2019-2020年高一数学正弦定理 新课标 人教版
余弦定理、正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析 由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点 正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等
高一数学 5.9正弦定理、余弦定理(备课资料) 大纲人教版必修
高一数学 5.9正弦定理、余弦定理（备课资料） 大纲人教版必修1.正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.［例1］已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且23sin sin =B A ，求bb a +的值. 解：∵B b A a sin sin =，∴ba B A =sin sin ， 又23sin sin =B A （这是角的关系）， ∴23=b a （这是边的关系）.于是，由合比定理得25223=+=+b b a . ［例2］已知△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别是A 、B 、C ，且a 、b 、c 成等差 数列.求证：sin A ＋sin C ＝2sin B证明：∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b （这是边的关系） ① 又Cc B b A a sin sin sin ==， ∴a ＝BA b sin sin ② c ＝BC b sin sin ③ 将②③代入①，得B C b B A b sin sin sin sin +＝2 b 整理得sin A ＋sin C ＝2sin B （这是角的关系）. 2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：［例3］求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值. 解：原式＝sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a 、b 、c ，由余弦定理得：a 2＋b 2－2ab cos150°＝c 2（*）而由正弦定理知：a ＝2R sin20°，b ＝2R sin10°，c ＝2R sin150°，代入（*）式得：sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin 2150°＝411∴原式＝.4●备课资料1.正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A .这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说 明之.［例1］在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数. 解：由定理得sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B∴－2sin A sin C cos B ＝3sin A sin C∵sin A sin C ≠0∴cos B ＝－23 ∴B ＝150°［例2］求sin 210°＋cos 240°＋sin10°·cos40°的值.解：原式＝sin 210°＋sin 250°＋sin10°·sin50°在sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 中，令B ＝10°，C ＝50°，则A ＝120°.sin 2120°＝sin 210°＋sin 250°－2sin10°sin50°·cos120°＝sin 210°＋sin 250°＋sin10°sin50° ＝（23）2＝43. ［例3］在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状.解：在原等式两边同乘以sin A 得2cos B sin A sin C ＝sin 2A ，由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝sin 2A ，∴sin 2C ＝sin 2B∴B ＝C故△ABC 是等腰三角形.2.一题多证［例4］在△ABC 中已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形.证法一：欲证△ABC 为等腰三角形.可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数.由正弦定理得a ＝B A b sin sin ∴2b cosC ＝BA b sin sin ， 即2cos C ·sinB ＝sin A ＝sin （B ＋C ）＝sin B cos C ＋cos B sin C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0即sin （B －C ）＝0，∴B －C ＝n π（n ∈Z ）.∵B 、C 是三角形的内角，∴B ＝C ，即三角形为等腰三角形.证法二：根据射影定理，有a ＝b cos C ＋c cos B ，又∵a ＝2b cos C∴2b cos C ＝b cos C ＋c cos B∴b cos C ＝c cos B ，即C B c b cos cos =. 又∵CB c b sin sin =. ∴CB C B cos cos sin sin =，即tan B ＝tan C ∵B 、C 在△ABC 中，∴B ＝C∴△ABC 为等腰三角形.证法三：∵cos C ＝bac b a 2222-+及cos C ＝b a 2， ∴ba abc b a 22222=-+，化简后得b 2＝c 2. ∴b ＝c∴△ABC 是等腰三角形.3.参考例题［例1］在△ABC 中，若ab B A =cos cos ，试判断△ABC 的形状. 解：由已知a b B A =cos cos 及正弦定理得A B B A sin sin cos cos = ∴sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =2π， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.［例2］已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，又三边a 、b 、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形.证法一：∵A 、B 、C 成等差数列，则2B =A +C ，又A +B +C =180°，∴3B =180°，∴B =60°，再由a 、b 、c 成等比数列，可得b 2=ac ，因此用余弦定理b 2=a 2+c 2－2ac cos B ，∴ac =a 2+c 2－2ac ·21， 即（a －c ）2=0∴a =c ，A =C又B =60°∴△ABC 为正三角形.证法二：∵A 、B 、C 成等差数列，则2B =A +C ，又A +B +C =180°，∴3B =180°，∴B =60°，再由a 、b 、c 成等比数列，设公比为q ，于是b =aq ，c =aq 2，∵cos B =ac b c a 2222-+， 即)(2)()(2122222aq a aq aq a ⋅-+=整理得q 4－2q 2+1=0，解得q 2=1，q =1∵q =1，∴三边长相等故三角形为正三角形.［例3］在△ABC 中，若a 2tan B =b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.解法一：∵a 2tan B =b 2tan A ， ∴A B BA B A b a cos sin cos sin tan tan 22⋅⋅== ① 由正弦定理得b aB A=sin sin ②由余弦定理得cos B =ac b c a 2222-+, ③cos A =bc a c b 2222-+, ④把②③④式代入①式得2222222222222222a c b b c a bca cb ac b c a b a b a -+-+=-+-+⋅=，整理得（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2）=0，∴a =b 或a 2+b 2=c 2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.解法二：由已知及正弦定理可得（2R sin A ）2B B cos sin =（2R sin B ）2A A cos sin ，∴2sin A cos A =2sin B cos B∴sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A =π－2B即A =B 或A +B =2π ∴△ABC 是等腰或直角三角形.4.