2015年北京大学自主招生数学试题
2015年各高校自主招生考试试题
2015年各高校自主招生考试试题北京大学今年北大自招太过亲民，遇到这样的自招题你敢想？一句周杰伦《青花瓷》里的歌词，问描述的是什么？答案有“青花瓷”、“青花盆”和“青花瓶”，你觉得选什么呢……北大语文试题只有一道题目，要求根据孟子《生于忧患死于安乐》和庄子《人间世》这两个材料，写一篇文章。
英语有阅读材料涉及美国白人警察枪杀黑人、贵州省一教育基金会受“郭美美事件”影响遭遇零捐助等时事热点。
面试部分考题：1.用一条长度一定的的绳子围成一个n边形，怎样围才能使围出的的n边形面积最大？2.后轮驱动的车辆，起动和刹车时，分别是车头翘起还是车尾翘起？判断并说明理由。
3.如何看待微信在人际交往中的作用？4.如何看待欧洲历史上的分与合？5.北京和张家口联合申办冬奥会面临哪些机遇和挑战？6.请用三个词概括中国传统文化，并谈谈中国文化如何真正“走出去”。
7.怎么看待追求财富导致雾霾的说法8.请谈一下动物迁徙的意义？9.谈谈你对嘀嘀打车与专车经营的看法。
10.你认为的文学阅读的最高境界是什么？11.请谈有教无类与因材施教的关系。
12.请谈你对国企高管限薪令的看法。
13.有人提议将网络战归为武力冲突，谈谈你的看法。
14.谈谈你对亚投行的看法。
15.有人提议在基础教育阶段实施男女分开管理，即开办男校和女校，谈谈你的看法。
16.谈一谈信仰、义务、责任的关系。
17.爱因斯坦说：“简单是科学追求的伟大目标。
”谈谈你的看法。
18.请你设计一下中国的养老体系？19.你如何看待就医不要钱这种理想设计？20.谈一谈你对批判性思维和惯性思维的关系的理解。
21.谈一谈你所认识的经济全球化下中国的粮食问题。
22.谈一谈自我意识？23.有人说在全球化背景下我国粮食安全已经不是一个问题，你怎么看？24.你对“绿水金山就是真金白银”有何看法？25.你对“贫富分化是经济发展必然现象”有何看法？26.谈一谈你对自主招生的看法。
时事热点——中国传媒大学今年中国传媒大学的自招面试，考生被问的最多的就是时政和社会热点，真不愧为传媒大学。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何
专题之7、解析几何一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。
14-18年北清自招龅牙领军数学真题-函数的性质与图像
清华领军2015.4.设函数()f x 的定义域为（-1，1），且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(1,1)x y ∈-、，且()f x 为（ ）A.奇函数B.偶函数C.减函数D.有界函数清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了导数类清华领军2015.23.设函数2sin π()1xf x x x =-+，则（ ）A.4()3f x ≤B.|()|5||f x x ≤C.由线()y f x =存在对称轴D.曲线()y f x =存在对称中心清华领军2015.30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)0y x y x x +++-=，则（ ） A.L 是轴对称图形 B.L 是中心对称图形 C.22{(,)|1}L x y x y ⊂+≤ D.11(,)|22L x y y ⎧⎫⊂-≤≤⎨⎬⎩⎭同时分入函数的极值类清华领军2017.15.已知2()f x x ax b =++在(1,1)x ∈-上有两个零点。
求22a b -的取值范围。
A.(0,)+∞B.(0,2)C.(,2)-∞D.(2,2)-清华领军2017.21.满足35(3)40x y x x y ++++=的(,)x y （ ） A.在一条直线上 B.在一条抛物线上 C.为有限个 D.为无限个 分类存疑北大自招2016.1. 求()212log 2x x -++的单调增区间。
1.【解答】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭要求()212log 2x x -++的单调增区间，由12log x 是在()0,+∞上的减函数，故即解2201,2122x x x x ⎧-++>⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪>⎝⎭⎪⎩北大自招2016.5. 设x ，y ，z 3R ∈，求方程381nnnx y z ++≤，当n →+∞时确定的几何体的体积为________。
2015年北京大学博雅计划数学试卷
h t t p://l a n q i.o r g2015年北京⼤学博雅计划数学试卷兰琦2017年1⽉11⽇⼀、选择题（共5⼩题；在每⼩题的四个选项中，只有⼀项符合题⺫要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．）1.已知n 为不超过2015的正整数且1n +2n +3n +4n 的个位数为0，则满⾜条件的正整数n 的个数为()A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对解析B ．n 模4余1,2,3均可．2.在内切圆半径为1的直⾓三⾓形ABC 中，∠C =90◦，∠B =30◦，内切圆与BC 切于D ，则A 到D 的距离AD 等于()A.√4+2√3B.√3+3√3 C.√3+4√3D.前三个答案都不对解析D ．利用面积确定三边长，答案为√5+2√3．3.正⽅形ABCD 内部⼀点P 满⾜AP :BP :CP =1:2:3，则∠AP B 等于()A.120◦B.135◦C.150◦D.前三个答案都不对解析 B.4.满⾜1x +1y =12015，x ⩽y 的正整数对(x,y )的个数为()A.12B.15C.18D.前三个答案都不对解析D.(x −2015)(y −2015)=20152=52·132·312，因此(x,y )共有14对．5.已知a,b,c ∈Z ，且(a −b )(b −c )(c −a )=a +b +c ，则a +b +c 可能为()A.126B.144C.162D.前三个答案都不对解析C.⼆、填空题（共5⼩题；请把每⼩题的正确答案填在横线上，每题10分．）6.设α为复数，α表⽰α的共轭，已知|α−α|=2√3且αα2为纯虚数，则|α|的值为．解析2√3或√3．由题意， r sin Åkπ3+π6ã =√3，其中r 为|α|，k ∈Z ，因此r =2√3或r =√3，对应的α=3+√3i 或α=√3i ．1h t t p://l a n q i.o r g27.椭圆x 2+y 2=1的⼀条切线与x,y 轴交于A,B 两点，则三⾓形AOB 的⾯积的最⼩值为．解析ab ．仿射变换．8.已知x 2−y 2+6x +4y +5=0，则x 2+y 2的最⼩值是．解析12．注意题中⽅程为两条互相垂直的直线．9.已知点集M ={(x,y ) √1−x 2·√1−y 2⩾xy }，则平⾯直⾓坐标系中区域M 的⾯积为．解析2+π2．10.现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级，则不同的登法共有种．解析89．。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限
