∴∠BAG +∠EAB =45°，∴∠EAF =∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴GE =FE ，设BE x =，则3GE GB BE x =+=+，6CE x =-，∴3EF GE x ==+，∵CD =6，DF =3，∴633CF CD DF =-=-=，∵∠C =90°，∴在Rt CEF 中，222CE CF EF +=，即222(6)3(3)x x -+=+，解得，2x =，即BE =2．故答案为：2．三、解答题15．如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点（点D 与A ，B 不重合），连接CD ，将线CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE.(1)求证：ΔACD ≌ΔBCE ；(2)当AD ＝BF 时，求∠BEF 的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)67.5BEF ∠= 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可；（2）先推理得到△BEF 是等腰三角形，再由全等得到∠CBE =45 ，即可得到∠BEF 的度数．【解析】（1）证明：∵90ACB ∠=90ACD DCB ∴∠+∠=又∵CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE∴90DCE ∠= ,CD =CE∴90BCE DCB ∠+∠=∴ACD BCE∠=∠在ACD △和BCE 中：AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）解：由第一问知，ACD BCE≅△△∴AD =BE ,∠CAD =∠CBE又∵AD =BF∴BE =BF在ACB △中，AC =BC ,90ACB ∠=∴45CAD CBA ∠=∠=在BEF 中，BE =BF ,∠CBE =45 ∴1(18045)67.52BEF BFE ∠=∠=-= 16．如图，ABC 中，AB AC =，42BAC ∠=︒，D 为ABC 内一点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转42︒，得到AE ，连接DE ，BD ，CE ．(1)求证：BD CE =；(2)若DE AC ⊥，求BAD ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)21︒【分析】（1）根据旋转的性质得到AD AE =，42DAE ∠=︒，可得CAE BAD ∠=∠，然后证明ABD ACE △≌△，最后利用全等三角形的性质即可证明结论；（2）根据等腰三角形的性质得到1212CAE DAE ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质可得到结论．【解析】（1）证明：∵将AD 绕点A 逆时针旋转42︒，得到AE ，∴AD AE =，42DAE ∠=︒，∵42BAC ∠=︒，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS ≌，∴BD CE =．（2）解：由（1）知：AD AE =，42DAE ∠=︒，∵DE AC ⊥，∴1212CAE DAE ∠=∠=︒，∵BAD CAE ∠=∠，∴21BAD ∠=︒．17．如图（1），已知△ABC 的面积为3，且AB =AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EF A．（1）求△ABC 所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC =15°，求AC 的长．【答案】（1）9；（2）BE ⊥AF ，理由见解析；（3）【分析】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解．【解析】解：（1）由平移的性质得AF ∥BC ，且AF =BC ，△EFA ≌△ABC∴四边形AFBC 为平行四边形S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形∴BF∥AC，且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA为菱形∴BE⊥AF；（3）如上图，作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°∴在Rt△BAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC =3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x3∴AC318．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，说明理由．【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；(2)成立，理由见详解．【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解；（2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解．【解析】(1)解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，∴BD⊥CE；(2)解：（1）中结论仍成立，理由如下：由题意可得如图所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，由旋转的性质可得：∠DAE =90°，AD =AE ，∴∠BAC +∠DAC =∠EAD +∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD =∠ACE =45°，BD =CE ，∴∠ACE +∠ACB =90°，即∠BCE =90°，∴BD ⊥CE ．19．如图，在ABC 中，45B ︒∠=，60C ︒∠=，点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF 折叠得到PEF ．（1）如图1，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．（2）如图2，当PF AC ⊥时，求BEP ∠的度数．【答案】（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP ，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC ，从而得到∠AEF 和∠PEF ，再根据平角的定义求出∠BEP ．【解析】解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF ≌△PEF ，∴AE=EP ，∵点E 是AB 中点，即AE=EB ，∴BE=EP ，∴∠EPB=∠B=45°，∴∠PEB=90°，∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF ⊥AC ，∴∠PFA=90°，∵沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ．∴△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．20．如图1，AB AC =，EF EG =，ABC ≌EFG ，AD BC ⊥于点D ，EH FG ⊥于点H ．(1)直接写出AD 、EH 的数量关系：______；(2)将EFG 沿EH 剪开，让点E 和点C 重合．①按图2放置EHG ，将线段CD 沿EH 平移至HN ，连接AN 、GN ，求证：AN GN ⊥；②按图3放置EHG ，B 、()C E 、H 三点共线，连接AG 交EH 于点M ，若1BD =，3AD =，求CM 的长度．【答案】(1)AD EH =；(2)①见解析；②2【分析】（1）利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）①设∠CDN =a ，证明∠AND =∠HNG =45°-2a ，即可解决问题；②易证明AD =DM ，可得CM =DM -DC =3-1=2．【解析】(1)∵△ABC ≌△EFG ，AD ⊥BC 于点D ，EH ⊥FG 于点H ，∴AD =EH ；(2)①如图2中，由题意可知：△ABD ≌△ACD ≌△EFH ≌△EGH ，CD =HG ，AD =CH ，∠ADC =∠CHG =90°，∵DC 沿CH 平移至HN ，∴DN =CH ，DN //CH ，DC=NH ，∴AD=DN ，NH=GH ，∴∠DAN =∠DNA ，∠HNG =∠HGN ，设∠CDN =α，∵DC //NH ，DN //CH ，∴∠CDN +∠DNH =∠DNH +∠CHN =180°，∴∠DNH =180°−α，∠CDN =∠CHN =α，∴∠NHG =90°+α，∴∠AND =∠HNG =45°−2a ，∴∠ANG =∠DNH −∠AND −∠HNG =90°，∴AN ⊥GN ．②解：如图3中，∵AC =GC ，∴∠CAG =∠CGA ，又∵∠CAD =∠GCH ，∴∠CAG +∠CAD =∠CGA +∠GCH ，即∠DAM =∠DMA ，又∵∠ADM =90°，∴∠DAM =∠DMA =45°，∴AD=DM =3，∵DC=BD =1，∴CM =DM −DC =3−1=2．21．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A =30°，将Rt △ABC 绕C 点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt △DCE（1）当α＝15°，则∠ACE ＝°；（2）如图2，过点C 作CM ⊥BF 于M ，作CN ⊥EF 于N ，求证：CF 平分∠BFE ．（3）求Rt △ABC 绕C 点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG 为等腰三角形．【答案】（1）15；（2）见解析；（3）40゜或20゜【分析】（1）由旋转性质知：∠ACE DCB α=∠=，求出∠ACE 即可；（2）由等面积法证明出CM =CN ，再结合角平分线的判定，即可证CF 平分∠BFE ；（3）根据旋转性质得BFD BCD α∠=∠=，由CF 平分∠BFE 得1190,22CFG CFB BFE α︒∠=∠=∠=-由∠A 为30°得1602ACF α∠=︒-，由AFG BFD α∠=∠=得∠CGF =30°+α，再分CF =CG 或CF =FG 或CG =FG 三种情况讨论，求出α即可．【解析】解：（1）由旋转性质，得：15ACE DCB α∠=∠==︒，故答案为：15；（2）证明：由旋转性质，得：≌ACB ECD △△；∴ABC EDC AB DE S S == ，，∵CM BF CN EF ⊥⊥，，∴1122AB CM DE CN ⋅⋅＝，∴CM CN =，∴CF 平分∠BFE ；（3）∵9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴9060B A ∠=︒-∠=︒，由旋转性质，得：60B D BCD α∠=∠=︒∠=，，∵B BCD D BFD ∠+∠=∠+∠，∴BFD BCD α∠=∠=，∴AFG BFD α∠=∠=，∴30180180CGF BFE BFD αα∠=︒+∠=︒-∠=︒-，，由（2）知CF 平分∠BFE ，∴119022CFG CFB BFE α∠=∠=∠=︒-，∴1602ACF CFB A α∠=∠-∠=︒-，①当CF =CG 时，∠CFG =∠CGF ，∴190302αα︒-=︒+，解得：α=40°，②当CF =FG 时，∠FCG =∠CGF ，∴160302αα︒-=︒+，解得：α=20°，③当CG =FG 时，∠FCG =∠CFG ，∴11906022αα︒-=︒-，此方程无解，综上所述，α=20°或40°时，△CFG 为等腰三角形．22．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB =AC 1，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且1AD AE ==，连接DE ．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α，如图2，连接CE ，BD ，CD ．(1)当0180α︒<<︒时，求证：CE BD =；(2)如图3，当90α=︒时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）利用“SAS ”证得ACE ABD ≌即可得到结论；（2）利用“SAS ”证得ACE ABD ≌，由性质推出ACE ABD ∠=∠，计算得出22CD BC =，再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；【解析】（1）证明：根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90︒，∵∠CAE +∠BAE =∠BAD +∠BAE =90︒，∴∠CAE =∠BAD ，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≅△ABD (SAS)，∴CE =BD ；（2）根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90︒，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABD (SAS)，∴∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC =90︒，且∠AEC =∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB =90︒，∴∠EFB =90︒，∴CF ⊥BD ，∵AB =AC 21，AD =AE =1，∠CAB =∠EAD =90︒，∴BC2+，CD =AC +AD2+，∴BC =CD ，∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线．23．【问题提出】如图①，在ABC 中，若8,4AB AC ==，求BC 边上的中线AD 的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连结BE （或将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △），把AB 、AC 、2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是____________．【应用】如图②，在ABC 中，D 为边BC 的中点、已知5,3,2AB AC AD ===．求BC 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作DE DE ⊥交边AC 于点F ，连结EF ．已知10,12BE CF ==，则EF 的长为____________．【答案】[问题解决]26AD <<；[应用][拓展]【分析】[问题解决]证明DAC DEB ∆≅∆得AC EB =，再根据三角形三边关系求得AE 的取值范围，进而得结论；[应用]延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE ，证明DAC DEB ∆≅∆得AC EB =，再证明90AEB =︒∠，由勾股定理求得BD ，进而得BC ；[拓展]延长FD 到G ，使得DG FD =，连接BG ，EG ，证明CDF BDG ∆≅∆，得BG CF =，DCF DBG ∠=∠，再证明90EBG ∠=︒，由勾股定理求得EG ，由线段垂直平分线性质得EF ．【解析】解：[问题解决]在DAC ∆和DEB ∆中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC DEB SAS ∴∆≅∆，4AC EB ∴==，AB BE AE AB BE -<<+ ，8AB =，412AE ∴<<，26AD ∴<<，故答案为：26AD <<；[应用]延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE，如图②，在DAC ∆和DEB ∆中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC DEB SAS ∴∆≅∆，6AC EB ∴==，28AE AD == ，10AB =，2226810+= ，222BE AE AB ∴+=，90AEB ∴∠=︒，BD ∴===2BC BD ∴==[拓展]延长FD 到G ，使得DG FD =，连接BG ，EG，如图③，在BDG ∆和CDF ∆中，BD CD BDG CDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDG CDF SAS ∴∆≅∆，6BG CF ∴==，DG DF =，DBG DCF ∠=∠，DE DF ⊥ ，EG EF ∴=，90A ∠=︒ ，90ABC ACB ∴∠+∠=︒，90ABC DBG ∴∠+∠=︒，EG ∴==EF ∴=故答案为：24．已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE ，CF ．(1)如图1，求证：ADE ≌CDF ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若4AB =，2DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值．【答案】(1)见解析；(2)①见解析②【分析】()1根据SAS 证明三角形全等即可；()2①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，证明BMG △是等腰直角三角形，求出BM 的最小值，可得结论．【解析】（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒．DE DF = ，90EDF ∠=︒．ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE ∴V ≌()SAS CDF △；（2）①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P．90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒．ADE ≌CDF ，DAE DCF ∴∠=∠．DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒．90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒．四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒．ABM CBN ∴∠=∠．又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB ∴ ≌CNB △．MB NB ∴=．∴矩形BMGN 是正方形；②解：作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，∵90,90,DHA AMB ADH DAH BAM AD AB∠=∠=︒∠=︒-∠=∠=∴AMB ≌DHA ．BM AH ∴=．222AH AD DH =- ，4=AD ，DH ∴最大时，AH 最小，2DH DE ==最大值．23BM AH ∴==最小值最小值由()2①可知，BGM 是等腰直角三角形，226BG BM ∴==最小值25．折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，如折小花、飞机、小船等，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．【操作发现】（1）如图1将一个正方形先沿EF 折叠得到图2，再将图2进行第二次折叠，使点E 和点F 重合，折痕与正方形的边交于点M 、N ，如图3，打开这张正方形的纸得到两条折痕EF 和MN ，如图4这两条折痕的位置关系为，EF MN ＝．【探究证明】（2）如图5，将AB ＝1，AD ＝3的长方形按（1）的方式进行折叠，同样得到两条折痕EF 和MN ，（1）中的结论是否还成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由．【拓展延伸】（3）Rt △ABC 中，BC ＝1，AC ＝3，将△ABC 沿着斜边AB 翻折后得的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD ，将四边形ACBD 分别沿着顶点A 和顶点D 折叠得到两条互相垂直的折痕，交四边形的另两条边于点M 和点N ，AN DM ＝．【答案】（1）垂直，1；（2）位置关系成立，EF MN＝1不成立，理由见解析（3）53【分析】(1）过点没M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，利用ASA 证明△EHF ≌△MGN ，得MN =EF ，即可得出答案；(2）过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，根据两个角相等证明△EHF ∽△MGN ，得3EF EH AD M N M G AB===；(3）连接CD ，交AB 于G ，则AB 垂直平分CD ，证明△DCM ∽△ABN ，得AN AB DM CD =，利用勾股定理求出AB ，利用等积法求出CG ，从而得出CD ，即可解决问题．【解析】解：（1）如图，过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则MG ＝EH=AB=BC ，∠EHF ＝∠MGN ，MG ⊥EH ，由折叠知，∠MOE ＝90°，∴∠GMN ＝∠HEF ，∴△EHF ≌△MGN （ASA ），∴MN ＝EF ，∴EF MN＝1，故答案为：垂直，1；（2）位置关系成立，EF MN ＝1不成立，过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则∠EHF ＝∠MGN ＝90°，MG ⊥EH ，由折叠知，∠MOE ＝90°，∴∠GMN ＝∠HEF ，∴△EHF ∽△MGN ，∴3EF EH AD M N M G AB===；（3）连接CD ，交AB 于G ，∵AC ＝AD ，BC ＝BD ，∴AB 垂直平分CD ，∵AN ⊥DM ，∴∠BAN ＝∠CDM ，∵∠ACB ＝∠CGB ＝90°，∴∠MCD ＝∠ABN ，∴△DCM ∽△ABN ，∴AN AB DM CD=，∵Rt △ABC 中，BC ＝1，AC ＝3，∴AB ，∴CG＝⋅=AC BC AB10，∴CD ＝2CG＝10，∴=AB CD 53，∴53AN DM =，故答案为：53．26．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a．(1)当点D ¢恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD ' 与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD ' 与CBD '△全等时，旋转角a 的值．【答案】(1)30°；(2)见解析；(3)135°，315°【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质可知∠CD ′E =30°，再根据平行线的性质即得出∠α=30°；（2）由题意可得出CE =CE ′=CG =2，由矩形的性质和旋转的性质可得出∠GCD ′=∠DCE ′=90°+α，进而可利用“SAS”证明△GCD ′≌△E ′CD ，即得出GD ′=E ′D ；（3）根据正方形的性质可得CB =CD ，而CD CD '=，则BCD ' 和DCD ' 为腰相等的两个等腰三角形，所以当两个三角形顶角相等时它们全等．再分类讨论①当BCD ' 和DCD ' 为钝角三角形时，则旋转角135α=︒；②当BCD ' 和DCD ' 为锐角三角形时，则315α=︒．【解析】（1）∵长为4，宽为2的长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE ′F ′D ′，∴CD ′=CD =4，在Rt △CED ′中，CD ′=4，CE =2，。
中考数学几何模型重点突破讲练专题12 全等三角形中的手拉手模型(教师版)
【答案】(1)证明见解析
(2)∠BOD＝120°ห้องสมุดไป่ตู้
(3)不改变，理由见解析
【分析】（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE 即可；
（2）由全等三角形的性质得∠ADC＝∠BEC，再由三角形的外角性质得∠AOB＝60°，即可求解；
（3）同（1）得：△ACD≌△BCE，得出∠DAC＝∠EBC，根据三角形外角求出∠AOE=120°，即可得出答
【模型 2】等边三角形中的手拉手全等模型 如图，△ABC 与△CDE 均为等边三角形，点 B、C、E 三点共线，连接 AE、BD，则△BCD≌△ACE。
【模型 3】一般三角形中的手拉手全等模型 如图，在任意△ABC 中，以 AB 为边作等边△ADB，以 AC 为边作等边△ACE，连接 DC、BE，则△ADC ≌△ACE.
