_斜率乘积为定值的问题探究(苏州

斜率乘积为定值的问题探究

苏州工业园区第二中学

【教学目标】

会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学过程】

一．基础知识、基本方法梳理

问题1．已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A ，B 的两点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1.k 2=__________．

问题2．（类比迁移1）点P 是椭圆上22

143

x y +=上异于长轴端点以外的任一点，A 、B 是该椭

圆长轴的两个端点，直线P A ,PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=__________．

问题3.（引申拓展1）求证：椭圆

)0(122

22>>=+b a b

y a x 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连 线斜率之积为2

2b a

-．

问题4.（引申拓展2）设A 、B 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上关于原点对称的两点，点P 是该

椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2是否为定值？并给予证明．

问题5.（类比迁移2）设 A 、B 是双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>上关于原点对称的两点，点P 是

该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线P A ,PB 的斜率是k 1,k 2，猜想k 1k 2是否为定值？并给予证明．

二．基础训练

1.（2012天津理19改编）设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P

在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12

-，则椭圆的离心率为______．

2. 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，

B 、

C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为

D .若127

cos 25

F BF =，则直线CD 的斜率为__________．

3.（2016如东月考）已知椭圆2

2:12x C y +=，点

125

,,

,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,,P P P ,则这

10条

直线1AP ,210,

,AP AP 的斜率的乘积为__________．

4.（2011江苏18改编）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，

M 、N 分别是椭圆

12

42

2=+y

x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，

垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线P A 的斜率为k ，对任意0k >，求证：P A ⊥PB ．

三.典型例题

例1.（南京市、盐城市2017一模改编）已知椭圆C 的方程22

142

x y +=,直线:l y kx m =+交椭圆C 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.

图3

例2.（2013苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

:143

x y E +=，若

点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线经过点B 且垂直于轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交于点M .

（1）设直线OM 的斜率为1,k 直线BP 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值；

（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.

例3. 已知椭圆方程C 的方程为2

214

x y +=，,A B 为椭圆的左、右顶点，点S 为椭圆C 上位于轴

上方的动点，直线AS ,BS 与直线10

3

x =-分别交于M ，N 两点.

（1）试求线段MN 的长度的最小值；

（2）试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点，并证明你的结论.

四.课堂小结：

五.巩固练习

1.（2015全国卷2理20）20．已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线不过原点O 且不平行于坐标轴，与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M ． （1）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点(

,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

2.（2015上海理）21.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线和分别于椭圆交于,A B 和,C D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为.

（1）设11(,)A x y ，22B(,)x y ，用,C A 的坐标表示点C 到直线的距离，并证明12212S x y x y =-； （2）若和的斜率之积为12

-，试求的值.

3．(2016山东文21)已知椭圆2

2

2

2

:1(0)x y

C a b a b

+=>>的长轴长为4

，焦距为（1）求椭圆C 的方程；

（2）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交

A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 垂线

交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .

(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明'

k k

(ii)求直线AB 的斜率的最小值.