全版两角和与差的余弦公式经典习题课.ppt
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第五节第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式课件共36张PPT
1 2
1．三角公式求值中变角的解题思路．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为
两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求
角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧．
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝
sin 13°，b＝ 22(sin 56°－cos 56°)＝ 22sin 56°－ 22cos 56°＝
sin(56°－45°)＝sin
11°，c＝11－＋ttaann22
3399°°＝11－＋ccssioionnss2222
39° 3399°°＝cos2 39°
39°－sin2 39°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈
1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(a±β)(1∓tan a
tanβ)；tan α·tan β＝1－ttaann（α＋α＋taβn）β＝ttaann（α－α－taβn）β－1.
2．降幂公式：sin2 α＝1－c2os 2α；cos2 α＝
1＋cos 2
2α；sin
αcos
α＝12sin
因为tan α＝43， 所以tan 2α＝1－2tatannα2 α＝－274. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝ 1t＋anta2nα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝－121.
三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角 关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切 化为正弦、余弦．
解析：由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝ sin 25°，所以c<a<b.
两角和与差的余弦公式ppt
两角和与差的余弦公式的证明
利用向量的方法证明
向量证明
向量的点积
将角差向量用单位向量表示，通过向 量的点积和差积运算，得到两角和与 差的余弦公式。
对于两个向量$\mathbf{a}$和 $\mathbf{b}$，它们的点积定义为 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\ma thbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$， 其中$\theta$是两个向量的夹角。
04
两角和与差的余弦公式的应用
在解三角形题中的应用
判断三角形形状
利用两角和的余弦公式，通过计算三角形的三边长，可以判 断三角形形状，如直角三角形、等边三角形等。
求解三角形面积
在解三角形题中，有时需要求解三角形的面积，此时可以通 过两角和的余弦公式，先求出其中一个角的正弦或余弦值， 再利用面积公式求解。
向量的差积
对于两个向量$\mathbf{a}$和 $\mathbf{b}$。它们的差积定义为 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=|\m athbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\ma thbf{n}$。其中$\theta$是两个向量 的夹角
利用三角函数的方法证明
在求某些三角形的度数时，可以使用两角和与差的余弦公式解三角形方程，如求 解三角形内角度数等。
三角形度数范围
在求某些三角形的度数时，有时需要确定三角形度数的范围，此时可以通过两角 和与差的余弦公式结合正弦定理或余弦定理进行求解。
05
两角和与差的余弦公式的一般化推广
一般化的推广形式
推广到任意角的余弦公式
两角和与差的余弦公式的形式
两角和的余弦公式
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
利用向量的方法证明
向量证明
向量的点积
将角差向量用单位向量表示，通过向 量的点积和差积运算，得到两角和与 差的余弦公式。
对于两个向量$\mathbf{a}$和 $\mathbf{b}$，它们的点积定义为 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\ma thbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$， 其中$\theta$是两个向量的夹角。
04
两角和与差的余弦公式的应用
在解三角形题中的应用
判断三角形形状
利用两角和的余弦公式，通过计算三角形的三边长，可以判 断三角形形状，如直角三角形、等边三角形等。
求解三角形面积
在解三角形题中，有时需要求解三角形的面积，此时可以通 过两角和的余弦公式，先求出其中一个角的正弦或余弦值， 再利用面积公式求解。
向量的差积
对于两个向量$\mathbf{a}$和 $\mathbf{b}$。它们的差积定义为 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=|\m athbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\ma thbf{n}$。其中$\theta$是两个向量 的夹角
利用三角函数的方法证明
在求某些三角形的度数时，可以使用两角和与差的余弦公式解三角形方程，如求 解三角形内角度数等。
三角形度数范围
在求某些三角形的度数时，有时需要确定三角形度数的范围，此时可以通过两角 和与差的余弦公式结合正弦定理或余弦定理进行求解。
05
两角和与差的余弦公式的一般化推广
一般化的推广形式
推广到任意角的余弦公式
两角和与差的余弦公式的形式
两角和的余弦公式
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
两角和与差的余弦公式ppt课件
应该与sinα ,cosα ,sinβ ,cosβ均有关系
09:42:29
思考2：我们知道cos(α －β )的值与α ，β 的三角函数值有一定关系，观察下表中的数 据，你有什么发现？
cos(60° － 30°)
cos60° cos30° sin60° sin30°
1
1 3 3 3 2 2 2 2 2 cos(120° cos120° cos60° sin120° sin60° － 60°) 1 09:42:29 2
对公式 C(α－β)的理解： (1)公式中的 α，β 为任意角 公式中的 α， β 不仅可以是任意具体的角， 也可以是一个“团 α＋β α－β α＋β 体”，比如 cos( － )中的“ ”相当于角 α， 2 2 2 α－β “ 2 ”相当于角 β， 可用两角差的余弦公式展开.因此对公 式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可 以把 α，β 视为一个“代号”，将公式记作 cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.
