分式及其运算(完整版)
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②分母中必含有字母
❖分母中字母的取值不能使分 母值为零，否则分式无意义 ❖当分子为零且分母不为零时， 分式值为零。
.
第2课时
.
（一）问题情景
问题1 小学学过分数计算，请你快 速计算下列各式，并说出计算根据：
（ 1）6 8
（2） 240 3600
复习分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不 等于零的数，分数的值不变.
表示成 A 形式。如果B中含有字母，式 AB
子 就叫做分式。其中，A叫做分式的
B
分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ； ②分母中含有 字母 。
.
思考： 1、两个整式相除叫做分式，对吗？请举 例说明。 A 2、在式子 B 中，A、B可为任意整式，是 吗？请举例说明。
.
分类：
.
（二）类比归纳
1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？
① 11 3,② 1 1 b,③ 1 1 (a 3 ) aa 3 a1 b a1 (a 3 )
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？ 3.会用字母表达式表示吗？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
.
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
5, x , a xy
y , 2004 xy x 2004 x 30
。
。。。。
.
被除数
被除数÷ 除数 = 除数
3÷4= 3
4 整数 整数 分数
（商数）
类比
被除式
被除式÷除式 = 除式 （商式） t ÷ (a-x) = t a-x 整式 整式 分式.
分式的概念:
用A、B表示两个整式，A÷B就可以
.
探索规律
观察下面一列有规律的数：
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ， 9 ,…… 3 8 15 24 35 48 63 80
①请在上面横线上填写第七个数。
②根据规律可知，第n个数应
是
n+1 (n+1)2-1
或
n+1 n (n+2)（n为正整数）
.
❖分式的概念
①分子分母都是整式
x x-2
无意
0 -1 义
x-1 4x+1
-1 0
x -1 x+1
无意
-1 义 -1 0
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值. 为零？
练习3：
A
1、归纳：对于分式 B
（1） 分式无意义的条件是 B=0 。
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时，分式 x 有意义。 x2
x 1
3、当x=-0.25 时，分式4 x 1 没有意义，
当x =1 时，分式x 1 的 值为零。
4x 1 .
a+1
4、当a=1，2时，分别求分式 2a 的值。
5、a取何值时，分式
a+1 2a
有意义？
变式训练：
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2） b bc a ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x x 1
(
)
.
（四）课堂练习
1.（补充）下列等式的右边是怎样从左边 得到的？
(1) 1 c (c0),分子分母都 ab abc
（2） a 2 x a abx b
分析： 分母 (5x2)(x1) 0 得 x 1 0 且 5 x 2 0
2.当 y 时1 ，分式①
y2
②
y 1
y2 y 1
③ (y 1)(y 2) ④ (y 1)(y 2)
A ①②
B ②③
y(y 无2意) 义的是 (y 1)(y 2)
C ①③
D ②④
.
( C)
10、判断：
2
1、对于任意有理数 2、若分式
第4课 分式及其运算
张玲玲
.
§4.1 分式的概念
.
问题1： 请将下列的几个代数式按照你认为的共同特征进
行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选 定,若不够可再画），并说明理由。
2.6,5,5, x , y ,20,024004 5 13a xyxy x x30
。。 特征：
2.6 , 5 5 13
（1）当a取什么值时，分式
a 1 2a2 1
有意义。
(2)当y是什么值时，分式 y 3
y3
(3)当y是什么值时，分式 | y | 3
y3
.
的值是0？ 的值是0？
9、选择：
x y
x 1.使分式
有意义的 值必为 （
(5x 2)(x 1)
A x 1 B
x 2且x C1 5
）B
xD 任2意有理数 5
，分x式
m1 无意义，则
有意义 （
3的值x一2 定m是-3
） （
(m3)(m2 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析
√
）
×
2 1.3 x2
x 无论 取何值，
x2 0
则 3 x2 0
2.(m3m)(m12 1)
(m3)(m21) 0
(m 3 )m ( 1 )m ( 1 ) 0
m 3 0 或 m 1 0 或 m 1 0
单项式
有 整式
理
多项式
式 分式
.
练习2：
把下列各式的题号分别填入表中
（ 1） 2，（ 2） x，（ 3） 1a2b1ab2，
x
2
3
2
（4） xz，（ 5） 2a，（ 6）x ，（ 7） xy
5y
xy
x
(2)(3)(5)
(1)(4)(6)(7) (1)(2)(3)(4 )(5)(6)(7)
.
探索与发现（求代数式的值）
.
例2（课本P5)填空：
(1)
x2
x 2x
( )
x2 ,
3x2 3xy 6x2
xy ( )
（2）ab
(
ab
) 2ab a2b , a2
(
) a2b
观察分子分母如何变化
.
（1）x2
x 2x
(
x2
)
（分子分母都乘以 x）
（2）3x2 3xy xy
6x2
(
)
（分子分母都除以 3x）
.
用式子表示为：
•C , C.(C0) •C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
.
（三）例题设计（1）
例1（补充）下列等式的右边是怎样从左边得 到的？
（1）32abc2 32aa2cb2(a 0) 分子分母都
(2)6b（ 4aab1)3(a2a1) 分子分母都 (3)（aab（ 1（ )aa 1)1)(aa1b)分子分母都
,分子分母都
（3）(xx2yy)22
x y,分子分母都 xy
.
2.（补充）填空：
（1）a b ( ab
a2b
)
（2）2aab2bb (
a2
)
x2 xy xy
(3)
x2
(
)
(4)
x2
x 2x
(
x2
)
.
