状态和状态空间模型
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
状态和状态空间表达式
补偿器解耦(7/7)
基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图4-3示的解耦控制系统。 例4-8求得的解耦补偿器Gc(s)的传递函数阵的某个元素 出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次,这会带来该解 耦控制器工程上物理实现的困难,一般工程上只能做到近 似实现。
状态反馈解耦(1/16)
4.4.2 状态反馈解耦
状态反馈解耦(14/16)
由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 因此,状态反馈解耦矩阵为
0 0 1 K E F 1 2 3 1 0 1 H E 0 1
1
状态反馈解耦(15/16)
此时闭环系统状态方程和输出方程为：
0 x (t ) 0 0 1 y (t ) 0
为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因此, I-W(s)也为 对角线矩阵。 故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。 即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合适补偿 器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。
补偿器解耦(4/7)—例6-8
例4-8 已知系统如图4-4所示,
1 s l2 1
状态反馈解耦(9/16)
可以看出W(s)是对角线矩阵,所以其闭环系统是一个完全解 耦系统。 另外,传递函数对角元素均是积分环节,故称这样的系统 为具有积分型的解耦系统。 下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。
状态反馈解耦(10/14)
例4-9 设系统的状态空间模型为：
s 2 3s 1 s ( s 1)( s 2) 1 G ( s) C ( sI A) B 1 ( s 1)( s 2)
因此,系统存在耦合现象。 系统的状态图如图4-6所示。
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结以状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结为标题状态空间模型是一种描述动态系统行为的数学模型，通过将系统的状态、输入和输出量化为向量形式，以状态方程和输出方程的形式表示系统的动态行为。
在实际应用中，状态空间模型常用于控制系统的设计和分析。
在状态空间模型中，系统的状态由一组变量表示，这些变量描述了系统在不同时间点的状态。
状态方程描述了状态随时间的演化规律，是系统动态行为的核心部分。
状态方程通常采用微分方程的形式表示，其中包含系统的状态变量、输入和系统参数。
解状态方程可以得到系统状态随时间的变化情况，从而可以对系统的动态行为进行分析和预测。
在实验中，我们可以通过实际测量或仿真来获取系统的输入和输出数据，并根据这些数据来估计系统的状态方程和参数。
然后，利用已知的状态方程和输入数据，可以通过数值求解方法来解状态方程，得到系统的状态随时间的变化情况。
解状态方程的结果可以与实际测量或仿真数据进行比较，以验证状态方程的准确性和模型的有效性。
在进行状态空间模型实验时，需要注意以下几点：1. 系统建模：首先需要对系统进行建模，确定系统的状态变量、输入和输出，并推导出系统的状态方程和输出方程。
建模的过程中需要考虑系统的特性和约束条件，以及系统的稳定性和可控性等因素。
2. 实验设计：根据系统的特点和实验目的，设计合适的实验方案。
选择合适的输入信号，以及采样频率和采样时长等参数，以确保实验数据的准确性和可靠性。
3. 数据采集：在实验中需要采集系统的输入和输出数据。
输入信号可以通过外部激励或系统自身的反馈信号来产生，输出信号可以通过传感器或测量设备进行采集。
采集到的数据需要进行预处理和滤波，以去除噪声和干扰，提高数据的质量和可靠性。
4. 系统辨识：通过实验数据和已知的输入信号，利用数值辨识方法来估计系统的状态方程和参数。
常用的辨识方法包括最小二乘法、卡尔曼滤波器和系统辨识工具箱等。
Eviews13章状态空间模型
本章小结：
• 了解状态空间模型的基本理论 • 掌握状态空间模型的建立方法 • 了解卡尔滤波方法
• 掌握状态空间模型的估计方法
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四、状态空间模型的估计