09:42:29
∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)] ＝cos(2α＋β)· cos(α＋β)＋sin(2α＋β)· sin(α＋β) 3 12 4 5 56 ＝5×13＋5×13＝65.
09:42:29
忽略角的范围限制的隐含条件致误 5 10 已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝ ，cos β＝ ， 5 10 求 α－β 的值.
09:42:29
【错因分析】 错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大 小判断 α 与 β 的大小关系.
【防范措施】 已知三角函数值求角的大小时，一定要注意 判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化， 以免产生增解.
09:42:29
两角和与差的余弦公式ppt课件
3
两角差的余弦公式推导过程
微课视频
cos( ) coscos sinsin
4
实际上，当 为任意角时，利用余弦函数周期性，奇偶性和诱导公式， 总可以找到一个角都可转化 [0,2 ) ，使 cos cos( )。
综上所述，cos( - ) coscos sinsin ， 对于任意的角都成立。
验证公式： cos(300 ) cos(900 - 600 ) cos(900 )cos(600 ) sin(900 )sin(600 ) sin(600 )
3 2
同理也可以验证诱导公式
cos( ) sin，cos( - ) - cos
2
5
拓展思维
已知 cos( - ) coscos sinsin
3.1.1
两角和与差的余弦公式
1
知识回顾 1.特殊角的三角函数值 2.三角函数线 3.平面向量的数量积
2
提出问题
问题1 ： 等式 cos(α一β)＝ cosα一cosβ成立吗？请举例验证 例如： cos30°= cos(90°一60°)＝ cos90°一cos60°？
问题2 ： 如果已知sinα, cosα, sinβ, cosβ, 如何计算cos(α一β)？
11
例题讲授，学以致用
12
例题讲授，学以致用
13
例题讲授，学以致用 课堂练习
14
两角和与差的余弦公式
15
例题讲授，学以致用
思考题：串联思维，开阔视野
观察下列两组题目，探索它cossin
10
思维延伸
（2）如果 将换成 ，
则可以得到正弦和余弦二倍角公式 cos( ) coscos sinsin sin( ) sincos cossin 将换成之后 cos(2 ) coscos sinsin （cos）2 （sin）2 sin(2 ) sincos sincos 2sincos
两角差的余弦公式推导过程
微课视频
cos( ) coscos sinsin
4
实际上，当 为任意角时，利用余弦函数周期性，奇偶性和诱导公式， 总可以找到一个角都可转化 [0,2 ) ，使 cos cos( )。
综上所述，cos( - ) coscos sinsin ， 对于任意的角都成立。
验证公式： cos(300 ) cos(900 - 600 ) cos(900 )cos(600 ) sin(900 )sin(600 ) sin(600 )
3 2
同理也可以验证诱导公式
cos( ) sin，cos( - ) - cos
2
5
拓展思维
已知 cos( - ) coscos sinsin
3.1.1
两角和与差的余弦公式
1
知识回顾 1.特殊角的三角函数值 2.三角函数线 3.平面向量的数量积
2
提出问题
问题1 ： 等式 cos(α一β)＝ cosα一cosβ成立吗？请举例验证 例如： cos30°= cos(90°一60°)＝ cos90°一cos60°？
问题2 ： 如果已知sinα, cosα, sinβ, cosβ, 如何计算cos(α一β)？
11
例题讲授，学以致用
12
例题讲授，学以致用
13
例题讲授，学以致用 课堂练习
14
两角和与差的余弦公式
15
例题讲授，学以致用
思考题：串联思维，开阔视野
观察下列两组题目，探索它cossin
10
思维延伸
（2）如果 将换成 ，
则可以得到正弦和余弦二倍角公式 cos( ) coscos sinsin sin( ) sincos cossin 将换成之后 cos(2 ) coscos sinsin （cos）2 （sin）2 sin(2 ) sincos sincos 2sincos
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件 (共24张PPT) 人教A版(2019)必修第一册
O
x
例1.利用公式C(α-β)证明:
诱导公式反映的是圆的特殊
对称性
y
（2） cos( ) cos .
