李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1

1第一章 排列组合1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。

2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。

（2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。

（或：()()4142*2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。

（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。

所以满足条件的串共48个。

3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。

如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。

求n 和m 。

解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。

以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。

因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。

因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。

因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。

5、 从{1，2，…，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数字有多少个？ 解：1与2相邻：())4,4(253P ⨯⨯。

故有1和 2 但它们不相邻的方案数：()())4,4(2)5,5(5353P P ⨯⨯-⨯只有1或2：())5,5(254P ⨯⨯ 没有1和2：P(5,5)2故总方案数：()())4,4(2)5,5(5353P P ⨯⨯-⨯+())5,5(254P ⨯⨯+ P(5,5)6、 安排5个人去3个学校参观，每个学校至少一人，共有多少种安排方案？ 解：方法一：有两种方案：①有两个学校只要一个人去，剩下的那个去3人；②有两个学校去2人，剩下的去1人。

故方案数为：（()()()()2/2/32524151+）*P(3,3)＝150。

方法二：()()()()()()213231523153+＝150。

7、 现有100件产品，其中有两件是次品. 如果从中任意抽出5件，抽出的产品中至多有一件次品的概率是多少？ 解：无次品：()985；有一件次品：()984()21因此，概率为（()985+()984()21）/()10058、 有七种小球，每个小球内有1～7个星星。

一次活动中，主办方随机发放礼品盒，每个盒里放两个这样的小球，那么共有多少种这样的礼品盒？ 解：方法一、()281272=-+方法二、（7×7-7）/2+7＝28方法三、一个球是一星球，另一个球可以是一～七星球，故有7种； 一个球是二星球，另一个球可以是二～七星球，故有6种；…………一个球是七星球，另一个球可以是七星球，故有1种。

因此，共7+6+…+1＝28种。

9、 服务器A 接到发往服务器B 、C 、D 、E 、F 的信包各3个，但它一次只能发出一个信包。

问共有多少种发送方式？如果发往服务器B 的信包两两不能相邻发出呢？ 解：（1）{3•B,3•C,3•D,3•E,3•F}的全排列（2）其余4个服务器全排列，在插入B 的三个：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++!3!3!3!3)!3333(310、 有m 个省，每省有n 个代表，若从这mn 个代表中选出k （k ≤m ）个组成常任委员会，要求委员会中的人来自不同的省，一共有多少种不同的选法？解：()m k •nk11、 7对夫妇围一圆桌而坐，每对夫妇都不相邻的坐法有多少种？ 解：7个夫人先坐：7!/7第一个丈夫不坐在他夫人旁边，则有5个地方可以坐；第二个丈夫由于可以坐在第一个丈夫旁边，故有6个地方可以坐；3……………………第7个丈夫有11分地方可以坐。

因此：5*6*7*8*9*10*11*7！/7＝1197504000。

12、 设S = {n 1·a 1, n 2·a 2,…,n k ·a k }，其中n 1 = 1，n 2 + n 3 +…+ n k = n ，证明S 的圆排列的个数等于：!!!!k n n n n ⋅⋅⋅32证明：S 的全排列为：!!!)!1(21k n n n n +因为要排成(n+1)圆，故圆排列数为!!!)!1(21k n n n n +/(n+1)= !!!2k n n n13、 有8个大小相同的棋子（5个红的3个蓝的），放在12×12的棋盘上，每行、每列都只能放一个，问有多少种放法. 解：()())3,7()5,12(73125P P先放红的。

选出5行出来()125，列可任选为P(12,6)。

再先放蓝的。

选出3行出来()73，列可任选为P(7,3)。

14、设1≤r ≤n ，考虑集合{1,2,…,n}的所有r 元子集及每个子集中的最小数，证明这些最小数的算数平均数为 11++r n .证明：r 元子集共()n r 个，于是共有()nr 个最小数。