参考练习题1.在△ABC 中，若sin A =CB C B cos cos sin sin ++，试判断△ABC 的形状. 解：∵sin A =CB C B cos cos sin sin ++， ∴cos B +cos C =A C B sin sin sin +， 应用正、余弦定理得ac b ab c b a ac b c a +=-++-+22222222， ∴b （a 2c 2－b 2）+c （a 2－b 2c 2）=2bc （b +c ），∴a 2（b +c ）－（b +c ）（b 2－2bc +c 2）=2bc （b +c ）即a 2=b 2+c 2故△ABC 为直角三角形. 2.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：CB A c b a sin )sin(222-=-. 证明：由a 2=b 2+c 2－2bc cos A .b 2=a 2+c 2－2ac cos B两式相减得a 2－b 2=c （a cos B －b cos A ）， ∴2222cos cos c A b B a c b a -=-. 又CB c bC A c a sin sin ,sin sin ==， ∴CB AC A B B A c b a sin )sin(sin cos sin cos sin 222-=⋅-⋅=-. 3.在△ABC 中，若（a +b +c ）（b +c －a ）=bc ,并且sin A =2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状. 解：由已知条件（a +b +c ）（b +c －a ）=bc 及余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=21))((2))((=-+++-+++a c b c b a a c b a c b ∴A =60°又由已知条件sin A=2sin B cos C得sin（B+C）=sin（B+C）+sin（B－C）∴sin（C－B）=0，∴B=C于是有A=B=C=60°，故△ABC为等边三角形.。
2019-2020年高中数学人教A版浙江专版必修5课件：第一章 1.1 1.1.1 正弦定理
[典例] 在△ABC中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求A，C，c.
[解]
由正弦定理及已知条件，有sin3A＝sin
425°，得∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝
bsin C sin B
＝
s2isnin457°5°＝
[活学活用] 在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状． 解：由正弦定理，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，所以 acos A＝bcos B 可化为 sin A cos A＝sin Bcos B，sin 2A＝sin 2B，又△ABC 中， A，B，C∈(0，π)，所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，即 A＝B 或 A
[活学活用] 在△ABC中，c＝ 6，C＝60°，a＝2，求A，B，b. 解：∵sina A＝sinc C，∴sin A＝asicn C＝ 22. ∴A＝45°或A＝135°. 又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°. ∴B＝75°，b＝cssiinnCB＝ 6si·nsin607°5°＝ 3＋1.
三角形形状的判断
(3)错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是
无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．
2．在△ABC中，下列式子与sina A的值相等的是
A.bc
B.ssiinn
B A
sin C C. c
c D.sin C
解析：选C 由正弦定理得，sina A＝sinc C，
所以sina A＝sinc C.
6＋ 2
2；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝
2019-2020学年高中数学新教材人教版A必修第二册教案：6.4.3(第二课时)正弦定理
第六章平面向量及其应用6.4.3 余弦定理、正弦定理（第二课时）正弦定理教学设计一、教学目标1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。
2.掌握正弦定理。
3.能用正弦定理解决简单的实际问题。
二、教学重难点1.教学重点正弦定理及其应用。
2.教学难点正弦定理的应用。
三、教学过程1.新课导入余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。
如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？2.探索新知在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论。
实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系。
从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系。
如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC 中，已知A，B，a，求b”的问题。
根据课本P45-46的推理证明，我们得到：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系。
利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题。
3.课堂练习1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝()A．4∶1∶1 B．2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1答案：D[∵A ＋B ＋C ＝180°，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，∴A ＝120°，B ＝30°，C ＝30°.由正弦定理的变形公式，得a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1.故选D.] 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝15，b ＝2，A ＝60°，则tanB 等于( )A ．1 B.12 C.52 D.32答案：B[由正弦定理，得sinB ＝b a ·sinA ＝215×32＝15，根据题意，得b<a ，故B<A ＝60°，因此B 为锐角．于是cosB ＝1－sin 2B ＝25，故tanB ＝sinB cosB ＝12.] 3．在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°D ．a ＝30，b ＝40，A ＝30°答案：D[在A 中，bsinA ＝14sin30°＝7＝a ，故△ABC 只有一解；在B 中，a ＝30，b ＝25，故a>b ，又A ＝150°，故△ABC 只有一解；在C 中，bsinA ＝9sin45°＝922>6＝a ，故△ABC 无解；在D 中，bsinA ＝40sin30°＝20，因bsinA<a<b ，故△ABC 有两解．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案：A[∵c ＝3a ，∴sinC ＝3sinA ＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sinC ＋12cosC ， 即sinC ＝－3cosC.∴tanC ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.]5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________. 答案：145[∵cosA ＝35，cosB ＝513，∴sinA ＝45，sinB ＝1213. ∴sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝5665. 又∵sin(π－C)＝sinC ＝sin(A ＋B)，∴sinC ＝5665，由正弦定理，得b sinB ＝c sinC ，∴c ＝3×56651213＝145.] 6．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 答案：30°[∵b ＝2a ，∴sinB ＝2sinA ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sinA ，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA ，化简得sinA ＝33cosA ，∴tanA ＝33，∴A ＝30°.] 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2a －c c ＝tanB tanC，则角B 的大小为________． 答案：60°[∵2a －c c ＝tanB tanC ，根据正弦定理，得2sinA －sinC sinC ＝tanB tanC ＝sinBcosC sinCcosB. 化简为2sinAcosB －cosBsinC ＝sinBcosC ，∴2sinAcosB ＝sin(B ＋C)．在△ABC 中，sin(B ＋C)＝sinA ，∴cosB ＝12. ∵0°<B<180°，∴B ＝60°.]4. 小结作业小结：本节课学习了正弦定理。
