矩阵秩的基本不等式
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。
通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。
接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。
一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。
一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。
通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。
一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别是子矩阵。
这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。
二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。
我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。
对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。
对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。
通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。
三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。
根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，\(rank(A)\) 和 \(rank(B)\) 分别表示矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的秩，\(n\) 表示矩阵的列数。
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。
本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三 不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有 令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。
利用分块矩阵证明秩的不等式
安 徽 技 术 师 范 学 院 学 报 ， ０ ２ １ （ ）５ ２ ０ ，６ ３ ：５
Ｊ ｕ ￣ ｏ ｈ ｉ ｃ ｎｃｌ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅ ｏｍ Ｉ Ａｎ ｕ ｈ ｉａ ｃ ｅｓＣ ￣ ｇ Ｔｅ Ｔｅ
利 用 分 块 矩 阵证 明秩 的 不 等 式
首先给 出－个基本事实。 几
引理 １ 矩 阵 积 的 秩 不 大 于 各 因 子 的秩 ； 可 逆矩 阵与 另一 矩 阵 乘 积 时 ， 积 的秩 等 于 另 一 矩 其
阵 的秩 。
［ ］ Ｒ）（ 殳 秩 （＋Ｂ 言 ＝ＡＲ）
…
证 毕
…
又 因为 Ｒ（ ＝Ｒ［Ａ—Ｂ） ］ Ｒ（ —Ｂ Ａ） （ ＋Ｂ ≤ Ａ ）
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关于矩阵秩的几个重要不等式
第28卷第1期2021年3月辽东学院学报(自然科学版)Journal of Eastern Liaoning University(Natural Science Edition)Vol.28No.1Mar.2021［基础科学与应用】DOI：10.14168/j.issn.1673-4939.2021.01.12关于矩阵秩的几个重要不等式黄述亮①(滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239001)摘要：针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题，综合运用演绎、分析与综合、化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究，并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用，这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