证明：
(−, )
O
发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.
x
探究点二 利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
4
5
例2.已知 sin , ( , ), cos , 是第三象限角，
1 1
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)
∠ =∠=α－β
α-β
α-β
O
问题4:你能证明这个式子为何成立吗？
x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β)) (1,0)
y
α-β
根据两点间距离公式
α-β
3.常见误区:(1)求角时忽视角的范围;(2)公式的逆用及符号问题.
5
2
13
求cos( - ).
4
4
3
解：由 sin , ( , ), 得 cos 1 sin 2 1 ( ) 2 ，
5
2
5
5
5
又由 cos , 是第三象限角，得
13
5 2
12
sin 1 cos 1 ( ) ，
s ）cos +sin（ ）sin =
3 ） 3 co（
3
3
3
3
26
观察已知角与未知角之间的关系
两角和与差正弦余弦公式课件
于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
(3.1.1两角和与差的余弦公式)PPT教学课件
2020/12/10
6 115
例3.已 知 ,都 是 锐c角 os ，4,
5
cos() 5 ,求cos的 值 。
13
提示：拆 角 思 想 : c o s c o s ( ) .
2020/12/10
12
练习
1.已 知 sina3,是 第 四 象 限 的 角 ， 求
5
cos()的 值 。
4
y
ΟΑ(cosα,sinα) A OB(cosβ,sinβ) B α
β
O
x
O A 2020/ 12/O 10 B c o s c o s s i n s i n 5
思考3：向量的夹角θ,根据数量积定义
OAOB 等于什么? θ与α、β有什么
关系？ 由此可得什么结论？
y
O A O B O A O B c o s
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作 记忆？
2020/12/10
C (， 该 )公式有什么特点？如何
8
探究（三）：公式的应用 例1 利用余弦公式求cos15°的值.
（1）cos15 co（ s 45 -30） =cos45 cos30 sin45 sin30
A
cos
θB
α
α-β= 2kπ＋θ
β
O
x
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2020/12/10
6
思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋ sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记
作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？
2020/12/10
7
5.5.1两角和与差的正弦余弦正切公式第2课时课件共13张PPT
(2)1- 3tan75o 3 + tan75o
答案: (1) 1
(2) -1
典型例题
(1) 1 tan 75 1 tan75
求下列各式的值：
(2) tan17+tan28+tan17tan28
解：1原式=
tan 45 tan 75 1 tan 45 tan75
tan(45 75 ) tan120
变形：
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ) tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
(1 tanαtanβ)= tan tan tan( )
典型例题
构造角
1 1 cos x
2
3 2
sin
x
sin
s
x
2
sin
x
6
3
2
sin
x
cos
x
2
sin
x
4
4
2 cos x
6 sin x 2
2
cos
x
3
典型例题
化简:
(1) cos(60 ) cos(60 ); (2) cos( ) cos sin( ) sin
(1) cos (2) cos
典型例题
已知sin 1 , cos( ) 11 ,且 , (0, ),
1 2
6sin 20 cos110 cos160 sin 70
1
复习练习
1: 求tan15和tan75的值：
解：
tan15=
tan(4530)=
tan45o - tan30o 1+ tan45o tan30o
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
重点中学两角和与差的余弦公式PPT优秀课件
重点中学两角和与差的余弦公式 PPT优秀课件
问
如何用任意角α与β 的正弦、余弦
题
来表示cos(α-β)？
探
思考：你认为会是
究
cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
2
两角和与差的余弦公式
目标引领
1、知道两角和差的余弦公式及其结构特征. 2、会利用两角和差的余弦公式进行相关的求值
独立自学（5分钟）
32 4
7 4
c o s c o sc o s s i n s i n
353423
7 4
3 52 12
7
目标升华
(一)基本公式
c o s c o s c o s c o s c o s
注意:1. 明确公式结构 2.会正,逆向思维
(二)基本应用
１．公式的正用、逆用 、（变形用） ２.整体思想（即整体角）
于是对任意角α，β总有：
c c o s o s c c c o o so c s o s ss i ss n in in s in
注意：１将．结替换构为特 征
co ２ s c ．公o 式c的正 o s s 用与s is 逆n 用in
你如记何住记了忆吗? ?
