生活中的期权思想

生活中的期权思想

2009级金融数学与金融工程基地班王文浩

期权是一种规定期权购买方在未来某个时点上有购买标的资产的权利而不是购买义务的合约。期权使在一笔交易中针对两种不同情况分别用使用不同收益方式成为可能。B-S 定价公式也使得对两种收益方式进行定价成为可能。下面通过介绍如何运用期权思想对现实生活中的物品进行定价。

在现实生活中，我们会遇到各种各样的物品，这些物品在不同情况下会出现不同的特性，这些特性对我们的作用可以通过效用的方式进行表示，运用效用表示进行比较和判断。

假设效用函数是明确的，用()u i 表示，而且某物品一共只会在n <∞种不同情形下表现出不同的特性，不妨对这n 种情况进行排序：当i c 情形发生时，12max{(),(),,()}()i i n i i i u c u c u c u c ⋅⋅⋅=，并且对任意k j <都有1()()k j k j u c u c −>，对任意m l

>都有1()()m l m l u c u c −<。y c 表示第y 种情况发生的状态，()x y u c 表示第x 种情况的效用函数在当y c 发生时的效用值。那么购买这种物品时效用可以表示为：12()max{(),(),,()}n u c

u c u c u c =⋅⋅⋅ɶɶɶɶ，c ɶ表示n 种情况中随机出现的情况。 我们将这个效用函数进行拆解：

12112

()max{(),(),,()}()max{0,()()}n

n j j j u c

u c u c u c u c u c u c −==⋅⋅⋅=+−∑ɶɶɶɶɶɶɶ 假设我们能找到一个正定严格递增效用函数是无风险资产与效用值的同构映射，并使得每种情况发生时的效用与获得一定量无风险资产的效用相等，数学表示即为()()x y xy u c v p =。那么原效用函数()u c

ɶ就可以表示为： 112

()()()max{0,()()}n

y y jy j y j u c v p v p v p v p −===+−∑ɶɶɶɶɶ

又因为()xy v p 和xy p 是同构映射，而且()xy v p 是正定严格递增的，所以表达式

112

max{0,}n

y y jy j y j p p p p −==+−∑ɶɶɶɶ与效用函数式是等价的。

那么现在我们就把每一个物品的效用以无风险资产的形式表示出来了，也就是说我们用价格的形式将这个物品表示出来

了。

我们可以看到在价格表示中有(1)max{0,},((2,))ky k y p p k n −−∈ɶɶ形式的表达式，不妨任取一个(2,)k n ∈考虑其性质。

在第j 种情况下：如果j k ≥，则(1)0ky k y p p −−>ɶɶ，(1)(1)max{0,}ky k y ky k y p p p p −−−=−ɶɶɶɶ；如果1j k ≤−时，则(1)0ky k y p p −−<ɶɶ，(1)max{0,}0ky k y p p −−=ɶɶ。所以(1)max{0,}ky k y p p −−ɶɶ也就是在不同情况下对0和(1)ky k y p p −−ɶɶ两种现金流的选择。

考虑期权多头的现金流性质：

=max{0,-}=max{0,-}

看涨期权收益到期日价格执行价格看跌期权收益执行价格到期日价格，也就

是说期权是在0和-±

（到期日价格执行价格）之间进行选择。上面讨论的对0和(1)ky k y p p −−ɶɶ的选择与期权非常类似，我们就可以通过模仿欧式期权创建的方法，创建一

个特殊形式的期权来得到(1)max{0,}ky k y p p −−ɶɶ的现金流，创建的期权记做k Op ，根据B-S 欧式期权定价公式就可以得到k Op 的价格()k BS Op 。

这个物品的无风险资产表示形式可以重新表示成一个无风险资产加上1n −个期权的组合，即该物品的效用与一个资产组合的效用是相同的。利用B-S 定价规则，该物品的价格就可以表示为12()n

y y j j p p BS Op ==+∑ɶɶ的形式。

我们来思考一下为什么一个物品能用期权的方式去组合。

不妨按照上面讨论的假设某物品一共只会在n <∞种不同情形下表现出不同的特性，当该物品在某种情况发生时，就会出现n 种使用方式选择（在其他1n −种情形下使用方式和在这种情形下特性的使用方式），这n 种使用方式带来的效用是不同的，就可以通过效用函数的对1n −种选择进行排序，选择效用最大的方式去使用。抽象一点说就是在n 个不同效用中选择一个最大的效用，这是n 进制的一个选择。而期权则是当出现某一现象时，在两种选择中挑选一种现金流更大的去获得，期权是一个二进制的选择。当我们找到一个正定严格递增的效用函数，使得获得某种现金流的效用值与这个物品出现某种情况时各个选择的效用值相等，同时使效用函数值与现金流值是同构的，那么我们就可以直接用现金流的大小表示物品在各种情况下各种选择的效用值的大小。通过现金流大小将物品与期权建立联系，因为期权是二进制的选择，需要将n 进制选择拆解成

二进制的选择，如

1

(1(1(1(11)))n −+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅表示拆解过程，需要通过1n −个期权完成拆解。如此一来，物品就可以通过1n −个期权加一个无风险资产进行组合创建，通过对这个组合资产的定价就可以得到物品的定价。

通过上面的介绍，我想我们应该建立一种直观的认识，即无论资产的性质是什么样的，只要涉及选择的问题都可以通过创建期权的方式进行组合创建。而对于选择问题中到底应该选择备选方案中的那种方案则需要根据其他的指标结合其他相关知识进行分析决策。

由于期权定价公式非常复杂，而且构建欧式期权的方法也相对比较专业，这里的期权思想仅仅是对生活中的选择问题的一个模拟和理论推导，实际操作中这种方法过于繁琐和拖沓。希望通过建立衍生金融工具与现实生活的联系，将相对高深的金融理论运用于生活，提高读者对金融学的兴趣，同时也是希望能够为读者提供一个对期权直观的认识。