关键词：矩阵的秩；初等变换；齐次线性方程组中图分类号：0153.3文献标志码：A文章编号：1673-4939(2021)01-0061-05众所周知，在线性代数(或高等代数)课程中最主要的内容就是矩阵及其相关运算。
在学习矩阵的过程中会遇到的一个非常重要的概念——矩阵的秩。
在一般的教科书和文献中，习惯上用数学符号rank(A)来表示一个矩阵的秩，其定义是矩阵A 中的某个非零子式的最高阶数。
考虑到向量组、向量空间等概念，对矩阵分别进行行分块和列分块，且设A=(兔心，…,a”)=(肉,0；,…屈)，则下列几个论断等价：(l)rank(A)=r；(2)rank(兔，他，…，a”)=r；(3)rank(0；,0：,…屈)=r；(4)dim®?如aj,a2,•••,a n|；(5)dimSpan W 嵐,…,0：}=r；(6)矩阵4的阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数为r o矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。
此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体"阶矩阵M”(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F) =U U…U T”,其中7；={A e M”(F)I rank(4) =i}o换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。
矩阵和的秩不等式等号成立的充要条件
第 理 工 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｏ Ｆ ＨＡＲ Ｎ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｙ ０ Ｃ Ｅ Ｅ ＢＩ Ｉ Ｓ Ｔ Ｆ Ｓ Ｉ ＮＣ ＡＮＤ Ｔ Ｃ Ｅ ＨＮＯ ＯＧＹ Ｌ
Ｖｏ． ６ Ｎ ． １１ ｏ ２ Ａｐ ．２ １ ｒ ０ Ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ ｅ ａ ｅ ｉ ｅ ｕ ｌ ｉ ｓ ａ ｏ ｔｒ ｎ ｆ ｔ ｅ ｓ ｍ ｆ ｔ ｏ ｍａ ｒ ｅ ｎ ａ ｖ ｎ ｅ ｇ ｂ ａ Ｈｏ ｖ ｒ ｅ ｓｒ ｃ ： ｈ ｒ ｒ ｎ ｑ ａ ｉ ｅ ｂ ｕ ａ ｋ ｏ ｈ ｕ ｏ ｗ ｔ ｃ ｓ ｉ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｅ ｒ ． ｔ ｉ ｌ ｗｅ ｅ ，ｆｗ ｐ ｏ ｌ ｔ ｄ ｈ ｒ ｂ ｅ ｆｉ ｅ ｕ ｉ ｂ ｕ ａ ｋ ｏ ａ ｏ ｏ ｔ ｃ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓｆ ｒｅ ｕ ｌ ｙ ｓ ｎ ｉ ｅ ｐ ｅ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍｓ ｏ ｑ ａ ｔ ａ ｏ ｔ ｎ ｆｓ ｍ ｆｓ ｍｅ ｍａｒ ｅ ｎ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｑ ａｉ ｉ ｎ ｎ ｌ ｙ ｒ ｉ ｉ ｔ ｇ
２ １ 年 ４月 ０１
矩 阵和 的秩 不 等 式 等 号 成 立 的充 要 条 件
冯 秀 红 ， 孙 苏 亚
（ 南京 信息工程大学 数理学院 ， 江苏 南 京 ２ ０４ ） １０ ４
摘
要： 高等代数 中常见两个矩阵之和的秩不等式 ， 但对于若干个矩阵的和之秩的不等式问题
几个矩阵秩不等式的逻辑推导
推论 ３： 设 Ａ 为 ｎ 阶方阵， 则 r A + r (A ) ≥ 2r A 即
r A 3 + r (A) ≥ 2 r A 2
证： 利用定理 ３ 知，r (AAA) ≥ r (AA)+ r (AA)− r (A)
( )
定理 ４： 设Ａ 为ｔ ×ｓ 矩阵， 且 ｒ（ Ａ） ＝ｒ， Ｑ ＝ qij ｉ ＝１， ２， ∧ｍ ， 其它元素为 ０） ， 则 ｒ（ ＡＱ） ≥ｒ＋ｍ －ｓ
矩阵， 利用分块矩阵运算、 定理 １ 及 Ｎ 为非退化矩阵得 ： ＝ｒ
G 0 B − GÁ B G Á
GB 0
这里 ，
０为 （ｎ－ｒ） ×ｓ
α２， ……， αｍ ， ０， ∧， ０） ＝ｒ（ α１， α２， ……， αｍ ） ｒ（ ＡＱ） ＝ｒ（ α１， 从上面证明可知： 对秩为 ｒ共 ｓ 列的矩阵 Ａ 施以一个