当状态空间模型被定义好后，就可以对其进行模型的估计。 在 EViews 软 件 操 作 中 ， 选 择 状 态 空 间 对 象 工 具 栏 中 的 “Proc”|“Estimate…”选项，得到对话框。 在“Sample”中输入要估计的样本区间，系统默认下为整个 样本区间；在“Optimization algorithm”（最优化算法）中选 择 估 计 算 法 ， 包 括 “ Marquardt” （ 马 夸 特 测 定 法 ） 和 “BHHH”估计方法；在“Iteration Control”（循环控制）中 可以设定最大循环次数和收敛值；在“Derivatives”（导数方 法）中，有两种计算导数的方法，分别是“Accuracy”和 “Speed”。如果选择“Accuracy”计算的精度会更高，如果 选择“Speed”计算的速度会更快。
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三、状态空间模型的建立
（2）在下图所示的状态空间对象的文本编辑栏中也可以对 状态空间模型进行定义。在该编辑栏中通过关键词和文本可 以描述量测方程、状态方程、初始条件、误差结构和待估参 数的初始值。
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三、状态空间模型的建立
量测方程： 量测方程的关键词是“@signal”，如果该关键词缺失，系统 默认下会将该方程设定为量测方程。量测方程的因变量可以 包含表达式，例如 log(kg)=ss1 + c(1) + c(3)×x + ss2×y 其中，ss1和ss2是状态变量。 量测方程的右侧不能包含量测变量的当期值和未来值，即不 能包含因变量表达式中的变量。
matlab里控制系统的三种数学模型的转换
在MATLAB中，控制系统的建模和分析是非常重要的。
控制系统的数学模型是描述系统行为的数学表示，可以用来进行模拟、分析和设计控制系统。
在控制系统中，常见的数学模型包括积分-微分模型、状态空间模型和传递函数模型。
接下来，我将按照深度和广度的要求，对这三种数学模型进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章。
1. 积分-微分模型在控制系统中，积分-微分模型是一种常见的数学表示方法。
它由两部分组成：积分部分和微分部分。
积分部分描述了系统的累积效应，微分部分描述了系统的瞬时响应。
这种模型常用于描述惯性较大、响应缓慢的系统，例如机械系统和电气系统。
在MATLAB中，可以使用积分-微分模型来进行系统建模和仿真，以分析系统的稳定性和性能指标。
2. 状态空间模型状态空间模型是另一种常见的控制系统数学表示方法。
它由状态方程和输出方程组成，用来描述系统的状态变量和外部输入之间的关系。
状态空间模型适用于描述多变量、多输入多输出系统，例如飞行器、汽车控制系统等。
在MATLAB中，可以使用状态空间模型来进行系统分析和设计，包括系统的稳定性、可控性和可观性分析，以及控制器设计和系统性能评价。
3. 传递函数模型传递函数模型是控制系统中最常用的数学表示方法之一。
它用传递函数来描述系统的输入和输出之间的关系，其中传递函数是输入信号和输出信号的比值。
传递函数模型适用于描述单输入单输出系统，例如电路系统、机械系统等。
在MATLAB中，可以使用传递函数模型进行系统分析和设计，包括频域分析、极点和零点分析，以及控制器设计和系统稳定性评估。
总结回顾：在本文中，我按照深度和广度的要求对MATLAB中控制系统的三种数学模型进行了全面评估。
我从积分-微分模型入手，介绍了其构成和适用范围。
我转而讨论了状态空间模型，阐述了其在多变量系统中的重要性。
我详细介绍了传递函数模型，强调了其在单输入单输出系统中的广泛应用。
在文章的我共享了对这三种数学模型的个人观点和理解，指出了它们在控制系统中的重要性和实用性。
线性代数在自动控制系统中的应用
线性代数在自动控制系统中的应用自动控制系统是现代工程和科学中的一个重要领域。
它的主要目标是通过使用传感器和执行器，对物理过程进行监测和控制，以实现所期望的系统功能。
而线性代数作为数学的一个分支，对于自动控制系统的设计、分析和优化发挥着重要的作用。
本文将探讨线性代数在自动控制系统中的应用。
1. 状态空间模型在自动控制系统中，状态空间模型是一种常用的数学工具，用于描述系统的行为。
它是基于向量和矩阵的线性代数概念构建的。
状态空间模型可以将系统的状态表示为一个向量，并使用线性方程组来描述系统的演化。
通过状态空间模型，可以方便地分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质，以及设计控制器来实现所需的系统行为。