专题之6、数列与极限一、选择题。
如果a0=0,a1=1,且{b n}是公比为1．(2009年复旦大学)设数列{a n},{b n}满足b n=a n-a n-1,n=1,2,3,…，2的等比数列,又设S n=a1+a2+…+a n,A.0B.C.1D.22．(2009年复旦大学)已知x2-(tan θ+cot θ)x+1=0(0<θ<π),且满足x+x3+…+x2n-1+…3．(2009年复旦大学)设实数a,b,c都不为0,则下列不等式一定成立的是4．(2011年复旦大学)设有4个数的数列为a1,a2,a3,a4,前3个数构成一个等比数列,其和为k,后3个数构成一个等差数列,其和为9,且公差非零.对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1,则k应满足A.12k>27B.12k<27C.12k=27D.其他条件5．(2011年复旦大学)设n为一个正整数,记则P(n)是n的一个多项式.下面结论中正确的是6．(2011年复旦大学)A.0<a+b≤10B.0<a+b<10C.a+b>0D.a+b≥107．(2011年复旦大学)A.数列{x n}是单调增数列B.数列{x n}是单调减数列C.数列{x n}或是单调增数列,或是单调减数列D.数列{x n}既非单调增数列,也非单调减数列8．(2012复旦大学)二、填空题。
9．(2009年华中科技大学) . 10．(2012年清华大学等七校联考).三、解答题。
11．(2009年华南理工大学)已知a2+a-1=0,b2+b-1=0,a<b,设a1=1,a2=b,a n+1+a n-a n-1=0(n≥2),b n=a n+1-a·a n.(1)证明数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项;(3)设c1=c2=1,c n+2=c n+1+c n,证明:当n≥３时,(-1)n(c n-2a+c n b)=b n-1.12．(2009年华中科技大学)已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,在平面直角坐标系xOy 中,直线x=a n与x轴和函数f(x)=2x的图象分别交于点A n(a n,0)和B n(a n,b n).(Ⅰ)记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为S n,求证数列{S n}是等比数列;(Ⅱ)判断△B n B n+1B n+2的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;(Ⅲ)对于给定的正整数n,是否存在这样的实数d,使得以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形?如果存在,求出d的取值范围;如果不存在,请说明理由.13．(2009年中国科技大学)已知A={x|x=n!+n,n∈N*},B是A在N*上的补集.(1)求证:无法从B中取出无限个数组成等差数列;(2)能否从B中取出无限个数组成等比数列?试说明理由.15．(2010年浙江大学)16．(2011年同济大学等九校联考)设数列{a n}满足a1=a,a2=b,2a n+2=a n+1+a n.(1)设b n=a n+1-a n,证明:若a≠b,则{b n}是等比数列;(2)若(a1+a2+…+a n)=4,求a,b的值.17．(2009年清华大学)证明:正整数数列a1,a2,…,a2n+1是常数列的充分必要条件是其满足性质P:对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数),使得两类之和相等. 18．(2009年清华大学)已知数列{a n},且S n=na+n(n-1).19．(2009年清华大学)请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.22．(2009年北京大学)已知由整数组成的无穷等差数列中有三项:13,25,41.求证:2 009为其中一项.23．(2011年北京大学等十三校联考)等差数列a1,a2,…满足a3=-13,a7=3.这个数列的前n项和为S n,数列S1,S2,…中哪一项最小?并求出这个最小值.24.1.D【解析】通过叠加的方法求出数列{a n}的通项,再求出其前n项和,根据极限的运算法则进行计算.根据b1=1,b n=2n-1,得a n-a n-1=2n-1,令n=1,2,…,n,得n个等式,叠加得a n=1+2+…+2n-1=2n-1,从而S n=2n+1-2-n..选D.4.A。
2015年北京大学保送生数学真题及答案
2015年北京大学保送生考试数学试题及参考答案1． 已知数列{}n a 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56a a +的最小值．解：设数列{}n a 的公比为()0q q >，则231115a q a q a a q +--=，12351a q q q ∴=+--()251(1)q q =+-．由10a >知1q >．()454556111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44225511(1)1q q q q q q =⋅+=+-- 222211515122011q q q q ⎛⎫⎛⎫=++=-++≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当22111q q -=-即q =56a a +有最小值20． 2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．证法一：设()()20f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 的公比为()0q q >，则()()()()()()()()223,,f a aq ff a f aq aq f f f a f aq aq=====，2ma na t aq∴++=①22()m aq naq t aq ++=②2223()m aq naq t aq ++=③①-②得()()()22111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2222111ma q qnaq q aq q ∴-+-=-．若1q =，则()f a a =； 若1q ≠，则()21ma q na aq++=与()21ma q q na aq ++=矛盾．()f a a ∴=．证法二：由()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成等比数列得()()()()()()()()()f f f a f f a f a a f a f f a ==， ()()()()()()()()()()()()f f f a f f a f f a f a f a af f a f a --∴=--．