１３
立， 下面看 （２） ， 由引理 ３ 得 ｒ（ Ａ） ＝ｒ（ ＦＧ ） ≤ｍ ｉ ｎ（ ｒ（ Ｆ） ， ｒ（ Ｇ） ） ≤ｒ（ Ｇ） ， 即 ｒ（ Ｇ） ≥ｒ； 又因为 Ｇ 为 ｒ×ｎ 的矩阵， 故 ｒ（ Ｇ） ≤ｒ， 所以 ｒ（ Ｇ） ＝ｒ 因此找到满足题设的 Ｆ 和 Ｇ 矩阵， 使得 Ａ ＝ＦＧ 有了以上几个引理， 下面就以定理的形式给出矩阵秩 不等式， 并予证明。 定理 １： 设 Ａ， Ｂ 均为 ｍ ×ｎ 矩阵， 则 ｒ（ Ａ） －ｒ（ Ｂ） ≤ｒ（ Ａ± Ｂ ）≤ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ） α２， …… ， αｎ） ， Ｂ ＝（β１， β２， …… ， 证： 设 Ａ ＝（α１， βｎ） ， 其中 αｉ， βｉ， 分别是 Ａ ， Ｂ 矩阵第 ｉ列构成的列向量 （ｉ ＝１， ２， ……， ｎ） α２＋β２，……， αｎ＋βｎ） 由引理 １ 得 ｒ（ Ａ ＋Ｂ ） ＝ｒ（ α１＋β１， ≤ｒ（ α１， α２， ……， αｎ） ＋ｒ（ β１， β２， ……， βｎ） ＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ ） 即 ｒ（ Ａ ＋Ｂ ） ≤ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ） 根据 （１） 式 ｒ（ Ａ） ＝ｒ（ （ Ａ －Ｂ ） ＋Ｂ ） ≤ｒ（ Ａ －Ｂ ） ＋ｒ（ Ｂ） 整理得 因 即 即 ｒ（ Ａ） －ｒ（ Ｂ） ≤ ｒ（ Ａ －Ｂ ） ② ｒ（ Ｂ） ＝ｒ（ －Ｂ ） 将 （１） （２） 式中 Ｂ 改为－Ｂ ｒ（ Ａ －Ｂ ）≤ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ） ｒ（ Ａ） －ｒ（ Ｂ） ≤ ｒ（ Ａ ＋Ｂ ） ③ ④ ① 即
关于矩阵秩_不_等式的分块矩阵构造证明
r( AB C) Ε r( AB ) + r( B C) - r( B)
(1)
证明 显然 (1) 等价于 r( B) + r( AB C) Ε r( AB ) + r( B C) ,故令 M = B 0 . 对 M 进行 0 AB C
广义初等变换 :
B 0 →B
0 → B - BC → BC B
0 AB C
i =1
0
At
定理 2 设 A i ∈ Fmi ×ni , i = 1 , 2 , …, t , t Ε 2. 则
A1
3
t
∑r( A i ) Φ r
i =1
A2
ω
t
∑ Φ min r( A i ) + m j i = 1 ,2 , …, t j =1 j ≠i
0
At
证明 对 t 用数学归纳法证明左侧不等式.
矩阵的广义初等变换证明矩阵秩的 (不) 等式.
在本文中 ,设 F 为一般的数域 , In 表示 n 阶单位矩阵 , r( M) 表示矩阵 M 的秩. 首先 , 关于分块
矩阵的秩 ,下列结论是基本的.
定理 1 分块矩阵的下列结论成立 :
(1) 设 A i ∈ Fmi ×ni , i = 1 , 2 , …, t. 则
r( B A + C) = n - r( A )
(4)
证明 由 A ( BA + C) = 0 及矩阵秩的基本性质得 r( A) + r( BA + C) Φ n. 又由 r( C) = n 及
BA + C 0 → BA + C BA → C BA
0
A
0
A
-A A
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
有限域下矩阵的秩
有限域下矩阵的秩有限域（Finite Field）是离散数学中的一个重要概念，也是现代密码学和编码理论的基础。
在有限域中，矩阵的秩是一个关键的概念，它在线性代数和计算机科学中具有重要的应用。
本文将从有限域下矩阵的定义、性质和计算方法等方面，探讨矩阵的秩及其应用。
我们来回顾一下有限域的基本概念。
有限域是一种特殊的数学结构，它包含有限个元素，并满足加法、减法、乘法和除法等运算规则。
在有限域中，每个元素都有一个非负整数表示，称为该元素的阶。
有限域的阶通常用符号q来表示，其中q是一个质数的幂。
例如，当q=2时，有限域可以表示为GF(2)。
在有限域中，矩阵是一个由元素组成的矩形阵列。
矩阵的秩是一个衡量矩阵线性相关性的重要指标。
它可以通过对矩阵进行一系列行变换来计算。
行变换包括交换两行、将某一行乘以非零常数、将某一行加上另一行的若干倍等操作。