2. 矩阵运算线性代数中的矩阵运算在自动控制系统中也得到了广泛的应用。
在系统的动态建模过程中，矩阵运算可以用来描述系统的输入、输出关系。
例如，通过矩阵乘法可以表示系统的输入与状态之间的关系，进而得到系统的输出。
此外，矩阵运算还可以用于参数估计、滤波和优化等问题的求解。
3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也在自动控制系统中发挥了重要作用。
在系统的稳定性分析中，通过计算系统的特征值，可以判断系统是否稳定。
当特征值的实部全部为负时，系统是稳定的；当存在一个或多个特征值的实部为正时，系统是不稳定的。
此外，特征向量也可以用来描述系统的振荡特性和响应模式。
4. 卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器是一种重要的状态估计算法，广泛应用于自动控制系统中。
它基于线性代数的概念，通过对系统的测量和模型进行融合，提供对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器在飞行器导航、位置跟踪和信号处理等应用中得到了广泛使用，为实时系统提供了准确的估计结果。
5. 最小二乘法最小二乘法是线性代数中的一种常见优化方法，也在自动控制系统中有着广泛的应用。
在系统辨识和参数估计问题中，最小二乘法可以用来拟合模型和估计参数。
通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和，可以获得最优的拟合结果。
状态空间模型及其在控制工程中的应用
状态空间模型及其在控制工程中的应用状态空间模型，也称为状态变量模型，是控制工程中一种常用的数学模型方法。
它以系统的状态变量为描述对象，通过状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
本文将介绍状态空间模型的基本概念，以及它在控制工程中的应用。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型是一种以状态变量为基础的数学模型，用于描述系统的动态行为。
状态变量是系统在某一时刻的内部状态，而状态方程则描述了状态变量随时间的演化规律。
更具体地说，状态空间模型可以表示为以下形式：˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)为n维的状态向量，表示系统在时刻t的内部状态；u(t)为m维的输入向量，表示系统在时刻t的外部输入；y(t)为p维的输出向量，表示系统在时刻t的输出；A为n×n维的系统矩阵，描述了状态变量的演化规律；B为n×m维的输入矩阵，描述了输入对状态的影响；C为p×n维的输出矩阵，描述了状态对输出的影响；D为p×m维的直接传递矩阵，描述了输入对输出的直接影响。
二、状态空间模型在控制工程中的应用1. 控制器设计：状态空间模型可以方便地用于控制器的设计与分析。
通过对系统的状态变量建模，可以设计出满足特定性能指标的控制器。
例如，可以利用状态反馈控制的方法，通过选择合适的反馈增益矩阵K，使得系统的状态能够稳定地收敛到期望的状态。
此外，还可以利用最优控制理论，基于状态空间模型设计出最优控制器，使得系统的控制性能最优化。
2. 系统仿真与分析：状态空间模型可以用于系统的仿真和分析。
通过将系统的参数代入状态方程和输出方程，可以得到系统的时域响应和频域特性，从而可以对系统的稳定性、响应速度以及抗干扰能力等进行分析。
此外，通过对状态空间模型做变换，还可以将系统的连续时间模型转化为离散时间模型，从而方便地进行数字控制系统的设计与分析。
3. 状态估计：状态空间模型还可以用于系统状态的估计与观测。
控制系统中的系统建模与模型验证
控制系统中的系统建模与模型验证控制系统是将各种物理量转化为电信号，并通过计算机进行处理和控制的系统。
在控制系统的设计和开发中，系统建模和模型验证是至关重要的步骤。
系统建模是指将现实世界的系统抽象为数学模型的过程，而模型验证则是验证所建立的模型是否准确地反映了系统的行为。
一、系统建模在进行系统建模之前，我们需要明确系统的输入、输出和内部结构。
系统的输入是指外部对系统的控制，输出是系统的响应，而内部结构则是系统各个组成部分的联系和相互作用。
1. 功能模型功能模型是系统建模中最常见的一种模型。
它描述了系统的功能和输入输出关系。
对于一个简单的控制系统来说，功能模型可以用框图或者流程图表示。
在框图中，用矩形表示功能模块，用箭头表示输入输出关系。
2. 状态空间模型状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态和状态之间的转移关系。