∴三点()()()()()()()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a Cf a f a 满足ABBC kk =，,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+．解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，AE MNAD BC=， sin sin c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abcx a c B Ra bc∴==++． 同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为,22abc abcRb ac Rc ab++． ()()()2220Rb ac Ra bc b a R c +-+=--<，()()()2220Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+．4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B 两点，且OAB S c ∆=（c 为定值），记AB 中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线．解：以12,l l 的角平分线所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系． 设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y ， 则1sin 22OAB S ab c α∆==，2sin 2c ab α=．()()cos ,sin ,cos ,sin A a a B b b αααα-，cos cos ,2sin sin ,2a b x a b y αααα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩(1)cos 2(2)sin 2xa b y a b αα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩22(1)(2)-得D QEPNMCBAX22222cos sin sin 2x y cab ααα-==，∴X 的轨迹为双曲线． 5．已知()1,2,,10i a i =满足1210121030,21a a a a a a +++=<，求证：()1,2,,10i a i ∃=，使1i a <．证明：用反证法，假设()1,2,,10i a i ∀=， 1i a ≥．令()11,2,,10i i a b i =+=，则0i b ≥，且121020b b b +++=．()()()12101210111a a a b b b ∴=+++121012231b b b b b b b =+++++++12232121b b b b =+++≥与121021a a a <矛盾，()1,2,,10i a i ∴∃=，使1i a <．。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何
专题之8、平面几何一、选择题.1、(2009年复旦大学)一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k∶1(k>1),则这个菱形的一个等于A.arctan(k)B.arctanC.arctanD.arctan2、(2009年复旦大学)用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠),有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙?A.2种B.3种C.4种D.5种3、(2012年复旦大学)设S是平面上的一个六边形,不是凸的,且它的任意3个顶点都不共线,称一个以S的某些顶点为顶点的多边形为一个S多边形,则下面的结果一定不对的是A.每个S四边形都是凸四边形B.存在S五边形为凸五边形C.每个S五边形都不是凸五边形D.至少有两个S四边形是凸四边形4、(2011年同济大学等九校联考)如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为5、(2010年清华大学等五校联考)如图,△ABC的两条高线AD,BE交于H,其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与AF相交于G,则△OFG与△GHA面积之比为A.1∶4B.1∶3C.2∶5D.1∶26、(2012年清华大学等七校联考)已知锐角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,连接DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF 的长为A.8B.9C.10D.11二、解答题.7、(2009年华中科技大学)由图1,得4(ab)+c2=(a+b)2,①可推得勾股定理a2+b2=c2.则由图2,可得一个类似于①的等式:.从而推得一个重要的三角公式:.8、(2009年中国科技大学)如图所示,已知D、E、F分别为BC、AC、AB的三等分点,并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.9、(2012年同济大学等九校联考)如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圆的切线,BF交HD于G.(1)求GH;(2)连接FD,判断FD与AB的关系,并加以证明.10、(2009年北京大学)如图,圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.11、(2010年北京大学等三校联考)A,B为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB最长为.12、(2011年北京大学等十三校联考)在△ABC中,a+b≥2c,求证:∠C≤60°.13、(2011年北京大学等十三校联考)已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线长.14、(2012年北京大学等十一校联考)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.A1A4A5A6都是凸四边形,故选项D正确;如图③,选项C正确.4.B【解析】因为AC∥PF,所以∠HAC=∠APE,又PA是☉O的切线,可得∠HAC=∠B,故∠APE=∠B,又因为∠PEA=∠BED,所以△BED∽PEA,故=,因为PE=3,ED=2,BE=AE,所以BE=AE=,再由相交弦定理可得GE·EF=BE2,故GE=2,得PG=1,最后由切割线定理可得PA2=PG·PF,知PA=.故选B.5.A【解析】观察到△OFG与△GHA相似,只要找到这两个三角形的边长之比,就可以求出其面积之比.