故答案为：10． 【例 3】如图 1，B、C、D 三点在一条直线上，AD 与 BE 交于点 O，△ABC 和△ECD 是等边三角形．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求∠BOD 的度数；
(3)如图 2，若 B、C、D 三点不在一条直线上，∠BOD 的度数是否发生改变？
（填“改变”或“不改
变”）
A．∠AOB=60° C．PQ∥AE 【答案】D
B．AP=BQ D．DE=DP
【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是 ∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出 A 正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出 B 正确；由△ACD≌△BCE 得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA）， 再根据∠PCQ=60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出 C 正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出 D 错误． 【解析】解：∵等边△ABC 和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， 在△ACD 与△BCE 中，
专题15 共边共角相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题15共边共角相似模型【模型】如图，已知A A ∠=∠,要证ADC ∆∽ABC ∆,只需再知道一组对应角相等（两组对角分别相等的两三角形相似）或AC AB AB AD =（两组对应边成比例且其夹角对应相等的两三角形相似）即可证明ADC ∆∽ABC ∆【例1】如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解析】∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB∴△ABC ∽△ACD ，△ACD ∽△CBD ，△ABC ∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C ．【例2】如图，在ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使ADC ACB △∽△，那么可添加的条件是__________．【答案】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一，也可以增加条件：ADC ACB ∠=∠或2AC AD AB = ）．【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．【解析】若增加条件：∠ACD =∠ABC ，∵∠ACD =∠ABC ，且∠A =∠A ，∴ADC ACB V :V ．【例3】定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足12∠=∠，则称点P 为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D 是ABC 的边AB 的中点，22AC =，4AB =，试判断点D 是不是ABC 的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4AC =，若点D 是ABC 的“理想点”，求CD 的长．【答案】(1)D 为ABC 的理想点,理由见解析(2)125或94【分析】（1）由已知可得AC AB AD AC =，从而ACD ABC ∆∆∽，ACD B ∠=∠，可证点D 是ABC ∆的“理想点”；（2）由D 是ABC ∆的“理想点”，分三种情况：当D 在AB 上时，CD 是AB 边上的高，根据面积法可求CD 长度；当D 在AC 上时，BDC ABC ∆∆∽，对应边成比例即可求CD 长度；D 不可能在BC 上．【解析】（1）解：点D 是ABC ∆的“理想点”，理由如下：D Q 是AB 中点，4AB =，2AD BD ∴==，8AD AB ⋅=，AC =，28AC ∴=，2AC AD AB ∴=⋅，∴AC AB AD AC=，A A ∠=∠ ，ACD ABC ∴∆∆∽，ACD B ∴∠=∠，∴点D 是ABC ∆的“理想点”；（2）①D 在AB 上时，如图：D Q 是ABC ∆的“理想点”，ACD B ∴∠=∠或BCD A ∠=∠，当ACD B ∠=∠时，90ACD BCD ∠+∠=︒ ，90BCD B ∴∠+∠=︒，90CDB ∴∠=︒，即CD 是AB 边上的高，当BCD A ∠=∠时，同理可证90CDB ∠=︒，即CD 是AB 边上的高，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，4AC =，3BC ∴，1122ABC S AB CD AC BC ∆=⋅=⋅ ，125CD ∴=，②4AC = ，3BC =，AC BC ∴>有B A ∠>∠，∴“理想点”D 不可能在BC 边上，③D 在AC 边上时，如图：D Q 是ABC ∆的“理想点”，DBC A ∴∠=∠，又C C ∠=∠，BDC ABC ∴∆∆∽，∴CD BC BC AC =，即334CD =，94CD ∴=，综上所述，点D 是ABC ∆的“理想点”，CD 的长为125或94．一、单选题1．如图，点P 是ABC ∆的边AB 上的一点，若添加一个条件，使ABC ∆与CBP ∆相似，则下列所添加的条件错误的是（）A ．BPC ACB∠=∠B ．A BCP ∠=∠C ．::AB BC BC PB =D ．::AC CP AB BC=【答案】D 【分析】在ABC ∆与CBP ∆中，已知有一对公共角∠B ，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误．【解析】A ．已知∠B=∠B,若BPC ACB ∠=∠，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；B ．已知∠B=∠B,若A BCP ∠=∠，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；C ．已知∠B=∠B,若::AB BC BC PB =，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；D ．若::AC CP AB BC =，但夹的角不是公共等角∠B ，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，故选：D ．2．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，点D 为垂足，为了证明∠BAC ＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（）222•••••AD BD CD AB CD AC AD AC BC CD AB AC BD①＝②＝③＝④＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】①由题意得出AD CD BD AD=，证明△ADC ∽△BDA ，可得出∠DAC =∠ABD ，则可证出结论；②不能证明△ABC 与△ADC 相似，得出②不符合题意；证出△ACD ∽△BCA ，由相似三角形的性质得出∠ADC =∠BAC =90°，可得出③符合题意；根据2•AB AC BD =不能证明△ABC 与△ABD 相似，则可得出结论．【解析】解：①∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =∠ADB =90°，∵2AD BD CD =∙，∴AD CD BD AD=，∴△ADC ∽△BDA ，∴∠DAC =∠ABD ，∴∠ABD +∠BAD =∠DAC +∠BAD =90°，即∠BAC =90°，故①符合题意；②∵AB •CD =AC •AD ，∴AB AD AC CD=，∴不能证明△ABC 与△ADC 相似；故②不符合题意；③∵2•AC BC CD =，∴AC CD BC AC=，∵∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ，∴∠ADC =∠BAC =90°，故③符合题意；④由2•AB AC BD =不能证明△ABC 与△ABD 相似，故④不符合题意；故选：B ．3．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，要使△ACD ∽△ABC ，则具备的条件可以是（）A ．AC AD CD BC =B ．CD BC AD AB =C ．2CD AD DB =⋅D ．2AC AD AB=⋅【答案】D【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可．【解析】解：由题意得∠DAC =∠BAC ，当AC AD CD BC =时，不能证明△ACD ∽△ABC ，故A 选项不符合题意；当CD BC AD AB=时，不能证明△ACD ∽△ABC ，故B 选项不符合题意；当2=CD AD DB ⋅时，不能证明△ACD ∽△ABC ，故C 选项不符合题意；当2=AC AD AB ⋅，即=AC AD AB AC 时，能证明△ACD ∽△ABC ，故D 选项符合题意；故选D ．4．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，下列条件：①∠ACD ＝∠B ；②2AC AD AB =⋅；③BC CD ＝AB AC ；④∠B ＝∠ACB ，其中一定使△ABC ∽△ACD 的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】△ABC 和△ACD 有公共角∠A ，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案．【解析】∵∠DAC =∠CAB ，∴当∠ACD =∠B 或∠ADC =∠ACB ，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD ∽△ABC ，故①④正确；当2AC AD AB =⋅时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD ∽△ABC ，故②正确；当BC CD ＝AB AC时，虽∠DAC =∠CAB 但不是夹角，所以△ACD 与△ABC 不相似，故③不正确．因此有3个正确．故选：C ．5．如图，已知在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为BC 边的中线，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，交AB 于点F ．若AC ＝2，则线段EF 的长为（）A ．35B ．15C ．15D ．23【答案】B【分析】过点B 作BH ⊥BC ，交CF 的延长线于H ，由勾股定理可求AD 的长，由面积法可求CE ，由“AAS”可证△ACD ≌△CBH ，可得CD ＝BH ＝1，AD ＝CH △ACF ∽△BHF ，可得BH FH AC FC=＝12，可求CF 的长，即可求解．【解析】解：如图，过点B 作BH ⊥BC ，交CF 的延长线于H ，∵AD 为BC 边的中线，AC ＝BC ＝2，∴CD ＝BD ＝1，∴AD ∵11S 22ACD AC CD AD CE =⨯⨯=⨯⨯ ，∴CE，∵∠ADC +∠BCH ＝90°，∠BCH +∠H ＝90°，∴∠ADC ＝∠H ，在△ACD 和△CBH 中，90ADC H ACD CBH AC BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBH （AAS ），∴CD ＝BH ＝1，AD ＝CH ∵AC ⊥BC ，BH ⊥BC ，∴AC ∥BH ，∴△ACF ∽△BHF ，∴BH FH AC FC=＝12，∴CF∴EF ＝CF ﹣CE ＝315，故选：B ．6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于N ，若S △ADE ：S △ABC ＝4：9，则AN ：NM 的值是（）A ．4：9B ．3：2C ．9：4D ．2：1【答案】D 【分析】根据DE BC ∥，可得ADE ABC △△∽，再根据:4:9ADE ABC S S =△△，即可得到相似比23k =，根据相似比即可得到结果．【解析】解：∵DE BC ∥,∴ADE ABC △△∽，∵:4:9ADE ABC S S =△△，∴相似比23k =，∵AM BC ⊥，∴AN DE ⊥，∴相似比23AN k AM ==，∴:2:1AN MN =，故选：D ．7．如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，若3AD =，4AB =，6BC =，ADC ACB ∠=∠，则线段CD 的长为（）A ．4B ．5C ．D【答案】C 【分析】根据已知条件可得ADC ACB △∽△，然后根据相似三角形的性质即可解答．【解析】解： ∠ADC ＝∠ACB ，A A ∠=∠，∴ADC ACB △∽△，AD DC AC AC BC AB∴==，∵3AD =，4AB =，6BC =，∴34AC AC =,212AC ∴=，即AC=6DC =，解得DC=故选C ．8．如图，在ABCD 中，60BAD ∠=︒，将ABCD 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，此时点D 在AE 上，连接AC AF CF EB 、、、，线段EB 分别交CD AC 、于点H 、K ，则下列四个结论中：①60CAF ∠=︒；②DEH △是等边三角形；③23AD HK =；④当2AB AD =时，47ACF ABCD S S = △；正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【答案】A【分析】①由ABCD 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，得到△AEF ≌△ABC ，又由∠BAD ＝60°，即可证明；②由AB CD ，得到∠EDH ＝∠DAB ＝60°，又由AD BC ，得到∠AEF ＝120°，进一步得∠DEH ＝60°，∠DHE ＝60°，结论得证；③过点H 作HM AD 交AB 于点M ，连接DM ，证明△BHC 、△DMH 和△BHM 是等边三角形，得到DH ＝HM ＝BH ＝CH ＝BC ＝AD ，点H 为CD 的中点，再证明△CKH ∽△AKB ，进一步得到AD ＝3HK ；④过点C 作CN ⊥AB 的延长线于点N ，分别用AD 表示出△ACF 和ABCD 的面积，即可得到结论．【解析】解：①∵将ABCD 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，∴△AEF ≌△ABC ，∴∠EAF ＝∠BAC ，∵∠BAD ＝60°，∴∠CAF ＝∠EAF ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ＝60°，故①正确；②∵AB CD ，∴∠EDH ＝∠DAB ＝60°，∵AD BC ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝180°－∠BAD ＝120°，∴∠DEH ＝180°－∠AEF ＝60°，∴∠DHE ＝180°－∠EDH －∠DEH ＝60°，∴∠DHE ＝∠EDH ＝∠DEH ＝60°，∴△DEH 是等边三角形，故②正确；③过点H 作HM AD 交AB 于点M ，连接DM ，如图1，∵△EDH 是等边三角形，∴∠BHC ＝∠EHD ＝60°，∵AD BC HM ，∴∠BCH ＝∠EDH ＝60°，∠DHM ＝∠BCH ＝60°，∴∠CBH ＝180°－∠BCH －∠BHC ＝60°，∠BHM ＝180°－∠DHM －∠BCH ＝60°，∴△BHC 是等边三角形，∵HM AD BC ，∴∠DHM ＝∠BCH ＝60°，∠DMH ＝∠BHM ＝60°，∴∠BHC ＝∠BHM ＝∠DHM ＝∠DMH ＝60°，∴△DMH 和△BHM 都是等边三角形，∴DH ＝HM ＝BH ＝CH ＝BC ＝AD ，∴点H 为CD 的中点，∵∠CKH ＝∠AKB ，∠CHK ＝∠ABK ，∴△CKH ∽△AKB ，∴12HK CH CH BK AB CD ===，∴111=233HK BK BH AD ==，∴AD ＝3HK ，∴2AD ＝3HK 错误，故③错误；④过点C 作CN ⊥AB 的延长线于点N ，如图2，则∠BNC ＝90°，∵AB CD ，∴∠DCN ＝180°－∠BNC ＝90°，∵∠BCD ＝60°，∴∠BCN ＝30°，∴BN ＝12BC ＝12AD ，CN ，∴AN ＝AB ＋BN ＝2AD ＋12AD ＝52AD ，∴AC AD ，由①可知，∠CAF ＝＝60°，AC ＝AF ，∴△ACF 是等边三角形，∴等边三角形△ACF AD ，∴217224ACF S AD =⨯⨯=△,∵ABCD 的边AB 上的高＝CN ＝2AD ，∴2=2ABCD S AB CN AD ⨯=⨯= ，∴47ACF ABCD S S = △，故④正确，综上，①②④正确，故选：A ．二、填空题9．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若∠ACD =∠B ，AD =2，BD =3，则AC 的长为．10【分析】证明△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解析】解：∵AD =2，BD =3，∴AB =AD +BD =2+3=5，∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AD AC AC AB =，即25AC AC =，解得，AC 10，10．10．如图，ABC A B C '''∽△△，AD 和A D ''分别是ABC 和A B C '''V 的高，若23AD A D ''==，，则ABD △与A B D '''△的周长之比为_____．ABC 与A B C '''V 的面积之比为______．【答案】2∶34∶9【分析】根据相似三角形的性质即可得到答案．【解析】∵AD 和A D ''分别是ABC 和A B C '''V 的高，，ABC A B C '''∽△△，且23AD A D ''==，，∴相似比为2：3，∴ABD △与A B D '''△的周长之比为2：3，∴ABC 与A B C '''V 的面积之比为4：9．故答案为：2∶3；4∶9．11．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ．点E 在CD 上，且DE ：EC ＝1：3，连接BE 交AC 于点F ，若OF ＝2，则正方形的边长为_______．【答案】7【分析】过点E 作EG ⊥BD 于点G ，根据正方形的性质证明△BOF ∽△BGE ，可得OF BO GE BG =，根据DE ：EC =1：3，设DE =x ，则EC =3x ，可得DC =BC =4x ，列出方程即可求出结果．【解析】解：如图，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴AC ⊥BD ，∠BDC =45°，∴∠BOF =∠BGE ，∵∠OBF =∠GBE ，∴△BOF ∽△BGE ，∴OF BO GE BG=∵DE：EC=1：3，设DE=x，则EC=3x，∴DC=BC=4x，,,DGD GEB===∴,BD DGBG x=∴-=,ODOB∴===解得4x=7，∴BC=4x=7，∴正方形的边长为7．故答案为：712．如图，已知ABC DEF∽△△，:1:2AB DE=，点M、N分别是BC、EF的中点，则:=AM DN________．【答案】1：2【分析】由于ABC DEF∽△△，得出AB BCDE EF=，∠B=∠E，结合中线的定义得出AB BMDE EN=，则可证明△ABN∽△DEN，然后根据相似三角形的性质，即可得出结果．【解析】解：∵ABC DEF∽△△，∴AB BCDE EF=，∠B=∠E，∵点M、N分别是BC、EF的中点，即12BM BC=，12EN EF=，AB BMDE EN∴=，∴△ABN ∽△DEN ，12AM AB DN DE ∴==，故答案为：1：2．13．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AF 平分∠BAC ，交DE 于点G ，交BC 于点F ．若∠AED ＝∠B ，且AG ：GF ＝3：2，则DE ：BC ＝_____．【答案】3:5【分析】先证△ADE ∽△ACB ，再根据GA 、FA 分别是△ADE 、△ABC 的角平分线可得DE BC ＝AG AF，然后再由AG ：FG ＝3：2可得AG ：AF ＝3：5即可解答．【解析】解：∵∠DAE ＝∠CAB ，∠AED ＝∠B ，∴△ADE ∽△ACB ，∵GA 、FA 分别是△ADE 、△ABC 的角平分线，∴DE BC ＝AG AF（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），∵AG ：FG ＝3：2，∴AG ：AF ＝3：5，∴DE ：BC ＝3：5．故答案为3：5．14．将一副三角尺（在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°）如图①摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ．将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，则PM CN＝________．3 3【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝12AB，根据等边对等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根据∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF计算得30°，根据同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD＝60°，从而得到∠CPD＝∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得结论．【解析】解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝12 AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF＝120°﹣90°＝30°；∵∠EDF＝90°，∴∠PDM+∠E′DF＝∠CDN+∠E′DF＝90°，∴∠PDM＝∠CDN，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠CPD＝∠A+∠ADE＝30°+30°＝60°，∴∠CPD＝∠BCD，∴△DPM∽△DCN，∴PMCN＝PDCD，∵∠ACD＝30°，∠CDP＝90°，∴PDCD＝tan∠ACD＝tan30°33∴PM CN故答案为：3．15．如图，△ABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，若∠A ＝60°，EF ＝BC ＝_______．【答案】【分析】先判定△AFB ∽△AEC ，进而证明△AEF ∽△ACB ，得到EF AF CB AB=，再证明AB =2AF ，问题即可解决．【解析】解：∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠AFB =∠AEC =90°，又∵∠A =∠A ，∴△AFB ∽△AEC ，∴AE AC AF AB =，即AE AF AC AB =，又∵∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴EF AF CB AB=，∵BF ⊥AC ，且∠A =60°，∴∠ABF =30°，∴AF =12AB ，∴BC =2EF故答案为：16．如图，在△ABC 中，AB =AC =6．D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED =∠B ，则CE 的长为_____________．【答案】365【分析】求出∠BAE ＝∠DEC ，证明△ABE ∽△ECD ，推出AB BE EC CD =即可解决问题．【解析】解：∵AB ＝AC ＝6，∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝∠AED ＋∠DEC ，∠AED ＝∠B ，∴∠BAE ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△ECD ，∴AB BE EC CD=，∵CD ＝12AC ＝3，∴5623EC =，解得：365CE =，故答案为：365．三、解答题17．如图，在三角形ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 运动，速度为2cm/s ，点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm/s ，如果点P 、Q 两动点同时运动，何时 QBP 与 ABC 相似？【答案】经过4秒或1.6秒时，△QBC 与△ABC 相似【分析】由题意可得，2824AP t BP t BQ t ==-=，，，根据△QBC 与△ABC 相似，分情况列式计算即可．【解析】解：由题意可得，2824AP t BP t BQ t==-=，，∵∠PBQ =∠ABC ，当BP BQ AB BC =时，BPQ BAC ∽ ，即82816t t -=，解得：4t s =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA ∽ ，即82168t t -=，解得： 1.6t s =；即经过4秒或1.6秒时，△QBC 与△ABC 相似．18．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1，AD +AC =8．（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC 长．【答案】（1）△BAD ∽△BCA ，理由见详解；（2）163【分析】（1）由题意易得1=2BD AB AB BC =，然后由∠B 是公共角，问题可证；（2）由（1）可得1=2AD AC ，再由AD +AC =8可求解．【解析】解：（1）△BAD ∽△BCA ，理由如下：AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴121,=242BD AB AB BC ==，∴1=2BD AB AB BC =，又 ∠B=∠B ，∴△BAD ∽△BCA ；（2）由（1）得：1=2AD AC ，即2AC AD =，AD +AC =8，∴28AD AD +=，解得：83AD =，∴163AC =．19．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且AC =，CD ＝4，BD ＝2，求证：△ACD ∽△BCA ．【答案】证明见解析．【分析】根据AC =CD ＝4，BD ＝2，可得AC CD BC AC =，根据∠C =∠C ，即可证明结论．【解析】解：∵AC =CD ＝4，BD ＝2∴AC BC =3CD AC ==∴AC CD BC AC=∵∠C =∠C∴△ACD ∽△BCA ．20．已知：如图，在ABC 中，D 是AC 上一点，联结BD ，且∠ABD =∠ACB ．（1）求证：△ABD ∽△ACB ；（2）若AD=5，AB=7，求AC 的长.【答案】(1)见详解；（2）495【解析】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB,∴△ABD ∽△ACB.（2）解:∵△ABD ∽△ACB ，∴AB AD AC AB =，∴757AC =，∴495 AC=21．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE ＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）AD=16 3．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．【解析】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD AC AC AB=，∴AC2=AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF BE BC BF=，∴BF2=BE•BC，∴BC=2BFBE=243=163，∴AD=16 3．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证△ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出ACD ABC~ （2）由ACD ABC ~ 得90ADC ACB ∠=∠=︒，ACD B ∠=∠，推出ACD CBD ，由相似三角形的性质得=CD BD AD CD，即可求出CD 的长．【解析】（1）∵AD AC AC AB =，A A ∠=∠，∴ACD ABC ~ ；（2）∵ACD ABC ~ ，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，ACD B ∠=∠，∴1809090CDB ACD ∠=︒-︒=︒=∠，∴ACD CBD ，∴=CD BD AD CD，即2326CD AD BD =⋅=⨯=，∴CD =23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，∠COB ＝2∠PCB ．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB ＝6，求MC •MN 的值．【答案】（1）见解析；（2）18【分析】（1）已知C 在圆上，故只需证明OC 与PC 垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB +∠OCB =90°，即OC ⊥CP 即可；（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MN•MC=BM2=18．【解析】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接MA，MB，∵点M是弧AB的中点，∴¼¼AM BM=，∴∠ACM＝∠BCM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMN＝∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴BM MN MC BM=，∴BM2＝MN•MC．