泛函分析试题四

泛函分析试题四

一、叙述证明题(20分)

先叙述内积空间的定义, 然后验证: 在n 维欧氏空间n R 中,对任意的),,,(21n x x x x =,n

n R y y y y ∈=),,,(21 , 定义i n

i i y x y x ∑==1),(, 则n R 在),(⋅⋅下是一个内积空间.

二、证明题 (第小题15分,共60分)

1. 设X 是距离空间, X A ⊂，证明：A 的一切内点组成的集必为开集.

2. 设1,E E 都是赋范线性空间，T 是由E 到1E 中的闭线性算子，如果1-T 存在，证明：1-T 也是闭线性算子.

3．设M 是赋范线性空间E 的闭子空间, 0x 是M 中某个弱收敛点列的极限，证

明：M x ∈0.

4．设H 是内积空间,H y x ∈,,证明：y x ⊥的充要条件是任何数α，有||||||||y x y x αα-=+.

三、问答题 （20分）

先叙述压缩映射原理, 然后回答下列问题: 若在压缩映射原理中, 其他条件不变, 而把压缩映射条件替换为 ),(),(y x d Ty Tx d <(y x ≠), 问压缩映射原理是否还成立? 若成立, 给出证明, 若不成立, 举出反例.