因为O点为△ABC的外心,OF⊥BC,所以F是BC边的中点,故AF是BC边上的中线,由欧拉定理可知OH和AF的交点G为△ABC的重心,所以FG∶GA=1∶2,又△OFG∽△HAG,故两三角形面积之比为1∶4.选A.6.B【解析】方法一如图,7.用面积分割的方法考虑各部分面积之和等于整个图形的面积.四个三角形的面积的和为2×[(nsin β)(ncos β)]+2×[(msin α)(mcos α)],中间平行四边形的面积为mnsin[π−(α+β)]=mnsin(α+β),而整个图形的面积为(nsin β+msin α)(ncos β+mcos α),∴2×[(nsin β)(ncos β)]+2×[(msin α)(mcos α)]+mnsin(α+β)=(nsin β+msin α)(ncos β+mcos α),整理上式有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.8.过E作BC的平行线,交AD于S.10.11.以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)如图1,当A,B中有一点位于P点时,知另一点位于R1或者R2时有最大值|PR1|;当有一点位于O点时,|AB|max=|OP|<|PR1|.(2)如图2,当A,B均不在y轴上时,知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值(否则取A点关于y轴的对称点A',有|A'B|>|AB|).不妨设A位于线段OR2上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上,且当B从P向Q移动时,|AB|先减小后增大,于是|AB|max=|AP|或|AQ|.对于线段PQ上任意一点B,都有|BR2|≥|BA|.于是|AB|max=|R2P|=|R2Q|.由(1)(2)知|AB|max=|R2P|.下面研究正五边形对角线的长.如图3,12.【解析】论证角的范围往往是通过先论证该角的某个三角函数值的范围后,再结合相应函数的单调性进行的.本题是在三角形中解决问题,并且已知了三角形的三条边之间的关系,因此可考虑利用余弦定理先确定cos C的范围,再根据余弦函数的单调性证得结论.13.因为平行四边形中的各边长度是已知的,因此可考虑利用三角形的余弦定理进行求解.如图,不妨设AB=5,AD=3,BD=6.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB·ADcos∠BAD;在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2−2BA·BCcos∠ABC,由于AD=BC,AB=BA,∠ABC+∠DAB=π,故两式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2),于是62+AC2=2×(52+32),解得AC=4,即另一条对角线长为4.14.方法一如图1所示,五边形ABCDE为☉O内接五边形,延长AE,CD,DC,AB,有两交点G,H,连接AC. 因为∠AED=∠EDC,所以∠GED=∠GDE,所以GE=GD.因为A,C,D,E在☉O上,所以∠CAG=∠GDE,∠GCA=∠GED,所以∠CAG=∠GCA,故GA=GC,可得AE=CD.连接AD,同理可得AB=CD,从而AE=AB=CD.同样延长BC,ED,BA,DE,可证得BA=BC=DE,所以AB=BC=CD=DE=EA,从而可得五边形ABCDE为正五边形.方法二如图2所示,。
2015年高校自主招生考试数学系列练习(64)(2)
2015年高校自主招生考试数学系列练习（64）1．已知函数323y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为______．2．设()1,5,4,3,2,1051==≥∑=i ii xi x ，则{}{}12233445min max ,,,x x x x x x x x ++++= ．3.正三棱锥O ABC -的三条侧棱,,OA OB OC 两两互相垂直，且长度都为2，,E F 分别是,AB AC 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA ，侧棱,OB OC 的延长线分别相交于点111,,A B C ，已知132OA =，则二面角111O A B C --为 ．4．设集合1232112345{0,2,4,6,8},{|1000010010010,,,,,}P Q m m a a a a a a a a a a P ===++++∈，将集合Q 中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第2015项是___ ___．5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为，它的上顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，直线12,AF AF 分别交椭圆于点,B C ．（1）求证：直线BO 平分线段AC ；（2）设点(,)(,P m n m n 为常数）在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点Q ，满足MP MQPN QN=，证明：点Q 恒在一定直线上．6．已知函数()sin f x x x =+．（1）设,P Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在[0,]2π上恒成立．。
清华、北大2011-2015年自主招生面试真题汇总【KS5U 高考】
清华、北大2011-2015年自主招生面试真题汇总2016年自主招生即将来临，考生和家长需要着手准备了。
除了报名申请材料之外，自主招生最重要的环节就是笔试和面试部分。
下面中国自主招生网小编汇总了清华大学、北京大学2011-2015年部分面试题，供报考2016自主招生的考生们参考。
清华大学清华大学2015年自主招生面试部分真题1.假设给你一次穿越的机会，你最希望穿越到什么时候?做什么人?干什么?2.清华大学的校训是什么?你是如何理解的?如果你被清华大学录取，你如何去践行这一校训?3.如果你是班长，如何组织一次关于雷锋精神的班级活动?活动内容，请向班里同学发表一段两分钟的“学雷锋”活动动员演讲。
4.“是休学创业，还是毕业后创业。
”5.要不要休学当老板?清华大学2014年自主招生面试部分真题一、领军计划：1、怎么看待单独二孩政策?2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议?3、怎么看待社会公平?二、自强计划：1、请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。
2、你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业?3、你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因有哪些?应该如何解决?4、你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的?5、谈谈“如何看待春运一票难求的现象，怎么解决这个问题?6、如何看待社会公平?7、结合考生的申请材料，提出一些与考生自身经历有关的问题，如问考生家乡的特产是什么。