∵AB是⊙O的直径，¼¼AM BM=，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∴∠ABM=∠BAM=45°，∵AB＝6，∴BM＝AB sin45°=62=∴MN•MC＝BM2＝18．24．如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AD 上一点，且AB AD AC CE=，∠BAD ＝∠ECA ．（1）求证：AC 2＝BC •CD ；（2）若AD 是△ABC 的中线，求CE AC 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）22【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出BAD ACE ∽，得B EAC ∠=∠，进而求出ABC DAC △∽△，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由BAD ACE ∽可证CDE CED ∠=∠，进而得出CD CE =，再由（1）可证2AC CD =，由此即可得出线段之间关系．【解析】（1）证明：AB AD AC CE=，BAD ECA ∠=∠，BAD ACE ∴∆∆∽，B EAC ∴∠=∠，ACB DCA ∠=∠ ，ABC DAC ∴△∽△，∴AC BC CD AC=，2AC BC CD ∴= ．（2）解：BAD ACE ∽，BDA AEC ∴∠=∠，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴=，AD 是△ABC 的中线，22BC BD CD ∴==，222AC BC CD CD ∴== ，即：AC =，∴2CE AC ==．25．（1）如图1，在ABC 中，D 为AB 上一点，2AC AD AB =⋅．求证：ACD B ∠=∠．（2）如图2，在ABCD 中，E 是AB 上一点，连接AC ，EC ．已知4AE =，6AC =，9CD =．求证：23AD EC =．（3）如图3，四边形ABCD 内接于O ，AC 、BD 相交于点E ．已知O 的半径为2，AE CE =，AB =，BD =ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由2AC AD AB =⋅化比例，与A A ∠=∠，可证ACD △∽ABC 即可；（2）由ABCD ，可得AB CD =，AD =BC ，根据线段比值计算23AE AC =，23AC AB =，可得AE AC AC AB=，由∠EAC =∠CAB ，可证ACE ∽ABC 即可；（3）连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，根据AE CE =，AB =，可得AC =2AE ，根据线段比值计算可得AB AE AC AB=，由∠BAC =∠EAB ，可证ABE △∽ACB △，可证∠ABD =∠ADB ，可得BF =DF ，根据勾股定理OF=1，可求ABD S ABE CBE S S = ，ADE CDE S S = ，可得S △BCD =ABD S ∆即可．【解析】（1）证明：如图1，∵2AC AD AB =⋅，∴AC AD AB AC=，又∵A A ∠=∠，∴ACD △∽ABC ，∴ACD B ∠=∠．（2）证明：如图2，∵ABCD ，∴AB CD =，AD =BC ，∵4AE =，6AC =，9CD =，∴=9AB CD =，∴4263AE AC ==，6293AC AB ==，∴AE AC AC AB=，∵∠EAC =∠CAB ，∴ACE ∽ABC ，∴AE EC AC BC =，即4263EC BC ==，∴23BC EC =．∴23AD EC =；（3）解：如图3，连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，∵AE CE =，2AB =，∴AC =2AE ，∴2222AB AC AE ==，222AE AB AE =，∴AB AE AC AB=，∵∠BAC =∠EAB ，∴ABE △∽ACB △，∴ABD ACB ∠=∠，∵∠ADB =∠ACB ，∴∠ABD =∠ADB ，∴点A 是弧BD 的中点，BD 为弦，OA 为半径，∴OA BD ⊥，BF =DF ，∵2OA OB ==，BD =，∴BF =DF =在Rt △OBF 中，根据勾股定理OF 1==，∴1AF OF ==，∴12ABD S BD AF =⨯⨯=△∵AE CE =，∴ABE CBE S S = ，ADE CDE S S = ，∴S △BCD =S △BCE +S △DCE =+ABE CDE ABD S S S ∆= ，∴ABCD =2ABD BCD ABD S S S S ∆∆+==四边形△．26．如图1，四边形ABCD 内接于,O AC 是O 的直径， AD BD=．延长AD 交BC 的延长线于点E ．（1）证明：ACD ECD ∠=∠．（2）当8,5AB CD ==时，①求AD 的长度．②如图2，作BF 平分ABC ∠交O 于点F ，连结,DF AF ，求ADF 的面积．【答案】（1）见详解；（2）①203AD =；②259【分析】（1）由题意易得∠BAD=∠ACD ，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠ECD=∠BAD ，然后问题可求解；（2）①由（1）及题意易得△CDE ∽△ABE ，则有58CD CE AB AE ==，进而可得54CE DE =，然后设5,4CE x DE x ==，最后根据勾股定理可求解；②连接CF ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，由题意易得∠ABF=∠ACF=∠ADF=45°，由①可得253CE =，203AD =，则有253=AC ，进而可得6AF =，△FHD 是等腰直角三角形，然后设DH=FH=x ，则203AH x =-，由勾股定理可求解x 的值，最后根据三角形面积计算公式可求解．【解析】（1）证明：∵ AD BD=，∴∠BAD=∠ACD ，∵四边形ABCD 内接于O ，∴∠ECD=∠BAD ，∴ACD ECD ∠=∠；（2）解：①由（1）得：ACD ECD ∠=∠，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=∠CDE=90°，∵CD=CD ，∴△ADC ≌△EDC （ASA ），∴AD=DE ，AC=CE ，∵∠E=∠E ，∴△CDE ∽△ABE ，∵8,5AB CD ==，∴58CD CE AB AE ==，∴528CD CE AB DE ==，∴54CE DE =，设5,4CE x DE x ==，在Rt △CDE 中，222CE DE CD =+，∴22251625x x =+，解得：53x =，∴203AD DE ==；②连接CF ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，如图所示：由①得：203AD DE ==，253AC CE ==，∵BF 平分ABC ∠，∠ABC=90°，∴∠ABF=45°，∴∠ACF=∠ADF=45°，∵AC 是是⊙O 的直径，∴∠AFC=90°，∴△AFC 和△FHD 是等腰直角三角形，∴AF=FC ，FH=DH ，∴26AF AC ==，设DH=FH=x ，则203AH x =-，∴在Rt △AHF 中，222203x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：12535,66x x ==（不符合题意，舍去）∴56FH =，∴112052522369AFD S AD FH =⋅=⨯⨯= ．27．如图1，在菱形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝AC ＝6，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且满足AE ＝BF ，连接AF 与CE 相交于点G ．（1）求CGF ∠的度数．（2）如图2，作DH CE ⊥交CE 于点H ，若CF ＝4，AF =，求GH 的值．（3）如图3，点O 为线段CE 中点，将线段EO 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EM ，当MAC∆构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．【答案】（1）60°；（2）7；（3）2或3【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABC ，△ACD 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△ABF ≌△CAE ，得到∠BAF ＝∠ACE ，从而结合三角形的外角性质求解即可；（2）延长GA 至点K 使得AK ＝CG ，首先结合（1）的结论推出△AFC ∽△CFG ，得到2CF FG AF =⋅，从而求出GF ，AG ，CG ，再证明△ADK ≌△CDG ，推出△DKG 是等边三角形，从而求出DG ，最后根据30°角的直角三角形的性质求解即可；（3）分别根据等腰三角形的定义进行分类讨论，并结合相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质求解即可．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝BC ＝AD ＝CD ，∴△ABC ，△ACD 是等边三角形．∴∠ABC ＝∠CAE ，在△ABF 与△CAE 中，AB CA ABF CAE BF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CAE (SAS )，∴∠BAF ＝∠ACE ，∴∠CGF ＝∠GAC ＋∠ACG ＝∠GAC ＋∠BAF ＝∠BAC ＝60°；（2）如图所示，延长GA 至点K 使得AK ＝CG ．∵∠BAF ＝∠ACE ，∴∠FAC ＝∠GCF ，∵∠GFC ＝∠AFC ，∴△AFC ∽△CFG ，∴FG FC CG FC FA AC==,∵CF ＝4，AF =，AC ＝6，∴GF AG =CG ∵∠FGC ＝60°，∠ADC ＝60°，∴∠AGC ＋∠ADC ＝180°，∴∠GAD ＋∠GCD ＝180°，∵∠KAD ＋∠GAD ＝180°，∴∠KAD ＝∠GCD ，又∵DC =DA ，∴△ADK ≌△CDG （SAS ），∴DK ＝DG ，∠KDA ＝∠GDC ，∴∠KDG ＝∠ADC ＝60°，∴△DKG 是等边三角形，∴∠AGD ＝∠DGH ＝60°，DG ＝KG ＝AK ＋AG ＝AG ＋CG ，∵DH CE ⊥，∠DGH ＝60°，∴12GH DG =；（3）①若AM =MC ，则△MAC 为等腰三角形，此时，取AC 中点为点P ，连接OP ，OM ，BM ，∵∠MEO =60°，EO =EM ，∴△OEM 为等边三角形，∵∠FGC =60°，∴∠MEO =∠FGC ，∴ME ∥AF ，∵O 为CE 的中点，P 为AC 的中点，∴OP 为△AEC 的中位线，OP ∥AB ，∵△ABC为等边三角形，△MAC为等腰三角形，P为AC的中点，∴由“三线合一”知，B、M、P三点共线，且BP⊥AC，AP=PC=12AC=3，∠ABP=12∠ABC=30°，∵△OEM为等边三角形，∴OE=OM，∠OEM=∠OME，∵OE=OC，∴OM=OC，∠OMC=∠OCM，∴∠OEM+∠OCM=∠OME+∠OMC，即：∠OEM+∠OCM=∠EMC，∴∠EMC=90°，CM⊥EM，∴在Rt△CEM中，∠ECM=90°-60°=30°，此时，如图所示，将△AEC绕着C点逆时针旋转60°至△BNC，连接MN，则∠ACE=∠BCN，∠NBC=60°，∵∠ECM=30°，∴∠ACE+∠MCB=30°，∴∠BCN+∠MCB=∠MCN=30°，∴∠MCN=∠MCE=30°，∵CE=CN，∠MCN=∠MCE，CM=CM，∴△MCE≌△MCN，∴∠CMN=∠CME=90°，∴E、M、N三点共线，∴△ECN为等边三角形，∵∠NBC=∠ACB=60°，∴BN∥AC，∵∠BPC=90°，∴∠NBM=90°，∵∠CMN=90°，∴∠BMN+∠CMP=90°，∵∠BMN+∠BNM=90°，∴∠BNM=∠CMP，∴△BMN∽△PCM，∴BM NM PC MC，∵tan tan 30NM MCN MC =∠=︒，∴tan 30BM PC =︒=，∵PC =3，∴BM 在Rt △ABP 中，AP =3，∠ABP =30°，∴BP =∴PM =BP -BM =∵∠MBC =30°，∠OMC =90°-∠OME =30°，∴∠MBC +∠MCB =∠OMC +∠OMP ，∴∠MCB =∠OMP ，∵OP ∥AB ，∴∠OPC =∠BAC =60°，∴∠OPM =90°-60°=30°，∴△OPM ∽△MBC ，∴OP PM MB BC=，6=，∴OP =1，∵OP 为△AEC 的中位线，∴AE =2OP =2；②若AM =AC ，则△AMC 为等腰三角形，如图所示，取AC 中点P ，连接OP ，延长AO 交MC 于Q 点，由①可知，△EMC 始终为直角三角形，∠EMC =90°，∠ECM =30°，且EM 与AF 始终平行，∴∠EMC =∠AQC =90°，AQ ⊥MC 于Q 点，∵OM =OC ，∴O 点在AQ 上，∵∠COQ =60°，∠CGF =60°，∴此时O 点和G 点重合，∵∠CPO =∠CAB =60°，∠COQ =60°，∴∠APO =∠AOC =120°，∴△APO ∽△AOC ，∴AP AO OP AO AC CO==，∵AC =6，AP =3，∴23618AO AP AC ==⨯= ，∴AO=∵Rt △OCQ 中，∠OCQ =30°，∴设OQ =x ，则CQ，在Rt △CAQ 中，222CQ AQ AC +=，即：)()2226x +=，解得：4x -+=或4x --=（不合题意，舍去），∴4OQ -+=，22CO OQ -==，∴由AO OP AC CO =得：6=解得：32OP =，∵OP 是△AEC 的中位线，∴AE =2OP=3；③若AC =MC ，则E 点在AB 的延长线上，此时与E 点在边AB 上运动矛盾，故该种情况舍去；综上，AE ＝2或353．28．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：AC 2=AD ·AB ；（2）如图2，若AC =BC ，EF ⊥CD 交CD 于H ，交AC 于F ，且49FH HE =，求AD BD的值；（3）如图3，若AC =BC ，点H 在CD 上，∠AHD =45°，CH =3DH ，则tan ∠ACH 的值为________．【答案】（1）见解析；（2）23；（377【分析】（1）证出B ACD ∠=∠，证明CBD ∽ACD △，得出=CD BD AD CD ，即可得出结论；（2）设4FH a =，则9HE a =（0a >），同（1）得2236CH HE FH a =⋅=，则6CH a =，在Rt CHF V 中，2tan 3FH ACD CH ∠==，过D 作DP AC ⊥于P ，易证AP DP =，求出23AP DP PC PC ==，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案；（3）过点D 作DM AH ⊥于M ，设2DH x =，则6CH x =（0x >），8CD DH CH x =+=，证明ADH ∽CDA ，得出DAH ACH ∠=∠，AD DH CD AD =，求出4AD x =，证明HDM △是等腰直角三角形，得出222DM HM DH x ===，由勾股定理得出14AM =，由三角函数定义即可得出答案．【解析】（1）证明：∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90B BCD ACD BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴B ACD ∠=∠，∴CBD ∽ACD △，∴=CD BD AD CD，∴2CD AD DB =⋅；（2）解：∵49FH HE =，∴设4FH a =，则9HE a =（0a >），∵90ACB ∠=︒，EF CD ⊥，同（1）得：229436CH HE FH a a a =⋅=⨯=，∴6CH a =，在Rt CHF V 中，42tan 63FH a ACD CH a ∠===，过D 作DP AC ⊥于P ，如图2所示：则//DP BC ，在Rt DPC 中，2tan 3DP ACD PC ∠==，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，∴45A ∠=︒，∴ADP △是等腰直角三角形，∴AP DP =，∴23AP DP PC PC ==，∵//DP BC ，∴23AD AP BD PC ==；（3）解：过点D 作DM AH ⊥于M ，如图3所示：∵3CH DH =，∴设2DH x =，则6CH x =（0x >），∴8CD DH CH x =+=，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴=45BAC AHD ∠=∠︒又∵ADH CDA ∠=∠，∴ADH ∽CDA ，∴DAH ACH ∠=∠，AD DH CD AD=，∴2216AD DH CD x =⋅=，∴4AD x =，∵DM AH ⊥，∴90DMH ∠=︒，∵45AHD ∠=︒，∴45HDM AHD ∠=︒=∠，∴HDM △是等腰直角三角形，∴222DM HM DH ===，∴()()22254214AM AD DM x x x =--，∴27tan tan 714DM ACH DAH AM x ∠=∠==；77．29．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0＜t ＜2.5）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）32；（2）当32t =时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215．【分析】根据勾股定理求得AB=5cm ．（1）分△AMP ∽△ABC 和△APM ∽△ABC 两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值．（2）如图，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，构造平行线PH ∥AC ，由平行线分线段成比例求得以t 表示的PH 的值；然后根据“S=S △ABC ﹣S △BPH ”列出S 与t 的关系式()24321S=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭，则由二次函数最值的求法即可得到S 的最小值．【解析】解：∵如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．∴根据勾股定理，得22AB AC BC 5cm =+=．（1）以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解得32t =；②当△APM ∽△ABC 时，AM AP AC AB =，即45245t t --=，解得t=0（不合题意，舍去）．综上所述，当32t =时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似．（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．如图，过点P 作PH ⊥BC 于点H ．则PH ∥AC ，∴PH BP AC BA =，即245PH t =．∴85t PH =．∴ABC BPNS S S =-△△()118343225t t =⨯⨯-⨯-⋅()24321=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭．∵405>，∴S 有最小值．当32t =时，S 最小值=215．答：当32t =时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215．30．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，则四边形ABCD 是“准筝形”．（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是命题；（填“真”或“假”）（2）如图1，在准筝形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝2，BC ＝4，求CD 的长．（3）如图2，在准筝形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点P 在线段AD 上，AP ＝2，且AD ＝3，AO =32，在BD 上存在移动的线段EF ，E 在F 的左侧，且EF ＝1，使四边形AEFP 周长最小，求此时OE 的长度．【答案】（1）真；（2（3）34【分析】（1）先根据在准筝形ABCD 中，AC ⊥BD ，BC=CD=AD ，设AC 与BD 交于点O ，得出OA=OC ，OB=OD ，推出四边形ABCD 是平行四边形，再根据AD=CD ，即可证明四边形ABCD 是菱形，即可得出结论；（2）设AC 与BD 交于点O ，根据AC ⊥BD ，得到AB 2=AO 2+BO 2，AD 2=AO 2+DO 2，CD 2=CO 2+DO 2，BC 2=OB 2+OC 2，可得AB 2+CD 2=AD 2+BC 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2，根据AD=3，АВ=2，BC=4，即可求出CD ；（3）过P 作PG ⊥AO 于G ，过A 作AM//EF 且AM=EF ，作M 点关于OD 的对称点N ，连接MN 交OD 于H ，交PG 于R ，连接PN 交OD 于F ，先证明四边形AEFM 是平行四边形，得到AE=MF ，根据M 、N 关于OD 对称，得出MF=NF ，推出当且仅当N 、F 、P 三点共线时，AE+PF 取得最小值，根据AP=2，EF=1，得出当AE+PE 取得最小值时，四边形AEFP 周长取得最小值，然后证明四边形AOHM 是矩形，得出АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=32，根据在Rt △AOD 中，OA=32，AD=3，PG ⊥OA ，求出AG=12AP=1，，RN=HN+HR=2，证明△NHF ∽△NRP ，得出HFRP =NH NR =34，求出HF=34PR=)314=34，根据OF=ОН+HF=OE+EF ，ОН=EF=1，即可得出OЕ．【解析】解：（1）三条边相等的准筝形是菱形是真命题，，在准筝形ABCD 中，AC ⊥BD ，BC=CD=AD ，设AC 与BD 交于点O ，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形，∴三边相等的准筝形是菱形，故答案为：真；（2）设AC与BD交于点O，∵AC⊥BD，∴AB2=AO2+BO2，AD2=AO2+DO2，CD2=CO2+DO2，BC2=OB2+OC2，∴AB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，∵AD=3，АВ=2，BC=4，∴22+CD2=32+42，∴∴CD；（3）过P作PG⊥AO于G，过A作AM//EF且AM=EF，作M点关于OD的对称点N，连接MN交OD于H，交PG于R，连接PN交OD于F，∵AM//EF，AM=EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE=MF，∵M、N关于OD对称，∴MF=NF，∴AE+PF=MF+PF=NF+PF≥PN，∴当且仅当N、F、P三点共线时，AE+PF取得最小值，∵AP=2，EF=1，∴当AE+PE取得最小值时，四边形AEFP周长取得最小值，∵AM//OD，ОA//MН，∠AOD=90°，∴四边形AOHM是矩形，∴АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=3 2，在Rt△AOD中，OA=32，AD=3，∴∠ADO=30°，∵PG⊥OA，∴PG∥OD，∴∠APG=∠ADO=30°，∴AG=12AP=1，33∴3，∵HR=32-1=12，∴RN=HN+HR=2，∵PG//OD，∴△NHF∽△NRP，∴HFRP=NHNR=34，∴HF=34PR=)314∵OF=ОН+HF=OE+EF，ОН=EF=1，∴故四边形AEFP周长最小时，OE的长度为3 4．。
中考数学几何模型重点突破讲练：专题08 三角形中的倍长中线模型(教师版)
【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析 【分析】（1）由 AD 是△ABC 的中线推出 CD＝BD，再用 SAS 证明即可； （2）由△ABD≌△ECD 推出 AB＝EC=5，由 ED=AD 推出 AE=2x，由△ACE 三边关系 EC AC AE EC AC 将已求代入解不等式即可； （3）延长 FD 到 G，使得 DG＝DF，连接 BG、EG．用 SAS 证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而 得到 CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG 的三边关系 BE+BG＞EG 得证． 【解析】（1）①∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD＝BD， 在△ABD 与△ECD 中， AD＝ED ADB＝EDC ， BD＝CD ∴△ABD≌△ECD（SAS） ②1＜x＜4， 理由如下： ∵△ABD≌△ECD，AB＝5， ∴AB＝EC=5， ∵ED=AD，AD＝x， ∴AE=2x． 由△ACE 三边关系得： EC AC AE EC AC ， 又∵AC＝3， ∴53 2x 53， 解得：1＜x＜4． 故答案是：1＜x＜4．
【答案】 30 【分析】由“ SAS ”可证 △CDE ≌ V BDA ，可得 CE AB 13 ， SADB SCDE ，可得 SACE SCAB ，由勾股定 理的逆定理可求 ACE 为直角三角形，即可求解． 【解析】解：延长 AD 到 E 使 AD DE 6 ，连接 CE ，如图所示：
A． 2 AB 12
B． 4 AB 12
C． 9 AB 19
D．10ห้องสมุดไป่ตู้ AB 19
【答案】C
【分析】延长 AD 至 E，使 DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边
相等可得 AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出 CE
专题05 三角形中的角平分线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题05三角形中的角平分线模型【模型1】如图，已知OP 平分AOB ∠，过点P 作OA PD ⊥,OB PE ⊥；可根据角平分线性质证得ODP ∆≌OEP ∆，从而可得OPE OPD ∠=∠，PE PD OE OD ==;。
【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法【辅助线作法一】如图，已知OP 平分AOB ∠，点C 是OA 上的一点，通常情况下，在OB 上取一点D，使得OC OD =，连接PD，结合OP OP =，POD POC ∠=∠，可证得OPC ∆≌OPD ∆。
从而可得PD PC =，PDO PCO ∠=∠，DPO CPO ∠=∠。
【辅助线作法二】如图，已知OP 平分AOB ∠，OP CP ⊥，通常情况下，延长CP 交OB 于点D，结合OP OP =，POD POC ∠=∠，︒=∠=∠90OPD OPC ，可证得OPC ∆≌OPD ∆。
从而可得PD PC =，PDO PCO ∠=∠，OD OC =。
【辅助线作法三】如图，已知OP 平分AOB ∠，通常情况下，过点P 作PC//OB，根据平行线性质：两直线平行内错角相等；结合POD POC ∠=∠，从而可得PC OC =，CPO COP ∠=∠。