二、例题评析 例1：求cos15°及cos105°的值．
解：cos15°=cos(45°－30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30°
2 3 21 6 2 2 2 22 4
cos105°=cos(45°+60°) =cos45°cos60°+sin45°sin60°
21 2 3 2 6 22 2 2 4
练习：
１、求值 co s7 5,若 求 sin7 5呢 ？
问
如何用任意角α与β 的正弦、余弦
题
来表示cos(α-β)？
探
思考：你认为会是
究
cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
2
两角和与差的余弦公式
目标引领
1、知道两角和差的余弦公式及其结构特征. 2、会利用两角和差的余弦公式进行相关的求值
独立自学（5分钟）
32 4
7 4
c o s c o sc o s s i n s i n
353423
7 4
3 52 12
7
目标升华
(一)基本公式
c o s c o s c o s c o s c o s
注意:1. 明确公式结构 2.会正,逆向思维
(二)基本应用
１．公式的正用、逆用 、（变形用） ２.整体思想（即整体角）
于是对任意角α，β总有：
c c o s o s c c c o o so c s o s ss i ss n in in s in
注意：１将．结替换构为特 征
co ２ s c ．公o 式c的正 o s s 用与s is 逆n 用in
你如记何住记了忆吗? ?
二、例题评析 例1：求cos15°及cos105°的值．
解：cos15°=cos(45°－30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30°
2 3 21 6 2 2 2 22 4
cos105°=cos(45°+60°) =cos45°cos60°+sin45°sin60°
21 2 3 2 6 22 2 2 4
练习：
１、求值 co s7 5,若 求 sin7 5呢 ？
两角和与差的正弦余弦和正切公式复习课件(共35张PPT)
目录
2.已知 x∈(－π2，0)，cos x＝45，则 tan 2x＝(
)
7 A.24
B．－274
C.274
D．－274
解析：选 D.依题意得 sin x＝－
1－cos2x＝－35，tan
x＝csions
x x
＝－34，所以 tan 2x＝12－tatnanx2x＝12－×（（－－4343））2＝－274,故选 D.
目录
3.若sincoαs－2απ4＝－ 22，则 cos α＋sin α＝(
)
A．－
7 2
B．－12
1
7
C.2
D. 2
解析：选
C.由已知条件
cos2α－sin2α
2 2 sin
α－
2 2 cos
＝－ α
22，
则 cos α＋sin α＝12.
目录
4.化简：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝________． 解析：原式＝sin(α＋β－β)＝sin α. 答案：sin α 5.若 cos α＝12，其中 α∈(－π2，0)，则 sinα2的值是________． 解析：sin2α2＝1－c2os α＝14.
目录
tan α＋tan β
(3)tan(α＋β)＝____1_－__ta_n__α_t_a_n_β______， tan α－tan β
tan(α－β)＝____1_＋__t_a_n_α_t_a_n__β______．
(α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ＋π2，k∈Z) 其变形为：tan α＋tan β＝__t_an_(_α_＋__β_)_(1_－__ta_n_α_t_a_n_β_)____， tan α－tan β＝______ta_n_(_α_－_β_)_(_1_＋__ta_n_α_t_a_n_β_)_______．
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(共37张PPT)
(2)在△ABC 中，∵cos B＝－34，
∴π2<B<π，sin B＝
1－c<A＋B<π，sin(A＋B)＝23，
∴cos(A＋B)＝－ 1－sin2A＋B＝－ 35，
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝－ 35×－34＋23× 47＝3
解析：cos x＋cosx－π3
＝cos
x＋12cos
x＋
3 2 sin
x＝32cos
x＋
3 2 sin
x
＝ 3 23cos x＋12sin x＝ 3cosx－π6＝－1. 答案：C
4．设 α，β 都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A．sin(α＋β)>sin α＋sin β B．cos(α＋β)>cos αcos β C．sin(α＋β)>sin(a－β) D．cos(α＋β)>cos(α－β)
2．若 sin α2＝ 33，则 cos α＝( )
A．－23 B．－13
1 C.3
2 D.3
解析：因为 sin
α2＝ 33，所以 cos α＝1－2sin2
α2＝1－2×
3 3
2＝13.