清华大学2013年自主招生面试部分真题【综合面试】分上午与下午两场进行：每场考生都有三道相同的必答题目，面试时间为10分钟左右，三位考官对一位考生。
另根据面试时间的剩余情况，考官也会根据考生的特点增加其他题目。
据考生回忆，必答题有：1.“人类一思考，上帝就发笑。
请在90秒内作答?基于你的评价，你打算在当下、在未来做些什么?”2.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2 分钟的演讲，可准备1 分钟。
3.近期上海、南京、杭州等地接连出现H7N9型禽流感的感染病例，并且造成数名感染者死亡，世界卫生组织和中国政府都高度关注这一病情，并且采取了积极的救治措施，但是公众依然非常想要知道和这个事件相关的各种信息。
2015年高三数学高校自主招生考试 真题分类解析2 复数、平面向量
2015年高三数学高校自主招生考试真题分类解析2 复数、平面向量一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设实数r>1,如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是A.焦距为4的椭圆B.焦距为的椭圆C.焦距为2的椭圆D.焦距为的椭圆2．(2009年复旦大学)复平面上点=1+2i关于直线l:|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是A.−i B.1−i C.1+i D.i3．(2010年复旦大学)在xOy坐标平面上给出定点A(1,2),B(2,3),C(2,1),矩阵将向量, ,分别变换成向量,,,如果它们的终点A',B',C'的连线构成直角三角形,斜边为B'C',则k的取值为A.±2B.2C.0D.0,−24．(2010年复旦大学)设复数z=cos+isin,w=sin+icos满足z,则sin(β−α)= A.± B.,C.±D.,5．(2010年复旦大学)已知复数=1+,z2=+,则复数z1z2的辐角是A. B. C. D.6．(2010年复旦大学)在直角坐标系xOy中,已知点(1,0),(, ),(, ),(−1,0),(, )和(,),问在向量(i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j)中,不同向量的个数是A.9B.15C.18D.307．(2011年复旦大学)给定平面向量(1,1),那么,平面向量(, )是将向量(1,1)经过A.顺时针旋转60°所得B.顺时针旋转120°所得C.逆时针旋转60°所得D.逆时针旋转120°所得8．(2011年复旦大学)设有复数=, =+isin ,令ω=,则复数ω+ω2+ω3+…+ω2 011=B. C. D.A.ω9．(2011年复旦大学)将复数z=(sin 75°+isin 15°)3 (其中i=))所对应的向量按顺时针方向旋转15°,则所得向量对应的复数是A.+ iB.+ iC. D.10．(2012年复旦大学)设S是Oxy平面上的一个正n边形,中心在原点O处,顶点依次为,,…,,有一个顶点在正y轴上.又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合,σ−1表示σ的反变换(即旋转角度大小和σ相同但方向相反),变换τ是将S作关于y轴的对称变换(即将(x,y)变为(−x,y)),στ表示先作变换τ再作变换σ,而τσ,τστ,στστ等的含义类推,则有A.τστ=σB.τστ=σ−1C.τσ=στD.τστσ=σσ11．(2011年同济大学等九校联考)i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则||的最大值为A.−1B.2−C.+1D.2+12．(2011年同济大学等九校联考)向量a,b均为非零向量,(a−2b)⊥a,(b−2a)⊥b,则a,b的夹角为A. B. C. D.13．(2010年清华大学等五校联考)设向量a,b满足==1,a•b=m,则(t∈R)的最小值为A.2B.C.1D.14．(2010年清华大学等五校联考)设复数w=()2,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为A. B. C. D.15．(2011年清华大学等七校联考)设复数z满足<1且= ,则|z|=A. B. C. D.16．(2012年清华大学等七校联考)向量a≠e,=1,若∀t∈R,≥,则A.a⊥eB.a⊥(a+e)C.e⊥(a+e)D.(a+e)⊥(a−e)17．(2012年清华大学等七校联考)若复数的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Z(x,y)的轨迹是A.一条直线B.一条线段C.一个圆D.一段圆弧二、填空题。
北大自主招生试题及答案
北大自主招生试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是北京大学的校训？A. 厚德载物，自强不息B. 博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之C. 学高为师，身正为范D. 求实创新，厚德博学答案：A2. 北大自主招生主要考查学生的哪些方面？A. 学术成绩B. 创新能力C. 综合素质D. 以上都是答案：D3. 北大自主招生的面试环节通常包括哪些内容？A. 个人陈述B. 专业问题讨论C. 团队合作能力测试D. 以上都是答案：D4. 以下哪个不是北大自主招生的选拔标准？A. 学术潜力B. 社会活动经历C. 家庭背景D. 领导力答案：C5. 北大自主招生的笔试部分主要包括哪些科目？A. 语文、数学、英语B. 物理、化学、生物C. 政治、历史、地理D. 以上都不是答案：A二、简答题（每题10分，共30分）6. 请简述北大自主招生的选拔流程。
答案：北大自主招生的选拔流程通常包括网上报名、材料审核、笔试、面试等环节。
首先，学生需要在规定的时间内完成网上报名，并提交相关材料。
然后，学校会对提交的材料进行审核，筛选出符合条件的考生。
接下来，通过材料审核的考生需要参加笔试，笔试成绩达到一定标准的考生才有资格进入面试环节。
最后，学校根据考生的笔试和面试表现，综合评定，选拔出优秀的学生。
7. 请列举北京大学的三个主要特色。
答案：北京大学的三个主要特色包括：（1）深厚的历史文化底蕴，作为中国最早的国立大学，北大有着百年的历史，培养了众多杰出人才；（2）强大的学术研究能力，北大在多个学科领域具有国际领先的研究水平；（3）开放包容的校园文化，北大鼓励学生自由探索，尊重多元文化，培养学生的国际视野。
8. 请简述参加北大自主招生的优势。
答案：参加北大自主招生的优势主要包括：（1）有机会获得降分录取的机会，对于有特长或特殊才能的学生来说，自主招生是一条进入北大的捷径；（2）可以展示自己的综合素质和特长，自主招生不仅考查学生的学术成绩，更注重学生的创新能力、领导力等综合素质；（3）提前接触北大的学术氛围和校园文化，通过自主招生的选拔过程，学生可以更深入地了解北大，为自己的未来规划提供参考。
