精华版平面向量综合应用教案

学习过程

一、复习预习

复习平面向量的加法、减法及数乘运算、平面向量的数量积运算、平面向量的坐标表示和运算，平面向量分解定理.预习向量的应用

二、知识讲解

1. 向量在三角中的应用

利用向量可以证明正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式等.

2.平面向量在不等式中的应用

利用平面向量的知识可以证明基本不等式、柯西-施瓦茨不等式等.

3.向量在物理中的应用

利用平面向量的知识可以解决物理中形如力的分解、合成；速度等矢量的分解、合成等问题.

考点1向量在三角中的应用

利用向量可以证明正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式等.

考点2平面向量在不等式中和函数值域中的应用

利用平面向量的知识可以证明基本不等式、柯西-施瓦茨不等式等. 利用向量可以解决一些特点的函数的值域问题

三、例题精析

【例题1】

【题干】 利用向量法证明余弦定理.

证明： 在三角形ABC 中，BC AB AC =- 两边平方得，2

222-BC AB AC AB AC =⋅+ 222cos 2a A bc c b =-+即

同理可得其他等式也成立

【题干】如图：质量为m 的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，求斜面与物体的摩擦力

f

解析：物体受到三个力： 重力w （方向竖直向下，大小为mgN ）,斜面支持力p ，摩擦察力f

因为物体静止，所以上面三个力平衡，

有 w +p +f =0

则 -f =w +p │-f │=│w │sin θ=mgsin (N)

答：斜面对于物体的摩擦力的大小为mgsin θ,方向与斜面平行向上

【题干】求证：

证明：

我们称该不等式为“柯西不等式“

))(()(,,,,22222n m y x yn xm R n m y x ++≤+∈则)

,(),,(n m b y x a ==设，由222)(b a b a ⋅≤⋅.”成立共线时“当且仅当=))(()(,,,,22222n m y x yn xm R n m y x ++≤+∈则”成立“时当且仅当==,ym xn

四、课堂运用

【基础】

1. 利用向量证明中位线定理.

2. 在三角形ABC 中，G 为三角形ABC 的重心，试用AG AC AB 来表示和

【巩固】

1.的最大值

1

4

)

(

=5

3

+

求函数x

x

x

f-

-

2. P 是△ABC 内的一点，AP →

＝13

(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( ) A ．2

B ．3 C.32

D ．6

【拔高】

的最小值求函数1341)(22+-++=x x x x f

课程小结

1.平面向量在三角中的应用

2.平面向量在不等式中的应用

3.平面向量在物理中的应用

课后作业

【基础】

1.设向量a=（1.cosθ）与b=（-1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）

A

2B1

2

C .0 D.-1

2. 已知向量a＝(sin x,1)，b＝(cos x，－3)，且a∥b，则tan x＝________.

【巩固】

1. 设a 、b 是不共线的两个非零向量，设OM →＝m a ，ON →＝n b ，OP →

＝αa ＋βb ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn

＝1

2.已知

a ＝(2，－3)，

b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________.

【拔高】

1. (2012·上海高考题)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是

边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|

，则AM →·AN →的取值范围是________．

2.已知e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，点P 的坐标(x ，y )满足方程x 2

4－y 2＝1，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R ，O 为坐标原点)，则a 、b 满足的一个等式是________．