它可以用矩阵和向量表示，其中状态向量包含了系统的所有状态变量，状态转移矩阵描述了状态之间的转移规律。
3. 传递函数模型传递函数模型描述了系统输入和输出之间的关系。
它是一种频域模型，可以用分子多项式和分母多项式表示。
传递函数模型常用于线性系统的建模，可以通过频率分析来研究系统的稳定性和性能。
二、模型验证模型验证是验证所建立的模型是否准确地反映了系统的行为。
在模型验证过程中，我们需要对模型进行仿真和实验验证。
1. 仿真验证仿真验证是通过计算机模拟系统的行为，从而验证模型的准确性和可行性。
在仿真验证过程中，我们可以根据模型的输入，计算系统的输出，并与实际数据进行对比。
如果模型的输出与实际数据吻合较好，说明模型是可靠的。
2. 实验验证实验验证是通过实际搭建系统的物理模型，并进行实验测试来验证模型的准确性。
在实验验证中，我们需要搭建控制系统的硬件平台，并根据模型的输入，测量系统的输出。
将实际数据与模型的输出进行对比，以验证模型的准确性。
三、总结控制系统中的系统建模和模型验证是控制系统设计中不可或缺的一步。
状态、状态变量、状态空间、状态方程和动态方程
如式(2-2)所示。
其中,G=(g1,g2,…,gm ),G 是一个函数矢量。
第2章 状态空间分析法
在现代控制理论中,用系统的状态方程和输出方程来描
述系统的动态行为,状态方程和输出方程合起来称作系统的
状态空间表达式或动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况,一般控制系统可以分
取每个积分器的输出端信号为状态变量x1 和x2,积分器的输
入端即ሶ 1 和ሶ 2,从图可得系统状态方程:
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-6 求如图2-10(a)所示系统的动态方程。
图2-10 方块图
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
2.4 由系统的微分方程或传递函数求其动态方程
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-2-电路如图2-6所示。以ei 作为系统的控制输入u(t),
eo 作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。
图2-6 RLC 电路
第2章 状态空间分析法
解 该RLC 电路有两个独立的储能元件L 和C,我们可以
取电容C 两端电压和流过电感L 的电流作为系统的两个状态
性,因此会产生一定程度上的结构差异,这也会导致动态方程
差异的产生;从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问
题,更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生,因而也产生
了不同的动态方程。所以说系统动态方程是不唯一的。
第2章 状态空间分析法
例如图2-11所示的传递函数的直接法实现,按照图上所
示各状态变量的取法,我们有式(2-24)所示动态方程。如果将
状态和状态空间模型
其中
x
x1
x2
u [ui ]
y [uC ]
A
- R/L
1/C
-1/L
0
B
1/L
0
C [0
1]
• 总结出状态空间模型的形式为x Ax Bu Nhomakorabeay
Cx
Du
其中x为n维的状态向量;
u为r维的输入向量;
y为m维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为nr维的输入矩阵;
– 系统的状态和状态变量 – 系统的状态空间
1. 系统的状态和状态变量
• 动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的 字面意思就是指系统过去、现在将来的运 动状况。
– 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空 间分析方法十分重要。
– “状态”的定义如下。
• 定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描 述系统时间域动态行为的一个最小变量组。
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量 x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间, 并称为n维状态空间,记为Rn.
• 状态向量的端点在状态空间 中的位置,代表系统在某一时 刻的运动状态。
描述线性系统 的主要状态空 间模型,切记!