北大自主招生数学试题
北大自主招生数学试题一、下列哪个数列不是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 10, 8, 6, 4, ...D. -1, 0, 1, 2, ...（答案：B）二、若复数z满足(1+i)z=2i，则z等于？A. 1-iB. 1+iC. -1+i（答案）D. -1-i三、设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2，则f(x)的极小值点为？A. x = 0B. x = 1C. x = 2（答案）D. x = 3四、在三角形ABC中，若sinA:sinB = 3:4:5，则cosC的值为？A. 1/5B. -1/5（答案）C. 3/5D. 4/5五、已知向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与b的夹角θ的余弦值为？A. √5/5B. 2√5/5（答案）C. 1/√5D. -1/√5六、设集合A = {x | x2 - 5x + 6 = 0}，B = {x | x2 - ax + a - 2 = 0}，若B是A的子集，则a的取值范围是？A. a = 2或a = 3或a = 5B. a = 3或a = 5（答案）C. a = 2或a = 5D. a = 2或a = 3七、已知圆C的方程为x2 + y2 - 2x - 5 = 0，直线l的方程为2x - y - 1 = 0，则圆心C到直线l的距离为？A. √5B. 2√5/5C. √5/5（答案）D. 3√5/5八、若实数x, y满足约束条件x + y ≤ 2, x - y ≤ 1, x ≥ 0，则z = 2x + y的最大值为？A. 2B. 3C. 4D. 5（答案）九、设函数f(x) = ex - e(-x)，则不等式f(x + 2) < f(1 - x)的解集为？A. (-∞, 3/2)B. (-3/2, +∞)（答案）C. (-∞, -1/2)D. (1/2, +∞)十、已知矩阵A = [1 2; 3 4]，向量β = [5; 6]，若向量α满足Aα = β，则α为？A. [-1; 2]B. [2; -1]（答案）C. [1; 1]D. [-2; 1]。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析） 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的• 1 •复数 i 2 _i 二 A. 1 2i 【答案】A【解析】试题分析： ( )B . 1 -2i C. —1 2i D. _1_2ii (2 -i )=1 2i考点：复数运算_^x _y w 0 ,2.若 x , y 满足 x y w 1, x 》0 ,则z = x - 2y 的最大值为（A . 0 --x 1 z ，令 Z= 0 , 2 2 作直线y 2 考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A. （—2 , 2 ）B. （-4 , 0 ）C. （-^4，B . 1 D . 2【答案】【解析】试题分析: x ，在可行域中作平行线，得最优解 （0,1）,此时直线的截距最大， Z 取得最小值2. C 3【答案】B【解析】试题分忻：运行程序：^ = 1,_^ = 1,-^ = 0,s = 1-1 = Ojt = 1 + 1 =k = i> + 1 = 1 ■ >■ }. "> 3 ■■ 1、满足，s = —2f f = 2! x = —2j y = 2、k = 2、因天 2A3 、-4, y = O t Jc = 5因再3工3満足’输出(Tj)考点：程序框图【答案】B【解析】试题分析：因为：•，■-是两个不同的平面， m 是直线且m? :•.若“ m //「’，则平面:-、■- 二〃：，反过来若二〃 ：，m 二：；，则有m // ：,则“ m // ： ”是:-// 1 ”的必要而不充分条件考点：1.空间直线与平面的位置关系； 2.充要条件.5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）4. 设：•， 一：是两个不同的平面, A. 充分而不必要条件 m 是直线且m?、£ ." m //「■ ”是“用//「■ ”的B .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件可能相交也可能平行，不能推出A. 2 5 B . 4 5 C. 2 25 D . 5【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC丄平面ABC取AB棱的中点D,连接CD PD,有PD丄ABCD丄AB，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,1 1PD - ■■ 5, S AB^=— 2 2 = 2,, S PAB = q 2 ：：订5 = \ 5 , AC = BC =、，5，S PAC 二S PBC = 2 ' 5 1- ~2，三棱锥表面积3表=2；'5 2.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6. 设:a n ?是等差数列.下列结论中正确的是（）A.若a! a20，则a2a30 B .若a a3=0，则a a, <0C. 若o ::: a :::比，贝U a^ . a1a3 D .若Q ::: 0，贝U a^ a v n： a? - a^ - 0【答案】C【解析】试題分析:先分析四个答案支，A举一反例％ = 2., a2 = -1^勺=-4 ! + a, >0而冬+叫<0 »A错:宅E举同样反例％= 2, a2 = -13 s3 = 一4 , + a <0 ,而珂+冬>0：3错误，下电»■对匚进行研究，3 :是誓差数列，若0<坷 y 则耳> 3设公畫対右则d > 0,数仪吞项均为正，由于衬-爲可=（爲+ d）「-祜q + 2d）=吉:+迢孑+护-$ - 2辱=d1> 0,则曙> 气毎a % >石玄、选c.考点：1.等差数列通项公式；2•作差比较法7.如图，函数f x的图象为折线ACB，则不等式f X > log2x 1的解集是（）：x|-1 < x < 1 C. ?x|-1：：x < 1? D .、x|-1：：x < 2?A. 、x|—1：：x< 0? B【解析】"y试题分析；如图所示，把硒数尸=Log, J的團象向左平移一十单位得到y =I OS/J +1）的图象x = 1时两图象相交*不等式的解为-1 < r < 1,用集合表示解集选C考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解； 3.对图象的理解.。
2015年北京大学博雅计划数学试题及答案