【例1】如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ；③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】证明△ODP ≌△OEP （AAS ），由全等三角形的性质可推出OD =OE ，证明△DPF ≌△EPF （SAS ），由全等三角形的性质可推出DF =EF ．∠DFP =∠EFP ，S △DFP =S △EFP ，则可得出答案．【解析】解：①∵OC 平分∠AOB ，∴∠DOP =∠EOP ，∵PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠ODP =∠OEP =90°，∵OP =OP ，∴△ODP ≌△OEP （AAS ），∴OD =OE ．故①正确；②∵△ODP ≌△OEP ，∴PD =PE ，∠OPD =∠OPE ，∴∠DPF =∠EPF ，∵PF =PF ，∴△DPF ≌△EPF （SAS ），∴DF =EF ．故②正确；③∵△DPF ≌△EPF ，∴∠DFO =∠EFO ，故③正确；④∵△DPF ≌△EPF ，∴S △DFP =S △EFP ，故④正确．故选：D ．【例2】如图，已知OC 平分∠MON ，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，且OA ＝OB ．求证：△AOC ≌△BOC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．【解析】证明：∵OC 平分∠MON ，∴∠AOC ＝∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOC （SAS ）．【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AB BD AC CD=，下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2，过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E ．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，AD 平分∠BAC ，求BD 的长．（请按照本题题干的定理进行解决）【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）如图2：过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ，利用平行线分线段成比例定理得到BD CD ＝BA EA，利用平行线的性质得∠2=∠ACE ，∠1=∠E ，由∠1=∠2得∠ACE =∠E ，所以AE =AC 即可证明结论；（2）先利用勾股定理计算出AC =5，再利用（1）中的结论得到AC AB ＝CD BD ，即53＝CD BD ，则可计算出BD =32，然后利用勾股定理计算出AD =2，从而可得到△ABD 的周长．【解析】（1）解：如图2：过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ，∵CE //AD ，∴BD CD ＝BA EA，∠2＝∠ACE ，∠1＝∠E ，∵AD 平分∠BAC∴∠1＝∠2，∴∠ACE ＝∠E ，∴AE ＝AC ，∴AB AC ＝BD CD；（2）∵AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5，∵AD 平分∠BAC ，∴AC AB ＝CD BD ，即53＝4BD BD -，∴BD ＝32，∴AD∴△ABD 的周长＝32+3+2＝92+．一、单选题1．如图，ABC 中，5AB =，6BC =，10CA =，点D ，E 分别在BC ，CA 上，DE AB ∥，F 为DE 中点，AF 平分BAC ∠，则BD 的长为（）A ．32B ．65C ．85D ．2【答案】B【分析】根据角平分线和平行可得EA EF =，从而可得2DE AE =，然后证明EDC ABC △△∽，利用相似三角形的性质即可求出AE ，DE ，进而求出CD ，最后进行计算求出BD 即可解答．【解析】解：∵F 为DE 中点，∴2ED EF =，∵AF 平分BAC ∠，∴EAF FAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴FAB AFE ∠=∠，∴EAF AFE ∠=∠，∴EA EF =，∴2DE AE =，设AE x =，则2DE x =，∵DE AB ∥，∴EDC B ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴EDC ABC △△∽，∴ED EC DC AB AC BC==，∵5AB =，6BC =，10CA =，∴210510x x -=，∴2x =，∴24DE x ==，∴456CD =，∴245CD =，∴246655BD BC CD =-=-=．故选：B ．2．如图，平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于E ，若AB =5，BC =3，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．2.5D ．4【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得AB =CD =5，AD =BC =3，AB ∥CD ，然后根据平行线的性质可得∠EAB =∠AED ，然后根据角平分线的定义可得∠EAB =∠EAD ，从而得出∠EAD =∠AED ，根据等角对等边可得DA =DE =3，即可求出EC 的长．【解析】解:∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =5，BC =3，∴AB =CD =5，AD =BC =3，AB ∥CD∴∠EAB =∠AED∵AE 平分∠DAB∴∠EAB =∠EAD∴∠EAD =∠AED∴DA =DE =3∴EC =CD －DE =2故选B ．3．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．PA PQ=B ．PA PQ <C ．PA PQ >D ．PA PQ≤【答案】D 【分析】连接PQ ，当PQ ⊥OM 时，根据角平分线的性质得出PQ =PA ，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．【解析】解：连接PQ ，当PQ ⊥OM 时，∵OP 平分∠MON ，PQ ⊥OM ，PA ⊥ON ，∴PQ =PA ，此时点P 到OM 的距离PQ 最小，∴PA ≤PQ ，故选：D ．4．如图，CD ，CE ，CF 分别是ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．2AB BF=B．12ACE ACB∠=∠C．AE BE=D．CD BE⊥【答案】C【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．【解析】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥AB，∠ACE＝12∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE =60°，∴③DE 平分∠ADB 错误；∵BE +AE =AB ，AE =AC ，∴BE +AC =AB ，∴④BE +AC =AB 正确；∵∠BDE =90°-∠B ，∠BAC =90°-∠B ，∴∠BDE =∠BAC ，∴②∠BAC =∠BDE 正确．综上，正确的个数的3个，故选：C ．6．如图，∠BAC ＝30°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB 交AB 于F ，DE ⊥DF 交AC 于E ，若AE ＝8，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【分析】过点D 作DG AC ⊥，根据角平分线的性质可得DF DG =，根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定，可得AE ED =，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【解析】如图，过点D 作DG AC ⊥ AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB ，DG AC⊥∴DF DG =，CAD BAD∠=∠DE DF ⊥ ，DF ⊥AB ，AB DE∴∥BAD EDA∴∠=∠EAD EDA∴∠=∠EA ED∴=8AE = 8DE AE ∴== ∠BAC ＝30°，30DEG ∴∠=︒142DG DE ∴==4DF ∴=故选B二、填空题7．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，请你添加一个条件________，使四边形AEDF 是菱形．【答案】DF ∥AB【分析】添加DF ∥AB ，根据DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，可以判断四边形AEDF 是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．【解析】解：DF ∥AB ，理由如下：∵DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠ADF ＝∠FAD ，∴FA ＝FD ，∴平行四边形AEDF 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．8．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝8，BE ＝3，则AB 的长为________．【答案】5【分析】首先由在平行四边形ABCD 中，AD =8，BE =3，求得CE 的长，然后由DE 平分∠ADC ，可证CD =CE =5，即可求解．【解析】∵在平行四边ABCD 中，AD =8，∴BC =AD =8，AD //BC ，∴CE =BC -BE =8-3=5，∠ADE =∠CED ，∴DE 平分∠ADC ，∴∠ADE =∠CDE ，∴∠CDE =∠CED ，∴CD =CE =5=AB ，故答案为：5．9．如图，在ABC 中，ACB ∠的平分线交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ．F 为BC 上一点，若DF AD =，6ACD CDF S S -=△△，则AED 的面积为______．【答案】3【分析】在CA 上截取CG ＝CF ，连接DG ．根据题意易证()CDG CDF SAS ≅ ，得出DG DF =，CDG CDF S S = ．即可求出AD DG =，6ADG S = ．最后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求出ADE S ．【解析】如图，在CA 上截取CG ＝CF ，连接DG，∵CD 平分ACB ∠，∴ACD BCD ∠=∠．在CDG 和CDF 中，CG CF GCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CDG CDF SAS ≅ ，∴DG DF =，CDG CDF S S = ．∵6ACD CDF S S -=△△，∴6ACD CDG S S -= ，即6ADG S = ．∵AD DF =，∴AD DG=．∴AE=EG，∴132ADE GDE ADGS S S===．故答案为：3．10．如图，AB＝BE，∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【答案】①②④【分析】根据已知∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．【解析】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝12∠FBC，∵∠DBC＝12∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正确；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正确；故答案为：①②④．11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是___．【答案】2【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵BE＝2，∴DE＝2．故答案为：2．12．如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有____________．（填序号）【答案】①②④【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，求得∠ABC=∠ACB，故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADC=90°12-∠ABC，求得∠ADC+∠ABD=90°故②正确；根据全等三角形的性质得到AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC=∠BAC，故④正确．【解析】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，故①正确；∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，∴可得∠ADC=90°12-∠ABC，∴∠ADC+12∠ABC=90°，∴∠ADC+∠ABD=90°，故②正确；∵∠ABD =∠DBC ，BD =BD ，∠ADB =∠BDC ，∴△ABD ≌△BCD （ASA ），∴AB =CB ，与题目条件矛盾，故③错误，∵∠DCF =∠DBC +∠BDC ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∴2∠DCF =2∠DBC +2∠BDC ，2∠DCF =2∠DBC +∠BAC ，∴2∠BDC =∠BAC ，故④正确，故答案为：①②④．三、解答题13．如图，AC ＝BC ，∠1＝∠2，求证：OD 平分∠AOB ．【答案】见详解【分析】证明△ACO ≌△BCO 即可求证．【解析】证明：∵∠1=∠2，∠1+∠ACO =180°，∠2+∠BCO =180°，∴∠ACO =∠BCO ，∵AC =BC ，CO =CO ，∴△ACO ≌△BCO ，∴∠AOC =∠BOC ，∴OD 平分∠AOB ．14．如图，在ABC 中，AE 平分BAC BE AE ∠⊥，于点E ，延长BE 交AC 于点D ，点F 是BC 的中点．若35AB AC ==，，求EF 的长．【答案】1【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“ASA”证明BAE DAE ≅ ，即得出3AD AB ==，BE DE =，从而可得出2CD =，点E 为BD 中点，从而可判定EF 为BCD △的中位线，进而可求出EF 的长．【解析】∵AE 平分BAC BE AE∠⊥，∴BAE DAE ∠=∠，90AEB AED ∠=∠=︒．又∵AE =AE ，∴BAE DAE ≅ (ASA)，∴3AD AB ==，BE DE =，∴2CD AC AD =-=，点E 为BD 中点．∵F 是BC 的中点，∴EF 为BCD △的中位线，∴112EF CD ==．15．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 是∠ABC 的平分线，BD =BE ．求证：(1)△CED 是等腰三角形；(2)BD +AD =BC ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）由AB =AC ，∠A =100°求出∠ABC =∠C =40°，再由BD 是∠ABC 的平分线求出∠DBC =12∠ABC =20°，根据BD =BE 求出∠BED =∠BDE =80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC =40°，则∠EDC =∠C ，从而证明ED =EC ，即△CED 是等腰三角形；（2）在BE 上截取BF =BA ，连结DF ，先证明△FBD ≌△ABD ，则FD =AD ，∠BFD =∠A =100°，可证明∠EFD =∠FED =80°，则AD =FD =ED =EC ，即可证明BD +AD =BE +EC =BC ．【解析】（1）∵AB =AC ，∠A =100°，∴∠ABC =∠C =12×（180°-100°）=40°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC =12∠ABC =20°，∵BD =BE ，∴∠BED =∠BDE =12×（180°-20°）=80°，∴∠EDC =∠BED -∠C =80°-40°=40°，∴∠EDC =∠C ，∴ED =EC ，∴△CED 是等腰三角形．（2）如图，在边BC 上取点F ，使BF BA =，在ABD △和FBD 中∵AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD FBD≌△△∴AD DF =，100BFD A ∠=∠=︒，∴18010080DFE ∠=︒-︒=︒，∴DFE DEF∠=∠∴DF DE=∴AD EC=∴BD AD BE EC BC +=+=．16．如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =_______．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；（用含a 、b 的式子表示）(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3；(2)CD =a －b ；(3)ABC S =14【分析】（1）利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得AE ＝AC ＝5，得出答案；（2）利用ASA 证明△ADE ≌△ADC ，得∠C =∠AED ，DC =DE ，再证明∠B =∠BDE ，得出BE =DE ，即可得到结论；（3）利用ASA 证明△AGB ≌△AGH ，得出BG =HG ，即可得出△ABC 的面积．【解析】（1）∵AD 是△ABC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵CE ⊥AD ，∴∠CFA ＝∠EFA ，∵在△AEF 和△ACF 中EAF CAF AF AF AFE AFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AEF ≌△ACF （ASA ），∴AE ＝AC ＝5，∵AB =8，∴BE ＝AB −AC ＝8−5＝3，故答案为：3；(2)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，在△ADE 和△ADC 中AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC∴∠C =∠AED ，DC =DE又∵∠C =2∠B ，∠AED =∠B +∠BDE∴∠B =∠BDE∴DE =BE ，∴DC =DE =BE =AB －AE =AB －AC=a －b ；(3)如图，分别延长AC ，BG 交于点H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵AG ⊥BH ，∴∠AGB =∠AGH =90°，∵在△AGB 和△AGH 中BAD CAD AG AG AGB AGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AGB ≌△AGH ，∴BG =HG ，∴22BCH BCG HCG S S S == ，又∵2ABC BCH ACG CGH S S S S +=+ （）∴ABC S =14．17．已知：如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，AD ，CE 是角平分线，AD 与CE 相交于点F ，FM AB ⊥，FN BC ⊥，垂足分别为M ，N ．【思考说理】（1）求证：FE FD =．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“90ACB ∠=︒”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE FD =）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠即可求解；（2）在AB 上截取CP =CD ，分别证()CDF CPF SAS ∆≅∆、()AFE AFP ASA ∆≅∆即可求证；【解析】证明：（1）∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴点F 是ABC ∆的内心，∵FM AB ⊥，FN BC ⊥，∴FM FN =，∵90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴30CAB ∠=︒∴15CAD ∠=︒∴75ADC ∠=︒∵45ACE ∠=︒∴75CEB ∠=︒∴ADC CEB∠=∠∴()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠∴FE FD=（2）如图，在AB 上截取CP =CD ，在CDF ∆和CPF ∆中，∵CD CP DCF PCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDF CPF SAS ∆≅∆∴FD FP =，∠CFD =∠CFP ，∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠CAD =∠BAD ，∠ACE =∠BCE ，∵∠B =60°，∴∠ACB +∠BAC =120°，∴∠CAD +∠ACE =60°，∴∠AFC =120°，∵∠CFD =∠AFE =180°-∠AFC =60°，∵∠CFD =∠CFP ，∴∠AFP =∠CFP =∠CFD =∠AFE =60°，在AFE ∆和AFP ∆中，∵AFE AFP AF AF PAF EAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AFE AFP ASA ∆≅∆∴FP =EF∴FD =EF ．18．如图，∠MAN 是一个钝角，AB 平分∠MAN ，点C 在射线AN 上，且AB ＝BC ，BD ⊥AC ，垂足为D．(1)求证：BAM BCA ∠=∠；(2)动点P ，Q 同时从A 点出发，其中点Q 以每秒3个单位长度的速度沿射线AN 方向匀速运动；动点P 以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC ＝5，设动点P ，Q 的运动时间为t 秒．①如图②，当点P 在射线AM 上运动时，若点Q 在线段AC 上，且52ABP BQC S S =△△，求此时t 的值；②如图③，当点P 在直线AM 上运动时，点Q 在射线AN 上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得 APB 与 BQC 全等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)见解析(2)①2517t =；②存在，54t =或52t =【分析】（1）①先证Rt △BDA ≌Rt △BDC （HL ），推出∠BAC ＝∠BCA ．再由角平分线的定义得∠BAM ＝∠BAC ，等量代换即可证明BAM BCA ∠=∠；（2）①作BH ⊥AM ，垂足为M ．先证△AHB ≌△ADB （AAS ），推出BH ＝BD ，再由S △ABP ＝52S △BQC ，推出52AP CQ =，结合P ，Q 运动方向及速度即可求解；②分“点P 沿射线AM 方向运动，点Q 在线段AC 上”，以及“点P 沿射线AM 反向延长线方向运动，点Q 在线段AC 延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP 与CQ 的关系即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥AC ，∴90BDA BDC ∠=∠=︒，在Rt △BDA 和Rt △BDC 中，BD BD AB CB=⎧⎨=⎩，∴Rt △BDA ≌Rt △BDC （HL ），∴∠BAC ＝∠BCA ．∵AB 平分∠MAN ，∴∠BAM ＝∠BAC ，∴∠BAM ＝∠BCA ．（2）解：①如下图所示，作BH ⊥AM ，垂足为M ．∵BH ⊥AM ，BD ⊥AC ，∴∠AHB ＝∠ADB ＝90°，在△AHB 和△ADB 中，AHB ADB BAH BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AHB ≌△ADB （AAS ），∴BH ＝BD ，∵S △ABP ＝52S △BQC ，∴151222AP BH CQ BD =⨯ ，∴52AP CQ =，∴5(53)2t t =-，∴2517t =．②存在，理由如下：当点P 沿射线AM 方向运动，点Q 在线段AC上时，如下图所示，∵AB ＝BC ，又由（1）得∠BAM ＝∠BCA ，∴当AP ＝CQ 时，△APB ≌△CQB ，∴53t t =-，∴54t =；当点P 沿射线AM 反向延长线方向运动，点Q 在线段AC 延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴35t t=-，∴52 t=．综上所述，当54t=或52t=时，△APB和△CQB全等．。
专题18 三平行相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题18三平行相似模型【理论基础】如图，CD EF AB ////，若，则证明：∵AB EF //，∴△DEF ∽△DAB ，∴，即①同理△BEF ∽△BCD ，∴，即②①＋②，得，.【例1】如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②4AOD OCF S S = ；③::7AC BD =；④2FB OF DF =⋅．其中正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】①根据已知的条件首先证明ECB 是等边三角形，因此可得EA EB EC ==，所以可得90ACB ∠=︒，再根据O 、E 均为AC 和AB 的中点，故可得90AOE ACB ∠=∠=︒，便可证明EO AC ⊥；②首先证明OEF BCF ∽，因此可得12OE OF BC FB ==，故可得AOD S 和OCF S 的比.③根据勾股定理可计算的AC ：BD ；④根据③分别表示FB 、OF 、DF ，代入证明即可.【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,CD AB OD OB OA OC ==∥，∴180DCB ABC ∠+∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴120DCB ∠=︒，∵EC 平分DCB ∠，∴1602ECB DCB ∠=∠=︒，∴60EBC BCE CEB ∠=∠=∠=︒，∴ECB 是等边三角形，∴EB BC =，∵2AB BC =，∴EA EB EC ==，∴90ACB ∠=︒，∵,OA OC EA EB ==，∴OE BC ∥，∴90AOE ACB ∠=∠=︒，∴EO AC ⊥，故①正确，∵OE BC ∥，∴OEF BCF ∽，∴12OE OF BC FB ==，∴13OF OB =，∴3AOD BOC OCF S S S == ，故②错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，AC =，2OD OB a ===，∴BD =，∴:7AC BD ==，故③正确，∵13OF OB a =，∴BF a =，∴22277,96269BF a OF DF a a a ⎛⎫=⋅=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BF OF DF =⋅，故④正确，综上所述：正确的是①③④，共3个．故选C ．【例2】如图，AC EF DB ，若AC =8，BD =12，则EF =___________．【答案】245【分析】根据 AC EF DB ∥∥，可得△BEF ∽△BCA ，△AEF ∽△ADB ，从而得到EF DB EF CA DB-=，即可求解．【解析】解：∵ AC EF ∥，∴△BEF ∽△BCA ，∴EF BF CA AB=，∵ EF DB ∥，∴△AEF ∽△ADB ，∴EF AF DB AB =，∴DB EF AB AF DB AB --=，即DB EF BF DB AB -=，∴EF DB EF CA DB-=，∵AC =8，BD =12，∴12812EF EF -=，解得：245EF =．故答案为：245【例3】如图：AD EG BC ∥∥，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG 、FG 的长．【答案】186,5EG FG ==【分析】在△ABC 中，先证明,AEG ABC ∽利用相似三角形的性质求解EG ，在△BAD 中，证明BEF BAD △△∽，利用相似三角形的性质求解EF ，即可求出FG =EG -EF ．【解析】解：∵△ABC 中，EG BC ∥，∴,AEG ABC ∽∴EG AE BC AB=，∵BC =10，AE =3，AB =5，∴3105EG =，∴EG =6，∵△BAD 中，EF AD ∥，∴BEF BAD△△∽∴EF BE AD AB=，∵AD =6，AE =3，AB =5，∴5365EF -=，∴EF =125．∴FG =EG -EF =185．一、单选题1．如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AC 和BD 表示起固定作用的两根钢筋，AC 与BD 相交于点M ，已知12m,15m AB CD ==，则点M 离地面的高度MH 为（）A ．20m 3B ．25m 5C ．5mD ．16m 3【答案】A【分析】根据已知易得△ABM ∽△CDM ，可得对应高BH 与HC 之比，易得MH ∥AB ，可得△MCH ∽△ACB ，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解析】∵AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，∴AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，MH ⊥BC ，∴AB ∥CD ∥MH ，∴∠A =∠MCD ，∠ABM =∠D∴△ABM ∽△CDM ，∴BH CH =AB CD =1215=45(相似三角形对应高的比等于相似比)，∴BH CH CH +=455+∴BC CH =95，即CH BC =59，∵MH ∥AB ，∴∠A =∠CMH ，∠ABC =∠MHC ，∴△MDH ∽△ADB ，∴MH AB =CH CB =59，，∴12MH =59，解得MH =203．∴点M 离地面的高度MH 为203m ．故选：A ．2．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知树的高度3m AB =，树影4m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离6m AP =，则路灯高PO 的长是（）A ．2mB ．4.5mC ．7.5mD ．12m【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．【解析】解： 根据题意可知AB PO ∥，C C ∴∠=∠，CAB CPO ∠=∠，CAB CPO ∴∆∆∽，AB PO AC PC ∴=，即3446PO =+，解得30157.542PO ===m ，∴路灯高PO 的长是7.5m ，故选：C ．3．如图1，小明在路灯下笔直的向远离路灯方向行走，将其抽象成如图2所示的几何图形．已知路灯灯泡距地面的距离AB 等于4米，小明CD 身高1.5米，小明距离路灯灯泡的正下方距离BC 等于4米，当小明走到E 点时，发现影子长度增加2米，则小明走过的距离CE 等于（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间【答案】A【分析】根据题意证明△DCM∽△АВМ，得到CM DCBM AB=，代入数值求出CM=2.4，再证△FEN∽△ABN，得到EN FEBN AB=，即4.4 1.54BN=，求出BN=17615，计算CE=BN-BC-EN=17615-4-4.4=103，判断即可．【解析】由图可知小明在点C处时，其影长为CM，在点E处时，其影长为EN，由题意可得AB⊥BN，CD⊥BN，EF⊥BN，EF=CD=1.5米，EN=(CM+2)米，∴∠DCM=∠АВM=90︒，∵∠CMD=∠BMA，∴△DCM∽△АВМ，∴CM DC BM AB=，∵BM=BC+CM=4+CM，∴1.5 44 CMCM=+，解答CM=2.4，∴EN=CM+2=2.4+2=4.4，∵∠FEN=∠ABN=90︒，∠ENF=∠BNA，∴△FEN∽△ABN，∴EN FEBN AB=，即4.4 1.54BN=，解得BN=176 15，∴CE=BN-BC-EN=17615-4-4.4=103，∵3<103<4，∴小明走过的距离CE在3和4之间，故选A ．4．如图，已知AB ⊥BC 、DC ⊥BC ，AC 与BD 相交于点O ，作OM ⊥BC 于点M ，点E 是BD 的中点，EF ⊥BC 于点G ，交AC 于点F ，若AB =4，CD =6，则OM -EF 值为（）A ．75B ．125C ．35D ．