中考数学几何模型专题突破

【分析】在对称前后图形中找相等角． 在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF， 根据折叠可得∠ADB=∠FDB，∴∠DBF =∠FDB， 又∠DBF +∠FDB =∠CFD=40° ，∴∠DBF=∠ FDB=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠FBD=68°，∴∠E=∠A =112°， 故选 B．
A EF
A．120
C
B．108
D
B
C．72
D．36
【分析】根据对称前后的图形全等，对应角相等． ∵∠B=36°，∠BAC=90°，∴∠C=54°， ∵点 D 是 BC 中点，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=54°， ∵△ADF ≌△ADC，∴∠DAF =∠DAC=54°，
∴∠EAF=108 90 18 ，
D
M
C
N
A．3
A
B
B． 2 3 C．3 2 D．6
【分析】找出图中隐藏的特殊角．
由题意可得： DAM MAN NAB 30 ，
∵AD=3，∴ DM 3 ， AM 2 3 ，
故选 B． D
M
C
N
30°30°
30°
A
B
5.（2019·辽阳）如图，直线 EF 是矩形 ABCD 的对称轴，点 P 在CD 边上，将BCP 沿 BP 折叠，点 C 恰好落在线段 AP 与 EF 的交点Q 处， BC 4 3 ，则线段 AB 的长是 ( )
又∠F=∠C=54°，∴∠AEF =108°， ∴∠BED=108°，故选 B．
3.（2018·兰州）如图，将 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交BC 于点 F ， 若 ABD 48 ， CFD 40 ，则 E 为 ( )
A
D
A．102
B
FC
E
B．112
C．122
D．92
C
取点E如图所示，则∠OAE=α，∠OEA=45°，
B ∠BOD=α+45°，tan∠BOD=3
O A
C B
D
O
α+45°
Aα
45° E
题型2：发掘潜在的2α、2β
【2016 甘肃天水第 16 题】 如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴上，连
接 OB，将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在点 A’的位置，若 OB= 5 ，tan∠BOC=1/2，
比如 tanA=1/2，诚然我并不知道∠A 的度数到底是多少，而且∠A 也一定不是一个整数度
数，但这并不妨碍∠A 的特殊性，∠A 所对的直角边是邻边的两倍，这与 30°角的1: 3 : 2 并
无本质区别。
A
30°
2
3
5
2
1 1
一、从一道北京中考题说起
2019北京中考第12题 如图所示的网格是正方形网格，则 ∠PAB+∠PBA=_________°．（点A、B、P是网格线交点）
A
【分析】利用对称倒角即可．
∵∠BAD=∠ABC=40°，
∴∠ADC=80°，∠ADB =100°，
B
D
C
∴∠ADE =100°，
E
∴∠CDE =20°．
2.（2019·邵阳）如图，在 RtABC 中，BAC 90 ，B 36 ，AD 是斜边 BC 上的中线， 将 ACD 沿 AD 对折，使点C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E ，则BED 等于( )
解法有很多，这里就根据现有的方格纸来构造一下： ∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°
这里的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和 为45°之外，用三角函数的观点来看，tan∠PAB=1/2， tan∠PBA=1/3，这个正切值可以说很好看了。
二、什么是“12345模型”？
tan
1 2
交 DC 于点 E，则 DE 的长是（ ）
A
A．1
B．1.5
D
C．2
E
D．2.5
F
B
G
C
【分析】根据 BG 是 AB 的一半，可得 tan∠BAG=1/2，连接 AE，易证△AEF≌△AED，∴ tan∠DAE=1/3，∴DE=2，故此题选 C．
A
D
β
αα β
E
F
B
G
C
【2019 盐城中考第 16 题】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=2x-1 的图像分别交 x、y 轴于点 A、B，将直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 45°，交 x 轴于点 C，则直线 BC 的函数表达式是_______________．
