拓扑优化第八次课
《Ansys拓扑优化》课件
优化飞机和航天器的结构，在减少重量的同时提高强度和刚度。
汽车工程
改进汽车结构以提高燃油效率和碰撞安全性。
建筑工程
优化建筑结构以提供更好的抗震性能和节能效果。
传统的结构优化与拓扑优化的 区别
• 传统的结构优化方法通常只考虑材料的分布，而拓扑优化还考虑了形 状的优化。
• 拓扑优化可以提供更自由的设计空间，允许非常复杂的结构形态。 • 拓扑优化能够更全面地优化结构的性能指标，如重量、刚度、疲劳寿
Ansys提供了先进的优化算法， 能够高效地进行拓扑优化。
集成的结构分析
Ansys可以直接对结构进行有 限元分析，提供准确的性能评 估。
与CAD软件的无缝集成
Ansys可以导入CAD模型，轻 松进行拓扑优化设计。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ansys拓扑优化的输入数据要求
• 结构的几何形状和边界条件 • 设计的材料特性 • 优化目标和约束条件
命等。
拓扑优化的基本原理
拓扑优化基于有限元分析和优化算法，通过迭代地将材料从刚度较低的区域 转移到刚度较高的区域，以实现结构的最佳形态。
拓扑优化的流程
1
初始设计生成
2
根据设计要求生成初始设计。
3
优化迭代
4
通过重新分配材料进行优化迭代，直 到达到最优解。
设计空间定义
确定可调整材料的区域和边界条件。
有限元分析
使用有限元方法对结构进行力学分析， 评估性能。
拓扑优化在工程设计中的意义
1 降低成本
通过优化材料使用，减少了成本和浪费。
2 提高性能
优化后的结构能够提供更好的性能指标，如强度、刚度和疲劳寿命。
3 实现轻量化设计
拓扑优化算法及其实现PPT幻灯片37页文档
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。Hale Waihona Puke 7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
拓扑优化zuoye
关于拓扑优化1. 基本概念拓扑优化是结构优化的一种，结构优化可分为尺寸优化、形状优化、形貌优化和拓扑优化。
拓扑优化以材料分布为优化对象，通过拓扑优化，可以在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方案。
拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化，具有更多的设计自由度，能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。
2. 发展起源拓扑优化的研究历史是从桁架结构开始的。
Maxwell 在1854年首次进行了应力约束下最小桁架的基本拓扑分析。
1904年Michell用解析分析的方法研究了应力约束、一个载荷作用下的结构，得到最优桁架缩影满足的条件，后称为Michell准则，并将符合Michell 准则的桁架称为Michell桁架，也称最小重量桁架，这是结构拓扑优化设计理论研究的一个里程碑。
但是，Michell提出的桁架理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场，并不能用于工程实际。
直到1964年，Dom、Gomory、Greenberg等人提出基结构法，进一步将数值理论引入该领域，此后拓扑优化的研究重新活跃起来了。
所谓的基结构就是一个由众多构件联结而成的、包括所有载荷作用点、支撑点在内的结构。
Michell桁架理论在近几十年得到了重要的进展。
Cox证明了Michell的桁架同时也是最小柔度设计。
Hegemier等将Michell准则推广到刚度、动力参数约束，以及非线性弹性等情况。
Hemp纠正了其中的一些错误。
Rozvany对MIchell桁架的唯一性和杆件的正交性进行了讨论，对Michell准则做了进一步的修正。
现在，已经建立了多工况以及应力和位移组合约束情况的优化准则。
Dobbs和Fetton使用最速下降法求解多工况应力约束下桁架结构的拓扑优化。
Shen和Schmidt采用分枝定界法求解在应力和位移两类约束下桁架结构在多工况作用下的最优拓扑。
王光远等提出了结构拓扑优化的两相法。
Kirsch针对离散结构的拓扑优化问题提出了一种两阶段算法。
拓扑优化学习报告_北理工_王路
FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc) dcn=zeros(nely,nelx); for i = 1:nelx for j = 1:nely sum=0.0; for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx) for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely) fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2); sum = sum+max(0,fac); dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k); end end