答案：C
3．已知 cosx－π6＝－ 33，则 cos x＋cosx－π3的值是(
)
A．－233 B．±233 C．－1 D．±1
1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα－－π3π3＝1＋1－1×13 13＝12. 答案：12
4．已知
cos(α －
π 6
)＋
sin
α
＝
4 5
3
，
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
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温馨提示：整体思考，“凑”出组合式，使解题过程简明.
0.0
18
规律归纳
解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪 些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．
其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未 知角用已知角表示出来．
解：原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋ 77°)sin(360°－47°)
＝sin13°sin43°＋sin77°sin47° ＝sin13°sin43°＋cos13°cos43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°)
＝
3 2.
0.0
13
温馨提示： 1对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将 角度化小一般是化成锐角.
23＋
2 2
×12＝
6＋ 4
2 .
答案：C
0.0
8
2．cos60°cos15°＋sin60°sin15°等于( ) A．cos30° B．sin60° C．cos45° D．cos60° 解析：原式＝cos(60°－15°)＝cos45°. 答案：C
0.0
9
3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
附条件的求值问题 【例 2】 已知 sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝54，求 cos(α －β)的值．
思路分析：将两式平方相加，再利用两角差的余弦公 式．
0.0
17
解：由 sinα＋sinβ＝35，两边平方，得 sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝295.①
由 cosα＋cosβ＝45，两边平方，得 cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1265.② ①＋②，得 2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1. ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12.
1 求下列三角函数的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.
解：原式＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)
＝cos45°＝
2 2.
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)．
0.0
16
0.0
2
热点提示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应 理解该公式的证明过程，要记住这一公式． 2．进行三角函数式的求值，要特别注意角的范围的讨论， 以决定函数值的符号． 3．本节主要应用了角度的变换技巧，如 β＝(α＋β)－α 等． 4．要注意灵活运用公式，对公式进行变形.
0.0
3
知识要点
1．在平面直角坐标系中作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B，则O→A＝(cosα，sinα)， O→B＝(cosβ，sinβ)；O→A·O→B＝O→AO→B
cos(α－β)＝cos(α－β)．
2．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
答案：cosβ
0.0
11
5．设 α∈(0，π2)，若 sinα＝35，求 2cos(α－π4)的值．
解：∵α∈(0，2π)，sinα＝35，∴cosα＝45， ∴ 2cos(α－π4) ＝ 2(cosαcosπ4＋sinαsin4π)＝cosα＋sinα＝35＋45＝75.
0.0
12
利用差角余弦公式直接求值 【例 1】 求－sin167°sin223°＋sin257°sin313°的值．
0.0
19
2 若 cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝35，则 tanα·tanβ ＝________.
解析：51＝cosαcosβ－sinαsinβ，① 53＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，② ①×3－②，得 0＝2cosαcosβ－4sinαsinβ，∴csoinsααcsionsββ＝21.
解析：原式＝cos20°cos(－40°)＋sin20°sin(－40°) ＝cos[20°－(－40°)]＝cos60°＝12.
答案：21
0.0
10
4．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 等于________．
解析：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝ cosβ.
0.0
4
●想一想：用向量法证明公式 Cα－β 的过程中角 α，β 的 终边与单位圆分别相交于点 A、B，向量O→A、O→B的坐标是如 何得到的？
0.0
5
提示：由于向量O→A的起点为原点，所以向量O→A的坐标 就是点 A 的坐标，又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|＝1，由
任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα＝y1A，cosα＝x1A，因此 xA＝cosα，yA＝sinα，即有O→A＝(cosα，sinα)，同理可求向量O→B 的坐标．
2在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见 的，要注意培养这种能力.
