直觉模糊数多属性决策的偏差最大化方法

2 直觉模糊集基本理论
直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)由Atanassov提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和 发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数, 它能够更加细腻地描述和刻画 客观世界的模糊性本质。
( ) 定 义 1[2-3] 设 X 是 一 个 非 空 经 典 集 合 ， X = x1, x2 ,L, xn ， X 上 形 如
(1) 如果 S (a1 ) < S (a2 ) ，那么有 a1 < a2 ； 当 S (a1 ) = S (a2 ) 时，如果 H (a1 ) = H (a2 ) ，则 a1 = a2 ；如果 H (a1 ) < H (a2 ) ，则
a1 < a2 。
( ) 定义7[6] 设 a j = µ j ,ν j ( j = 1, 2,L, n) 为一个直觉模糊值集合，令
IFWAA 为n维直觉模糊，加权算术平均(IFWAA)算子。特别地有，当属性权重取值为
ω = (1 n ,1 n ,L,1 n) ，则IFWAA算子就退化为IFAA算子，记为
IFAA(a%1, a%2 ,L, a%n
)
=
a%1
+
a%2 +La%n n
例 1. 设 a%1 = (0.1, 0.3) , a%2 = (0.4, 0.6) , a%3 = (0.3, 0.7) 和 a%4 = (0.2, 0.5) 为四个直
中图分类号: C934
文献标志码: A
1 引言
自从 1965 年 Zadeh 教授建立了模糊集理论[1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问 题拓展到了模糊现象的领域。1986 年保加利亚学者 Atanassov 进一步拓展了模糊集，提出了 直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模 糊集的特殊情形[2-3]。1993 年 Gau 和 Buehrer 定义了 Vague 集[4]，Bustince 和 Burillo 指出 Vague 集的概念与 Atanassov 的直觉模糊集是相同的[5]。由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与 非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定 信息时具有更强的表现能力。因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。文 献[6]对直觉模糊集环境下的算术集结算子进行了研究，提出了直觉模糊算术平均(IFAA)算 子和直觉模糊加权算术平均(IFWAA)算子，并且基于 IFAA 算子和 IFWAA 算子，给出了相 应的群决策方法。本文对权重信息未知的直觉模糊数的多属性决策方法进行了研究，给出了 一个基于最大偏差的目标规划模型，从而获得相应的属性权重，基于 IFWAA 算子对直觉模 糊数信息进行集结，进而根据得分函数和精确函数对方案进行排序，最后进行了实例分析。
( ) ( ) 记直觉模糊数决策矩阵 R% =
r%ij
=
m×n
µij ,ν ij
。
m×n
由于客观事物的复杂性及人类思维的模糊性，人们往往完全不知道属性的权重信息。在
这种情况下，利用文献[10]的思想，给出了直觉模糊数多属性决策问题的解决方法。
有限个方案的多属性决策，实质上是对这些方案综合属性值的排序比较。若所有决策方
化海明距离为
( ) d
( a%1 ,
a% 2
)
=
1 2
µ1 − µ2 + ν1 −ν 2
(4)
3 直觉模糊数的多属性决策的偏差最大化方法
对 于 直 觉 模 糊 数 的 多 属 性 群 决 策 问 题 ， 设 A = {A1, A2 ,L, Am} 为 方 案 集 ，
G = {G1, G2 ,L,Gn} 为属性集，w = ( w1, w2 ,L, wn )T ∈W 表示评价属性的权重向量，其中
法进行了研究，给出了一个基于最大偏差的目标规划模型，从而获得相应的属性权重，基于
IFWAA算子对直觉模糊数信息进行集结，进而根据得分函数和精确函数对方案进行排序。 最后，进行了实例分析,说明了该方法的实用性和有效性。 关键词：直觉模糊数；运算法则；直觉模糊数加权算术平均(IFWAA)算子；权重信息未知
∑∑ ( ) ∑∑∑ ( ) ( ) Di
mn
w=
d r%ij,r%kj
k=1 j=1
=1 2
m i=1
n j=1
m
wj
k=1
µij −µkj +νij −νkj
, i =1,2,L,m..