（二）拓扑优化问题的描述
（1）材料插值模型
变密度理论的材料插值模型通过引入中间密度单元， 将离散型问题转化成连续型优化问 题，而实际上，中间密度单元是无法存在和制造，因此要尽量避免中间密度单元的产生，减 少中间密度单元的数目，此时就需要对设计变量中出现的中间密度值进行惩罚。
北京理工大学 车辆工程 王路 目前材料插值模型主要分为两类，SIMP 法和 RAMP 法，基于 SIMP 格式的 材料插值模型为：
% SOLVING U(freedofs, ： ）= K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,： ）; U(fixeddofs,： ）= 0; %%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS
MATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% function [KE]=lk E = 1.;
拓扑优化_精品文档
-1整数变量问题变为0～1间的连续变量优化模型，获得方程（在设计变
量上松弛整数约束）的最直接方式是考虑以下问题：
min u,
uout
N
s.t.: min 1 min e Ke u f e1
N
vee V
e1
0 e 1, e 1,2,, N
其中 e 可取0-1之间的值
（6）
然而这种方程会导致较大区域内 e 是在0-1之间的值，所以必须添加额外 的约束来避免这种“灰色”区域。要求是优化结果基本上都在 e 1 或
而对于结构拓扑优化来说，其所关心的是离散结构中杆件之间的最优 连接关系或连续体中开孔的数量及位置等。拓扑优化力图通过寻求结构的 最优拓扑布局(结构内有无孔洞，孔洞的数量、位置、结构内杆件的相互 联接方式)，使得结构能够在满足一切有关平衡、应力、位移等约束条件 的情形下，将外荷载传递到支座，同时使得结构的某种性能指标达到最优。 拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有无穷多种形式， 并且这些拓扑形式难以定量的描述即参数化。
结构渐进优化法(简称ESO法)
通过将无效的或低效的材料 一步步去掉，获得优化拓扑，方法通 用性好，可解决尺寸优化，还可同时 实现形状与拓扑优化(主要包括应力， 位移／刚度和临界应力等约束问题的 优化)。
2.问题的设定
柔顺机构的拓扑优化
首先假设线性弹性材料有微小的变形
柔顺结构的一个重要运用在于机电系统（MicroElectroMechanical Systems(MEMS),在该系统中小规模的计算使得很难利用刚体结构来实现铰链、 轴承以及滑块处的机动性。
如果我们只考虑线性弹性材料（只发生微小变形）的分析问题，则决定 输出位移的的有限元方法公式为：
(完整版)ANSYS拓扑优化原理讲解以及实例操作
拓扑优化是指形状优化，有时也称为外型优化。
拓扑优化的目标是寻找承受单载荷或多载荷的物体的最佳材料分配方案。
这种方案在拓扑优化中表现为“最大刚度”设计。
与传统的优化设计不同的是，拓扑优化不需要给出参数和优化变量的定义。
目标函数、状态变量和设计变量（参见“优化设计”一章）都是预定义好的。
用户只需要给出结构的参数（材料特性、模型、载荷等）和要省去的材料百分比。
给每个有限元的单元赋予内部伪密度来实现。
这些伪密度用PLNSOL ，TOPO 命令来绘出。
拓扑优化的目标——目标函数——是在满足结构的约束（V ）情况下减少结构的变形能。
减小结构的变形能相当于提高结构的刚度。
这个技术通过使用设计变量。
结构拓扑优化的基本思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计区域内寻求最优材料分布的问题。
通过拓扑优化分析，设计人员可以全面了解产品的结构和功能特征，可以有针对性地对总体结构和具体结构进行设计。
特别在产品设计初期，仅凭经验和想象进行零部件的设计是不够的。
只有在适当的约束条件下，充分利用拓扑优化技术进行分析，并结合丰富的设计经验，才能设计出满足最佳技术条件和工艺条件的产品。
连续体结构拓扑优化的最大优点是能在不知道结构拓扑形状的前提下，根据已知边界条件和载荷条件确定出较合理的结构形式，它不涉及具体结构尺寸设计，但可以提出最佳设计方案。
拓扑优化技术可以为设计人员提供全新的设计和最优的材料分布方案。
拓扑优化基于概念设计的思想，作为结果的设计空间需要被反馈给设计人员并做出适当的修改。
最优的设计往往比概念设计的方案结构更轻，而性能更佳。
经过设计人员修改过的设计方案可以再经过形状和尺寸优化得到更好的方案。
5.1.2优化拓扑的数学模型优化拓扑的数学解释可以转换为寻求最优解的过程，对于他的描述是：给定系统描述和目标函数，选取一组设计变量及其范围，求设计变量的值，使得目标函数最小（或者最大）。
