电动力学第4章第2节电磁波在介质界面上的反射和折射

当改变入射角θ，致θ ” 变为90°时，折射波沿界面掠过。 这时的入射角θc 称为临界角，n21 = sinθc = ε 2 ε1
若入射角再增大，使 sinθ ＞n21，这时不能定义实数的折射 角，出现所谓的“虚角”，将有不同于一般反射折射的物 理现象。这时一般观察不到折射波，只有反射波，因而称 作全反射。现在我们研究这种情况下的电磁波解。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (10)
二、振幅和相位关系 菲涅耳公式
的现由应于偏用对振边每波值一，关波它系矢们式在k求边有入界两射上个、的独反行立射和折射波的振θ幅E′′r关′′ 系krH。r′′′′
为不同，所以需要分别讨论 E ②
垂直于人射面和 E 平行于入射 面两种情形。
① Er θ θ ′ Er′
设 v1 和 v2 为电磁波在两介质中的相速度，则
k = k′ = ω v1 , k′′ = ω v2
把波矢及它们的分量值代入它们之间的关系式，得
sin θ = sin θ ′
sinθ sinθ ′′
=
k′′ k
θ =θ′ ,
sinθ sinθ ′′
=
v1 v2
这就是我们熟知的反射 定律和折射定律！
kr
z Er′′ kr′′
Hr ′′ θ ′′
θ θ′ Hr Hr ′
Er′x
kr′
Q
µ = µ0 , θ′ = θ , H =
εE µ
⇒ ε1 (E + E′) = ε2 E′′
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (15)
(2a) 菲涅耳公式 （对于E ⊥入射面）
E′ E
=
ε1 cosθ − ε1 cosθ +
= tgθB
第二节 电磁波在介质=值E关// ，系E：⊥ ⎪⎩⎪⎨⎧=nnrr0××，((则EHrr22H−−⊥EHrr1入)1)=射=0面0 ，如图②所示nr
⇒ Et + Et′ = Et′′，Ht + Ht′ = Ht′′ ①Er
⇒
⎧E cosθ − E′cosθ ′ = E′′cosθ ′′ ⎩⎨H + H ′ = H ′′
nr × (Er0ei(kxx+ky y) + Er0′ei(kx′ x+k′y y) ) = n × Er0′′ei(kx′′x+k′y′ y)
因此三个指kr 数⋅ xr因=子kr必′ ⋅须xr在=此kr平′′ ⋅面xr 上完(z全=相0等) ，可得：
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (8)
左边与时间 t 无关，右边是t的两个指数函数之和；时间 t 是
独立变量，要此式成立，右边也必须与时间 t 无关。因此，
唯一的可能就是：
ω = ω′ ⎫
ω
=
ω′′
⎬ ⎭
⇒
ω = ω′ = ω′′
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (6)
(2)
波矢分量间的关系： 在介质1中和介质2中：
Er1
=
Er
kr Hr Hr ′
kr′
E、H 和波矢 k 三个矢量之间的方向关系由右手定则确定。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (7)
即 kx x + ky y = kx′ x + k′y y = kx′′x + k′y′y
由于 x 和 y 是任意的，它们的系数应各自相等：
kx = kx′ = kx′′，k y = k′y = k′y′
反射和折射现象属于边值问题，它是由 E 和 B 的边值关 系确定的。因此，研究电磁波反射折射问题的基础是电磁 场在两个不同介质界面上的边值关系。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (3)
在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的。
同样，边值关系式也不是完全独立的。因此在讨论时谐电
磁波时, 介质界面上的边值关系只需考虑以下两式：
则它们的平面波表示式分别为：
Er Er Er
′′′===ErEErr00e0eei (ii(kr(kr⋅krxr′′⋅′−x⋅rxrω−−ωtω)′t′′)t
)
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (1)
电磁波入射到介质界面发生反射和折射，其反射和折射的 规律包括两个方面：
(1) 入射角、反射角和折射角的关系； (2) 入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。