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
第八章状态空间数学模型
第八章 状态空间数学模型§8-1状态空间表达式一、状态、状态变量和状态空间1、状态变量：系统的状态变量就是确定系统状态的最小一组变量。
如果已知这些变量在任意初始时刻0t 的值以及0t t ≥的系统输入，便能完整地确定系统在时刻t 的状态，这样一组最小的变量称为系统的状态变量。
2、状态：任意时刻下系统的状态变量的值。
3、状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，称为状态空间。
例：R-L-C 电路)()(1)()()()(00t u dt t i Ct u t u t Ri dt t di L i ==++⎰二、状态空间表达式Du Cx y bu Ax x+=+=其中：A ：n×n 系数矩阵，B ：n×r 输入矩阵，C ：m×n 输出矩阵，D ：m×r 直接传输矩阵。
例1：R-L-C 电路[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+--=0000001001011111u i u u L u i CL L Rdt du dt di i cdt du u L u L i L R dt di ii例：直流电动机[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎩⎪⎨⎧--=+--===++==++ωωωωωωωωωωi T u J L i J c Jk L k L R dt d dt di T J J c i J k dtd u L L k i L R dt diik T T T c dt d J k e u e Ri dt di L l i te lt i e t l e i10100111§8-2由微分方程求状态空间表达式一、输入不含有导数项[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---========+++32132121032110213233221101200100100010x x x y u b x x x a a a x x x bu x a x a x a y x y x x y x xyx bu y a y a ya y二、输入含有导数项)()()()(:,:10213242211000312011202213001230011223011220210102132432104210310201333210422210311102010123012=+++---=--=-==+++=+++++++++++++++++=+++=++=+=-=----=-=---=-=--=-=+++=+++x a x a x a x a a a b a a b a b b u b u b u b u b u a a a ua a u a ux a x a x a x u u u ux y u u u x yu u x y u x y u x u u u u y x u x u u u yx u x u u yx uy x u b u b u b u b y a y a y a y βββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββ对应项系数相等整理得代入原方程得到[]u x x x u x y u x x x a a a x x x u x a x a x a xu x xu x x0321013213212132133221103232121001100010ββββββββ+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=+=+=§8-3传递函数矩阵一、传递函数矩阵Du Cx y Bu Ax x+=+=BA sI s G x x s Bu s x A sI s Bu s Ax x s sx xu 1][)(0)0()0()()(][)()()0()(--==+=-+=-Guy =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-=+-=+=--mrm m r r yuyu g g g g g g g g g G DB A sIC G s Du s Bu A sI C s Du s Cx s y21222211121111][)()(][)()()( 二、闭环系统传递函数矩阵)()]()([)()()()]()([)]()()()[()]()()[()()()()()()()()()()(1s G s H s G I G s u s G s y s H s G I s y s H s u s G s B s u s G s y s E s G s H s y s H s B s B s u s E close -+==+-=-===-=§8-4线性变换一、等价系统方程（状态变量的非唯一性）DD CP C u D x C Du x CP y PB B PAPA uB x A PBu x PAP PBu PAx Bu Ax P x P x x P x Pxx n n P Du Cx y Bu Ax x==+=+===+=+=+=+====⨯+=+=-----11111)(: 非奇异矩阵[]01101100101100110,11100222112110000====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----D D CP C LC PB B L R LCPAP A C PCP u i Cu i P P P P u u u u C L R 为状态变量和若选电路为例以二、化系数矩阵为标准形的特征向量。
东南大学自动控制原理控制系统的状态空间模型
对偶实现
g(s)
n1sn1
sn an1sn1
1s 0
a1s a0
d
则状态空间表达式可为
d=0时为严格真系统
0 0 0 a0
1
0
a1
A 0 0 ,
1
0
an2
0 0 1 an1
实现过程：
第一步：分解传递函数
g(s)
bn
(bn1
bnan1)sn1 (b1 sn an1sn1
bna1)s a1s a0
(b0
bna0
)
第二步：定义虚拟输出
~y (s)
sn
an1s n1
1
a1s a0
u(s)
则 y(s) ((bn1 bnan1)sn1 (b1 bna1)s (b0 bna0 )) ~y (s) bnu(s)
bnu(t)
第三步：取n个状态变量 x1 ~y, x2 ~y (1) , , xn ~y (n1)
x1 ~y (1) x2 ,
xn1
~y (n1)
xn ,
xn ~y (n) an1xn a0 x1 u
y(t) (b0 bna0 )x1(t) (b1 bna1)x2 (t) (bn1 bnan1)xn (t) bnu(t)
假设零初始条件（即x(0)=0)，进行拉普拉斯变换后得到系统的 传递函数矩阵为
G(s) C(sI A)1 B D
状态空间模型
y (t ) = [b0 bn a0 , b1 bn a1, L, bn 1 bn an 1 ]X (t ) + bnu (t )
Example
分别求传递函数
和 2）
4 s 2 + 3s 3 G(s) = 2 s + 7s + 5
s 3 G(s) = 2 1） s + 3s + 2
Example
设一线性系统的状态表示为
dx1 dt = x1 + x2 + u dx 2 = x2 u dt y = x1 x2 + 2u
{A, B, C , D}
试求其输入-输出微分方程.