一种典型的数学表达式为：()()()12,,0,,0min ,g x x v g x x v f x v ⎧=⎪⎪≤⎨⎪⎪⎩式中，x -系统的状态变量；12g g 、-一等式和不等式的结束方程；(),f x v -目标函数；v -设计变量。
拓扑学教案8
拓扑学教案8第三章 几种特殊类型的拓扑空间说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。
在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中可能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。
本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。
§ 3-1 第一与第二可数公理基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。
而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。
所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。
定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和可数局部基。
解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。
定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。
定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。
例1 （1C 空间的例子）结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。
解释：因为，设(,)x X d ∈，记1{(,)}x B x n N n =∈B （注：1(,)B x n 为半径1n的球形邻域） 则x B 为x 的邻域族。
设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε⊂。
因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。
即X 是1C 空间。
例2 （非1C 空间的例子）结论：设X 为不可数无穷集，{CC AA τ=是X 的可数子集}{}⋃∅ 为X 上的余可数拓扑，(,)C X τ为拓扑空间，则X 不满足1C 公理。
解释：首先，对于x 的每一邻域x U （即C τ中的开集），Cx U 是可数集。
北航拓扑优化程序学习报告
拓扑优化的99行程序学习报告4月19日2011《结构优化设计》课程学习报告任课教师：李书一、 前言：在最近的结构优化设计课程上学习了O.Sigmund 的《A 99 line topology optimization code written in Matlab 》一文，对拓扑优化的理论原理与实际的计算机程序实现都有了一定的理解，文章主要是通过拓扑优化的原理来实现对简单结构的静力学问题的优化求解，而编写的代码仅有99行，包括36行的主程序，12行的OC 优化准则代码，16行的网格过滤代码和35行的有限元分析代码。
自1988 年丹麦学者Bendsoe 与美国学者Kikuchi 提出基于均匀化方法的结构拓扑优化设计基本理论以来,均匀化方法应用到具有周期性结构的材料分析中,近几年该方法已经成为分析夹杂、纤维增强复合材料、混凝土材料等效模量,以及材料的细观结构拓扑优化常用的手段之一。
其基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一。
文章就是通过均匀化的基础，结合拓扑结构优化的工程实际，以计算机模拟的方法将拓扑优化的一般过程呈现出来，有助于初涉拓扑优化的读者对拓扑优化有个基础的认识。
二、 拓扑优化问题描述为了简化问题的描述，文中假设设计域是简单的矩形形式，且在进行有限元离散的时候采用正方形单元对其进行离散。
这样不仅便于进行单元离散和单元编号，也利于对结构进行几何外形的描述。
一般说来，基于指数逼近法的拓扑优化最小化的问题可作如下描述：01min :()()():0min 1NT p Te e e Xe c X U KU x u k u V X subjecttof V KU FX x =⎫==⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪<≤≤⎭∑文中采用的对结构材料属性的描述是所谓的“指数逼近法”或者称为SIMP逼近法，即（Solid Isotropic Material with Penalization 带惩罚因子的各项同性材料模型法），该方法是拓扑优化中常用的变密度材料插值模型中最具代表性的一种。
结构拓扑优化与其共性技术
按照设计变量对结构优化分类