25【答案】A【分析】利用三角形中位线定理分别求得FG =12AB =2，EG =12CD =3，得到EF =1，再证明△AOB ∽△COD 和△BOM ∽△BDC ，利用相似三角形的性质求得OM =125，据此即可求解．【解析】解：∵AB =4，CD =6，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，OM ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴AB ∥OM ∥FG ∥DC ，又∵点E 是BD 的中点，∴点G 是BC 的中点，点F 是AC 的中点，∴FG =12AB =2，EG =12CD =3，∴EF =EG -FG =1，∵CD ∥AB ，∴△AOB ∽△COD ，∴BO AB OD CD =即4263BO OD ==，∴25BO BD =，∵OM ∥CD ，∴△BOM ∽△BDC ，∴25MO BO CD BD ==，∴OM =125，∴OM -EF =125-1=75．故选：A ．5．如图，EF 是一个杠杆，可绕支点O 自由转动，若动力F 动和阻力F 阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F 阻不变时，则杠杆向下运动时F 动的大小变化情况是（）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定【答案】B 【分析】由图证明MOE NOF △∽△，从而得到ME MO NF NO=，即ME NO NF MO ⋅=⋅，再根据题意得出答案．【解析】解：∵MOE NOF ∠=∠，M ONF ∠=∠，∴MOE NOF △∽△，∴ME MO NF NO=，即ME NO NF MO ⋅=⋅，∵阻力F 阻不变，即ME 不变，又∵OM ，ON 不变，∴由ME NO NF MO ⋅=⋅得，NF 不变，即F 动的大小不变．故选：B ．6．如图，ABC 和DCB 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，斜边AC 、BD 交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，若2AB =，3CD =，则EF 的长度为（）A ．32B ．53C ．54D ．65【答案】D【分析】通过证明△BEF ∽△BDC ，△CEF ∽△CAB ，可得,,EF BF CF EF CD BC BC AB==即可求解．【解析】解：∵EF BC ⊥，∴∠ABC =∠DCB =90°=∠EFC ，∴AB EF CD ∥∥，∴△BEF ∽△BDC ，△CEF ∽△CAB ，∴,EF BF CF EF CD BC BC AB ==，∵2AB =，3CD =，∴1,32EF EF BF CF BC++==∴65=EF ．故选：D ．二、填空题7．如图，已如矩形ABCD ，将△BCD 绕点B 顺时针旋转90°至△BEF ，连接AC ，BF ，若点A ，C ，F 恰好在同一条直线上，则AB BC=______．【分析】设AB a =，BC b =，由矩形和旋转的性质可知EF a =，BE b =．易证ABC AEF ，即得出AB BC AB BE EF =+，即a b a b a =+，将b 看作已知数，根据公式法即可求出a =根据a >0，可知2b a +=，最后代入AB BC 即可．【解析】设AB a =，BC b =，由矩形和旋转的性质可知EF a =，BE b =，90E BCD ABC ∠=∠=∠=︒，∴BC EF ∥，∴ABC AEF ，∴AB BC AE EF =，即AB BC AB BE EF =+，∴a b a b a=+，整理，得：220a ab b --=，∴22b b a ±==．∵0a >，∴a =∴122b AB BC b ==．故答案为：12．8．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =11OA B S = ，再根据题意可得112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ，即可求解．【解析】解：当x =1时，y∴点(1B ，∴11A B =∴111122OA B S =⨯ ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ：……∶n n OA B S =OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =，……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==，……，12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴2202224041202222S ⨯-=⨯故答案为：2三、解答题9．如图，一教学楼AB 的高为20m ，教学楼后面水塔CD 的高为30m ，已知BC ＝30m ，小张的身高EF 为1.6m ．当小张站在教学楼前E 处时，刚好看到教学楼顶端A 与水塔顶端D 在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE ．【答案】55.2m【分析】如图，过点F 作FN ⊥CD ，交CD 于点N ，交AB 于点M ，构造相似三角形：△AMF ∽△DNF ，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．【解析】解：如图，过点F 作FN ⊥CD ，交CD 于点N ，交AB 于点M ，∵AM ∥DN ，∴△AMF ∽△DNF ．∴FM AM FN DN=．由题意知，BE =FM ，BC =MN =30m ，EF =BM =CN =1.6m ，FN =FM +MN =BE +BC =（BE +30）m ．∴DN =CD -CN =30-1.6=28.4m ，AM =AB -BM =20-1.6=18.4m ．∴18.43028.4BE BE =+．解得BE =55.2m ．故此时他与教学楼的距离BE 为55.2m ．10．如图，////AB EF CD ，E 为AD 与BC 的交点，F 在BD 上，求证：111AB CD EF+=．【答案】见解析【分析】根据已知条件可得,DEF DAB BEF BCD ∽∽，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论【解析】//,//AB EF EF DC,DEF DAB BEF BCD∴ ∽∽,EF FD EF BF AB BD CD BD ∴==1EF EF FD BF BD AB CD BD BD BD ∴+=+==EF EF EF AB CD EF∴+=∴111AB CD EF +=11．如图，AB ＝4，CD ＝6，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ．(1)若AE ＝3，求ED 的长．(2)求EF 的长．【答案】(1)92；(2)125【分析】（1）证明AEB DEC ∆∆∽，得到AE AB DE CD =，把已知数据代入计算即可；（2）根据BEF BCD ∆∆∽，得到EF BF CD BD =，同理得到EF DF AB BD=，两个比例式相加再代入计算，得到答案．【解析】（1）解：//AB CD ，AEB DEC ∴∆∆∽，∴AE AB DE CD=，4AB =Q ，6CD =，3AE =，∴346DE =，解得：92DE =；（2）//CD EF ，BEF BCD ∴∆∆∽，∴EF BF CD BD=，同理：EF DF AB BD =，∴1EF EF BF DF CD AB BD BD +=+=，∴164EF EF +=，解得：125EF =．12．如图，圆A 、圆C 为两个不相交的圆，记圆A 的半径为r ，圆C 的半径为R ，有r R <，E 是两圆连心线上的一点，满足关系式EA r EC R =，点F 、G 为圆A 上任意的动点，作直线EF 、EG 分别与圆C 交于H 、I 、J 、K 四点，连接IK(1)设圆A 、圆C 的两条外的公切线分别为12l l 、，证明12l l 、总是在点E 处相交；(2)若固定F 点，让G 点在圆A 上移动，证明：此时EG EJ 的值与G 的位置无关；(3)当IK AC ⊥时，连接FJ 、HG ，设FJ 与HG 交于T ，证明T 在AC 上，且满足··.AT EC CT EA =【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解(3)证明过程见详解【分析】（1）根据公切线的性质，证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可求证结果；（2）利用对应边成比例证明两个三角形相似，利用比例的性质即可求证结果；（3）根据两个三角形全等，对应边也相等，证明等腰三角形性，利用等腰三角形的三线合一即可求证结果．【解析】（1）证明：如图所示，EH 是公切线1l ，EK 是公切线2l ，∵12l l 、是A ，C 的公切线，点F ，点G ，点H ，点k 是切点，∴AF EF ⊥，AG EG ⊥，CH EH ⊥，CK EK ⊥，且点E ，点F ，点H 在公切线1l 上，点E ，点G ，点K 在公切线2l 上，∴AF CH ∥，AG CK ∥，AF AG r ==，CH CK R ==，∴EAF ECH ∆∆ ，EAG ECK ∆∆ ，∴EA AF AG r EC CH CK R===，∴A ，C 的公切线12l l 、总是在点E 处相交．（2）证明：如图所示，连接AG ，CJ ，点G ，点J 在圆上，∴AG r =，CJ R =，∵EA r EC R=，∴EAG EJC ∆∆ ，∴EA EJ EG EC=，∴EG EJ EA EC = ，∴EG EJ 的值与G 的位置无关．（3）证明：如图所示，连接FG ，HJ ，AC 所在直线是A ，C 的直径，∵IK AC ⊥，垂足为点M ，∴直线AC 平分IK ，190∠=︒，IM KM =，∴IEM KEM EM EM EMI EMK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()ΔΔEIM EKM ASA ≅，∴EI EK =，EF EG =，EH EJ =，在EFT ∆，EGT ∆中，∵EF EG FET GET ET ET =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ΔΔEFT EGT SAS ≅，∴FT GT =，∴点T 在FEG ∠的角平分线AC 上．如图所示，连接AF ，CH ，且AF r =，CH R =，由等腰三角形EFG ，等腰三角形EHJ 得，FAT HCT ∆∆∽，∴AT AF r CT CH R==，又∵EA r EC R =，∴AT EA CT EC=，即AT EC CT EA = ．13．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，此时点A 落在点F 处，线段EF 交CD 于点M ．过点F 作FG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G．(1)求证：BE =FG ；(2)如果AB •DM =EC •AE ，连接AM 、DE ，求证：AM 垂直平分DE ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE与△EFG全等，据此即可证明BE=FG；（2）证明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL证明△AEM≌△ADM即可解决问题．【解析】(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE与△EGF中，ABE EGF BAE GEFAE EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)证明：连接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴AB AEEC EM=，即AB•EM=EC•AE，∵AB•DM=EC•AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．14．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB ）的高度为4.8米，右侧路灯（CD ）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD ）为12米，已知小明的身高（EF ）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F 是BD 的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP ＝米，FQ ＝米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP ＝FQ ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B 地24m 5（或离D 地36m 5），理由见解析【分析】（1）通过证明CDQ EFQ ，ABP EFP ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=，设FP FQ x ==，可求出512BD x ==，求出x 的值，即可求解．【解析】（1）解：由题意得，,CDQ EFQ CQD EQF ∠=∠∠=∠，CDQ EFQ ∴ ，EF QF CD QD ∴=，4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ==== ，点F 是BD 的中点，6BF DF ∴==，1.66.46QF QF∴=+，解得2QF =；,ABP EFP APB EPF ∠=∠∠=∠，ABP EFP ∴ ，EF PF AB BP∴=4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ==== ，点F 是BD 的中点，6BF ∴=，1.64.86PF PF∴=+，解得3PF =；故答案为：3；2；（2）小明站在离B 点245米处的位置，理由如下：由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=，4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ==== ，设FP FQ x ==，1.6 1.6,6.4 4.8x x QD BP∴==，4,3QD x BP x ∴==，,2BQ x DP x ∴==，512BD x ∴==，解得125x =，2425BF x ∴==，所以，小明站在离B 点245米处的位置．15．如图1，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，16AB DC ==，12AD =，点E 是CD 边的中点，连接AE 交对角线BD 于点F ，EDF FBA ∠=∠，连接CF ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)求CFD △的面积；(3)如图2，连接AC 交BD 于点O ，点P 为EC 上一动点，连接OE 、OP ．将OPD △沿OP 折叠得到OPM ，PM 交OC 于点N ，当PCN △为直角三角形时，求CP 的长．【答案】(1)见解析(2)32(3)2或5【分析】（1）先证明四边形ABCD 是平行四边形，再由90ABC ∠=︒得四边形ABCD 是矩形；（2）过点F 作FG CD ⊥于点G ，先证DFE BFA ∽，得到12EF DE AF AB ==，再证EGF EDA ∽△△，求得GF 的长，再得出CFD △的面积；（3）先根据勾股定理求出AC 的长，再根据中位线定理求出OE 的长，再由PCN △为直角三角形分两种情况讨论，分别求出CP 的长即可．【解析】(1)证明：EDF FBA ∠=∠ ，AB CD ∴∥，16AB CD == ，∴四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形；(2)如图1，过点F 作FG CD ⊥于点G ，ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，AB CD ，DFE BFA ∴△∽△，12EF DE AF AB ∴==，13EF AE ∴=，易知FG AD ∥，EGF EDA ∴∽△△，13GF EF AD AE ∴==，143GF AD ∴=⨯=，CFD ∴△的面积为111643222CD GF ⨯⨯=⨯⨯=；(3)ABCD 是矩形，E 是CD 中点90ADC ∴∠=︒，点O 是AC 中点，8CE =，20AC ∴==，OE 是ADC 的中位线，162OE AD ∴==，10OC =，90ADC ∠<︒ ，PCN ∴△为直角三角形分两种情况讨论：①如图2，当90CPN ∠=︒时，90DPM ∠=︒，∴由折叠的性质，知45DOP MPO ∠=∠=︒，6PE OE ∴==，2CP CE EP ∴=-=；②如图3，当90PNC ∠=︒时，同理可得OP 平分DPM ∠，OE PD ⊥ ，ON PM ⊥，6OE ON ∴==，4CN OC ON ∴=-=，PCN OCE ∠=∠ ，90PNC OEC ∠=∠=︒，PNC OEC ∴△△∽，PC CN OC CE ∴=，即4108PC =，5PC ∴=，综上所述，CP 的长为2或5。
专题19 三角形内接矩形相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题19三角形内接矩形相似模型【模型】如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，EF 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则△ADG ∽△ABC ，△ADN ∽△ABM ，△AGN ∽△ACM .【例1】如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，在ABC 的内部，作一个正方形PQRS ，若3BC =，2AD =，则正方形PQRS 的边长为（）A ．65B ．54C ．1D ．32【答案】A【分析】由四边形PQRS 是正方形，可得,SR BC ∥即可证得△ASR ∽△ABC ，设正方形PQRS 的边长为x ，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：2,32x x -=解此方程即可求得答案．【解析】解：如图：记AD 与SR 的交点为E ，设正方形PQRS 的边长为x ，∵AD 是△ABC 的高，四边形PQRS 是正方形，∴SR BC ∥，AE 是△ASR 的高，则AE =AD -ED =2-x ，∴△ASR ∽△ABC ，,SR AE BC AD ∴=2,32x x -∴=解得：65x =，∴正方形PQRS 的边长为65．故选：A ．【例2】如图，已知三角形铁皮ABC 的边cm BC a =，BC 边上的高cm AM h =，要剪出一个正方形铁片DEFG ，使D 、E 在BC 上，G 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形DEFG 的边长=________．【答案】aha h+【分析】设AM 交GF 于H 点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解析】解：如图，设高AM 交GF 于H 点，∵四边形DEFG 为正方形，∴GF ∥DE ，即：GF ∥BC ，∴AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，∴GF AH BC AM=，设正方形的边长为x，∴x h xa h-=，解得：ahxa h =+，故答案为：ah a h+．【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求t的值．（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．【答案】（1）2t；（2）43；（3）2244(0)34144832(2)3S t tS t t t⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣；（4）t＝87或85【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．【解析】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案为2t，（2）如图，∵四边形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝4 3；（3）当0＜t≤43时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，即S＝DP2＝4t2，当43＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH ＝EF ﹣HF ＝2t ﹣（8﹣4t ）＝6t ﹣8，∴S ＝S 正方形DPFE ﹣S △GHE ，∴S ＝4t 2﹣12×（6t ﹣8）2＝﹣14t 2+48t ﹣32，综上所述，S 与t 之间的函数关系式为2244(0)34144832(2)3S t t S t t t ⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣.（4）如图，当点E 在△ABC 内部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝5a ，∴25PO PF a PG PB a ==，∴22825t t =-，∴t ＝87，如图，当点E 在△ABC 外部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝3a ，∵23PO PF a PG PB a ==，∴22823t t =-，∴t ＝85，综上所述：t ＝87或85.一、单选题1．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上，若2,3,2,3AD BC BC AD EF EH ⊥===，那么EH 的长为()A ．23B ．13C ．32D ．12【答案】C【分析】设EH =3x ，表示出EF ，由AD -EF 表示出三角形AEH 的边EH 上的高，根据三角形AEH 与三角形ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x 的值，即为EH 的长．【解析】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴AM EH AD BC=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∴223 23x x -=，解得：12 x=，则32 EH=．故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．12B．7C．6D．5【答案】B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【解析】解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴OM ∥AB ∥PN ∥EF ，EO ∥FP ，∠C =∠EOM =∠NPF =90°，∴△CEF ∽△OME ∽△PFN ，∴OE ：PN =OM ：PF ，∵EF =x ，MO =3，PN =4，∴OE =x -3，PF =x -4，∴（x -3）：4=3：（x -4），∴（x -3）（x -4）=12，即x 2-4x -3x +12=12，∴x =0（不符合题意，舍去）或x =7．故选：B ．3．如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】C 【分析】如图，由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质，可求得△ADE 的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解析】解：如图，设△ABC 的BC 边上的高为1h ，矩形DEFG 的FG 边上的高为2h ∵四边形DEFG 为矩形，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，DE =6，BC=10，∴12135h h DE h BC -==，∵S △ABC =50，∴15021010h ⨯==，∴2103105h -=，解得24h =，∴平行四边形纸片的面积为=26424DE h ⋅=⨯=．故选：C ．4．如图，在△ABC 中，AB 边上取一点P ，画正方形PQMN ，使Q ，M 在边BC 上，N 在边AC 上，连接BN ，在BN 上截取NE =NM ，连接EQ ，EM ，当3tan 4NBM ∠=时，则∠QEM 度数为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．90°【答案】D 【分析】证明BEQ BEM △∽△，可得BEQ BME ∠=∠，根据等腰三角形的性质可NEM NME ∠=∠，由90BME NME ∠+∠=︒，可得90BEQ NEM ∠+∠=︒，进而可得答案．【解析】PQMN 为正方形，QM NM ∴=，90BMN ∴∠=︒．3tan 4NBM ∠= ，∴在Rt △BMN 中，设3MN QM a ==，则4BM a =，∴BQ BM QM a =-=，5BN a ∴==．NE NM = ，NEM NME ∴∠=，3NE NM a ==，532BE BN NE a a a ∴=-=-=，∴122BQ a BE a ==，2142BE a BM a ==，BQ BE BE BM∴=．EBQ MBE∠=∠ ∴BEQ BEM △∽△，BEQ BME ∴∠=∠．90BME NME ∠+∠=︒ ，∴90BEQ NEM ∠+∠=︒，90QEM ∴∠=︒．故选D ．5．如图，在ABC 中，CH AB ⊥，CH h =，AB c =，若内接正方形DEFG 的边长是x ，则h 、c 、x 的数量关系为（）A ．222x h c +=B ．12x h c +=C ．2h xc =D ．111x h c=+【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得到GF DE ∥，继而证明CGF CAB D D ，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG 是矩形表示出CM 的长度，即可求解．【解析】解：设CH 与GF 交于点M ，正方形DEFG ，GF DE ∴∥，90GDE DGF ∠=∠=︒，CGF CAB D D ∴ ，GF CM AB CH∴=， CH AB ⊥，90DHM ∴∠=︒，∴四边形DHMG 是矩形，DG MH ∴=，CH h =，AB c =，正方形DEFG 的边长是x ，MH x ∴=，CM CH MH h x ∴=-=-，x h x c h -∴=，整理得111x h c=+，故选：D ．6．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC 是10亩整．股差90AD =步，勾差10BF =步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩240=平方步）答：（）A ．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B ．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C ．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D ．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩【答案】A 【分析】首先判定AED EBF ∽，然后利用该相似三角形的对应边成比例和DE EF =求得30DE =；然后利用三角形和正方形的面积公式解答．【解析】解：根据题意知，AED EBF ∽，则AD EF DE FB=．又DE EF = ，30DE ∴==．所以，芝麻田的面积为：3030240 3.75S =⨯÷=芝麻（亩)．黍田的面积为：12402S AC CB S =⋅÷-黍芝麻()()12402AD DC CF FB S =++÷-芝麻1(9030)(3010)240 3.752=⨯++÷-6.25=（亩)．综上所述，芝麻田3.75亩，黍田6.25亩．故选：A ．二、填空题7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．在其内并排放入（不重叠）n 个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB 上，首尾两个正方形各有一个顶点D ，E 分别在AC ，BC 上，则小正方形的边长为_____（用含n 的代数式表示）．【答案】1201225n +【分析】连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，根据勾股定理可得AB =10，再由22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，可得CF ＝245，然后根据△CDE ∽△CAB ，可得CG DE CF AB =，即可求解．【解析】解：连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，则DE AB ∥，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．∴AB ＝10，∵22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，∴861022CF ⨯⋅=，解得∶CF ＝245，∵DE AB ∥，∴△CDE ∽△CAB ，CG DE ⊥，∴CG DE CF AB=，设小正方形的边长为x ，∴24524105x nx -=，解得x ＝1201225n +，故答案为：1201225n +．8．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，在三角形内挖掉正方形CDEF ，则正方形CDEF 的边长为________．【答案】6017【分析】设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，证明△AFE ∽△ACB ，可得EF AF BC AC =，由此构建方程即可解决问题．【解析】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ∥CD ，EF ＝FC ＝CD ＝DE ，设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，∴△AFE ∽△ACB ，∴EF AF BC AC =，∴12512x x -=，解得x ＝6017，即正方形CDEF 的边长为6017，故答案为：6017．