0.0
14
规律归纳 求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
0.0
15
两角和与差的余弦公
目标要求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程，进一步体会向量方法的作用． 2．能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、求值、证明等)，尤其要注意公式的灵活运用，如逆用、 角度变换等． 3．三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均 会出现.
0.0
6
自我测评
1．cos345°的值等于( )
2－ 6 A. 4
6－ 2 B. 4
2＋ 6 C. 4
D．－
2＋ 4
6
0.0
7
解析：cos345°＝cos(－15°＋360°)＝cos(－15°)＝cos15°
＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝
22×
0.0
18
规律归纳
解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪 些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．
其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未 知角用已知角表示出来．
解：原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋ 77°)sin(360°－47°)
＝sin13°sin43°＋sin77°sin47° ＝sin13°sin43°＋cos13°cos43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°)
＝
3 2.
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温馨提示： 1对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将 角度化小一般是化成锐角.
23＋
2 2
×12＝
6＋ 4
2 .
答案：C
0.0
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2．cos60°cos15°＋sin60°sin15°等于( ) A．cos30° B．sin60° C．cos45° D．cos60° 解析：原式＝cos(60°－15°)＝cos45°. 答案：C
0.0
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3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
附条件的求值问题 【例 2】 已知 sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝54，求 cos(α －β)的值．
思路分析：将两式平方相加，再利用两角差的余弦公 式．
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解：由 sinα＋sinβ＝35，两边平方，得 sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝295.①
由 cosα＋cosβ＝45，两边平方，得 cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1265.② ①＋②，得 2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1. ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12.
1 求下列三角函数的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.
解：原式＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)
＝cos45°＝
2 2.
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)．
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2
热点提示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应 理解该公式的证明过程，要记住这一公式． 2．进行三角函数式的求值，要特别注意角的范围的讨论， 以决定函数值的符号． 3．本节主要应用了角度的变换技巧，如 β＝(α＋β)－α 等． 4．要注意灵活运用公式，对公式进行变形.
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知识要点
1．在平面直角坐标系中作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B，则O→A＝(cosα，sinα)， O→B＝(cosβ，sinβ)；O→A·O→B＝O→AO→B
cos(α－β)＝cos(α－β)．
2．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
答案：cosβ
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5．设 α∈(0，π2)，若 sinα＝35，求 2cos(α－π4)的值．
解：∵α∈(0，2π)，sinα＝35，∴cosα＝45， ∴ 2cos(α－π4) ＝ 2(cosαcosπ4＋sinαsin4π)＝cosα＋sinα＝35＋45＝75.
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利用差角余弦公式直接求值 【例 1】 求－sin167°sin223°＋sin257°sin313°的值．
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2 若 cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝35，则 tanα·tanβ ＝________.
解析：51＝cosαcosβ－sinαsinβ，① 53＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，② ①×3－②，得 0＝2cosαcosβ－4sinαsinβ，∴csoinsααcsionsββ＝21.
解析：原式＝cos20°cos(－40°)＋sin20°sin(－40°) ＝cos[20°－(－40°)]＝cos60°＝12.
答案：21
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4．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 等于________．
解析：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝ cosβ.
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4
●想一想：用向量法证明公式 Cα－β 的过程中角 α，β 的 终边与单位圆分别相交于点 A、B，向量O→A、O→B的坐标是如 何得到的？
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提示：由于向量O→A的起点为原点，所以向量O→A的坐标 就是点 A 的坐标，又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|＝1，由
任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα＝y1A，cosα＝x1A，因此 xA＝cosα，yA＝sinα，即有O→A＝(cosα，sinα)，同理可求向量O→B 的坐标．
2在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见 的，要注意培养这种能力.
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规律归纳 求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
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两角和与差的余弦公
目标要求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程，进一步体会向量方法的作用． 2．能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、求值、证明等)，尤其要注意公式的灵活运用，如逆用、 角度变换等． 3．三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均 会出现.
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自我测评
1．cos345°的值等于( )
2－ 6 A. 4
6－ 2 B. 4
2＋ 6 C. 4
D．－
2＋ 4
6
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解析：cos345°＝cos(－15°＋360°)＝cos(－15°)＝cos15°
＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝
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