通过行变换，我们可以将矩阵转化为行阶梯形或行最简形，而矩阵的秩就是行阶梯形或行最简形中非零行的个数。
有限域下矩阵的秩具有以下一些性质：1. 矩阵的秩不超过其行数和列数中的较小值。
这是由于行阶梯形矩阵的性质决定的。
2. 如果一个矩阵的秩等于其行数（或列数），则称该矩阵为满秩矩阵。
满秩矩阵在编码理论和信息论中具有重要的应用。
3. 矩阵的秩等于它的转置矩阵的秩。
这是矩阵秩的一个重要性质，可以通过矩阵的列变换来证明。
4. 对于任意的矩阵A和B，有秩(A+B) ≤ 秩A + 秩B。
这是矩阵秩的一个重要不等式，也称为秩的次可加性。
在计算有限域下矩阵的秩时，可以使用高斯消元法或其变种算法。
高斯消元法通过一系列的行变换将矩阵转化为行阶梯形，然后计算非零行的个数即可得到矩阵的秩。
在有限域中，矩阵的乘法和除法需要使用特殊的运算规则，例如有限域中的乘法逆元和除法等。
矩阵的秩在计算机科学和工程领域有广泛的应用。
在编码理论中，矩阵的秩与纠错能力和恢复能力密切相关。
例如，通过矩阵的秩可以确定编码矩阵的最小距离，从而判断编码方案的纠错能力。
矩阵的秩的一类新的证明方法
矩阵的秩的一类新的证明方法唐睿;董晓亮;薛淑悦;朱乾宏【摘要】基于齐次线性方程组解的理论,利用集合的包含关系,给出了若干个关于矩阵的秩的不等式的新的证明方法.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】3页(P80-81,87)【关键词】矩阵的秩;齐次线性方程组;包含关系;直和【作者】唐睿;董晓亮;薛淑悦;朱乾宏【作者单位】北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O221.2董晓亮，(1981-)，男，甘肃静宁人，讲师，博士，硕士生导师.研究方向:最优化理论及方法.矩阵的秩作为高等代数中基本而重要的概念，体现了矩阵在初等变换下的不变量，刻画矩阵在运算前后的秩之间的变化关系.矩阵的秩的关系式内容丰富，其证明方法多样且有一定难度，一直是教学的重点和难点[1，2].教科书中对于矩阵中关于秩的关系式的证明多是考虑其列(或行)极大线性无关组，通过向量组的秩建立相应的关系式.本文中，尝试通过构造齐次线性方程组，利用直和分解和方程组的解空间等理论去证明秩的关系式.1 预备知识定义1[1] 设A∈Rs×n，矩阵的行秩和矩阵的列秩统称为矩阵A的秩；一个矩阵A 的秩为r的充分必要条件是矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式都为零.定义1分别从向量组的秩和矩阵中的行列式的关系刻画了矩阵的秩.对于一个实际问题而言，通常采取用初等变换法、子式法和求矩阵的列向量组或行向量组的极大无关组去求解矩阵的秩.定理1[1] 给定向量组η1,η2,…,ηt，其生成子空间L=L{η1,η2,…,ηt}.则子空间的维数和向量组的秩二者相等，即dim(L)=R{η1,η2,…,ηt}.对一个矩阵A而言，与A相关的有三个重要的线性空间，分别是A的行向量组和列向量组分别生成的子空间，以及将A看作是一个线性变换，该线性变换的核子空间.下面给出它们的定义.定义2[1] 设A∈Rs×n，由矩阵A的行向量组生成的子空间称为A的行空间；由矩阵A的列向量组生成的子空间称为A的列空间；以矩阵A为系数矩阵对应的齐次线性方程组的解集形成的子空间称方程组Ax=0的解空间(矩阵A的的零空间)，记为ΩA={x|Ax=0}.定理2[1] 设V1,V2是有限维线性空间W的子空间，令W=V1+V2，则直和W=V1⊕V2成立与如下几个命题等价：①dim(W)=dim(V1)+dim(V2)；②V1∩V2={0}；③零元素的分解是唯一的，即0=01+02,0i∈Vi(i=1,2).定理3[1] 在齐次线性方程组AX=0有非零解的情况下，它的基础解系所含解的个数等于n-r，这里n是变量的个数，r=r(A).注1 设A∈Rs×n，以及η1,η2,…,ηs是A的s个行向量，齐次线性方程组AX=0对应了即A构成的行空间正交于解空间.换言之，A的行空间和方程组Ax=0的解空间构成直和Rn，即ΩA⊕A行空间=Rn，则由定理2知矩阵的秩+解空间的维数=n.这一点实际是定理3在空间分解上的关于维数公式的生动诠释.2 若干结论本节考虑基于齐次线性方程组解的理论，利用集合的包含关系，给出了若干个关于矩阵的秩的关系式的新的证明方法.命题1 R(AB)≤min{R(A),R(B)}.证明构造线性方程组BX=0和ABX=0，其中系数矩阵A∈Rm×s,B∈Rs×n.不妨设相应的解集为ΩB和ΩAB.容易知道，BX=0的任一解为ABX=0的解，从而ΩB⊆ΩAB，以及dim(ΩAB)≥dim(ΩB).