二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区.

二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别? 首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同

矩阵的相似： 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P 使P 1AP B ，贝y A 与B 相似。 相似的性质(相似的必要条件)：若A~B ,则

(1) A B ; (2) r(A) r(B); ⑶ E A E B 即有相同的特征值；(4)

a ii

b i 。 矩阵的合同：

A 和

B 为两个n 阶对称矩阵，若存在n 阶可逆矩阵

C 使C T AC B ，则称A 与B 合同。

3

一个实对称矩阵 A ，一定存在正交矩阵 Q ，使得A 不仅合同而且相似于一个对角阵。

F 面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？

C 11 C 12 C 13

C

C 21 C 22 C 23 , c | 0,若C 为可逆矩阵，称x Cy 为可逆线性变换; C 31 C 32 C 33

若C 是正交矩阵，称x Cy 为正交变换。

下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么? 以三元二次型为例：

Cy ,C 可逆

(Cy)T A(Cy) y T (C T AC)y y T By ,且 B T (C T AC)T 其中的对角线1, 2, 3为A 的特征值。

1 1

1 例如：A

, B ,C 1 4 1

2 从而两矩阵合同未必相似！

由实对称矩阵的性质实对称矩阵 定能相似对角

化。 ,则有C T AC B ，显然两矩阵合同特征值未必相同！ 从而一定存在可逆阵 P 使得P 1AP

,特别地, 必有正交矩阵Q ( Q 1 Q T )使Q 1AQ Q T AQ i ,i 1,2,3为A 的特征值，故而任意

x f x 1, x 2, x 3

x Ax C T AC B , 故经可逆线性变换 f x 1, x 2, x 3 仍为关于 力，丫2,丫3的二次型，且原二次型矩阵 A 和新二次型矩阵 B 是合同的关

系，若C 是正交矩阵，那么C T

1 T 1 C , B C AC C AC ,所以A, B 不仅合同而且相似。 对于任意一个实对称矩阵 定存在正交矩阵 Q ( Q 1 Q T )使得

1 T

Q AQ Q AQ i ,i 1,2,3为A 的特征值,

因此若用正交变换x Qy

x X T A X Qy

T y 1y 12 2y ； 3y f (标准形)即A 与合同且 A 与相似,

所以只有用正交变换化二次型为标准形时 ，标准形平方项的系数才是 A 的特征值。而经一般的可逆线性变

换（如配方法）化二次型为标准形，标准形平方项的系数未必为 A 的特征值。

F 面来看一个具体的例子:

y 1 X 1 X 2 2x 3

(X 1 X 2 2X 3)2 4X 22 4x 2X 3 X 32 (X 1 X 2 2X 3)2

(2X 2 X 3)2，经可逆线性变换 y 2X 2 X 3 化 y X 3

2

y 2。可见1,1,0并不是二次型矩阵 A 的特征值!

2

X i 5X 22 5X 32 2X 1X 2 4X 1X 3，二次型的矩阵 A

1 2 1 1

5

0 r 3 2r 2 1 5 0

5 0 2( 5) 5)

5)( 6)， A 的特征值为5,6,0，求出A 的特征向量再单位化可以组成正 交矩阵 Q ， f (x-i ,x 2, X 3)

2_2_2— _ _ 2 X 1 5X 2 5x 3 2X ^2 4X 1X 3 经正交变换 X Qy 化为 5% 6y ； Oy 3， F 面再看配方法:

f(X 1,X 2,X 3)

2 X 1 5X 22 5X 32 2X -|X 2 4X 1X

3 X 12 2X -| (X 2 2X 3) (X 2 2X 3)2 (X 2 2X 3)2 5X 22 5X 32

二次型为标准形 y ；