9．如图的△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，EF ＝1，则BN 的长度为_____．【答案】127【分析】由∥DE BC 可得AE DE AB BC =，求出AE 的长，由GF BN ∥可得AE EF GF AB BN +=，将AE 的长代入可求得BN ．【解析】解：∵四边形DEFG 是正方形，∴,DE BC GF BN ∥∥，且DE =GF =EF =1，∴△ADE ∽△ACB ，△AGF ∽△ANB ，∴AE DE AB BC=①，AE EF GF AB BN +=②，由①可得，143AE =，解得：43AE =，将43AE =代入②，得：41134BN+=，解得：127BN =，故答案为：127．10．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上．若3BC =，2AD =，23EF EH =，AD BC ⊥，那么EH 的长为__．【答案】32【分析】根据矩形的性质得到EH BC ∥，得到AEH ABC ∽△△，根据相似三角形的性质得到比例式，列出方程，解方程即可．【解析】解：设AD 与EH 相交与点M ，四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEH ABC ∽△△，AM EH ⊥ ，AD BC ⊥，∴AM EH AD BC=，设3EH x =，则有2EF x =，22AM AD EF x =-=-，∴22323x x -=，解得：12x =，则32EH =．故答案为：32．11．如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．【答案】245【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ∥，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM EH AD BC=，再将数据代入即可得出答案．【解析】∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEF ABC ∽，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴,AM EH DM EF AD BC==，∴6AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵=2EH EF ，代入可得：6268EF EF -=，解得12=5EF ，∴1224=255EH ⨯=，故答案为：245．12．在Rt ABD △中，90ABD ∠=︒，点C 在线段AD 上，过点C 作CE AB ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，使得四边形CEBF 为正方形，此时3cm AC =，4cm CD =，则阴影部分面积为_________2cm ．【答案】6【分析】由正方形的性质可得CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，得△AEC ∽△ABD ，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，利用相似三角形对应边成比例得到37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得222AE CE AC +=，求得x 的值，进一步即可求得阴影部分的面积．【解析】解：∵四边形CEBF 为正方形，∴CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，∴△AEC ∽△ABD ，∴AE EC AC AB BD AD==，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，∴37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得，222AE CE AC +=，即22334x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x ＝125，∴AE ＝34x ＝95（cm ），FD ＝43x ＝165（cm ），∴阴影部分面积为1912116126255255ACE CFD S S +=⨯⨯+⨯⨯= （2cm ）．故答案为：6三、解答题13．如图，己知直角三角形的铁片ABC 的两直角边BC 、AC 的长分别为3cm 和4cm ，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？【答案】（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．【解析】解：（1）设正方形边长为y cm ，则DE =CD =EF =CF =y cm ，∵DE ∥BC ，∴AD DE AC CB=，∴334y y -=，∴127y=；（2）5 AB=．作AB边上的高CH，交DE于点M．由1122ABCS AB CH AC BC=⋅=⋅△，得53422CH⨯=，解得12cm5CH=．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CM DE CH AB=．设正方形DEFG的边长为cmx，则1251255x x-=，解得6037x=．∵6012 377<，∴（1）的情形下正方形的面积大．14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)设12AF FC =，△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【答案】(1)见解析；(2)45【分析】（1）由平行线的性质得出DEB FCE ∠=∠，DBE FEC ∠=∠，即可得出结论；（2）先求出23FC AC =，易证EFC BAC ∆∆∽，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】(1)解：证明：//EF AB ，DBE FEC ∴∠=∠，∵DEB FCE ∠∠＝，BDE EFC ∴∆∆∽；(2) 12AF FC =，∴23FC AC =，//EF AB ，EFC BAC ∴∆∆∽，∴222439EFC ABC S FC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，99204544ABC EFC S S ∆∆∴==⨯=．15．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE AC ∥，EF AB ∥．(1)求证：BDE EFC △△∽．(2)若12BC =，12AF FC =，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)4【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB ＝∠FCE ，∠DBE ＝∠FEC ，可得结论；（2）先证明四边形ADEF 是平行四边形，得到DE =AF ，推出12DE FC =，再由相似三角形的性质推出2EC BE =，由此求解即可．【解析】(1)解：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；(2)解：∵DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴DE =AF ，∵12AF FC =，∴12DE FC =，∵△BDE ∽△EFC ，∴12BE DE EC FC ==，∴2EC BE =，∴312BE BC ==，∴4BE =．16．一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【解析】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EH BC ，即121k -＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x 可取任何实数，试求二次三项式261x x +-的最值．解：22226123331x x x x +-=+⨯⋅+--2(3)10x =+-∵无论x 取何实数，总有2(3)0x +≥．∴2(3)1010x +-≥-，即无论x 取何实数，261x x +-有最小值，是10-．(1)问题：已知247y x x =--+，试求y 的最值．(2)【知识迁移】在ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB AC 、上，顶点Q 、M 在边BC 上，探究一：12,6AD BC ==，求出矩形PQMN 的最大面积的值；（提示：由矩形PQMN 我们很容易证明APN ABC ∽△△，可以设PN x =，经过推导，用含有x 的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）(3)探究二：,AD h BC a ==，则矩形PQMN 面积S 的最大值___________．（用含a ，h 的代数式表示）【答案】(1)11；(2)18；(3)4ah【分析】（1）根据题意，使用配方法将二次三项式进行配方，再根据不等式的基本性质确定最值即可；（2）首先证明APN ABC ∽△△，根据相似三角形的性质，可以得到PN AE BC AD=，设PN x =，则162x AE =，得出2AE x =，从而得出122MN x =-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可；（3）根据探究一，即可得出PN AE BC AD =，设PN x =，则x a h AE =，因此h AE x a =，从而得到h MN h x a=-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可．【解析】（1）解：()()()22222247474227211y x x x x x x x =--+=-++=-++-+=-++∵无论x 取何实数，总有2(2)0x +≥，∴2(2)0x -+≤，∴2(2)1111x -++≤，即y 有最大值，是11；（2）探究一：∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥BC ，∴∠APN ＝∠ABC ，∠ANP ＝∠ACB ，∴△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴162xAE=，∴2AE x =，由已知可得四边形EDMN 是矩形，∴122MN DE x ==-，∴()()()2222212221226332318S x x x x x x x =-=-+=--+-=--+，∵无论x 取何实数，总有2(3)0x -≥，∴22(3)0x --≤，∴22(3)1818x --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为18；（3）探究二：由探究一可知，△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴x a h AE=，∴h AE x a=，∴h MN h x a=-，∴()2222224424h h h h a a h a ah S x h x x hx x ax x ax x a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=--=--+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵无论x 取何实数，总有2()02a x -≥，∴2()02h a x a --≤，∴2(244h a ah ah x a --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为4ah ．18．如图，Rt ABC 为一块铁板余料，90B ∠=︒，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．【答案】方案①正方形边长247cm ，方案②正方形边长12037cm ．【分析】方案①：设正方形的边长为x cm,然后求出△AEF 和△ABC 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．方案②：作BH ⊥AC 于H ，交DE 于K ，构造矩形DKHG 和相似三角形（△BDE ∽△BCA ），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH 的长度，则BK ＝4.8−y ；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．【解析】解：设方案①正方形的边长为x cm ，90ABC ∠=︒ ，四边形BDFE 是正方形，EF BC ∴∥，AEF ABC ∴∆∆∽，∴EF AE BC AB=，即886x x -=，解得247x =，即加工成正方形的边长为247cm ．设方案②正方形的边长为y cm ，作BH AC ⊥于H ，交DE 于K ，∵四边形EDGF 是正方形，∴DE AC ∥，90EDG DGF ∠=∠=︒．∴BH DE ⊥于K ．∴90DKH ∠=︒．∴四边形DKHG 为矩形．设HK DG y ==．∵DE AC ∥．∴BDE BCA ∽．∴BK DE BH AC=．∵10AC ==．∴Δ11681022ABC S BH =⨯⨯=⨯⨯，∴ 4.8BH =，∴ 4.8BK y =-．∴4.84.810y y -=．解得12037y =．即方案②加工成正方形的边长为12037cm ．19．在△ABC 中，BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，P 是BC 上任一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥AC 交AB 于F．(1)设BP ＝x ，将S △PEF 用x 表示；(2)当P 在BC 边上什么位置时，S 值最大．【答案】(1)S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）(2)当BP ＝1时，面积有最大值14【分析】（1）先求出△ABC 的面积，再用x 表示出PC ，然后再说明△CEP ∽△CAB 可得CEP CABS S ∆∆＝（22x -）2可得△CEP 的面积，同理可得S △BPF ＝24x ，然后结合图形根据平行四边形的对角线平分平行四边形解答即可；（2）先对（1）所得解析式配方，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【解析】（1）解：（1）∵BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，∴S △ABC ＝12×2×1＝1，∵BP ＝x ，∴PC ＝2﹣x ，∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB ，∴CEP CAB S S ∆∆＝（22x -）2，∴S △CEP ＝1﹣x ＋24x ，同理:S △BPF ＝24x ，∵四边形AEPF 为平行四边形，∴S △PEF ＝12S ▱AEPF ＝12（S △ABC ﹣S △CEP ﹣S △BPF ）＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．∴S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．（2）解：由（1）知S △PEF ＝﹣14x 2＋12x ＝﹣14（x ﹣1）2＋14，∵0＜x ＜2，∴当x ＝1时，面积有最大值14．20．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝12m ，高线AD ＝8m ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m ．(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程？(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为Rt △ABC 的斜板，已知∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN 的工件，使MQ 在BC 上，P 、N 两点分别在AB ，AC 上，且PN ＝8m ，则平行四边形PQMN 的面积为m 2．【答案】(1)见解析(2)达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，(3)7.68【分析】（1）设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，AE =AD -ED =（8-x ）m ，再证明△APN ∽△ABC ，得到AE PN AD BC =，即8812x x -=，由此求解即可；（2）设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，求出28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()226243S PN PQ x =⋅=--+，由此利用二次函数的性质求解即可；（3）如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，得到AE PN AD BC=，利用勾股定理和面积法求出10m BC =， 4.8m AD =，从而求出0.96m DE =，则27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形．【解析】（1）解：由题意得四边形PQDE 是矩形，设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，∴AE =AD -ED =（8-x ）m ，∵四边形PQMN 是正方形，∴PN QM ∥，∴△APN ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，即8812x x -=，解得 4.8x =，∴正方形PQMN 的边长为4.8m ；（2）解：设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，∴AE PN AD BC =，即8128x PQ -=，∴28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()2222288624333S PN PQ x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵230a =-<，∴当6x =时，S 有最大值，最大值为224m ，∴4m PQ =，∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，（3）解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∴10m BC ==，∵1122ABC S AD BC AC AB =⋅=⋅△，∴ 4.8m AB AC AD BC⋅==，∴ 4.8AE AD DE DE =-=-，∴4.884.810DE -=，∴0.96m DE =，∴27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形，故答案为：7.68．。
中考数学几何模型复习 专题 手拉手模型(学生版+解析版)
中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．1．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ） （3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）2．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PABCDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样； 设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为 ．EDCBAC例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为 ．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．例五：如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为( )A．9 B．9 C．18+D．18 例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．QPABCPABCPABCABCP三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=30ABD∠=︒，点E是边AB的中点，过点E作EF AB⊥交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF∆绕点B按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将BEF∆绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF∆旋转至D、E、F三点共线时，则ADE∆的面积为．2．（2021•贵港）已知在ABC∆中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC∆绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF∆，连接AE，CF．（1）如图1，当90=；=时，则AE与CF满足的数量关系是AE CF∠=︒且AB ACBAC（2）如图2，当90≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若∠=︒且AB ACBAC不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD OABC=时，求DE的长．=，连接DE，当5==，6AO CF3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =；（2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转．①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60︒得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP AC=时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；∆，（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ求线段AP的长度．6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ． （1）如图1，当60α=︒时， ①求证：PA DC =； ②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为 ．中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．3．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ） （3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）4．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PAB CDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样； 设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】等边三角形中的旋转型全等连接OB 、OC ，易证△OBD ≌△OCE ，∴OD =OE ，结论①正确；考虑∠FOG 是可以旋转的，△ODE 面积和△BDE 面积并非始终相等，故结论②错误；ECBACC∵△OBD ≌△OCE ，∴四边形ODBE 的面积等于△OBC的面积，142OBCS=⨯=，故结论③正确；考虑BD =CE ，∴BD +BE =CE +BE =4，只要DE 最小，△BDE 周长就最小，△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，故OD 最小，DE 便最小， 当OD ⊥AB 时，OD此时2DE ==，∴周长最小值为6，故结论④正确． 综上，选C ，正确的有①③④．【小结】所谓全等，实际就是将△ODB 绕点O 旋转到△OEC 的位置．等等，好像和某个图有点神似，如下：当然这个图形还可以简化一下，毕竟和D 点及F 点并没有什么关系．结论与证明不多赘述，题型可以换，但旋转是一样的旋转．例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为 ．【分析】连接PP '，则CPP '△是等边三角形，故6PP PC '==，易证△CPB ≌CP A '△，∴10AP BP '==， 又AP =8，∴APP '△是直角三角形，∴3sin 5PAP '∠=．D例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为 ．【分析】分四边形为三角形．连接PQ ，易证△APQ 是等边三角形，△BPQ 是直角三角形，26APQS=168242BPQS =⨯⨯=， ∴四边形APBQ的面积为(．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．【分析】构造旋转．如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ， 可得△AEP 是直角三角形，△BEP 是等边三角形，21688242APBBPCAEPBEPSSSS+=+=⨯⨯+=+ 所以本题答案为24+QPABCQPABCPABCC搭配一：若222PA PB PC+=，则可任意旋转，得等边+直角．且两条较短边夹角（∠APB）为150°．搭配二：若∠APB=150°，则有222PA PB PC+=．例五：如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为()A．9B．9C．18+D．18【分析】（3，4，5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形．法一：如图，将三个小三角形面积分别123S S S、、考虑到△ABC是等边三角形，可将△APB 旋转到△ADC位置，可得：21331334642ADP PCDS S S S+=+=+⨯⨯=，同理可得：212143462S S++⨯⨯=，223153462S S+=+⨯⨯=，∴()123218S S S++，∴1239S S S++，故选A．CC CPABCS3S2S1PAB CC法二：如图，易证∠APB =150°，过点A 作BP 的垂线交BP 延长线于点H ，则1322AH AP ==，PH，4BH =)2229271625944S AH BH ==+=+++=+=⎝． 【思考】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？作旋转之后，可得△AEP 是等腰直角三角形，若使△PEB 也为直角三角形， 则原∠APD =135°，而线段PA 、PB 、PD 之间的关系为：2222PA PD PB +=．搭配一：若∠APD =135°，则2222PA PD PB +=；搭配二：若2222PA PD PB +=，则∠APD =135°．另外，其实这个图和点C 并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形． 大概如下图：抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式．例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．【分析】显然根据∠APB =135，构造旋转．可得：△APQ 是等腰直角三角形，△PQC 是直角三角形，且∠PQC =90°，另外还有条件PC =HPABC EAB CDEPABCPC重新梳理下条件，（1）有一条线段PC =（2）∠PQC =90°，则Q 点轨迹是个圆弧，（3）以PQ 为斜边在PC 异侧作等腰直角三角形，点A 是直角顶点．∴A 点轨迹是什么？瓜豆原理啦，也是个圆弧：∴AC22=．三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ． 实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF= ；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为 ． （2）小王同学继续将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸：在以上探究中，当BEF ∆旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE ∆的面积为 ．CPP PCCC【解答】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠==， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒，，30︒；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又BE AB BF DB ==， ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，2AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，BE ∴2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，DE ∴30DEA ∠=︒，12DG DE ∴==由（2）可得：AE BE DF BF ==，∴=AE ∴，ADE ∴∆的面积1122AE DG =⨯⨯==； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1122AE DG =⨯⨯==2．（2021•贵港）已知在ABC ∆中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC ∆绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ∆，连接AE ，CF ．