min f (x) f ( x1 , x2 ,..., xn )
Subject to g j (x) 0
xi [ x , x ]
l i u i
j 1, 2,3,...m
i 1, 2,3,..., n
(1)
根据xi的不同，可分类为：
尺寸优化：优化变量为杆件的横截面面积，板壳的厚度等； 形状优化：优化变量为有限元节点坐标； 拓扑优化：优化变量为有限元单元的有无。
u1
的灵敏度
u1 T K u1 u xi xi
分解次数
Ku1 Q1
N r 为响应的个数
1
伴随变量法计算量
回带次数
Nr
当设计变量的个数远大于响应的个数时，采用该方法。 尤其适合于拓扑优化。
相对灵敏度 u (u( xi xi ) u( xi )) u( xi ) xi xi xi
原则：根据设计变量的量纲来选择不同的差分灵敏度分析方法。量纲 一样选取绝对灵敏度分析方法；量纲不同选取相对灵敏度分析方法。
分解次数
计算量
回带次数
Nv 1
Nv 1
N v 为设计变量个数
xi [ x , x ]
l i u i
j 1, 2,3,...m
i 1, 2,3,..., n
(1)
f 一般为结构的质量。 gj为结构的响应，如位移、频率等，是设计变量xi 的隐式非线性函数，需求解有限元方程。结构优化 与一般优化问题的唯一区别就是需要反复求解有限 元方程。
吉林大学 机械科学与工程学院
12
求解静刚度最大化问题的SIMP数学模型
对于静刚度最大化问题，（2）式可具体化为
拓扑优化——精选推荐
拓扑优化结构拓扑优化设计现状及前景⽬前, 最优化设计理论和⽅法在机械结构设计中得到了深⼊的研究和⼴泛的应⽤。
所谓优化设计就是根据具体的实际问题建⽴其优化设计的数学模型, 并采⽤⼀定的最优化⽅法寻找既满⾜约束条件⼜使⽬标函数最优的设计⽅案。
根据优化问题的初始设计条件, ⽬前结构优化技术有四⼤领域: 1) 尺⼨优化; 2) 形状优化; 3) 拓扑与布局优化; 4) 结构类型优化。
结构尺⼨优化是在结构的拓扑确定的前提下, ⾸先⽤少量尺⼨对结构的某些变动进⾏表达, 如桁架各单元的横截⾯尺⼨、某些节点位置的变动等, 然后在此基础上建⽴基于这些尺⼨参数的数学模型并采⽤优化⽅法对该模型进⾏求解得到最优的尺⼨参数。
在尺⼨优化设计中, 不改变结构的拓扑形态和边界形状, 只是对特定的尺⼨进⾏调整, 相当于在设计初始条件中就增加了拓扑形态的约束。
⽽结构最初始的拓扑形态和边界形状必须由设计者根据经验或实验确定, ⽽不能保证这些最初的设计是最优的, 所以最后得到的并不是全局最优的结果。
结构形状优化是指在给定的结构拓扑前提下, 通过调整结构内外边界形状来改善结构的性能。
以轴对称零件的圆⾓过渡形状设计的例⼦。
形状设计对边界形状的改变没有约束,和尺⼨优化相⽐其初始的条件得到了⼀定的放宽,应⽤的范围也得到了进⼀步的扩展。
拓扑优化设计是在给定材料品质和设计域内,通过优化设计⽅法可得到满⾜约束条件⼜使⽬标函数最优的结构布局形式及构件尺⼨。
拓扑设计的初始约束条件更少, 设计者只需要提出设计域⽽不需要知道具体的结构拓扑形态。
拓扑设计⽅法是⼀种创新性的设计⽅法, 能为我们提供⼀些新颖的结构拓扑。
⽬前, 拓扑设计理论在柔性受⼒结构、MEMS 器件及其它柔性微操作机构的设计中得到了⼴泛的研究。
结构拓扑优化的发展概况结构拓扑优化包括离散结构的拓扑优化和连续变量结构的拓扑优化。
近10 年来, 结构拓扑优化设计虽然取得了⼀些进展, 但⼤部分是针对连续变量的, 关于离散变量的研究为数甚少。
9-拓扑优化方法PPT课件
➢ 按某种优化策略和准则从这若干个子设计区域中删除 某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。
16
四、拓扑优化方法分类
从其物理模型的描述方法上一般分为 ➢ 基结构法(The Ground Structural Method) ➢ 均匀化方法(The Homogenization Method) ➢ 渐 进 结 构 优 化 方 法 (The Evolutionary Structural
x fi u pu g xu i 0 i=1,2, ,n
由此可构造如下的迭代公式
x(k1) i
c(k)xi(k)
i=1,2,
,n
其中c(k)＝－1－ p
f u
ugxui
为小于1的因子
xi
7
x fi u pu g xu i 0 i=1,2, ,n
x fi u pu g xu i
i=1,2, ,n
对于由n个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为
Fi Ai
i
i1,2,
,n
由此可构造如下的迭代公式
(k)
A(k1) i
i
A(k) i
i1,2,
,n
i
6
2. 基于K－T条件的准则法 对于结构优化设计问题：
m in f(X ) X R n
s .t.g u ( X ) 0u 1 ,2 ,,p
极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件
结构优化与材料优化