另一方面，由注1可得如下关系式(1)则有R(AB)≤R(B).基于对称的思想，利用“转置运算不改变矩阵的秩”这一事实，可类似地构造方程组ATY=0，BTATY=0，并仿上证得R(BTAT)=R(AB)≤R(A).综上所述，R(AB)≤min{R(A),R(B)}.注2 系数矩阵的行空间与对应的齐次线性方程组的解空间形成了直和，从而“两个空间的和的维数等于各自维数的和”.既然ΩB⊆ΩAB，从而结论可以看作是“此增彼减”的反映.而矩阵中三秩合一，两个行空间的秩的大小关系就反映到矩阵的秩的大小变化关系.命题2 R(A)=R(AT)=R(AAT)=R(ATA).证明观察得到：构造线性方程组AX=0，两边左乘AT得ATAX=0，说明二者对应的解集存在ΩA⊆ΩATA.反之，如果ATAX=0，在ATAX=0两边左乘XT从而XTATAX=(AX)T(AX)=||AX||2=0，即AX=0，故ΩATA⊆ΩA.综上所述，两个方程组同解，结合注1知R(ATA)=R(A)，类似地，可得到R(A)=R(AT)=R(ATA)=R(AAT).命题3 若AB=0，其中A∈Rm×s,B∈Rs×n则有R(A)+R(B)≤n.证明记则有设β1，β2，…，βn是方程组AX=0的解，而β1，β2，…，βn的生成子空间L{β1，β2，…，βn}⊆ΩA.由定理2可得:dim(ΩA)=n-R(A)，R(B)≤dim(ΩA)=n-R(A).从而命题获证.命题4 若A∈Rm×n,B∈Rm×n，则有R(A+B)≤R([AT,BT]).证明构造线性方程组其中x∈Rn两边同时左乘[Im,Im]，得到另一个齐次线性方程组则有Ω[AT,BT]≤ΩA+B.根据注1，则命题结论成立.3 结束语本文通过构造齐次线性方程组，利用解集的包含关系讨论了几类基本的秩的关系式.从中可以看出，通过矩阵A的行空间和方程组Ax=0解空间形成直和的实质可以更方便的得到矩阵的秩的变化关系，可以进一步理解和掌握其中矩阵的秩的相关结论的证明.参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京: 北京大学出版社,2000:126-154.[2] 孟道骥．高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社，1998:215-221.。
矩阵的几个不等式
矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。
矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。
## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。
3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。
#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。
5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。
变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。
矩阵不等式
矩阵不等式矩阵不等式在近几年的高考中是一个热点，它常与导数、数列相结合。
通过学习掌握解答此类问题的基本思想和方法对今后的学习很有帮助。
所谓“矩阵”就是含有未知数的方程组，而不等式就是一种方程组。
把矩阵写成方程组来研究具体的不等式是非常简便易行的办法。
矩阵的秩即是不等式的解集，当然矩阵的秩越大解集也就越大了。
因为每个矩阵都包含两个元素，所以每个矩阵都至少有一个零向量。
任何满足条件的多项式都能表示为不等式组的形式，这些多项式称为函数。
如果仅仅根据多项式的系数和不等式的解集的关系，我们可以找出许多不等式，但这样做太麻烦了，还容易产生误解。
因此，人们希望寻找更简单的方法来确定方程组的系数和不等式的解集。
一般地说，要使用数值方法。
其实数值方法的原理并不复杂，主要涉及的计算方法有迭代法、牛顿法、插值法、数值积分法等。
用这些方法处理求不等式的解集是十分直观、迅速的，从而显著提高了运算效率。
矩阵不等式的求解属于求函数的极值或最值，一般情况下求解较为困难，特别是选择适宜的初始值、求解过程中的迭代步骤、代入方法以及解决可行性问题的变换手段等。
解答这类问题时，首先要明确已知量与待求量的范围，也就是问什么？求哪些量？怎么去求呢？总的原则：能用初等变换化为已知量的等价或不等式，尽量利用初等变换；若不能转化则将待求量代入原方程组，再判断原方程组是否有实数根。
