多面体欧拉定理的发现 (1)2

多面体欧拉定理的发现

我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。

多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。

探索研究

问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1

观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。

教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。

表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.

请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.

此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.

所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.

大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.

（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.

上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.

（积极验证，得出）

V+F－E=2

以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.

（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.

（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）

一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.

好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？

所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为

2+n 个，因2n +（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.

请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V ＋F －E ＝2

_A

（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？

一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？

问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.

请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？

问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面

像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简

单多面体.

请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？

棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.

简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F －E=2.

我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.

（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）

在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。f(p)叫做欧拉示性数。

简单多面体的欧拉示性数

例1用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.

解：在三棱柱中：V=6，F=5，E=9

∵6+5－9=2，∴V+F－E=2

在四棱锥中：V=5，F=5，E=8

∵5+5－8=2，∴V+F－E=2

例2一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，求这个简单多面体的面数.

解：因为一个面都有3条边，每两条边合为1条棱.

所以它的面数F和棱数E之间有关系E=3F/2.又由欧拉公式V+F －E=2，且顶点数V=6.

∴F=E+2－V=E+2－6=3F/2－4

∴F=8

例3证明：没有棱数为7的简单多面体.

证明：设一个简单多面体的棱E=7，它的面数为F，顶点数为V，那么根据欧拉公式有V+F=E+2=9.

又多面体的面数F≥4,顶点数V≥4,

∴只能有两种情况：

（1）F=4，V=5或（2）F=5，V=4

当F=4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，故（1）不可能；

当V=4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面，故（2）不可能.

∴没有棱数为7的简单多面体.

例4已知一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？

解：∵F=12，V=8，

∴E =V +F －2=18 ∵两个顶点处各有6条棱 ∴余6条棱，6个顶点

而这6个顶点构成六边形，过这6个顶点的棱应该各有4条. 注意：本题也可以作为一个数学模型帮助我们去验证上述结果，即作一个六边形，在它所在面的两侧各取一个点，共8个顶点、12个面.从中体会构建数学模型对于解决问题的方便与直观.

例5 证明：四面体的任何两个顶点的连线都是棱，而其他凸多面体都不具有这一 性质.

证明：设多面体的顶点数V =n ,则它们互相连接成的棱数E =n(n －1)/2

每一条棱是两个面的边界，每个面至少有3条棱作边界. ∴F ≤2

32n （n －1）=3

n （n －1）

∵V +F =E +2

∴n +3

n （n －1）≥2

n ·（n －1）+2,

∴6n +2n （n －1）≥3n （n －1）+12, ∴n 2－7n +12≤0,（n －3）（n －4）≤0. ∵n ≥4,∴n =4.