2015年北京大学博雅计划数学试题一、选择题（本题共5小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．）1．已知n 为不超过2015的正整数且1n +2n +3n +4n 的个位数为0，,则满足条件的正整数n 的个数为（ ）A ．1511B ．1512C ．1513D ．前三个答案都不对2．在内切圆半径为1的直角三角形ABC 中，∠C =900，∠B =300，内切圆与BC 切于D ，则A 到D 的距离AD 等于（ ）A ． 4+23B ．3+23C ．3+43D ．前三个答案都不对第2题图 第3题图3．正方形ABCD 内部一点P 满足PA: PB: PC=1:2:3，则∠APB 等于（ ）A ．1200B ．1350C ．1500D ．前三个答案都不对4．满足1112015x y +=，x y ≤的正整数对（x,y ）的个数为（） A ．12 B ．15 C ．18 D ．前三个答案都不对5．已知,,a b c Z ∈，且()()()a b b c c a a b c ---=++，则a b c ++可能为（ ）A ．126B ．144C ．162D ．前三个答案都不对二、填空题（本题共5小题，请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分．）6．设α为复数，α表示α的共轭，已知-=23αα且2αα为纯虚数，则α的值为_______． 7．椭圆22221x y a b+=的一条切线与x,y 轴交于A 、B 两点，则三角形AOB 的面积的最小值为 _______．8．已知226450x y x y -+++=，则22+x y 的最小值是_______． 9．已知点集22{(x,y)1-x 1-y xy}M =⋅≥，则平面直角坐标系中区域M 的面积为 _______．10．现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级，则不同的登法共有_______种．2015年北京大学博雅计划数学试题参考答案一、选择题1、B ．提示：n 模4余1,2,3均可．2、D ．提示：利用面积确定三边长，答案为5+233、B ．提示：如图旋转将△APB 绕B 点顺时针旋转90°并连接PE ，∵将△APB 绕B 点顺时针旋转90°，得△BEC ，∴△BEC ≌△BPA ，∠APB=∠BEC ，∴△BEP 为等腰直角三角形，∴∠BEP=45°，∵PB=2，∴2∵PC=3，CE=PA=1，∴PC 2=PE 2+CE 2，∴∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．4、D ． 提示：2222(2015)(2015)201551331x y --==⋅⋅，因此 (x,y)共有14对．5、C ．提示: 注意()+()+()0a b b c c a ---=二、填空题6、23或3．提示: 根据已知sin()=336k r ππ⋅+，其中r 为α，k Z ∈，因此r=23或3，对应的 =3+3i α或=3i α．7、ab ．提示：仿射变换．8、1/2提示：注意题中方程为两条互相垂直的直线．9、2+2π 提示：如图10、89.提示：递推．登上第1级：1种登上第2级：2种登上第3级：1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来）登上第4级：2+3=5种（前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来）登上第5级：3+5=8种登上第6级：5+8=13种登上第7级：8+13=21种登上第8级：13+21=34种登上第9级：21+34=55种登上第10级：34+55=89种．故答案为：89．。
2015年北京大学清华大学自主招生高中数学试题汇编之清华大学自主招生暨领军计划试题
设
f (m) = p ，其中
m ∈ (0, 1) ，令
h1(x) =
1
2x + x2
，
hn+1(x)
=
h(hn(x))
(
n
=
1,
2,
··
·
)，则
f (hn(m)) = 2n · p, n = 1, 2, · · · ,
因此 f (x) 无界．
5. 如图，已知直线 y = kx + m 与曲线 y = f (x) 相切于两点，则 F (x) = f (x) − kx 有 ( )
A. |OA| · |OB| ⩾ 2
√ B. |OA| + |OB| ⩾ 2 2
C. 直线 AB 过抛物线 y = x2 的焦点
D. O 到直线 AB 的距离小于等于 1
解析 ABD．
设 A(x1, x21) ， B(x2, x22) ，则根据题意，有 x1x2 + x21x22 = 0 ，从而 x1x2 = −1 ．
y
y = kx + m
O
x
y = f (x)
A. 2 个极大值点 解析 BC．
B. 3 个极大值点
C. 2 个极小值点
D. 3 个极小值点
相当于以直线 y = kx + m 为 x 轴观察函数 y = f (x) 的图象的极值点．
6. △ABC 的三边分别为 a, b, c ．若 c = 2 ， ∠C = π ，且满足 sin C + sin(B − A) − 2 sin 2A = 0 ，则 ( 3
A∩B
= {(x1, y1), (x2, y2)} ，
则( )
A. 0 < a2 + b2 < 2r2 C. x1 + x2 = a ， y1 + y2 = b 解析 BCD．
2015年全国高校自主招生数学模拟试卷2
∴所求值=log2．
三、（本题满分20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．
∴cosxsinycosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值．
(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba
(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba
解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，
又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．
(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosxsinycosz=．
∵cosxsinycosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)．
三、（20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
四、(20分)
设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
(2)设P(1，1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．
解：f(x)的对称轴为x=，
易得，0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B．
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由题意， S
AB CD BC AD ，所以 A, B, C , D 四点共圆，且 AC BD ． 2
故 CD 4 3 6.9 ，选 A．
二、填空题 6、11 解析：若 x 为正整数，则