(5)
对于所有属性 Gj 而言，D ( w) 表示决策者对所有决策方案与其它决策方案得到的
总偏差。权重向量 w 的选择应使决策者的所有属性对所有决策方案的总偏差之和最大。
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x 的直觉指数，表示元素 x 属于 A 的犹豫度。显然， 0 ≤ π A ( x) ≤ 1 ， x ∈ X 。 定义2[6] 设 X 是非空经典集合， X = ( x1, x2 ,L, xn ) ， A, B ∈ IFS [ X ] ，且
{ } { } A = x, µA ( x),ν A ( x) x ∈ X ， B = x, µB ( x),ν B ( x) x ∈ X ，则有 { } (1) A = x,ν A ( x), µA ( x) x ∈ X ; { } (2) A + B = x, µA ( x) + µB ( x) − µA ( x) ⋅ µB ( x),ν A ( x) ⋅ν B ( x) x ∈ X
的重要性程度如何)应该赋予越大的权重。特别地，若所有决策方案在属性 G j 下的属性值无
差异，则属性 G j 对方案排序将不起作用，可令其权重为零。
( ) ( ) 在直觉模糊数决策矩阵 R% =
r%ij
=
m×n
µij ,ν ij
m×n 中，对于所有属性 G j 而言，决策方案
Ai 与决策方案 Ak 的偏差用 Di ( w) 表示，可以定义为
⎠
( ) = 1− 0.90.2 × 0.60.3 × 0.70.4 × 0.80.1, 0.30.2 × 0.60.3 × 0.70.4 × 0.50.1
= (0.2877, 0.5455)
定义8 [9] 设 a%1 = ( µ1,ν1 ) 和 a%2 = ( µ2 ,ν 2 ) 为两个直觉模糊数，则该两个直觉模糊数间的规范
( ) (3)
λa1 =
1
−
(1
−
µ1
)λ
,ν
λ 1
，λ >0；
(4) a1 + a2 = a2 + a1 ;
(5) λ (a1 + a2 ) = λa1 + λa2 ， λ > 0 ； (6) λ1a1 + λ2a1 = (λ1 + λ2 ) a1 ， λ1, λ2 > 0 . 定义 4[7] 设 a = ( µ,ν ) 为一个直觉模糊值，则该直觉模糊值的记分函数为
( ) 定 义 6[6] 设 a1 = µ1,ν1 和 a2 = ( µ2 ,ν 2 ) 为 两 个 直 觉 模 糊 值 ， 对 应 的 记 分 函 数 为 S (来自百度文库1 ) = µ1 −ν1 和 S (a2 ) = µ2 −ν 2 ， 对 应 的 准 确 度 函 数 为 H (a1 ) = µ1 +ν1 和 H (a2 ) = µ2 +ν 2 ，那么
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案在属性 G j 下的属性值差异越小，则说明该属性对方案决策与排序所起的作用越小；反之，
如果属性 G j 能使所有决策方案的属性值有较大偏差，则说明其对方案决策与排序将起重要
作用。因此，从对决策方案进行排序的角度考虑，方案属性值偏差越大的属性(无论其本身
为此，我们构造偏差函数
∑ ∑∑∑ ( ) ( ) ( ) max D
w
m
= Di
i=1
w
=
1 2
n j =1
m i =1
m
wj
k =1
µij − µkj + ν ij −ν kj
(6)
因而，求解权重向量 w 等价于求解如下最优化模型
∑ ∑∑∑ ( ) ( ) ( ) max D
w
m
= Di
i=1
w
=
S (a) = µ −ν ， S (a) ∈[−1,1]
(1)
如果 S (a) 的值越大，则相应的直觉模糊值 a = ( µ,ν ) 也越大。
定义 5[8] 设 a = ( µ,ν ) 为一个直觉模糊值，则该直觉模糊值的准确度函数为
H (a) = µ +ν ， H (a) ∈[0,1]
(2)
如果 H (a) 的值越大，则相应的直觉模糊值 a = ( µ,ν ) 的准确度也越高。