第一节 概述 第二节 结构优化设计的准则法 第三节 结构的拓扑优化方法 第四节 功能材料优化设计 第五节 柔性机构优化设计 第六节 结构多学科设计优化
拓扑优化知识点总结
拓扑优化知识点总结拓扑优化是一种数学方法，用于在给定的载荷和约束条件下，通过材料分布的优化来寻找结构设计的最佳形式。
它广泛应用于工程领域，特别是在轻量化设计和材料节省方面。
以下是拓扑优化的一些关键知识点总结：1. 基本原理：拓扑优化基于变密度法和等周理论，通过迭代过程来确定材料在设计空间中的最佳位置。
它考虑了材料力学性能和载荷分布，以实现结构的最优设计。
2. 优化目标：通常，拓扑优化的目标是最小化结构的质量或重量，同时满足强度、刚度和稳定性等约束条件。
此外，也可以根据需要设置其他目标，如最小化应力集中或优化自然频率。
3. 设计变量：在拓扑优化中，设计变量通常是材料密度分布。
这些变量在迭代过程中被调整，以满足设计目标和约束。
4. 约束条件：拓扑优化中的约束条件包括几何约束、载荷和边界条件约束、材料属性约束等。
这些约束确保优化结果在物理和工程上是可行的。
5. 优化算法：拓扑优化通常采用启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法或梯度下降法。
这些算法能够搜索复杂的设计空间，找到最优解。
6. 材料插值：为了在设计空间中平滑地分布材料，拓扑优化使用材料插值方法，如SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）方法。
这种方法通过惩罚中间密度值来鼓励材料分布的二元化（即材料要么完全存在，要么完全不存在）。
7. 制造考虑：拓扑优化的结果需要考虑制造工艺的限制。
例如，复杂的几何形状可能难以通过传统制造方法实现，因此可能需要采用增材制造技术。
8. 后处理：优化后的设计方案通常需要后处理，以确保设计的可制造性和功能性。
这可能包括平滑处理、去除悬空部分和添加支撑结构。
9. 软件工具：拓扑优化可以通过多种商业和开源软件工具实现，如ANSYS、Altair OptiStruct、COMSOL Multiphysics等。
这些工具提供了用户友好的界面和强大的计算能力，以支持复杂的拓扑优化任务。
拓扑优化算法及其实现PPT幻灯片共37页文档
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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拓扑优化算法及其实现 PPT幻灯片
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
拓扑优化简介和在ansys软件中的实现33页PPT
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
现
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
拓扑优化简介和在ansys软件中的实
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•Hale Waihona Puke 28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
第八章3拓扑排序和最短路径PPT课件
• 如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶点都 排入一个拓扑有序的序列中，则该AOV网络中 必定不会出现有向环；相反，如果得不到满足 要求的拓扑有序序列，则说明AOV网络中存在 有向环，此AOV网络所代表的工程是不可行的。
9
• 例如，对学生选课工程图进行拓扑排序，得到的拓扑 有序序列为
前驱，再也找不到没有前驱的顶点了。这时
AOV网络中必定存在有向环。
12
例:拓扑排序的过程
C0
C1
C2 C0
C1
C2
C3
C4
C5
(a) 有向无环图
C0
C1
C2
C3
C5
(b) 输出顶点C4
C1
C2
C3
C5
(c) 输出顶点C0
C3
C5
(d) 输出顶点C3 13
• 在拓扑排序算法中，使用一个存放入度为零的 顶点的链式栈，供选择和输出无前驱的顶点。 只要出现入度为零的顶点，就将它加入栈中。
• 因此，完成整个工程所需的时间取决于从源点 到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有 活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路 径就叫做关键路径(Critical Path)。
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• 要找出关键路径，必须找出关键活动，即不 按期完成就会影响整个工程完成的活动。
• 关键路径上的所有活动都是关键活动。因此， 只要找到了关键活动，就可以找到关键路径.