E 平行于入射面的分量没有反射波，因而反射光变为垂 直于入射面偏振的完全偏振光。这是光学中的布儒斯特 (Brewster)定律，这情形下的入射角为布儒斯特角. 详情 见有关光学书籍。
n2 n1
=
sin θ B sinθ ′′
=
sin θ B sin(π / 2 −θB )
=
sin θ B cos θ B
sinθ sinθ ′′
=
v1 v2
=
µ2ε 2 ≈ µ1ε1
ε2 , ε1
(µ2 ≈ µ1 ≈ µ0 )
E′ E
=
ε1 cosθ − ε1 cosθ +
ε2 ε2
cosθ cosθ
′′ ′′
=
−
sin(θ sin(θ
−θ +θ
′′) ′′)
E′′ E
=
ε1
2 ε1 cosθ cosθ + ε 2 cosθ
′′)
上述公式称为菲涅耳公式，表示反射波、折射波与入射波 场强的比值。
3， 讨论
(1) 由这些公式看出，垂直于入射面偏振的波与平行于入 射面偏振的波的反射和折射行为不同。如果入射波为自 然光 (即两种偏振光的等量混合)，经过反射或折射后， 由于两个偏振分量的反射和折射波强度不同，因而反射 波和折射波都变为部分偏振光。
⎪⎧nr ⎪⎩⎨nr
× ×
( (
HErr22
−−EHrr1 )1
=0 )=0
虽然介质中 B 是基本物理量，但由于 H 直接和自由电流
相关，而且边界条件也由 H 表出，所以在研究电磁波传播
问题时，往往用 H 表示磁场较为方便。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (5)
(1) 角频率 ω 之间的关系：
介质 1 中的总场强为入射波与反射波场强的叠加，而介质 2
中只εεnEr有r221⋅ (nn折rr=Dr⋅⋅射E2EErrr−00′′波+′′eeDiirE，k(rrk1′r′⋅′′)′xr⋅应xr,=−=ω用0′ε′tEr)边12=nr界=⇒⋅ε(1条EErrnr′0件′⋅eε(i可2Ekrr⋅xrn0r得ee⋅(iω：(Erkr′′−⋅′xr′ω−=)ωttε)+1+ErnrE0r′⋅e0′(eiEkrri′(⋅xkrr+′e⋅xr(E−ωrω′′′−′)tω) )′)t )
=
v1 v2
=
µ2ε 2 µ1ε1
=
n2 n1
≡ n21
其中 n21 定义为为介质2相对于介质1的相对折射率。
由于除铁磁质外，一般介质都有µ ≈ µ0，因此通常可认为 ε 2 / ε1 就是两介质的相对折射率。
频率不同时，折射率亦不同，这是色散现象在折射问题中 的表现。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (11)
1， E ⊥ 入射面( x-z 平面)
边E =值E关⊥ ，系E：//⎪⎩⎪⎨⎧=nnrr0××，((HEHrr2/2/−−入EHr射r1)1面)==，00如右图所②示nr
⇒ Et + Et′ = Et′′，Ht + Ht′ = Ht′′ ① Er
⇒
⎧E + E′ = E′′ ⎩⎨H cosθ − H ′cosθ ′ = H ′′cosθ ′′
令 kz′′ = iκ , κ = k sin2 θ − n221
则折射波电场表示式变为：
Er ′′ = =
Er Er
0′′e 0′′e
i i
(kr
(k
′′⋅ xr − ω x′′ x + iκ
t z
)
−
=
ωt
)
Er=0′′eEri
(k ′x′
0′′e
x+ −κ
k z
z′′ z
e
−ω
i (k
t x′′
ε ε
2 2
cosθ cosθ
′′ ′′
=
−
sin(θ
sin(θ
−θ +θ
′′)
′′)
n21
≡
n2 n1
=
sinθ sinθ ′′
=
v1 v2
=
µ2ε 2 ≈ µ1ε1
ε2 ε1
菲涅尔公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关 系。在 E⊥入射面情形，当ε2 ＞ ε1 时 θ ＞θ ’’，因此 E'/E 为负数，即反射后产生位相 π 的跃变，反射波电场与入射
(3) 入射角、反射角和折射角的关系
以θ ，θ ’和θ ’’分别代表入射角，反射角
和折射角，如右图：
kx kx′′
= =
k k
sinθ ，kx′ = ′′ sinθ ′′，kx
k′ sinθ ′，⎫
= kx′ = kx′′
⎬ ⎭
k sin θ = k ′ sin θ ′ = k ′′ sin θ ′′
如图，取入射波矢在 xz 平面上，
则有 因此
ky =
kr ,
0,
kr′
,于kr是′′ 都k在′y 同= 一k′y′平=面0。上，
入射波、反射波、折射波共面。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (9)