解:
1 2 1 , , [1 1],2, = 0 1 1
1
代入公式(3)得
的状态模型表示。 解：1） m=1,n=2且 a0 = 2, a1 = 3, b0 = 3, b1 = 1.
0 A= a0 1 0 1 0 B = , = , a1 2 3 1 C = [b0 b1 ] = [ 3 1], D = 0
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = + u (t ) dt x2 (t ) 2 3 x2 (t ) 1 x1 (t ) y (t ) = [ 3 1] x2 (t )
其中 H i 为待定向量,维数与 X 相同. 显然,由初始条件X (0) = X 0 可得 H 0 = X 0 , 并将(3)式代入(2)式得:
H1 + 2 H 2t + L + nH nt n 1 + L = AH 0 + AH1t + L + AH nt n + L
状态空间模型
所以 D 4
a0 5,a1 1,b0 23,b1 3.
所以
0 A a0
1 a1
0 5
11,
B 10,
C b0 b1 23 3,
状态模型为：
d dt
x1(t ) x2 (t )
0 5
1 1
x1(t ) x2 (t )
10u(t
)
y(t) 23
3
x1(t ) x2 (t )
dt 3. e At1 e At2 e A(t1t2 );
4. eAt 1 eAt ;
5. AB BA e At eBt e( AB)t ;
6. M 1e At M eM 1AMt;
1
7.
A
e1t
e At
;
n
ent
状态方程的解
对方程
d dt
X
(t)
AX
(t)
BU
C
c21
c22
c2n
cq1
cq 2
cqn
（输出矩阵）
d11 d12 d1p
D
d21
d22
d
2
p
dq1
dq2
dqp
（输出-输入矩阵）
状态模型的矩阵表示为：
d dt
X
(t)
AX
(t)
BU
(t),
X
(0)
X
0
Y (t) CX (t) DU (t).
显然，该系统完全由矩阵 A, B,C, D 所确定。以后我们以{ A, B,C, D }形 式来简记该系统。
得状态方 程：
dx1 dt
y'
x2
dx2
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19
系统的状态空间模型(10/11)
4. 线性定常系统
x Ax Bu
y
D
u
为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为 (A(t),B(t),C(t),D(t)).
➢ 类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为 (A,B,C,D).
➢ 几种简记符的意义:
R
i
L
L
diL dt
uC
ui
i
L
C
duC dt
12
2. 选择状态变量。
– 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感 和电容)的个数。
– 对本例
x1(t)=iL, x2(t)=uC
3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整 理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组--状 态方程。
– 每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的 系数为1,非导数项列写在方程的右边。
状态和状态 空间模型
1
状态和状态空间模型
• 系统的状态空间模型是建立在状态和状态 空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念 进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌 握和深入理解。
– 状态 – 状态变量 – 状态空间 – 状态空间模型
2
状态空间的基本概念
• 下面将给出动态系统的状态和状态空间的 概念,主要讲授内容为：
29
和平衡关系.
根据系统机理建立状态空间模型
建立状态空间模型的关键在于状态 变量的选取，它是建立状态空间模
型的前提
状态变量的主要选取办法
系统储能元件的输出 系统输出及其输出变量的各阶导
数 上述状态变量的数学投影（使系 统状态方程成为某种标准形式的
变量） 30
根据系统机理建立状态空间模型
下面通过常见的
上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以 及电阻所构成的电网络系统的状态空间模 型的建立，其依据为各电气元件的物理机 理及电网络分析方法.
这种根据系统的物理机理建立对象的数学模 型的方法称为机理建模.
机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、 电流、力和热量等)在储存和传递中的动态 平衡关系,以及各环节、元件的各物理量之27
量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态
向 x量1 ,并可表示如下: u1
y1
x
x
2
...