IFWAA : Qn → Q ，若
∑ ∏( ) ∏ IFWAAω (a%1, a%2,L, a%n ) =
n
ω ja% j
=
⎛ ⎜1−
n
1− µj
ωj ,
n
ν
ωj j
⎞ ⎟
(3)
j =1
⎝ j=1
j =1
⎠
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n
∑ 其中： ω = (ω1,ω2,L,ωn ) 为属性的权重，满足 ωi ∈[0,1] 和 ωi = 1 。则称函数 i =1
A 的证据所导出的肯定隶属度的下界和反对元素 x 属于集合 A 的证据所导出的否定隶属度
的下界。例如 ⎡⎣µA ( x),ν A ( x)⎤⎦ = [0.5, 0.2] ，在投票模型中这可解释为在10人中，有5人赞
成，2人反对，3人弃权。
对于 X 上的每一个直觉模糊集，称π A ( x) = 1− µA ( x) −ν A ( x) 为直觉模糊集 A 中元素
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直觉模糊数多属性决策的偏差最大化方法
卫贵武
重庆文理学院经济与管理系，重庆 (402160)
E-mail：weiguiwu@163.com
摘 要：针对权重信息未知的直觉数多属性决策问题，首先引入了直觉模糊数的一些运算法
则、直觉模糊数的得分函数和精确函数。然后对权重信息未知的直觉模糊数的多属性决策方
{ } (3) λ A = x,1− (1− µA ( x))λ ,(ν A ( x))λ x ∈ X , λ > 0 .
定义3[6] 设 a1 = ( µ1,ν1 ) 和 a2 = ( µ2 ,ν 2 ) 为两个直觉模糊值，则运算法则为
(1) a1 = (ν1, µ1 ) ;
(2) a1 + a2 = ( µ1 + µ2 − µ1 ⋅ µ2 ,ν1 ⋅ν 2 ) ;
觉模糊数,ω = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1)T 为 a% j ( j = 1, 2,3, 4) 的属性权重，那么有
4
∑ IFWAAω (a%1, a%2 ,L, a%n ) = ω ja% j j =1
∏( ) ∏ ⎛ 4
= ⎜1−
1− µj
ωj ,
4
ν
ωj j
⎞ ⎟
⎝
j =1
j =1
( ) ( ) 其中 µAi G j 表示决策者对于方案 Ai 关于属性 G j 的满足程度，ν Ai G j 表示决策者对于方 ( ) ( ) 案 Ai 不 满 足 属 性 Gj 的 程 度 ， 这 里 µAi Gj 和 ν Ai Gj 的 取 值 应 满 足 条 件
( ) ( ) ( ( )) ( ( )) [ ] [ ] µAi Gj ⊂ 0,1 ,ν Ai Gj ⊂ 0,1 ， 0 ≤ sup µAi Gj + sup ν Ai Gj ≤ 1 ，为方便起见,
{ } A = x, µA ( x),ν A ( x) x ∈ X 的 三 重 组 称 为 X 上 的 一 个 直 觉 模 糊 集 。 其 中
µA : X → [0,1] 和ν A : X → [0,1] 均为 X 的隶属函数，且 0 ≤ µA ( x) +ν A ( x) ≤ 1 ，这里 µA ( x) ,ν A ( x) 分别是 X 上元素 x 属于 A 的隶属度和非隶属度，表示为支持元素 x 属于集合
n
∑ wj 表示属性 Gj 的权重，满足 w2j = 1和 wj ≥ 0 ，1, 2,L, n 。 j =1
则决策者对于方案 Ai ∈ A( A1, A2,L, Am ) 关于属性 Gj ∈ G (G1,G2 ,L,Gn ) 进行测度，
{ ( ) ( ) } 属性值为直觉模糊数 A = Gj , µAi Gj ,ν Ai Gj Gj ∈ G ， i = 1, 2,L, m, j = 1, 2,L, n ，
1 2
n j =1
m i=1
m
wj
k =1
µij − µkj + νij −ν kj
(7)
∑ s.t.
w n
j=1 j
= 1, w2j