中考解题策略之特殊角的妙用 “12345模型”
几何图形中经常会出现一些特殊角，熟悉的有30°、
45°、60°等等，特殊角往往伴随着固有属性运用于题
目中，也是解题思路来源之一。比如看到30°角我们会
想到
，45°角总是跟等腰直角三角形说不清道不
明，60°甚至能牵出一只等边三角形。
关于特殊角，除了用角度表示，诸如15°角的倍数，还可以 用三角函数表示，只要最终的结果是：（1）好看；（2）好用， 就可以将其归为特殊角。
一、从性质说起 关于对称的性质，大概可以有以下三点，由于对称前后的 图形是全等的，所以 （1）对应角相等； （2）对应边相等； （3）对称点连线被对称轴垂直且平分． 以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不 仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．
性质一：对应角相等
由对称得到的对应角相等尤其适合用在求角度的问题中，练习参考以下 1-3 题： （2019·江西）如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 上的点，BAD ABC 40 ，将ABD 沿 着 AD 翻折得到 AED ，则 CDE ．
A
E
B
故 B E 的长为 14 ． 5
看似 120°的角，实则另有构造．
8.（2019·黄冈）如图， AC ， BD 在 AB 的同侧， AC 2 ，BD 8 ， AB 8 ，点 M 为 AB 的中点，若 CMD 120 ，则 CD 的最大值是 ．
D
C
A
M
B
【分析】两点之间线段最短可以用来求最大值．
y
y
B
B
P OC
A
x
P
45° β
α
OC
A
x
【分析】∠PAO=α，∠APC=45°，∴∠OPC=β，∴OP=6，
OA=12,m=12．
【2017无锡中考第18题】 在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、 D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
考虑到 M 是 AB 中点且∠CMD=120°，
∴作点 A 关于 CM 的对称点 A，作点 B 关于 DM 的对称点 B ，
连接 CA、AB、BD、AM、BM ，易证 △ABM 是等边三角形，
∴ AB AM AM 2 ，
CD CA AB BD CA 4 BD 14 ，
D
∴当 C、A、B、D 共线时，CD 取到最大值 14．A'
D
C
GH F
A
E
B
【分析】观察发现 tan∠ADE=1/3，且∠GHD=45°，条件已经具备， 考虑 GF 可动，平移 GH，将α、β、45°汇于直角处。
可知 CF=3，DF= 3 5 ．
D(G)
C
α
45°
β
F
A
E
B
几何变换之对称折叠
对称，我们熟知的三大几何变换之一，几何题中 往往都有它的身影，我们知道它很重要，但有时候可 能并不清晰，关于对称我们要了解什么．本节课从基 本性质说起，到一些常见图形的隐含结论，再到对称 的构造．
B'
C
A
M
B
性质二、对应边相等
但凡涉及到对称，基本上都会用到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点 作题目分类值得商榷，但此处只需强调一点：对应边相等．在某些问题中是解题关键．
则点 A’的坐标为____________．
y
C
B
A'
O
A
x
【分析】tan∠ABO=tan∠BOC=1/2，∴tan∠ABA’=4/3，即△A’HB 三边之比为 3:4:5，再根 据 BA’=BA=2，即可求得 A 坐标．
y
C
B
αα
A'
H
O
A
x
【2017 宜宾中考第 7 题】
如图，在矩形 ABCD 中，BC=8，CD=6，将△ABE 沿 BE 折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD
构造等角，将α和β组合到一起：
C
A B
根据这里的等腰直角△ABC，可得∠1+∠2=45° 此外，模型还可变式为：
tan 1
2
45
tan
1 3
tan 1
3
45
tan
1 2
法二：熟悉的勾三股四弦五
如图，AC=4，BC=3，AB=5，这个三角形我们再熟悉不过了。
在这里：tan
y
A O
B
Cx
根据解析式可知：
tan ABO 1
2
ABC 45
tan ACB 1 3
即可求得C点坐标，从而求出解析式。
y
A O
α B 45°
β
Cx
