高考中函数选择题的技巧性解法

高考函数选择题的技巧性解法

华南师范大学附属中学南海实验高级中学蓝美健

摘要：本文通过举例说明其在高中立几题目中的应用。 关键词：平面方程，二面角，点到平面的距离

高考数学若想取得高分，就一定要重视选择题的解法，函数是高考的重头戏。函数的知识点很多，但解法也比较常见。只有掌握了其中的技巧性解法，才能在最短的时间内更准确、快速地求解。下面例说高考函数选择题的技巧性解法。

一、数形结合：据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右.

例1.（09湖南文）设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的

正数K ，定义函数(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()2x f x -=。当K =12时，

函数()K f x 的单调递增区间为（ ）

A ．(,0)-∞

B ．(0,)+∞

C ．(,1)-∞-

D ．(1,)+∞ 解:

1

()2()2x x f x -∣∣∣∣

==，题目的函数定义可知，

12

()2x f x -∣∣=11(()2(,1][1,))

2

2

x f x x -∣∣≤⇒≤⇒∈-∞-⋃+∞

12

1

()2f x =

11(()2(1,1))22x f x x -∣∣

>⇒>⇒∈-图像如下：

故选C.

例2．方程2

1sin x x -=的解共有（ ）

A. 1个

B. 2个 C . 3个 D. 4个 解：方程2

1sin x x

-=的解可以看作函数2()1f x x =-与函数()sin g x x

=的图象交点的横坐标，方程解的个数就是函数图象交点的个数。图象如下：

故选B.

点评：对于此类用代数方法难以直接解答或者解答过程比较繁琐的函数选择题来说，数型结合不仅快速而且准确地为我们选择正确的答案。

二、归纳猜想法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.

例3．设12()1f x x =+，11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则a 2007＝（ ）

A ．20051()2-

B ．20061()2

C ．20071()2-

D ．2008

1

()2

解：

1212323434226610

(0)2,((0))(2),((0))(),((0))()......335511f f f f f f f f f f ===

====

2341

312123123(0)1(0)1(0)11111

(),(),().......()(0)22(0)22(0)222

n n f f f a a a a f f f +---=

=-==-==-=-+++故20082008

200711()()22a =-=，选D.

例4.已知数列}{n a 满足

)

(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =（）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．23

解

：

10

a =

，

2a =

=

，

3a =

=

，

40...

a =

=3n n

a a +=

所以202362a a a +⨯=== B.

点评：此类数列求项的问题，由于项数比较大，一般不可能要我们根据递推公式一个个求下去，肯定有规律可循，“周期性”问题就是一大考点。 三、特殊值法

特殊值法．若问题的选择对象是针对一般情况给出的，则可选择合适的特殊数、特殊点、特殊数列、特殊图形等对结论加以检验，对于有情况讨论的题目，可以代入相应的特殊值.从而做出正确判断．

例5.（09安徽理）设a ＜b,函数

2

()()y x a x b =--的图像可能是学科网

解：由选项图象可知，不妨设

a=1,b=10.则

2(1)(11)(110)44f -=----=-，排除A,B.(2)(21)(210)8f =--=-,排除D.

故选C.

例6．（09福建理）.函数

2

()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b

x a

=-

对称。据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程

[]2

()()0

m f x nf x p ++=的解集都不可能是

A.{}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64

解:对方程

2

[()]()0m f x nf x P ++=中,,m n p 分别赋值，m=p=1, n=2，得2[()]2()10f x f x ++=求出()0f x =或者()2f x =-。当()0f x =时，

20ax bx c ++=，由根与系数的关系得

12b

x x a +=-

；当()2f x =-时，220ax bx c +++=，由根与系数的关系得

34b

x x a +=-

。检验即得D 。

例7.化简

2

(tan +cot )cos x=x x ( ) A.tan x B.sin x C.cos x D.cot x 解：取特殊值

3π

α=

，则

22

3

(tan +cot )cos x=(tan

cot

)cos 3

3

3

3x x π

π

π

+=

.