下面我们求出这些最小数之和。

如果r 元子集中的最小数为k ，那么除k 外的r-1个数只能从{k+1,k+2,…,n}中取，有()k n r --1种取法，即以k 为最小数的r 子集有()kn r --1个，因此这些最小数之和为()kn r r n k k --+-=∑111。

于是平均数为()()k n r r n k n rk --+-=∑1111。

由()()n m n n m -=和()()()11+-=+n m n m n m 有 ()()()()∑∑∑-=+++-+--=--+-==+=+-rn k n r k n rk n rrn k kn r r n k r r r k n 111111111)1(()()n rr n k k n r n n )1()1(111+=+∑+-=--上面两式相减得：()()()11111)1(+++-=---+=∑n r n rr n k k n r r n k4 因此()()k n r r n k nrk --+-=∑1111=11++r n 。

15、用二项式定理展开(4x - 3y)8.解：()∑=--888)3()4(r rr r y x 16、(3y – 2z)20的展开式中，y 5z 15的系数是什么？解：()155205)2(3-17、 证明：()()()()()()⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++n n n n n n53142证明：该等式的组合意义是说，n 元集S 的偶子集数与奇子集数相等。

现在我们任取S 中的一个元x 。

对S 的任何一个偶子集A ⊆S ，如果x ∈A ，则令B ＝A-{x}；否则，令B ＝A ∪{x}。

B 显然是S 的奇子集。

不难证明这是所有偶子集与所有奇子集之间的一一对应。

所以，S 的偶子集数与奇子集数相等。

18、证明等式∑=-+=⨯n0k 11)!(n k!k 并讨论其组合意义.证明：（n+1）！= n*n!+n!n! = (n-1)*(n-1)!+(n-1)! ……………… 2! = 1*1!+1!以上各式相加，整理得：(n+1)! = n+n!+(n-1)*(n-1)!+…+2*2!+1*1!+1 故∑=-+=⨯nk 11)!(n k!k 。

组合意义：将（n+1）个不同物体a 1,a 2,…,a n+1放入（n+1）个不同的盒子A 1,A 2,…,A n+1内的方法如下：（a 1不在A 1内）+（a 1在A 1内但a 2不在A 2内）+（a 1,a 2分别在A 1,A 2内但a 3不在A 3内）+……+（a 1,a 2,…, a i 分别在A 1,A 2,…, A i 内但a i+1不在A i+1内）+……+（a 1,a 2,…, a n+1分别在A 1,A 2,…, A n+1内） 即： ∑=+⨯=+n0k 1k!k 1)!(n故 ∑=-+=⨯nk 11)!(n k!k19、证明：()()!!!)!(k n m k n m nm m k n m k++=+++证明：()()!!!)!(!!)!()!(!)!(k n m k n m n m n m n m k k n m nm m k n m k++=+⋅+++=+++520、证明：()()⎩⎨⎧>==∑=mn 0，mn 1(-1)k mnmk n kk-n 若，若. 证明：若n=m ：()()()()nm n n n -n k m nmk n k k -n (-1)(-1)=∑==1。

若n>m ：我们知道，(1+x) n=()knk n k x∑=对该式两边求m 阶导数：()mk nk n kmn xm k k x m n n -=--=+-∑)!(!)1()!(!0乘以!2m x kn m -+：()()()mk k mnk n kmn n m kn m xx x -=--+∑=+02)1(令x = -1：0 = ()()k mnmk nkk -n (-1)∑=21、证明下列等式：（1）()()()∑=-=mk nmm n kk n m-n 2证明：()()()()n mm knk k n m -n )!()!(!!)!(!)!()!(!)!(=--=----=-k m m n k n k n k k m m n n k n因此，()()()∑=-=mk nm m n k k n m -n 2（2）()()()1r n mi r imi in im +++=--=∑证明：利用路径问题解决。

左边第i 项相当于从点c (-r-1,0)到点(-1,i)，再经点(0,i)，最后到达b (n-m,m)的所有路径数。