【2017 浙江丽水第 16 题】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+m 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，已知点 C
（2,0），点 P 为线段 OB 的中点，连接 PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则 m 的值是__________．
∴ AB DC 3 ．
7.（2018·遵义）如图，在菱形 ABCD 中， ABC 120 ，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对 角线 BD 上的点 G 处（不与 B 、D 重合），折痕为 EF ，若 DG 2 ，BG 6 ，则 BE 的长为 ．
D
C
G
F
A
E
B
【分析】等边翻折得到一线三等角．
上 F 处，则 DE 的长是（ ）
A
E
D
F
A．3
B
B． 24 5
C
C．5
D． 89 16
【分析】考虑 tan∠ABD=4/3，tan∠ABE=1/2，∴AE=3，DE=5．故选 C．
A
E
D
αα B
F C
题型3：正方形中的角度构造
在正方形 ABCD 中，边长为 6，BE=2AE，连接 DE，在 AD、BC 上分别存在点 G、F，连 接 GF 交 DE 于 H 点，且∠GHD=45°，求线段 FG=_________．
α 45° β
3
2 β+45°
α+45° 1
1 3
三、如何发掘题目中的“12345”模型？ 做题从来都不是靠题目告诉我什么，而是根据已知的信息， 思考这里需要什么
题型1：已知45°+α寻β、已知45°+β寻α
【2018 湖北中考第 9 题】
如图，正方形 ABCD 中，AB=6，G 是 BC 的中点，将△ABG 沿 AG 对折至△AFG，延长 GF
D
P
C
Q
E
F
A．8
A
B．8 2
B
C．8 3
D．10
【分析】根据图形位置 的特殊性，寻找隐含条件． 根据点 Q 在 EF 上且∠BQP=90°，∴BA =BP， ∴∠ABQ=∠PBQ=∠CBP=30°，
D
P
C
Q E
A
F 30° 30° 30° B
∵ BC 4 3 ，∴PC=4，PB=8， ∴AB =8，故选 A ．
对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅是其本身，也可能会连带其他 角也变成特殊角．4、5 有关 30°特殊角，6、7 有关 60°特殊角．
4.（2018·毕节市）如图，在矩形 ABCD 中， AD 3 ， M 是 CD 上的一点，将 ADM 沿直 线 AM 对折得到 ANM ，若 AN 平分 MAB ，则折痕 AM 的长为( )
tan
1 3
45
对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为 “12345”模型。
上文所举的北京中考题已经足够说明这个结论，考虑 到使用这个结论的多样性，以下用3种方法给出证明： 法一：方格纸中的构造 小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目：求 ∠1+∠2=_________．
12
考虑∠1和∠2的正切值，这不正是刚刚所说的α和β吗？
tan
A B
3 4 4 3
β 5
A
45
C
3
B
α 5
分别延长CB、CA可构造构造
ABC 2
BAC 2
即可得
tan
பைடு நூலகம்
1 2
tan
1 3
45
tan
1 2
tan
2
4 3
此处我们还可得：
tan
1
tan
2
3
3
4
法三：构造矩形
4 α
β
2
3
1
1
3
即便是处在分散的位置，也可以构造别致的构图。4
此处我们还可得：tan 45 3 tan 45 2
由题意可得： FDG FGE GBE 60 ，
易证△FGD∽△GEB，∴ FG DG FD ，
GE EB GB
D
C
设 F G=x，则 A E=x，DF=8-x，
G
设 GE =y，则 AE=y，BE=8-y，
代入得： x
2
8
x
，解得：
y
26
F
，
y 8 y 6
5
∴ BE 8 26 14 ， 55
6.（2019·潍坊）如图，在矩形 ABCD 中， AD 2 ．将A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记 为 A ，折痕为 DE ．若将 B 沿 EA 向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B ，则 AB ．
A
D
B' E
【分析】两次折叠可以得到B 更多相A等' ． C
由题意可得： AED DEA AEB 60 ， ∴ AC AB 1，