遇到二次不等式，应分类讨论，不能一刀切，特殊情况除外。
如果你觉得有用请记得收藏哦！谢谢！首先应注意不同级别之间的关系，对于复杂方程组，需采用列写一般的线性方程组的方法（本节没有介绍），反之比较简单。
矩阵不等式的数学模型：令 v 是一个方程组 ax= b 的一个系数矩阵，则ax= b 关于不等式 p (a>0)有下面的基本结论：1. a≥0时， p (a<0)=0。
2.当a≤0且 a＞0时，p (a)≤0；当 a＜0时，p (a)≥0。
3. a≥0时，p (x<0)≥0。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。
11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1） 简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明 考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换： （1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）； （2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）； （3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明 设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
【导语】在线性代数中，分块矩阵初等行变换求秩是一个重要的概念。
本文将从简单的定义出发，逐步深入探讨这一概念，并结合示例进行解释和说明。
通过全面的评估和综述，希望能够帮助读者更好地理解分块矩阵初等行变换求秩，并掌握其应用。
【正文】一、分块矩阵初等行变换求秩的定义和基本概念分块矩阵是由若干个矩阵按照一定规则组成的大矩阵。
它可以在某些情况下简化矩阵运算的复杂性，方便题目求解。
而初等行变换是对矩阵的行进行的一种操作，包括三种形式：交换两行、某行乘以一个非零常数和某行乘以一个非零常数加到另一行上。
通过初等行变换，矩阵的秩可以发生改变。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式是通过对分块矩阵进行初等行变换，来计算该分块矩阵的秩。
分块矩阵秩的计算可以通过初等行变换将矩阵转化为行阶梯型矩阵或者简化行阶梯型矩阵，从而求得秩的大小。
二、分块矩阵初等行变换求秩的具体步骤1.第一步：根据题目给出的分块矩阵，将其转化为增广矩阵形式。
2.第二步：利用初等行变换的方式，将矩阵转化为行阶梯型矩阵或简化行阶梯型矩阵。
3.第三步：对于行阶梯型矩阵或简化行阶梯型矩阵，统计非零行的个数，即可求得分块矩阵的秩。
三、示例分析为了更好地理解和应用分块矩阵初等行变换求秩的不等式，以下通过示例详细说明。
例1：计算分块矩阵| A B |X = | || C D |的秩。
解：根据定义，我们将该分块矩阵转换为增广矩阵形式：A B 0 0| |C D 0 0通过初等行变换，我们可以将该矩阵转化为行阶梯型矩阵：A B 0 0| |0 D 0 0由于行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的个数，所以分块矩阵的秩为2。
四、个人观点和理解分块矩阵初等行变换求秩的不等式是线性代数中一个非常重要的概念。
通过初等行变换，我们可以改变矩阵的形态，从而简化问题的求解。
在实际应用中，我们经常会遇到大规模的矩阵运算问题，而分块矩阵初等行变换求秩的方法能够帮助我们更高效地处理这些问题。
值得注意的是，分块矩阵初等行变换求秩的过程中，我们需要对矩阵的组成部分有一定的了解。
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松(莆田学院数学系，，)摘要：利用分块葩阵，证明一些拒阵的扶的相关不等式，观察矩晖在运算后扶的变化，旧细岀常见的有关矩阵的扶的不等式，由此引岀等式成立的条件。
关建词：矩阵的扶，矩阵的初等变换引言：矩阵的扶是指葩阵中折(或列)向量组的扶，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分決矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶拒阵的运算，也为矩阵的扶的一些常见不等式的込明带来了方便。
本文将讨论拒阵的扶的一些常见不等武，并由lit引岀一些扶的不等式等号成立的等价条件。
