各种概率分布介绍

一、引言

Bayes统计起源于英国学者托马斯.贝叶斯（Thomas Bayes,1702～1761）死后发表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。在此论文中他提出了著名的贝叶斯公式和一些归纳推理方法，随后拉普拉斯（Laplace,P.C.1749～1827）不仅重新发现了贝叶斯定理，阐述的远比贝叶斯更为清晰，而且还用它来解决天体力学、医学统计以及法学问题。之后虽有一些研究和应用但由于其理论尚不完整，应用中出现一些问题，致使贝叶斯方法长期未被接受。直到二战后，瓦尔德(Wald,A.1902～1950)提出统计决策函数论后又引起很多人对贝叶斯研究方法的兴趣。因为在这个理论中，贝叶斯解被认为是一种最优决策函数。在Savage,L.J.(1954)、Jeffreys,H.(1961)、Good,I.J(1950)、Lindley,D.V(1961)、Box,G.E.P.&Tiao,G.C.(1973)、Berger,J.O.(1985)等贝叶斯学者的努力下，对贝叶斯方法在观点、方法和理论上不断的完善。另外在这段时期贝叶斯方法在工业、经济、管理等领域内获得一批无可非议的成功应用。贝叶斯统计的研究论文与著作愈来愈多，贝叶斯统计的国际会议经常举行。如今贝叶斯统计已趋成熟，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的学派，开始打破了经典统计学一统天下的局面。

贝叶斯统计是在与经典统计的争论中发展起来的,现已成为统计学中不可缺少的一部分.贝叶斯统计与经典统计的主要区别就是是否利用先验信息。贝叶斯统计重视已出现的样本观测值，对尚未发生的样本观测值不予考虑。近几年来对贝叶斯统计的广泛应用，使得贝叶斯统计在可靠性问题中起到越来越重要的作用。尤其是对产品的失效率以及产品寿命的检验中，更是离不开贝叶斯统计。本文主要是探索串联系统和并联系统的可靠性，以及可靠性增长模型的Bayes估计，这些都表现出了Bayes统计在可靠性中的广泛应用。

二、绪论

（一）统计学及其发展历程

人类的统计活动源远流长，自从有了数的概念，有了计数活动，就有了统计。但作为一门学科的统计学，它的出现却晚得多。英国学者配第（W.Petty）《政治算术》一书的问世，标志着统计学的开端。

概率论是统计学的重要起源之一。14世纪时，在工商业比较繁荣的意大利以及地中海岸其他地区，由于赌博游戏盛行和保险活动的萌起。人们

对“机会”问题发生了兴趣。但真正意义上的概率论，是从17世纪开始的。帕斯卡（B.Pascak）和费马(P.Fermat)关于“得点问题”的讨论。这奠定了概率论的基础。早期概率论的研究中，做出重要贡献的数学家有：莱布尼茨（G.Leibnix），贝努利(J.Bernouli)，贝叶斯(T.Bayes)，拉普拉斯(place)，高斯(C.Gauss)，贝塞尔(F.Bessel)，新普森(T.Simpson)，布丰(C.de Buffon)，泊松(S.Possion)等，高斯和勒让格在误差研究过程中，提出了有名的最小二乘法，高斯还导出了著名的正态分布曲线。随着概率统计研究对象的不断复杂化，统计学进入了一个由“算术”水平向“数理”阶段转化的新的发展时期。

近代的统计学主要有数理统计学派和社会统计学派。随着自然科学的快速发展和技术的不断进步。人们对数理统计方面提出了进一步的要求，统计学越来越多地应用概率论知识。这样，数理统计学就从统计学中分离出来自成一派。由于这一学科主要在英美等国发展起来，故又被称为英美数理统计学派。

从20世纪初到现在的数理统计时期，数理统计学发展的主流从描述统计学转向推断统计学。推断统计学促使数理统计进入现代范畴，成为统计学的重要组成部分。

（二）贝叶斯统计的形成与当前的研究进展

统计学中有两个主要学派：贝叶斯学派和经典学派。贝叶斯统计是在与经典统计的斗争中发展起来的，贝叶斯统计分析往往与统计决策理论结合在一起，贝叶斯统计推断与决策理论形成了一套完整的逻辑公理体系。

贝叶斯定理既适用于离散型随机变量，也适用于连续型随机变量，它形成了贝叶斯统计的基本原理和统计思想。贝叶斯统计与经典统计学的最主要差别在于是否利用先验信息，贝叶斯统计重视已出现的样本观察值，对尚未发生的样本观察值不予考虑。贝叶斯学派最基本的观点是：任一个未知量θ都可看作一个随机变量，应用一个概率分布去描述θ的位置状况。

由于贝叶斯统计集先验信息、样本信息和总体信息于一身，更贴近实际问题，并且由于在处理小样本问题时有其独特的优点。近年来开始在生物统计、临床试验、质量控制、精算、图像分析、可靠性等领域被广泛应用。在国防科技领域应用尤为突出：美国、前苏联早在60年代就把Bayes 方法列为使用手册，英国则将其列为国家标准。在我国，Bayes方法的研究起步较晚，在工程上应用很少，在战术武器系统可靠性上的应用尚处于初

步探索阶段。

在贝叶斯统计方面，J.O.Berger做了大量奠基性的工作。如今,贝叶斯统计无论在理论上还是在方法上，以及他们和实际的结合上,都得到了长足的发展。Samuel Kotz和方开泰把贝叶斯方法应用在“Symmetric Multivariate and Related Distributions”。在国内，方开泰是较早从事Bayes统计理论研究的著名统计学家；另外在Bayes统计理论方面比较有影响的有华东师范大学的茹诗松教授和中国人民大学的吴喜之教授。而在Bayes方法进展上，大都集中在应用统计领域。

(三) 本文的工作

由于Bayes学派的最基本的观点是:任一未知量 都可以看作随机变量，可以用一个概率分布去描述，这个分布称为先验分布。因为任一未知量都有不确定性，而在表述不确定性时，概率与概率分布是最好的语言。关于未知量是否可以看作是随机变量，这在经典学派和Bayes学派间争论了很久。如今经典学派已不反对这一观点，著名的美国统计学家Lehmann.E.L.在他的《点估计理论》一书中写道:“把统计问题中的参数看作随机变量的实现要比看作未知参数更合理些。”而现在两派争论的焦点是：如何利用各种先验信息合理地确定先验分布。这在有些场合容易解决，但在很多场合还是相当困难的。这时应加强研究，切不可简单处理，草率地选用先验分布。

关于先验分布的合理确定问题，已经成为贝叶斯学派新的研究课题。目前己经有了一些成功的方法。J.O.Berger在文献[10]中有较为全面的叙述。本文对贝叶斯统计中先验信息如何在实际中得以应用方面做了有益的探索：认为Bayes方法在一般的小样本问题中应用时，通过未知参数(待估参数)的特征， (比如非负性，有限性等)选取适当的分布函数做为先验分布，并根据情况采用合适的Bayes方法(比如多层Bayes估计)，如果选取的先验分布函数有待定参数(超参数)，还要根据先验信息对待定参数进行数值逼近，或者根据实际问题专家意见给出，这带有主观概率的成分。由于实际问题与理论的差异，这是允许的，也是根据实际情况所做的调整。本文通过对Bayes统计基本原理及相关知识的了解，着重用了二项分布、指数分布、威布尔分布等对Bayes统计在可靠性问题中的应用作了有益的探索。尤其是运用以上分布来检验系统的可靠性，以及产品的失效率是本文的重点。