[ x1
x2
... xn ]
u2 系统内部状态 y2
…
x1,x2,…,xn
…
x
n
ur
ym
图2-1 多输入多输出系统示意图
6
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
7
• 状态变量是描述系统内部动态特性行为的 变量。
– 系统结构图主要有三种基本元件:
• 积分器, • 加法器, • 比例器,
其表示符如图2-4所示。
22
x& (t) ∫ x(t)
(a) 积分器
x1 x1+x2
x2 x2
(b) 加法器
x k kx
(c) 比例器
图2-4 系统结构图中的三种基本元件
23
• 例 线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
11
• 例 某电网络系统的模
型如图2-3所示。
R
L
+
– 试建立以电压ui为系统 输入,电容器两端的电压
ui
iL
+ C uC
-
uC为输出的状态空间模 -
型。
图2-3 例2-3的RLC电网络系统
解 1. 根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。
➢ 对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各 电压和电流所满足的方程
18
系统的状态空间模型(9/11)
2. 非线性系统
x f (x,u)
y
g(x,u)
其中f(x,u)和g(x,u)分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量 函数。
➢ 这些非线性函数中不显含时间t,即系统的结构和参数不 随时间变化而变化。
3. 线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
• 状态空间模型是应用状态空间分析法对动 态系统所建立的一种数学模型,它是应用现 代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
– 状态空间模型由
• 描述系统的动态特性行为的状态方程和 • 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出
方程
所组成。 – 下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二
阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建 立和形式,然后再进行一般的讨论。
– 因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的 内在变化规律。
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
输出 y 空间
9
2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量 x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间, 并称为n维状态空间,记为Rn.
– 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分 量是相互独立的。
• 减少变量,描述不全。
• 增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必 要。
5
• 若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须
由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n
个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t).
– 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x' ∫ x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
24
线性系统状态空间模型的结构图
• 若需要用结构图表示出各状态变量、各输 入变量和各输出变量间的信息传递关系,则 必须根据实际的状态空间模型,画出各变量 间的结构图。
– 图2-6表示的是状态空间模型如下所示的双输入 -双输出线性定常系统的结构图。
13
– 对本例,经整理可得如下状态方程
dx1 ddxt2 dt
R L
x1
1 C x1
1 L
x2
1 L
ui
写成向量与矩阵形式为：
xx1 2 -1R /C /L -10/Lxx1 21/0Lui
4. 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。
➢ 对本例
uC x2 [0 1]xx12
14
5. 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态 空间模型的状态空间模型
xAxBu (A,B,C): yCx
20
系统的状态空间模型(11/11)
(A ,B ):x A xB u
(A,C) :
x Ax y Cx
21
线性系统状态空间模型的结构图
线性系统的状态空间模型可以用结构图的方 式表达出来,以形象说明系统输入、输出和 状态之间的信息传递关系。
– 在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有 力的工具。
3. 将状态变量代入运动方程
x&1 x2
x&2
-
k m
x1-
f m
x2
1 m
u
刚体动力学系统
4. 建立输出方程
y=x1 5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型
x&
0 -k/m
-
1 f/m
x
1/0m u
y [ 1 0 ]x
35
图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀 门的开度不变,在平衡工作点附近阀门阻力系数分别 可视为常量R1和R2.
• 状态向量的端点在状态空间 中的位置,代表系统在某一时 刻的运动状态。
x2 x(t0)
x (t1)
x (t2)
x (t) x1 图2-2 二维空间的状态轨线
➢ 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
➢ 状态轨线如图2-2所示。
10
系统的状态空间模型
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
16
• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
– 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间关联情况,
• 它主要决定系统的动态特性。
根据系统机理建立状态空间模型
在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存 和传递能量 (或信息)的能力。例如,
机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体 都储存有能量并能通过某种形式传递;
化工热力学系统中的物质中的热量的储存与 传递;
化工反应系统反应物质的物料传递和平衡的 信息.
对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由 相应描述这些变化的物理和化学的定理、定 律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的28
刚体力学系统、 流体力学系统、 典型化工(热工)过程 机电能量转换系统
讨论如何建立状态空间模型.
31
刚体动力学系统
1. 刚体动力学系统的状态空间描述
图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组
成的刚体动力学系统的物理模型.
试建立以外力u(t)为系统输入,质量
体位移y(t)为输出的状态空间模型.
u
y
m
k
f
图2-7 弹簧-质量体-阻尼器系统
32
解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝 对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之 后的相对值。