（1）如图1，当90BAC ∠=︒且AB AC =时，则AE 与CF 满足的数量关系是 ；（2）如图2，当90BAC ∠=︒且AB AC ≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD OA =，连接DE ，当5AO CF ==，6BC =时，求DE 的长．【解答】解：（1）结论：AE CF=．理由：如图1中，=，∠=︒，OC OB AB ACBAC=，90⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，AOC EOF90∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OCAOE COF SAS∴∆≅∆，()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，=，∠=︒，OC OBBAC90∴==，OA OC OB∠=∠，AOC EOF∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OC∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OEOC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OACF OC=，5 CF OA==，∴5 53 AE=，253 AE∴=，DE∴=．3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =； （2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图①中，EA ED =，45EAD ∠=︒，45EAD EDA ∴∠=∠=︒，90AED ∴∠=︒，BF FD =，12EF DB ∴=， 90CAB ∠=︒，45CAD BAD ∴∠=∠=︒，1452ABC AED ∠=∠=︒， 45ACB ABC ∴∠=∠=︒，AC AB ∴=，AD ∴垂直平分线段BC ，DC DB ∴=，12EF CD ∴=． （2）解：如图②中，结论：12EF CD =．理由：取CD 的中点T ，连接AT ，TF ，ET ，TE 交AD 于点O ． 90CAD ∠=︒，CT DT =，AT CT DT ∴==，EA ED =，ET ∴垂直平分线段AD ，AO OD ∴=，90AED ∠=︒，OE OA OD ∴==，CT TD =，BF DF =，//BC FT ∴，45ABC OFT ∴∠=∠=︒，90TOF ∠=︒，45OTF OFT ∴∠=∠=︒，OT OF ∴=，AF ET ∴=，FT TF =，AFT ETF ∠=∠，FA TE =，()AFT ETF SAS ∴∆≅∆，EF AT ∴=，12EF CD ∴=．如图③中，结论：EF =．理由：取AD 的中点O ，连接OF ，OE ．EA ED =，60AED ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形，AO OD =，OE AD ∴⊥，30AEO OED ∠=∠=︒，tan AO AEO OE ∴∠==∴OEAD =1302ABC AED ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，AB ∴，AO OD =，BF FD =，12OF AB ∴=，∴OF AC =， ∴OE OFAD AC =，//OF AB ，DOF DAB ∴∠=∠，90DOF EOF ∠+∠=︒，90DAB DAC ∠+∠=︒，EOF DAC ∴∠=∠，EOF DAC ∴∆∆∽，∴EFOECD AD =，EF ∴．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒． （1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；（2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转． ①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．【解答】（1）证明：90AOB MON ∠=∠=︒， AOB AON MON AON ∴∠+∠=∠+∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=；（2）①证明：连接BN ，90AOB MON ∠=∠=︒，AOB BOM MON BOM ∴∠-∠=∠-∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，45MAO NBO ∴∠=∠=︒，AM BN =，90MBN ∴∠=︒，222MB BN MN ∴+=，MON ∆都是等腰直角三角形，222MN ON ∴=，2222AM BM OM ∴+=；②解：如图3，当点N 在线段AM 上时，连接BN ，设BN x =， 由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥， 在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴-+=，解得：x =，AM BN ∴= 如图4，当点M 在线段AN 上时，连接BN ，设BN x =， 由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥， 在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴++=，解得：x =，AM BN ∴=，综上所述，线段AM ． 5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到CQ ，连QB ．（1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP AC =时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且APQ ∆，求线段AP 的长度．【解答】解：（1）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒， 由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒， ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=．（2）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒， 由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒，ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒；BQ AP AC BC ∴===，AP AC =，90CAP ∠=︒，30BAP ∴∠=︒，75ABP APB ∠=∠=︒，135CBP ABC ABP ∴∠=∠+∠=︒，45CBD ∴∠=︒，45QBD ∴∠=︒，CBD QBD ∴∠=∠，即BD 平分CBQ ∠，BD CQ ∴⊥且点D 是CQ 的中点，即直线PB 垂直平分线段CQ ．（3）①当点Q 在直线l 上方时，如图所示，延长BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒， ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 60BEF ∴∠=︒，设AP t =，则BQ t =，EQ t ∴=-，在Rt EFQ ∆中，)QF t =-，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即1)2t ⋅-=，解得t =t ．即AP ． ②当点Q 在直线l 下方时，如图所示，设BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒，ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，120BEF ∴∠=︒，60QEF ∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 设AP m =，则BQ m =，EQ m ∴=-，在Rt EFQ ∆中，QF m =，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即12m m ⋅-解得m m ==．综上可得，AP 6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为 ．【解答】（1）①证明：如图1中，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ， PB PD ∴=，AB AC =，PB PD =，60BAC BPD ∠=∠=︒， ABC ∴∆，PBD ∆是等边三角形，60ABC PBD ∴∠=∠=︒，PBA DBC ∴∠=∠，BP BD =，BA BC =，()PBA DBC SAS ∴∆≅∆，PA DC ∴=．②解：如图1中，设BD 交PC 于点O ．PBA DBC ∆≅∆，BPA BDC ∴∠=∠，BOP COD ∠=∠，60OBP OCD ∴∠=∠=︒，即60DCP ∠=︒．（2）解：结论：CD =．理由：如图2中，AB AC =，PB PD =，120BAC BPD ∠=∠=︒，2cos30BC AB ∴=⋅⋅︒，2cos30BD BP =⋅︒=，∴BC BD BA BP= 30ABC PBD ∠=∠=︒，ABP CBD ∴∠=∠，CBD ABP ∴∆∆∽，∴CD BC PA AB=CD ∴=．（3）过点D 作DM PC ⊥于M ，过点B 作BN CP ⊥交CP 的延长线于N ． 如图31-中，当PBA ∆是钝角三角形时，在Rt ABN ∆中，90N ∠=︒，6AB =，60BAN ∠=︒，cos603AN AB ∴=⋅︒=，sin 60BN AB =⋅︒=2PN PB ==， 321PA ∴=-=，由（2）可知，CD = BPA BDC ∠=∠，30DCA PBD ∴∠=∠=︒， DM PC ⊥，12DM CD ∴=如图32-中，当ABP ∆是锐角三角形时，同法可得235PA =+=，CD =12DM CD ==综上所述，满足条件的DM ．．。
专题14 8字型和反8字型相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题148字型和反8字型相似模型【模型1】8字型模型如图14-1，要证明OAB ∆∽ODC ∆根据对顶角相等，可知DOC AOB ∠=∠，只需知道CD AB //，即可知另一组对应角相等。
可得OAB ∆∽ODC ∆。
【模型2】反8字型模型如图14-2，要证明OAB ∆∽OCD ∆根据对顶角相等，可知DOC AOB ∠=∠，只需再知道一组对应角相等即可，即C A ∠=∠或D B ∠=∠即可得证OAB ∆∽OCD ∆。
【例1】如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（）A ．DH CH FH BH =B ．GE CG DF CB =C ．AF HG CE CG =D ．=FH BF AG FA【例2】如图，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，且2CE BE =，点F 为对角线BD 上一点，且2BF DF =，连接AE 交BD 于点G ，过点F 作FH AE ⊥于点H ，若2HG cm =，则正方形ABCD 的边长为_______cm ．【例3】已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE ＝AB ，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ，联结BD ．（1）求证：△BND ∽△CNM ；（2）如果AD 2＝AB •AF ，求证：CM •AB ＝DM •CN ．一、单选题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC ，BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为()A ．8B ．10C ．12D ．142．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S △：EFBC S 四边形为（）A ．1：5B ．4：25C ．4：31D ．4：353．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，2AE ED =，连接BE 交AC 于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点F ，则BG GF 的值为（）A ．23B ．12C ．13D ．344．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是BC 的中点，DE 交AC 于点F ，若12DE =，则DF 等于()A ．3B ．4C ．6D ．85．如图，在△ABC 中，AB ＝15cm ，AC ＝12cm ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE 等于（）cm ．A ．32B ．24C ．48D ．646．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG 的值为（）A ．12B ．13C ．23D ．347．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分∠DCB 交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：①∠ACD ＝30°；②S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；③OE ：AC ＝1：4；④S △OCF ＝2S △OEF ．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在△ABC 中，BC ＝6，AE AF EB FC=，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP +BP 的值为（）A ．9B ．12C ．18D ．24二、填空题9．已知AOB 与COD △是位似图形，位似中心为点O ，若:1:3OA OC =，则AOB 与COD △的面积之比为__________．10．已知ABC 中，AB 6,AC 9,D E ==、分别是直线AC 和AB 上的点，若AD AE AC AB=且AD 3=，则BE =_________．11．如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若8BE =，则GE =___．12．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE BD ⊥于点F ，当AD CD =时，求CE 的长．三、解答题13．如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=EF=FD ，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．（1）求HD 的长；（2）设BEG 的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）14．如图，E 为平行四边形ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE ．交AC 于O ，交AD 于F ．求证：2BO OE OF = ．15．如图AD 与CE 交于B ，且AB CB BD BE=．（1）求证：ABC ∽DBE ．（2）若8AC =，6BC =，9CE =，求DE 的长．16．已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，点F 在边AB 上，BC 2=BF•BA ，CF 与DE 相交于点G ．（1）求证：DF•AB=BC•DG ；（2）当点E 为AC 中点时，求证：2DF•EG=AF•DG ．17．矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝3cm ，AD ＝BC ＝4cm ，AC 是对角线，动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为1cm/s ；动点Q 从点C 出发沿CD 方向向点D 匀速运动，速度为2cm/s ．过点P 作BC 的垂线段PH ，运动过程中始终保持PH 与BC 互相垂直，连接HQ 交AC 于点O ．若点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜1.5），解答下列问题：（1）求当t 为何值时，四边形PHCQ 为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ 与AC 互相垂直？如果存在请求出t 值；如果不存在请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD 的面积是四边形PHCQ 面积的7544，如果存在请求出t 值；如果不存在请说明理由．18．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，连接AE ，若AE 的延长线和BC 的延长线相交于点F ．（1）求证：BC CF =；（2）连接AC 和BE 相交于点为G ，若GEC 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．19．如图，ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AG GF的值．（2）如果BD =，4DF =，请找出与BDA V 相似的三角形，并挑出一个进行证明．20．已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）连接CD ，交AB 于点M ．①若6AB =，求BM 的长；②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN+=．21．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP D到CP的距离．23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求证：AN＝CM；（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．24．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，12AC =，过点E 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ．（1）当MN BC ⊥时，MN 的长为________，AEM △∽________；（2）已知2EC AE =．①若9MN =，求此时AM 的长；②当E ，F 为AC 的三等分点，点P 在正方形的边上时，是否存在满足9+=PE EF 的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．。
中考数学几何模型重点突破讲练专题25 圆中的相交弦模型(教师版)
【答案】36 3 5 2
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，
设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；
证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出 CE BE ，设 EO=x，EC=OC=OB=a，得出 a2=x（x+a）， EO CE
∵AE=EC，AE⊥BC， ∴BM=MC， ∴∠MBC=∠MCB， ∵BG⊥AC，AE⊥BC， ∴∠EAC+∠ACE=90°，∠HBC+∠ACE=90°， ∴ EAC HBC MCB ， ∴ CMG MBC MCB 2 ， ∵ BC BC ， ∴ G BAC 2 ， ∴∠G=∠CMG， ∴CG=CM=BM， ∵AC⊥BG， ∴MH=HG， ∵OA=OC， ∴ ACO EAC ∴ CFG 90 ACO 90 ，
求出 OE=
5 1 2
a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出
BC AD
EC AE
，则可得出答案．
【解析】解：∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线 CO 对折，
∴∠ECO=∠BCO，
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵ FCG 180 CFG G ，即 FCG 180 (90 ) 2 90 ， ∴ FCG CFG ， ∴FG=CG， ∴BM=MC=FG=CG， 又∵MH=HG， ∴BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG， ∴BF=2HG． （3）过 O 点作 OP⊥AC，如解图（3）
2024中考数学核心几何模型重点突破专题02 角平分线模型(含解析)
2024中考数学核心几何模型重点突破专题02角平分线模型模型分析【理论基础】角平分线的概念：如图，已知OC 是AOB ∠的角平分线⇒AOB COB AOC ∠=∠=∠21【模型变式1】双中点求和型如图已知OC 是AOB ∠内任意一条射线，射线OE 是AOC ∠的角平分线，射线OF 是COB ∠的角平分线⇒AOB EOF ∠=∠21【证明】射线OE 是AOC ∠的角平分线，射线OF 是COB ∠的角平分线;21AOC EOC AOE ∠=∠=∠∴COB FOB COF ∠=∠=∠21COFEOC EOF ∠+∠=∠AOB COB AOC COB AOC EOF ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴21)(212121AOB EOF ∠=∠21【模型总结】某个角内的一条射线，把这个角分成两个角，这两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。
【模型变式2】双中点求差型如图已知OB 是AOC ∠外任意一条射线，射线OE 是AOB ∠的角平分线，射线OF 是COB ∠的角平分线⇒AOC EOF ∠=∠21【证明】射线OE 是AOB ∠的角平分线，射线OF 是COB ∠的角平分线;21AOB EOB AOE ∠=∠=∠∴COB FOB COF ∠=∠=∠21FOB EOB EOF ∠-∠=∠AOC COB AOB COB AOB EOF ∠=∠-∠=∠-∠=∠∴21)(212121AOC EOF ∠=∠21【模型总结】某个角外的一条射线，以该射线为邻边的两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。
典例分析【例1】如图，已知AOB ∠和AOC ∠互余，OM 、ON 分别平分AOB ∠和AOC ∠，20MON ∠=︒，则AOB ∠=_______________°．【例2】如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（）A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=1∠EOC2C．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD【例3】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系模型演练一、单选题1．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度数为（）A．96°B．104°C．114°D．124°2．如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，则∠AOE的大小是（）A．12°B．15°C．18°D．24°3．如图，直线AB，CD，EO相交于点O，已知OA平分∠EOC，若∠EOC:∠EOD＝2:3，则∠BOD的度数为（）A．40°B．37°C．36°D．35°4．如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（2022·山东东营·二模）如图，CD AB ∥，点O 在AB 上，OE 平分,110BOD OF OE D ∠⊥∠=︒,，则AOF ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒二、填空题6．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，OF 平分COE ∠．若76AOC ∠=︒，则BOF ∠的度数为______°．7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ．若∠BOF =30°，则∠DOE =_______°．8．如图，直线AB 、CD 交于点O ，CO OE ⊥，OF 是AOD ∠的平分线，OG 是EOB ∠的平分线，44AOC ∠=︒，则∠=FOG _____________．9．如图，已知射线OC 在AOB ∠内部，OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOB ∠，现给出以下4个结论：①DOE AOF ∠=∠；②2DOF AOF COF ∠=∠-∠；③AOD BOC ∠=∠；④()12EOF COF BOF ∠=∠+∠其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．10．如图，∠COD 在∠AOB 的内部，且12COD AOB Ð=Ð，若将∠COD 绕点O 顺时针旋转，使∠COD 在∠AOB 的外部，在运动过程中，OE 平分∠BOC ，则∠DOE 与∠AOC 之间满足的数量关系是_____．三、解答题11．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠AOC 和∠COB 的度数．12．如图，O 为直线AB 上的一点，48AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．(1)求BOD ∠的度数；(2)OE 是BOC ∠的平分线吗？为什么？13．已知O 为直线AB 上一点，过点O 向直线AB 上方引两条射线OC ，OD ，且OC 平分AOD ∠．（Ⅰ）请在图①中BOD ∠的内部画一条射线OE ，使得OE 平分BOD ∠，并求此时COE ∠的度数；（Ⅱ）如图②，若在BOD ∠内部画的射线OE ，恰好使得3BOE DOE ∠=∠，且70COE ∠=︒，求此时∠BOE 的度数．14．已知：如图所示（1），AOB ∠和COD ∠共顶点，OB OD 、重合，OM 为AOD ∠的平分线，ON 为BOC ∠的平分线，=AOB α∠，=COD β∠.（1）如图所示（2），若=90α︒，=30β︒，则MON ∠=_______.（2）如图所示（3），若COD ∠绕O 点逆时针旋转，且=BOD γ∠，求MON ∠.（3）如图所示（4），若=2αβ，COD ∠绕O 点逆时针旋转，OE 平分BOD ∠，以下两个结论：①AOD COE∠∠为定值；②-AOD COE ∠∠为定值；请选择正确的结论，并说明理由.参考答案与详细解析典例分析【例1】如图，已知AOB ∠和AOC ∠互余，OM 、ON 分别平分AOB ∠和AOC ∠，20MON ∠=︒，则AOB ∠=_______________°．【答案】65【分析】根据余角的定义以及角平分线的定义解答即可．【解析】解：∵OM 、ON 分别平分AOB ∠和AOC ∠，20MON ∠=︒，∴12AOM AOB ∠=∠，12AON AOC ∠=∠，∴112022AOB AOC AOM AON MON ∠-∠=∠-∠=∠=︒，∴40AOB AOC ∠-∠=︒①，又∵AOB ∠和AOC ∠互余，∴90AOB AOC ∠+∠=︒②，①＋②，得：24090AOB ∠=︒+︒，解得：65AOB ∠=︒．故答案为：65．【例2】如图，∠AOB =120°，OC 是∠AOB 内部任意一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的角平分线，下列叙述正确的是（）A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=12∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD【答案】C【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论．【解析】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．故选C．【例3】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系【答案】(1)45°(2)∠MON=12α(3)①∠MON=12α；②α=23β或=43β【分析】（1）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（3）①求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；②分OM、ON在OB的异侧和同侧两种情况求解．【解析】(1)∵∠AOB是直角，∴∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠COA=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°．∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠COA=75°，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45°(2)∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠COA=α+60°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠COA=12(α+60°)，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=12(α+60°)-30°=12α．(3)①∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠COA=∠AOB+∠BOC=α+β．∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠COA=12(α+β)，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=12β，∴∠MON=∠COM-∠CON=12(α+β)-12β=12α．②当OM、ON在OB的异侧时，如图3-1，∵∠COM=12(α+β)，∠BOC＝β，∴∠BOM=12(α+β)-β=12(α-β)，∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON=12β，∴12β=3×12(α-β)，∴α=43β；当OM、ON在OB的同侧时，如图3-2，∵∠COM=12(α+β)，∠BOC＝β，∴∠BOM=β-12(α+β)=12(β-α)，∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON=12β，∴12β=3×12(β-α)，∴α=23β．综上可知，α=23β或=43β．模型演练一、单选题1．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度数为（）A．96°B．104°C．114°D．124°【答案】C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BGH，再根据角平分线的定义可得∠BGM=12∠BGH，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠BGH=180°-∠GHM=180°-48°=132°，∵GM平分∠BGH，∴∠BGM =12∠BGH =12×132°=66°，∵AB ∥CD ，∴∠GMD =180°-∠BGM =180°-66°=114°．故选：C ．2．如图，∠AOC 与∠BOC 互为余角，OD 平分∠BOC ，∠EOC ＝2∠AOE ．若∠COD ＝18°，则∠AOE 的大小是（）A ．12°B ．15°C ．18°D ．24°【答案】C 【分析】利用角平分线求出∠BOC ＝36°，利用∠AOC 与∠BOC 互为余角，求出∠AOC ＝90-36°=54°，再根据∠EOC ＝2∠AOE ，即可求出∠AOE =18°．【解析】解：∵∠COD ＝18°，OD 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝36°，∵∠AOC 与∠BOC 互为余角，∴∠AOC ＝90°-36°=54°∵∠EOC ＝2∠AOE ，∴3∠AOE =54°，∴∠AOE =18°．故选：C3．如图，直线AB ，CD ，EO 相交于点O ，已知OA 平分∠EOC ，若∠EOC:∠EOD ＝2:3，则∠BOD 的度数为（）A ．40°B ．37°C ．36°D ．35°【答案】C 【分析】根据:2:3EOC EOD ∠∠=与180EOC EOD ∠+∠=︒得到EOC ∠，根据OA 平分EOC ∠得到AOC ∠，最后根据对顶角相等即可求出BOD ∠．【解析】解：:2:3EOC EOD ∠∠=，180EOC EOD ∠+∠=︒，31802EOC EOC ∴∠+∠=︒，72EOC ∴∠=︒，OA 平分EOC ∠，11723622AOC EOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，36BOD AOC ∴∠=∠=︒．故选：C ．4．如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D 【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到BOC ∠的度数，再根据角平分线即可得出3∠的度数．【解析】解：12∠=∠，1280∠+∠=︒，1240∴∠=∠=︒，140BOC ∴∠=︒，又OE 平分BOC ∠，3140270∴∠=︒÷=︒．故选：D ．5．（2022·山东东营·二模）如图，CD AB ∥，点O 在AB 上，OE 平分,110BOD OF OE D ∠⊥∠=︒,，则AOF ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒【答案】D 【分析】根据CD AB ∥，∠D ＝110°，求出∠AOD ＝70°，∠DOB ＝110°，利用OE 平分∠BOD ，得到∠DOE ＝55°，由∠FOE ＝90°求出∠DOF ＝90°﹣55°＝35°，即可求出∠AOF 的度数．【解析】解：∵CD AB ∥，∴∠AOD +∠D ＝180°，∠DOB =∠D ，∵∠D ＝110°，∴∠AOD ＝70°，∠DOB ＝110°，∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOE ＝12DOB ∠=55°，∵OF ⊥OE ，∴∠FOE ＝90°，∴∠DOF ＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF ＝∠AOD ﹣∠DOF ＝70°﹣35°＝35°，故D 正确．故选：D ．二、填空题6．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，OF 平分COE ∠．若76AOC ∠=︒，则BOF ∠的度数为______°．【答案】33【分析】先根据对顶角相等求出76BOD ∠=︒，再由角平分线定义得38DOE BOE ∠=∠=︒，由邻补角得142COE ∠=︒，再根据角平分线定义得71EOF ∠=︒，从而可得结论．【解析】解：∵AOC BOD ∠∠、是对顶角，∴76,BOD AOC ∠=∠=︒∵OE 平分BOD ∠，∴1382DOE BOE BOD ∠=∠=∠=︒∴142COE ∠=︒，∵OF 平分COE ∠．∴1712EOF COE ∠=∠=︒又BOE BOF EOF ∠+∠=∠，∴=713833BOF EOF BOE ∠∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：337．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ．若∠BOF =30°，则∠DOE =_______°．【答案】40【分析】利用角平分线定义列式计算即可求出所求．【解析】解：∵OE 平分∠BOD ，∴∠BOE =∠DOE ，设∠BOE =∠DOE =x ，则有∠COE =180°-x ，∵OF 平分∠COE ，∴∠EOF =12（180°-x ）=90°-12x ，由题意得：∠EOF -∠BOE =∠BOF =30°，即90°-12x -x =30°，解得：x =40°，则∠DOE =40°．故答案为：40．8．如图，直线AB 、CD 交于点O ，CO OE ⊥，OF 是AOD ∠的平分线，OG 是EOB ∠的平分线，44AOC ∠=︒，则∠=FOG _____________．【答案】135︒【分析】根据邻补角求得AOD ∠，COB ∠，根据CO OE ⊥，求得90COE ∠=︒，进而求得EOB ∠，根据对顶角求得BOD AOC ∠=∠，根据角平分线的定义求得12FOD AOD ∠=∠，12BOG BOE ∠=∠，根据FOG FOD BOD BOG ∠=∠+∠+∠即可求解．【解析】解：44AOC ∠=︒，180AOD AOC COB ∴∠=︒-∠=∠18044136=︒-︒=︒，CO OE ⊥，∴90COE ∠=︒，1369046BOE BOC COE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，OF 是AOD ∠的平分线，OG 是EOB ∠的平分线，∴1682FOD AOD ∠=∠=︒，1232BOG BOE ∠=∠=︒，又BOD AOC ∠=∠44=︒，∴FOG FOD BOD BOG∠=∠+∠+∠1122AOD BOD BOE =∠+∠+∠684423=︒+︒+︒135=︒故答案为：135︒．9．如图，已知射线OC 在AOB ∠内部，OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOB ∠，现给出以下4个结论：①DOE AOF ∠=∠；②2DOF AOF COF ∠=∠-∠；③AOD BOC ∠=∠；④()12EOF COF BOF ∠=∠+∠其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．【答案】①②④【分析】①根据OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOB ∠，得出12AOD COD AOC ∠=∠=∠，12BOE COE BOC ∠=∠=∠，12AOF BOF AOB ∠=∠=∠，求出12∠=∠DOE AOB ，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出12DOF BOC COE ∠=∠=∠，得出AOF COF BOF COF BOC ∠-∠=∠-∠=∠，即可得出结论；③无法证明AOD BOC ∠=∠；④根据12DOF BOC COE ∠=∠=∠，得出EOF COD ∠=∠，2COF BOF COD ∠+∠=∠，即可得出结论．【解析】解：①∵OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOB ∠，∴12AOD COD AOC ∠=∠=∠，12BOE COE BOC ∠=∠=∠，12AOF BOF AOB ∠=∠=∠，AOC BOC AOB ∠+∠=∠，12DOC COE AOD BOE AOB ∴∠+∠=∠+∠=∠，即12∠=∠DOE AOB ，∴DOE AOF ∠=∠，故①正确；②∵DOF DOE EOF∠=∠-∠1122AOB COF BOC ⎛⎫=∠-∠+∠ ⎪⎝⎭1122AOB COF BOC =∠-∠-∠()1122AOB BOF BOC BOC =∠-∠-∠-∠111222AOB AOB BOC BOC ⎛⎫=∠-∠-∠-∠ ⎪⎝⎭111222AOB AOB BOC BOC =∠-∠+∠-∠12BOC =∠AOF COF BOF COF BOC ∠-∠=∠-∠=∠，∴2DOF AOF COF ∠=∠-∠，故②正确；③AOD ∠与BOC ∠不一定相等，故③错误；④根据解析②可知，12DOF BOC COE ∠=∠=∠，∴EOF EOC COF COF DOF COD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵2COF BOF COF AOF AOC COD ∠+∠=∠+∠=∠=∠，∴()12EOF COF BOF ∠=∠+∠，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．10．如图，∠COD 在∠AOB 的内部，且12COD AOB Ð=Ð，若将∠COD 绕点O 顺时针旋转，使∠COD 在∠AOB 的外部，在运动过程中，OE 平分∠BOC ，则∠DOE 与∠AOC 之间满足的数量关系是_____．【答案】2AOC DOE ∠∠=或3602AOC DOE∠=︒-∠【分析】分情况讨论：当旋转的角度不超过180︒时，当旋转的角度超过180︒，不超过360︒时，画出旋转后的图，利用角之间的关系计算即可．【解析】解：当旋转的角度不超过180︒时，如图：∴AOC AOB BOC ∠=∠+∠，DOE COD COE ∠=∠+∠，∵12COD AOB Ð=Ð，OE 平分∠BOC ，∴BOE COE ∠=∠，()22=2∠=∠+∠∠+∠AOC COD COE COD COE ，∴2AOC DOE ∠∠=．当旋转的角度超过180︒，不超过360︒时，如图，∴()360∠=︒-∠+∠AOC AOB BOC ，DOE COD COE ∠=∠+∠，∵12COD AOB Ð=Ð，OE 平分∠BOC ，∴BOE COE ∠=∠，222=∠=∠+∠∠+∠DOE COD COE AOB BOC ，∴3602AOC DOE ∠=︒-∠．三、解答题11．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠AOC 和∠COB 的度数．【答案】120°，30°【分析】先根据角平分线，求得∠BOE 的度数，再根据角的和差关系，求得BOF ∠的度数，最后根据角平分线，求得BOC ∠、AOC ∠的度数．【解析】∵OE 平分∠AOB ，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB =45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF －∠BOE=15°又∵OF 平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB ＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．12．如图，O 为直线AB 上的一点，48AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．(1)求BOD ∠的度数；(2)OE 是BOC ∠的平分线吗？为什么？【答案】(1)156BOD ∠=︒(2)OE 是BOC ∠的平分线，理由见解析【分析】（1）由角平分线的性质可知∠1的度数，再利用互补即可算出∠BOD 的度数；（2）想要判断OE 是否为∠BOC 的平分线，只需分别计算出∠3和∠4的度数，看它们是否相等．【解析】（1）解：48AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，1112482422AOC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，1180BOD ∠+∠=︒，18024156BOD ∴∠=︒-︒=︒；（2）解：OE 是BOC ∠的平分线．理由如下：90DOE ∠=︒，224∠=︒，390266∴∠=︒-∠=︒，90DOE ∠=︒，156BOD ∠=︒，466BOD DOE ∴∠=∠-∠=︒，3466∴∠=∠=︒，OE ∴是BOC ∠的平分线．13．已知O 为直线AB 上一点，过点O 向直线AB 上方引两条射线OC ，OD ，且OC 平分AOD ∠．（Ⅰ）请在图①中BOD ∠的内部画一条射线OE ，使得OE 平分BOD ∠，并求此时COE ∠的度数；（Ⅱ）如图②，若在BOD ∠内部画的射线OE ，恰好使得3BOE DOE ∠=∠，且70COE ∠=︒，求此时∠BOE 的度数．【答案】（Ⅰ）90COE ∠=︒；（Ⅱ）∠BOE 的度数为60︒．【分析】由角平分线的定义得出12COD AOD ∠=∠，12EOD BOD ∠=∠，()1=902COE COD EOD AOD BOD ∠=∠+∠+=︒∠∠．（2）设1∠=α，则23α∠=，(4370)α∠=∠=︒-，根据平角的定义列等式求出结果即可．【解析】（Ⅰ）如图，∵OC 平分AOD ∠，OE 平分BOD ∠，∴12COD AOD ∠=∠，12EOD BOD ∠=∠，∴()1=902COE COD EOD AOD BOD ∠=∠+∠+=︒∠∠．（Ⅱ）如下图，设1∠=α，根据题意得2313α∠=∠=．∵1370COE ∠=∠+∠=︒，∴370()α∠=︒-．∵OC 平分AOD ∠，∴(4370)α∠=∠=︒-，∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，∴()()37070180αααα++-+-=︒．解得：20α=︒．∴2360α∠==︒．∴∠BOE 的度数为60︒．14．已知：如图所示（1），AOB ∠和COD ∠共顶点，OB OD 、重合，OM 为AOD ∠的平分线，ON 为BOC ∠的平分线，=AOB α∠，=COD β∠.（1）如图所示（2），若=90α︒，=30β︒，则MON ∠=_______.（2）如图所示（3），若COD ∠绕O 点逆时针旋转，且=BOD γ∠，求MON ∠.（3）如图所示（4），若=2αβ，COD ∠绕O 点逆时针旋转，OE 平分BOD ∠，以下两个结论：①AOD COE∠∠为定值；②-AOD COE ∠∠为定值；请选择正确的结论，并说明理由.【答案】（1）60︒；（2）2MON αβ+∠=；（3）①2AOD COE∠=∠.【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出∠MON ＝12∠AOD ＋12∠BOC ，进而求出即可；（2）∠BOD ＝γ，而122MOD AOD αγ+∠=∠=，122NOB COB βγ+∠=∠=，进而得出即可；（3）利用已知表示出∠COE 和∠AOD ，进而得出答案．【解析】解：（1）（1）∵OM 为∠AOD 的平分线，ON 为∠BOC 的平分线，∠AOB ＝α，∠COD ＝β，α＝90゜，β＝30゜，∴∠MON ＝12α＋12β＝60°；故答案为60°；（2）122MOD AOD αγ+∠=∠=，122NOB COB βγ+∠=∠=，222MON MOD NOB DOB αγβγαβγ+++∴∠=∠+∠-∠=+-=；（3）①2AOD COE∠=∠,设2BOD x ∠=，则222AOD a x x β∠=+=+，COE x β∠=+，∴2AOD COE ∠=∠.。
中考数学几何模型重点突破讲练：专题07 三角形中的中位线与中垂线模型(教师版)
性质得出
DG=
1 2
BE=
1 2
（AB-AC），从而得出 DG 的长．
【解析】解：延长 CG 交 AB 于点 E．
∵ AG 平分 BAC ， CG AG 于 G ， CG EG ， AE AC 4 ， BE AB AC 2 ， ∵ CG = EG ， D 为 BC 的中点， DG 1 BE 1．
专题 07 三角形中的中位线与中垂线模型
【模型 1】三角形中位线
如图，已知 D、E 分别为 AB、AC 的中点，根据三角形中位线的性质，可得 DE // BC, 且DE 1 BC , 2
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得 SADE
1 4
SABC 。
【模型 2】梯形中位线
如 图 ， 已 知 AB // CD ， E 、 F 分 别 为 梯 形 两 腰 AD 、 BC 的 中 点 ， 根 据 梯 形 中 位 线 的 性 质 ， 可 得 AB // CD // EF ,且EF 1 ( AB CD) ,
所以 AB=2OE，
因为 OE=2，
所以 AB=4(cm)．
故选 A．
3．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，若 DE=4，则 BC 等于（ ）
A．2
B．4
C．8
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：∵D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，DE=4，
线，利用中位线定理解题即可．
【解析】解：由平行四边形的性质可知 AO=OC，
Hale Waihona Puke 而 E 为 BC 的中点，即 BE=EC，
中考数学压轴题重难点突破十 几何图形综合题 类型一：与全等三角形有关的问题
∠CRD＝12∠ARB＝45°.∴∠MON＝135°.
此时，P，O，B 在一条直线上，△PAB 为直角三角 PQ＝ 2PQ，则PQ＝ 2.
1．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，F 为 BD，CE 的交点． (1)求证：BD＝CE； (2)连接 AF，求证：AF 平分∠BFE.
Ⅲ)∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°， ∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM， 又∵DM＝6 2， ∴DG＝GM＝6， ∵DE＝12， ∴EG＝ ED2－DG2＝6 3， ∴EM＝GM＋EG＝6＋6 3.
模型二：半角模型
如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，分别连接 EF， AE，AF，∠EAF＝45°.求证： (1)EF＝BE＋DF； (2)AF 平分∠EFD.
证明：(1)将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°， 得到△ABG， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，
出现等顶角，共顶点，等线段就能构造全等型手拉手．
1．(2016·安徽第 23 题 14 分)如图①，A，B 分别在射线 OM，ON 上，且 ∠MON 为钝角．现以线段 OA，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角 形，分别是△OAP，△OBQ，点 C，D，E 分别是 OA，OB，AB 的中点． (1)求证：△PCE≌△EDQ； (2)延长 PC，QD 交于点 R. Ⅰ)如图②，若∠MON＝150°，求证：△ABR 为等边三角形； Ⅱ)如图③，若△ARB∽△PEQ，求∠MON 的大小和APBQ的值．
(2)Ⅰ)证明：如图②，连接 OR. ∵PR 与 QR 分别为线段 OA 与 OB 的中垂线， ∴AR＝OR＝BR，∠ARC＝∠ORC，∠ORD＝∠BRD. 在四边形 OCRD 中， ∠OCR＝∠ODR＝90°，∠MON＝150°， ∴∠CRD＝30°. ∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO ＝2∠CRO＋2∠ORD ＝2∠CRD＝60°. ∴△ABR 为等边三角形．
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A EF
A．120
C
B．108
D
B
C．72
D．36
【分析】根据对称前后的图形全等，对应角相等． ∵∠B=36°，∠BAC=90°，∴∠C=54°， ∵点 D 是 BC 中点，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=54°， ∵△ADF ≌△ADC，∴∠DAF =∠DAC=54°，
∴∠EAF=108 90 18 ，
上 F 处，则 DE 的长是（ ）
A
E
D
F
A．3
B
B． 24 5
C
C．5
D． 89 16
【分析】考虑 tan∠ABD=4/3，tan∠ABE=1/2，∴AE=3，DE=5．故选 C．
A
E
D
αα B
F C
题型3：正方形中的角度构造
在正方形 ABCD 中，边长为 6，BE=2AE，连接 DE，在 AD、BC 上分别存在点 G、F，连 接 GF 交 DE 于 H 点，且∠GHD=45°，求线段 FG=_________．
A
【分析】利用对称倒角即可．
∵∠BAD=∠ABC=40°，
∴∠ADC=80°，∠ADB =100°，
B
D
C
∴∠ADE =100°，
E
∴∠CDE =20°．
2.（2019·邵阳）如图，在 RtABC 中，BAC 90 ，B 36 ，AD 是斜边 BC 上的中线， 将 ACD 沿 AD 对折，使点C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E ，则BED 等于( )
6.（2019·潍坊）如图，在矩形 ABCD 中， AD 2 ．将A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记 为 A ，折痕为 DE ．若将 B 沿 EA 向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B ，则 AB ．
A
D
B' E
【分析】两次折叠可以得到B 更多相A等' ． C
由题意可得： AED DEA AEB 60 ， ∴ AC AB 1，
D
P
C
Q
E
F
A．8
A
B．8 2
B
C．8 3
D．10
【分析】根据图形位置 的特殊性，寻找隐含条件． 根据点 Q 在 EF 上且∠BQP=90°，∴BA =BP， ∴∠ABQ=∠PBQ=∠CBP=30°，
D
P
C
Q E
A
F 30° 30° 30° B
∵ BC 4 3 ，∴PC=4，PB=8， ∴AB =8，故选 A ．
又∠F=∠C=54°，∴∠AEF =108°， ∴∠BED=108°，故选 B．
3.（2018·兰州）如图，将 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交BC 于点 F ， 若 ABD 48 ， CFD 40 ，则 E 为 ( )
A
D
A．102
B
FC
E
B．112
C．122
D．92
【分析】在对称前后图形中找相等角． 在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF， 根据折叠可得∠ADB=∠FDB，∴∠DBF =∠FDB， 又∠DBF +∠FDB =∠CFD=40° ，∴∠DBF=∠ FDB=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠FBD=68°，∴∠E=∠A =112°， 故选 B．
中考解题策略之特殊角的妙用 “12345模型”
几何图形中经常会出现一些特殊角，熟悉的有30°、
45°、60°等等，特殊角往往伴随着固有属性运用于题
目中，也是解题思路来源之一。比如看到30°角我们会
想到
，45°角总是跟等腰直角三角形说不清道不
明，60°甚至能牵出一只等边三角形。
关于特殊角，除了用角度表示，诸如15°角的倍数，还可以 用三角函数表示，只要最终的结果是：（1）好看；（2）好用， 就可以将其归为特殊角。
由题意可得： FDG FGE GBE 60 ，
易证△FGD∽△GEB，∴ FG DG FD ，
GE EB GB
D
C
设 F G=x，则 A E=x，DF=8-x，
G
设 GE =y，则 AE=y，BE=8-y，
代入得： x
2
8
x
，解得：
y
26
F
，
y 8 y 6
5
∴ BE 8 26 14 ， 55
y
y
B
B
P OC
A
x
P
45° β
α
OC
A
x
【分析】∠PAO=α，∠APC=45°，∴∠OPC=β，∴OP=6，
OA=12,m=12．
【2017无锡中考第18题】 在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、 D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
构造等角，将α和β组合到一起：
C
A B
根据这里的等腰直角△ABC，可得∠1+∠2=45° 此外，模型还可变式为：
tan 1
2
45
tan
1 3
tan 1
3
45
tan
1 2
法二：熟悉的勾三股四弦五
如图，AC=4，BC=3，AB=5，这个三角形我们再熟悉不过了。
在这里：tan
一、从性质说起 关于对称的性质，大概可以有以下三点，由于对称前后的 图形是全等的，所以 （1）对应角相等； （2）对应边相等； （3）对称点连线被对称轴垂直且平分． 以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不 仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．
性质一：对应角相等
由对称得到的对应角相等尤其适合用在求角度的问题中，练习参考以下 1-3 题： （2019·江西）如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 上的点，BAD ABC 40 ，将ABD 沿 着 AD 翻折得到 AED ，则 CDE ．
对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅是其本身，也可能会连带其他 角也变成特殊角．4、5 有关 30°特殊角，6、7 有关 60°特殊角．
4.（2018·毕节市）如图，在矩形 ABCD 中， AD 3 ， M 是 CD 上的一点，将 ADM 沿直 线 AM 对折得到 ANM ，若 AN 平分 MAB ，则折痕 AM 的长为( )
D
C
GH F
A
E
B
【分析】观察发现 tan∠ADE=1/3，且∠GHD=45°，条件已经具备， 考虑 GF 可动，平移 GH，将α、β、45°汇于直角处。
可知 CF=3，DF= 3 5 ．
D(G)
C
α
45°
β
F
A
E
B
几何变换之对称折叠
对称，我们熟知的三大几何变换之一，几何题中 往往都有它的身影，我们知道它很重要，但有时候可 能并不清晰，关于对称我们要了解什么．本节课从基 本性质说起，到一些常见图形的隐含结论，再到对称 的构造．
y
A O
B
Cx
根据解析式可知：
tan ABO 1
2
ABC 45
tan ACB 1 3
即可求得C点坐标，从而求出解析式。
y
A O
α B 45°
β
Cx
【2017 浙江丽水第 16 题】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+m 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，已知点 C
（2,0），点 P 为线段 OB 的中点，连接 PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则 m 的值是__________．
交 DC 于点 E，则 DE 的长是（ ）
A
A．1
B．1.5
D
C．2
E
D．2.5
F
B
G
C
【分析】根据 BG 是 AB 的一半，可得 tan∠BAG=1/2，连接 AE，易证△AEF≌△AED，∴ tan∠DAE=1/3，∴DE=2，故此题选 C．
A
D
β
αα β
E
F
BGຫໍສະໝຸດ C【2019 盐城中考第 16 题】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=2x-1 的图像分别交 x、y 轴于点 A、B，将直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 45°，交 x 轴于点 C，则直线 BC 的函数表达式是_______________．
A
E
B
故 B E 的长为 14 ． 5
看似 120°的角，实则另有构造．
8.（2019·黄冈）如图， AC ， BD 在 AB 的同侧， AC 2 ，BD 8 ， AB 8 ，点 M 为 AB 的中点，若 CMD 120 ，则 CD 的最大值是 ．
D
C
A
M
B
【分析】两点之间线段最短可以用来求最大值．
tan
1 3
45
对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为 “12345”模型。
上文所举的北京中考题已经足够说明这个结论，考虑 到使用这个结论的多样性，以下用3种方法给出证明： 法一：方格纸中的构造 小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目：求 ∠1+∠2=_________．
12
考虑∠1和∠2的正切值，这不正是刚刚所说的α和β吗？
α 45° β
3
2 β+45°
α+45° 1
1 3
三、如何发掘题目中的“12345”模型？ 做题从来都不是靠题目告诉我什么，而是根据已知的信息， 思考这里需要什么
题型1：已知45°+α寻β、已知45°+β寻α
【2018 湖北中考第 9 题】
如图，正方形 ABCD 中，AB=6，G 是 BC 的中点，将△ABG 沿 AG 对折至△AFG，延长 GF