-基本的定理1 设A是数域P上” x加矩辞，B是裁域上加xs矩阵，于是ft (AB) <min[ft (A),扶(B)],即乘枳的扶不超过个因子的扶2 设A与B是加X"矩碎，扶(A土B) M扶(A) +扶(B)二常见的扶的不等式1设A与B为n阶方阵，证明若AB = O, R r(A) + r(B) < n证：设r(A) = r,r(B)= s,|由AB = O,知，B的每一列向量祁是以A为系数方陈的齐次缆性方程组的解向量。
当r = nlH,由于该齐次方桿组只要零解，故此时B = 0, RP此时r(A) = n, r(B)=O,g论成立。
当「〈n时，垓齐次找性方桿组的B«B«系中含n・i■个向量，从而B的列向量组的ft<n-r,®r(B) < n-rBill r(A) + r(B) < n2 设 A 为 B 为 zixs 拒陈，证明不等 J r(AB)<r(A)+r(B)-n=ft (A-E) +株(B-E) Bit ft (AB-E ) <ft (A-E)+ft (B-E)4 设 A, B, C 依次为mxn.nxs.sxtif 明r(ABC)> r(AB) + r(BC) - r(B)il ：设&分别为，s,t 阶单位矩辞，则由于(AB ABC y(AB、 、B0 >〔1. BBC,E C<0iff ：设E 为n 阶单位矩阵,瓦・为S 阶单位方眸，则由于 A AB\(E、E 0 K.0O'r(A)+MB) >B-Es)可逆,二扶AB y °)‘0 AB y、E 0 )M 而 r(AB) > r(A) + r(B) - n3设A, B9I 是n 阶方畔，E 是n 阶单位方K, iff 明ft ( AB-E ) < ft (A ・E) +扶(B-E)=r(AB)+r(E) =r(AB)+n0J1 (A-E B-E\ I 0 B-E JB、o)[ B_E、0>故扶 (AB-E°卜,B_E 0丿'< 0B - E 、B_E (AB-E ) < ft=r(ABC) + MB)MH 「(ABC) >r(AB)+ r(BC)-r(B)5 8 A, B 郡是 n 阶 JfiR, iff 明;r(AB + A + B)< r(A) + r(B) jj [明:r( AB + A + B)=r( A(B+E) + B) 利用基本定理二 <r(A(B + E)) + r(B)利用基本定理一 <r(A) + r(B)6 SA, C 均为“2X/2矩阵，B, D 均为nx5矩旺证明 r ( AB -CD) < r ( A-C ) +r ( B-D)证明:根据分块矩阵的乘法可知 'Em c Y A -C0 1B} <A-C AB —CD 、B -D J〔0< 0 B —D丿 >r(AB-CD)U 而得"AB-CD ) < r ( A-C ) + r ( B-D )三不等氏等号成立的探讨1设A, B 分别JimXM 和nx/n 矩眸，呱r(AB)二r(A) + r(B 卜n 的充分条件 为：证明:由E -A' Ao' E ・B]Jo-AB E -B'0 -AB 0 E E B 01B0 EE 0A o''o -AB=rE BE・•・r(AB) = r(A)+r(B) - n AB0、 我1AB ABC y=8<0ABC y、B3C 丿 、0 ,、° >r(AB) + r(BC)<ft由此易 fl r ( A-C ) +r ( B-D ) =rA-C < 0AB-CD} B_D丿又••• rh(AB)+n, r : ； h(A)+r(B)2 设A, B 分别为mxn 和nx 加拒阵，Wr(AB) = r(A) + r(B)-n 充分必要条件为存在矩阵X 、Y,使得XA+BY 二E“・•・ r(AB) = r(A) + r(B)-n加 o fl0 P 2B )[ 0、巴BQ-=>设 P/Q =oye, o、M.O QJ证明：,使得 XA + BY = E n0 E nAE n -XA ・BY-X0||EnB JL-YE A -AX 0]产BJL-Y E m当 XA + BY = E n 时,A 0"A O'r=rE B0 B0 ° 'F1。
矩阵哈达玛不等式
矩阵哈达玛不等式矩阵哈达玛不等式是线性代数中一个重要的不等式。
它与矩阵的秩有关，被广泛应用于多个领域，如信号处理、图论、优化问题等。
矩阵哈达玛不等式的表述非常简洁，但其中蕴含着许多深入的数学内涵。
为了更好地理解矩阵哈达玛不等式，我们首先需要了解矩阵的哈达玛积。
设A和B都是n阶矩阵，它们的哈达玛积记作A∘B，定义为将A和B对应位置的元素分别相乘得到的矩阵。
即(A∘B)ij = Aij * Bij，其中1≤i,j≤n。
下面我们来详细介绍矩阵哈达玛不等式的定义和性质。