(4) 折射率
介质折射率的定义为： n =
µε µ0ε 0
对于电磁波 v = 1 µε ，因此
sinθ sinθ ′′
)
x
−
ω
t
)
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (20)
δ ~ κ −1 = k
1
=
sin2 θ − n221 2π
× Hr = Jr
⋅ ⋅
Dr Br
= =
ρ 0
f
f
+ ∂Dr
/
∂t
边值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧nnnnrrrr关××⋅⋅ ((((系BDrrHErr222：2−−−−BDrErHr11r)1))1=)===0σ0αrf f
式中 σf 和 α f 是面自由电荷、电流密度。这组边值关系 是麦氏方程组应用到边界上的结果。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (18)
假设在 sinθ ＞ n21 情形下两介质中的电场形式上仍然不变， 边值关系形式上仍然成立，即仍有：
kx′′ = kx = k sinθ ， k′′ = kv1 / v2 = k n21
kz′′ = k′′2 − kx′′2 (k′y′ = 0)
= ik sin2 θ − n221 为虚数
在绝缘介质界面上， σ f =0， α f =0 。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (4)
2，反射和折射定律的导出 设介质 1 和介质 2 的分界面为无穷大平面，且平面电磁波从 介质 1 入射于界面上，在该处产生反射波和折射波。设反射 波和折射波也是平面波。 波入矢射量波分、别反为射：波k和r ,折kr′射, kr波′′ 的电场强度分别为：Er , Er′ , Er′′
′′
=
2 cosθ
sin(θ
sinθ ′′
+θ ′′)
上述公式称为菲涅耳公式，表示反射波、折射波与入射波 场强的比值。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (14)
利用已经推得的折射定律得：
E′ E
=
tg(θ tg(θ
− +
θ θ
′′) ′′)
,
E′′ E
=
2 cosθ sinθ ′′
sin(θ +θ ′′)cos(θ −θ
波电场反相，这现象称为反射过程中的半波损失。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (17)
三、全反射
根据相对折射率的定义：
n21
=
sinθ sinθ ′′
=
µ2ε 2 ≈ µ1ε1
ε2 ε1
,
若 ε1＞ ε2 ，则 n21＜1。
当电磁波从介质1入射时 (即从光密介质入射到光疏介质),
折射角θ ’’大于入射角θ。
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (16)
(2b) 菲涅耳公式 （对于E //入射面）
E′ E
=
tg(θ tg(θ
−θ ′′) +θ ′′)
,
E′′ E
=
2 cosθ sinθ ′′
sin(θ +θ ′′)cos(θ −θ
′′)
在 θ +θ ’’ =90° 的特殊情形下，
tg(θ +θ’’’)→∝, E’ → 0
kr
z Er′′ kr′′
θ ′′
Hr ′′
θ θ′ Hr Hr ′
Er′ x
kr′
EBrr =
1 µε
⇒
E H
=
µ ε
⇒
H=
εE µ
θ ′ = θ , 取 µ = µ0 ⇒ ε1 (E − E′) cosθ = ε2 E′′cosθ ′′
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (12)
利用已经推得的折射定律：
+
Er′
,
Er2 = Er′′
在nr介×质(E1r中2 −和Er介1)质=20的界⇒面处nr：× (Er + Er′) = nr × Er′′
消去相同nr的×e(-Eiωr0t e因ikr子⋅xr ，+ 得Er0′：eikr′⋅xr ) = nr × Er0′′eikr′′⋅xr
此式须对整个界面都成立；在界面 z = 0，x 和 y 任意：
电动力学 第四章 电磁波的传播
§1，平面电磁波 §2，电磁波在介质界面上的反射和折射 §3，有导体存在时电磁波的传播 §4，谐振腔 §5，波导
第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 (2)
一、反射和折射定律
1，电磁场的边值关系
麦氏⎧∇方×程Er 组= ：− ∂Br / ∂t
⎪ ⎪∇ ⎨ ⎪∇ ⎪⎩∇