（五）符号规律
例4（补充）.不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“—”号：
❖分母中字母的取值不能使分 母值为零，否则分式无意义 ❖当分子为零且分母不为零时， 分式值为零。
.
第2课时
.
（一）问题情景
问题1 小学学过分数计算，请你快 速计算下列各式，并说出计算根据：
（ 1）6 8
（2） 240 3600
复习分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不 等于零的数，分数的值不变.
表示成 A 形式。如果B中含有字母，式 AB
子 就叫做分式。其中，A叫做分式的
B
分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ； ②分母中含有 字母 。
.
思考： 1、两个整式相除叫做分式，对吗？请举 例说明。 A 2、在式子 B 中，A、B可为任意整式，是 吗？请举例说明。
.
分类：
.
（二）类比归纳
1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？
① 11 3,② 1 1 b,③ 1 1 (a 3 ) aa 3 a1 b a1 (a 3 )
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？ 3.会用字母表达式表示吗？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
.
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
5, x , a xy
y , 2004 xy x 2004 x 30
。
。。。。
.
被除数
被除数÷ 除数 = 除数
3÷4= 3
4 整数 整数 分数
（商数）
类比
被除式
被除式÷除式 = 除式 （商式） t ÷ (a-x) = t a-x 整式 整式 分式.
分式的概念:
用A、B表示两个整式，A÷B就可以
.
探索规律
观察下面一列有规律的数：
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ， 9 ,…… 3 8 15 24 35 48 63 80
①请在上面横线上填写第七个数。
②根据规律可知，第n个数应
是
n+1 (n+1)2-1
或
n+1 n (n+2)（n为正整数）
.
❖分式的概念
①分子分母都是整式
x x-2
无意
0 -1 义
x-1 4x+1
-1 0
x -1 x+1
无意
-1 义 -1 0
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值. 为零？
练习3：
A
1、归纳：对于分式 B
（1） 分式无意义的条件是 B=0 。
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时，分式 x 有意义。 x2
x 1
3、当x=-0.25 时，分式4 x 1 没有意义，
当x =1 时，分式x 1 的 值为零。
4x 1 .
a+1
4、当a=1，2时，分别求分式 2a 的值。
5、a取何值时，分式
a+1 2a
有意义？
变式训练：
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2） b bc a ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x x 1
(
)
.
（四）课堂练习
1.（补充）下列等式的右边是怎样从左边 得到的？
(1) 1 c (c0),分子分母都 ab abc
（2） a 2 x a abx b
分析： 分母 (5x2)(x1) 0 得 x 1 0 且 5 x 2 0
2.当 y 时1 ，分式①
y2
②
y 1
y2 y 1
③ (y 1)(y 2) ④ (y 1)(y 2)
A ①②
B ②③
y(y 无2意) 义的是 (y 1)(y 2)
C ①③
D ②④
.
( C)
10、判断：
2
1、对于任意有理数 2、若分式
第4课 分式及其运算
张玲玲
.
§4.1 分式的概念
.
问题1： 请将下列的几个代数式按照你认为的共同特征进
行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选 定,若不够可再画），并说明理由。
2.6,5,5, x , y ,20,024004 5 13a xyxy x x30
。。 特征：
2.6 , 5 5 13
（1）当a取什么值时，分式
a 1 2a2 1
有意义。
(2)当y是什么值时，分式 y 3
y3
(3)当y是什么值时，分式 | y | 3
y3
.
的值是0？ 的值是0？
9、选择：
x y
x 1.使分式
有意义的 值必为 （
(5x 2)(x 1)
A x 1 B
x 2且x C1 5
）B
xD 任2意有理数 5
，分x式
m1 无意义，则
有意义 （
3的值x一2 定m是-3
） （
(m3)(m2 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析
√
）
×
2 1.3 x2
x 无论 取何值，
x2 0
则 3 x2 0
2.(m3m)(m12 1)
(m3)(m21) 0
(m 3 )m ( 1 )m ( 1 ) 0
m 3 0 或 m 1 0 或 m 1 0
单项式
有 整式
理
多项式
式 分式
.
练习2：
把下列各式的题号分别填入表中
（ 1） 2，（ 2） x，（ 3） 1a2b1ab2，
x
2
3
2
（4） xz，（ 5） 2a，（ 6）x ，（ 7） xy
5y
xy
x
(2)(3)(5)
(1)(4)(6)(7) (1)(2)(3)(4 )(5)(6)(7)
.
探索与发现（求代数式的值）
.
例2（课本P5)填空：
(1)
x2
x 2x
( )
x2 ,
3x2 3xy 6x2
xy ( )
（2）ab
(
ab
) 2ab a2b , a2
(
) a2b
观察分子分母如何变化
.
（1）x2
x 2x
(
x2
)
（分子分母都乘以 x）
（2）3x2 3xy xy
6x2
(
)
（分子分母都除以 3x）
.
用式子表示为：
•C , C.(C0) •C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
.
（三）例题设计（1）
例1（补充）下列等式的右边是怎样从左边得 到的？
（1）32abc2 32aa2cb2(a 0) 分子分母都
(2)6b（ 4aab1)3(a2a1) 分子分母都 (3)（aab（ 1（ )aa 1)1)(aa1b)分子分母都
,分子分母都
（3）(xx2yy)22
x y,分子分母都 xy
.
2.（补充）填空：
（1）a b ( ab
a2b
)
（2）2aab2bb (
a2
)
x2 xy xy
(3)
x2
(
)
(4)
x2
x 2x
(
x2
)
.
（五）符号规律
例4（补充）.不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“—”号：