Vertices)。
• 在AOV网络中，如果活动Vi 必须在活动Vj 之前 进行，则存在有向边<Vi, Vj>， AOV网络中不能 出现有向回路，即有向环。在AOV网络中如果
优化设计第八次课PPT课件
i——设计变量的标号，表示点的坐标分量； ai、 bi——第 个i 设计变量的下限值和上限值；
qi(—j) —(0，1)区间内均匀分布的伪随机数。
5
这样产生的 (k 1)个顶点虽然能满足设计变量的边界约束条件，
但不一定就能满足性能约束条件，因此，就要设法将非可行点移
时，则用反射点X (r)替换最差点 X (h)，并组成新的复合形，完成 一次迭代；否则，如果 f ( X (r) ) f ( X (h) ) 或 X (r)不在可行域内，则
将反射系数 减半甚至减至很小，一旦 X (r)成为可行点，并且满
足 f ( X (r) ) f ( X (h) ) 时，就用
只有在设计变量少，约束函数较简单的情况下，这种方法才被使 用。
(2) 由设计者在可行城内先选定复合形的一个初始顶点 X (1)，其
余的 (k 1)个顶点 X ( j) ( j 2,3,..., k)用随机方法产生，即
xi( j) ai qij (bi ai )( j 2, 3,..., k;i 1, 2,..., n)
总可以使新点满足全部约束条件，即满足
6
g
j
(
X
(
p 1)
)
0( j M
1,
2,...,
m)
g j (X (k))
0( j
1, 2,..., m)
通过对随机产生的各个顶点进行这种处理后，最后可取得 个k 初
始可行顶点，从而构成初始复合形。
事实上，只要可行域为凸集，其中心点必为可行点．用此方法 可以成功地在可行城内构成初始复合形。如果可行域为非凸集， 如下图所示，中心点不一定在可行域之内，则此方法可能失败， 这时可以通过改变设计变量的下限值和上限值，重新产生各项点。 经过多次试算，有可能在可行域内生成初始复合形。
拓扑优化技术
拓扑优化技术第1节基本知识一、拓扑优化的概念拓扑优化是指形状优化，有时也称为外型优化。
拓扑优化的目标是寻找承受单载荷或多载荷的物体的最佳材料分配方案。
这种方案在拓扑优化中表现为“最大刚度”设计。
与传统的优化设计不同的是，拓扑优化不需要给出参数和优化变量的定义。
目标函数、状态变量和设计变量都是预定义好的。
用户只需要给出结构的参数（材料特性、模型、载荷等）和要省去的材料百分比。
拓扑优化的目标—目标函数—是在满足结构的约束（V）情况下减少结构的变形能。
减小结构的变形能相当于提高结构的刚度。
这个技术通过使用设计变量（ i）给每个有限元的单元赋予内部伪密度来实现。
这些伪密度用PLNSOL，TOPO命令来绘出。
ANSYS提供的拓扑优化技术主要用于确定系统的最佳几何形状，其原理是系统材料发挥最大利用率，同时确保系统的整体刚度（静力分析）、自振频率（模态分析）在满足工程要求的条件下获得极大或极小值。
拓扑优化应用场合：线性静力分析和模态分析。
拓扑优化原理：满足结构体积缩减量的条件下使目标函数结构柔量能量（the enery of structure compliance—SCOMP）的极小化。
结构柔量能量极小化就是要求结构刚度的最大化。
例如，给定V=60表示在给定载荷并满足最大刚度准则要求的情况下省去60%的材料。
图19-1表示满足约束和载荷要求的拓扑优化结果。
图19-1a表示载荷和边界条件，图19-b 表示以密度云图形式绘制的拓扑结果。
图19-1 体积减少60%的拓扑优化示例二、拓扑优化的基本过程拓扑优化的基本步骤如下：1．定义结构问题定义材料弹性模量、泊松系数、材料密度。
2．选择单元类型拓扑优化功能中的模型只能采用下列单元类型：● 二维实体单元：Plane2和Plane82，用于平面应力问题和轴对称问题。
● 三维实体单元：Solid92、Solid95。
● 壳单元：SHELL93。
3．指定优化和不优化区域ANSYS只对单元类型编号为1的单元网格部分进行拓扑优化，而对单元类型编号大于1的单元网格部分不进行拓扑优化，因此，拓扑优化时要确保进行拓扑优化区域单元类型编号为1，而不进行拓扑优化区域单元类型编号大于1即可。
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第7次课回顾
¾拓扑优化中的灵敏度分析 直接法
伴随法
柔顺性问题的灵敏度分析
第8次课主要内容
¾调用MMA优化子程序
¾结构应力拓扑优化
基本列式
应力约束优化问题中的奇异现象 放松方法
MMA程序介绍
¾移动渐近算法（Method of Moving Asymptotes）优化程序由瑞典皇家工学院Krister Svanberg教授于
1987年开发。
¾后为使用于MBB梁问题及其他算例，对程序进行了重写。
¾2002年发布GCMMA，增强算法的全局收敛性。
[1] K. Svanberg, The method of moving asymptotes { a new method for structural optimization, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, 24, 359-373.