1 1 x
x 1
1 e 1 2015
2
a 0 1 g a 1 a 2 , 0 a 1 ， 2 2a, a 1
故 g a 的最大值为 1（ a 0 时等号成立）． 4、D 解析：1 10
20
2 20 2 20 520 1 2 20 510 1 55 1 5 1 54 53 52 5 1 ，而
2015 年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分
一、选择题（选对得 10 分，不选得 0 分，选错扣 5 分） 1、整数 x, y, z 满足 xy yz zx 1 ，则 1 x
2
1 y 1 z 可能取到的值为（
2 2
）
A．16900 B．17900 C．18900 D．前三个答案都不对 2、 在不超过 99 的正整数中选出 50 个不同的正整数， 已知这 50 个数中任两个的和都不等于 99，也不等于 100．这 50 个数的和可能等于（ ） A．3524 B．3624 C．3724 D．前三个答案都不对 3、已知 x 0,
510 1 模 4 余 2， 55 1 模 4 余 2， 54 53 52 5 1 为奇数，故正整数 n 的最大值为 24．
5、A 解析：设四边形 ABCD 的面积为 S ，直线 AC , BD 的夹角为 ，则
S
AC BD sin AB CD BC AD AB CD BC AD sin , 2 2 2
ab cd 2
1 ac bd 1 ab cd
2
,
显然当 ac bd 0 时，原式取得最大值为 1． 接下来考虑
ac bd 的最大值． ab cd
a b ac bd 由于 d c , a b ab cd 1 d c
令
a b 1 tan ， tan ， 则问题等价于当 , arctan , arctan 2 时， 求 tan 的 d c 2
最大值，显然为 tan arctan 2 arctan
1 3 . 2 4
因此原式的最小值为
16 ． 25
注：可以看做向量 a, d 和 b, c 夹角余弦的平方． 8、9 解析：注意到 y x px q ， x 1,5 满足 2 y 2 ，因此符合题意的二次函
10、设 A1 , A2 , , An 都是 9 元集合 1,2, ,9的子集，已知 Ai 为奇数，1 i n ， Ai A j 为偶数， 1 i j n ，则 n 的最大值为_______．
参考答案 一、选择题 1、A 解析： 1 x
2
1 y 1 z x y y z z x .令
A1 1,0,1,1,1,0,0,0,1 ,
那么
Ai 10 时，必然存在 m 个向量线性相关，不妨设
1 A1 2 A2 m Am 0,0, ,0 ,
其中 i Z i 1,2, , m ， 1 1 ． 此时考虑
B．22 D．前三个答案都不对
）
5、在凸四边形 ABCD 中， BC 4 ， ADC 60 ， BAD 90 ，四边形 ABCD 的面 积等于
AB CD BC AD ，则 CD 的长（精确到小数点后 1 位）为（ 2
）
A．6.9 B．7.1 C．7.3 D．前三个答案都不对 二、填空题（填空题共 5 小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题 10 分） 6、满足等式 1
A1 1 A1 2 A2 m Am ,
那么根据题意有 A1 A1 为奇数，而 A1 Ai i 2,3, , m 为偶数，这样就推出了矛盾． 因此所求 n 的最大值为 9． 注：用这个方法，可以得出 n 元集合至多有 n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任 意两个的交集均包含偶数个元素．
1 x
x 1
1 1 2015
2015
的整数 x 的个数是_______．
7、已知 a, b, c, d 2,4 ，则
a
ab cd 2
2
d 2 b2 c2
2
的最大值与最小值的和为_______．
p 2 q 2 的最大整数是_______．
8、 已知对于任意的实数 x 1,5 ，x px q 2 ， 不超过 9、设 x
b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 ，y ,z ,且 x y z 1 ，则 2bc 2ca 2ab
x 2015 y 2015 z 2015 的值为_______．
2 2 2
x y 2, y z 5, z x 13,
解得
x 5, y 3, z 8.
经检验，这组解满足题意，此时 1 x 2、D
2
1 y 1 z 16900 ．
2 2
解析：考虑将 1,2,⋯ ,99 这 99 个正整数分成如下 50 组： (1,99),(2,98),⋯ ,(47,53),(48,52),(49,51),(50). 若选出的 50 个不同的正整数中没有 50，则必有 2 个数位于 (1,99),(2,98),⋯ ,(47,53),(48,52),(49,51) 中的同一组，不合题意．所以这 50 个不同的正整数中必有 50，而 (1,99),(2,98),⋯ ,(47,53),(48,52),(49,51) 中，每组有且只有一个数被选中． 因为 50+49=99，所以(49,51)中选 51；因为 51+48=99，所以(48,52)中选 52；以此类推，可 得 50,51,52,⋯ ,98,99 是唯一可能的选法． 经检验，选 50,51,52,⋯ ,98,99 满足题意，此时 50+51+⋯ +98+99=3725，故选 D． 3、A 解析：令 t cos x 0,1 ，令 ht t 2at 1 ， t 0,1 则
2015
,
若 x 为负整数，令 x n n N , n 2 ，则
1 1 x 1 因为数列 1 n 1
n 1
x 1
1 1 n 1
n 1
.
n N
, n 2 关于 n 单调递增，故当且仅当 x 2016 时，有 1 1 x
2
数只有两个：
y x2 6x 7 ， y x2 6x 7
9、1
解析：由 x y z 1 ，可得
ab 2 ac 2 a 3 bc 2 a 2b b 3 a 2 c b 2 c c 3 2abc ab 2 a 2b a 3 b 3 ac 2 bc 2 c 3 a 2 c b 2 c 2abc a b a b c 2 a b c ca b a b c b c a c a b
2 ，对任意实数 a ，函数 y cos x 2a cos x 1 的最小值记为 g a ，则 2
） B．2 D．前三个答案都不对
当 a 取遍所有实数时， g a 的最大值为（ A．1 C．3 4、已知 10 A．21 C．23
20
2 20 是 2 n 的整数倍，则正整数 n 的最大值为（
x 1
1 1 2015
2015
.
2
7、
41 25
解析：注意到 a d
2
2
b
2
c 2 ab cd ac bd ,
2
2 ab cd 于是 2 a d 2 b 2 c 2 ab cd 2 ac bd 2
2 2
0
所以 a b c 或 b c a 或 c a b ，故 x 10、9
2015
y 2015 z 2015 1 ．
解析：构造是容易的，取 Ai i ， i 1,2, ,9 即可．
用 0,1 表示集合中的元素是否在子集中，如 A1 1,3,4,5,9，则记