几何证明及极坐标参数方程试题及答案

2010年（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于

E 点，证明：

（Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠。 （Ⅱ）2

BC =BE x CD 。

解: （Ⅰ）因为AC BD =, 所以BCD ABC ∠=∠.

又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠

所以ACE BCD ∠=∠. ……5分 （Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠,EBC BCD ∠=∠, 所以BDC

ECB ,故

BC CD

BE BC

=

. 即 2

BC BE CD =⨯. ……10分 因为AC BD =, 所以BCD ABC ∠=∠.

又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠

所以ACE BCD ∠=∠. ……5分 （Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠,EBC BCD ∠=∠, 所以BDC

ECB ,故

BC CD

BE BC

=

. 即 2

BC BE CD =⨯. ……10分

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线1C ：{ {t 为参数}。图2C ：{ {θ为参数} （Ⅰ）当a=

3

π

时，求1C 与2C 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当a 变化时，求P

点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

X=1+tcosa y=tsina X=cos θ

y=sin θ

解： （I ）当3

π

α=

时，C 1的普通方程为3(1)y x =-，C 2的普通方程为22

1x y +=.

联立方程组

{

223(1),

1,

y x x x y =-=+=解得C 1与C 2的交点为（1,0），13(,)22

- （II ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y α

αα--=.

A 点坐标为2

(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为

21

sin 21

sin cos 2

x a y a a ==-⎧

⎨⎩

（a 为参数）

P 点轨迹的普通方程为2

2

11()4

16

x y -+= 故P 点是圆心为1(,0)4，半径为

1

4

的圆

2011年22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2

140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；

（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．

（22）解：

（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC ，

即

AB

AE

AC AD =.又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆。

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2，x 2=12. 故 AD=2，AB=12.

取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.

由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 2

1

(12-2)=5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α

αα=⎧⎨=+⎩

为参数）

，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． （I ）求2C 的方程；

（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

πθ=

与1C 的异于极点

的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．

（23）解：

（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(

2

,2Y

X ).由于M 点在C 1上，所以

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222,cos 22y x 即 ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为

4cos 44sin x y α

α

=⎧⎨

=+⎩（α为参数）

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3

πθ=

与1C 的交点A 的极径为14sin 3

π

ρ=， 射线3

πθ=

与2C 的交点B 的极径为28sin

3

π

ρ=。

所以21||||AB ρρ-==