[2] K. Svanberg, A class of globally convergent optimization methods based on conservative convex separable approximations, SIAM Journal of Optimization, 2002, 12, 555-573.
MMA程序介绍
¾MMA的程序代码mmasub.m和subsolv.m可以免费用于教育及科研。
可以通过向Svanberg教授发邮件的形式获取。
¾http://www.math.kth.se/~krille/
¾求解相同的MBB梁问题，OC算法和MMA算法表现上有什么不同？
¾目标函数？计算时间？
Time pr. optimization iteration
97
96.36
MMA
¾对于相同的简单问题OC计算效率高于MMA.
OC VS MMA
¾MBB problem 60x20 elements
MMA优化结果OC优化结果
m
MMA优化原模型
¾当优化变量y和z趋近于0的时候，MMA优化模型趋近于原始模型。
Svanberg教授建议：
()()0,,min max min :..:0,1,...,:,1,...x y z
i j j j f x S t f x i m
x x x j n
≤=≤≤=01,0,1000,0
i i a a c d ====
[KE] = lk;
最小柔顺性问题的伴随法灵敏度分析
2010-11-3计算结构力学15
应力约束下的桁架拓扑优化应力约束下桁架拓扑优化问题的提法
N i i 1T o F in d ,1,2,... W A . , 0,
i 1,2,...N ; j 1,2,...L 0, i 1,2 ,...N
i i C T ij ij ij i U i i A i N
M in l S t A A A ρσσσ===
≤≤>==≤≤=∑A i 为杆件断面积，W为桁架重量，ρ为材料比重，l i 为杆件长度，σij 为杆件应力，上标C,T 分别为压缩和拉伸许用应力，U 为断面积上限
应力约束下的奇异最优解
奇异最优解最早是由Gino,Sved（1960）在优化三杆桁架时发现
最小重量设计，三个荷载工况，全局最
优解为W=12.0（8.0, 1.5, 0.0)，局部最优
解为W=15.15(7.24, 2.135, 2.767)；从相当
任意的初始解出发，用数学规划法无法
得到全局最优解。
应力约束下的奇异最优解
奇异最优解产生的原因可用应力函数不连续，或应力约束是依赖于拓扑的约束来解释。
可行区的正确表示和错误表示错误的图示正确的图示
应力奇异最优解的ε-松弛算法ε-relaxed approach(Cheng, Guo, 1997)
Cheng and Guo proposed a ε-relaxed approach in which the stress constraint is replaced by internal force constraints, and then internal force constraints were relaxed to eliminate possible singularities. R e p la c e b y 0;U i i U i i i i
A A σσ
σσ≤−≤ R e la x 0 b y
U i i i i
U i i i i A A A A σσσσε−≤−≤1.2.
ε-relaxed方法可使可行域的形状正则化
Before and after relaxation of constraints
由点集映射原理，可以证明在如下两个结论：
1.应力约束下的原始优化问题存在一个最优边
界解2.每一个迭代步中，可以获得
序列的变化对应的放松问题的全局最优解这样：{}1k , 0 and lim 0k k k k εεεε+→∞
>>=k lim W opt
opt O
k W ε→∞=opt O
W k W opt ε
应力奇异最优解的ε-松弛算法
¾ε-relaxed方法对原问题有较好的近似
¾但获得全局最优解仍然是困难的
¾初始解的选择对于获得全局最优解非常重要
¾为了拓展对全局最优解的吸引，进一步使用连续化策略改善ε-relaxed算法。
.
应力奇异最优解的ε-松弛算法
¾通过ε-松弛延拓算法，可以有效解决应力约束下桁架拓扑优化奇异性困难，以桁架构件截面积为设计变量，将拓扑优化与尺寸优化统一实现。
¾ε-松弛延拓算法可以显著的提高基于梯度的优化算法，从任意给定的均匀解收敛到全局最优解的概率。
1275
P
考虑应力约束的拓扑优化问题—连续体
应力约束的ε-relaxation方法
应力约束的ε-relaxation方法
最大应力最小的拓扑优化问题—连续体
最大应力最小的可微化处理
应力优化结果
THE END
应力约束的奇异最优解
应力约束的ε-relaxation方法。