一、矩阵哈达玛不等式的定义矩阵哈达玛不等式定义如下：对于任意的n阶矩阵A和B，有|A∘B| ≤ |A|∘|B|，其中|A|和|B|分别表示A和B的绝对值矩阵，即将A和B对应位置的元素取绝对值得到的矩阵。
二、矩阵哈达玛不等式的性质1. 可加性：若A和B是n阶矩阵，则有|A + B| ≤ |A| + |B|。
这个性质表明，矩阵的绝对值的和不大于其绝对值之和。
2. 数乘性：若A是n阶矩阵，k是实数，则有|kA| = |k| |A|。
这个性质表明，常数乘以矩阵的绝对值等于该常数的绝对值乘以矩阵的绝对值。
3. 乘法封闭性：设A和B是n阶矩阵，则有|A∘B| ≤ |A|∘|B|。
这个性质表明，两个矩阵的哈达玛积的绝对值不大于它们绝对值的哈达玛积。
根据这些性质，我们可以推导出一些重要的结论：1. 若A和B都是n阶矩阵且满足A ≤ B，则有|A| ≤ |B|。
这个结论表明，在矩阵的部分序关系下，绝对值的大小保持了原来矩阵的次序关系。
2. 若A是n阶矩阵，k是正实数，则有|kA| = k|A|。
这个结论表明，正实数乘以矩阵的绝对值等于该正实数乘以矩阵的绝对值。
3. 若A和B都是n阶非负矩阵，则有|A∘B| ≤ |A|∘|B|。
这个结论表明，在非负矩阵的情况下，哈达玛积的绝对值不大于它们绝对值的哈达玛积。
总结起来，矩阵哈达玛不等式告诉我们，在矩阵的绝对值运算下，矩阵的加法、数乘和哈达玛积等运算与绝对值运算具有相似的性质。
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矩阵秩的基本不等式
定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。
证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。
于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。
()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。
这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。
我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。
其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。
下面，我们来证明向量组{}()
()1s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。
事实上，假设数j k ， ()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得
()
()1
()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑，于是()()10s r AB j j s r B B x -=-+=∑。
这样，
()()10s r AB j j s r B x -=-+=∑为0Bx =的解。
于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得 ()
()()11()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+==-∑∑，即()10s r AB j j j k x -==∑。
由于向量组{}()1s r AB j j x -=线性无关，因
此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。
于是，向量组{}()
()1s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。
;
又由于()0j j A Bx ABx ==，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，因此{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+为
0Ax =的基础解系的一部分。
于是，
[]()()11()()()s r AB s r B r B r AB n r A ---++=-≤-
即()()()r AB r A r B n ≥+-。
推论1：若,m n A R ∈，,n s B R ∈满足0AB =，则()()r A r B n +≤。
证明：0()()()r AB r A r B n =≥+-，于是()()r A r B n +≤。