人教版高中数学必修26.4.3 余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件(二)
【跟踪训练3】
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2，则角 C 为( )
π 3π π 2π A.4 B. 4 C.3 D. 3
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用锐角三角形
(× )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一( × )
2．已知在△ABC 中，a＝1，b＝2，C＝60°，则 c 等于 ( )
答案 A
题型三 余弦定理在边角转化中的应用
例 3（1）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 已知 bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝________.
（2）在△ABC 中，若 lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lgb＋1 c， 则 A＝________.
a2＋b2－c2 解析 （1）由余弦定理得 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋ c·a2＋2ca2c－b2＝22aa2＝a，所以 a＝2b，即ab＝2.
解析 由余弦定理得
cos
a2＋c2－b2 1＋3－7 B＝ 2ac ＝2×1× 3＝－
3 2.
又∵0°<B<180°，
∴B＝150°.
答案 150°
2．在△ABC 中，已知 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，则 A＝ ________. 解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，
【高中数学】余弦定理、正弦定理(3)课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
sin30∘
sin45∘
＝20 2.
60° 60°
45°30°
40
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20 2)2＋
(40 2)2－2×40 2 ×20 2 cos 60°＝2400，
∴AB＝20 6 ，故A，B两点之间的距离为20 6 m.
跟踪训练
4．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距
20( 3 ＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时
10 2海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北
方向刮过且 3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
在△ABC中，由余弦定理得
sin30∘
，
新知探究
1．基线的概念与选择原则
(1)定义
线段
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的_______叫做基线．
(2)性质
基线长度
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的_________，使测量具有
高
较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越_______．
2．实际测量中的有关名称、术语
5．一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在
北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东
30 2
15°，这时船与灯塔的距离为________km.
如图所示，AC＝15×4＝60.
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
在△ABC中，
∴BC＝30 2.
60
sin45∘
=
方法总结
测量距离的基本类型及方案
6.4.3余弦定理、 正弦定理 余弦定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
cos B
3 ,所以B 30,因此C 105
2ac
4( 3 1)
2
3. 在△ABC中,已知b 5, c 2, 锐角A满足 sin A 231 ,求C(精确到1) 20
因为sin A 231 , 且A为锐角,所以cos A= 1 sin2 A 13 ,
20
20
由余弦定理, 得a2 b2 c2 2bc cos A 16, 所以a 4;
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地, 三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c b
c
叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
C
a
B
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 在△ABC中,已知b 60 cm, c 34 cm, A 41, 解这个三角形 (角度精确到1, 边长精确到1 cm).
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
a2 b2 c2 2bc cos A
你能用其他方法
b2 a2 c2 2ac cosB
证明余弦定理吗？
c2 a2 b2 2abcosC
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
所以cos C a2 b2 c2 37 ,利用计算器可得C 22
2ab
40
所以C 180 ( A B) 180 (41 106) 33
例6 在△ABC中, a 7, b 8, 锐角C满足 sin C 3 3 , 求B(精确到1). 14
分析：由条件可求cosC, 再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
因为sin C 3 3 , 且C为锐角,所以cos C 1 sin2 C 1 ( 3 3 )2 13 ,
正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2bc
c 2 a 2 b2
cos B
2ca
a 2 b2 c2
cos C
2 ab
复习导入
思考：在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三
角形。那么，若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形
的公式呢？
定性结论：和
定性结论：和
=
= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
1.正弦定理的变形(R 是△ ABC 外接圆的半径)
(1)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C ;
(2)sin A=
, sin B=
C
新知探究
综上，我们得到下面的定理：
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
=
=
问题3：以上我们利用向量方法获得了正弦定理.事实上，探索和证明这
个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁.
你还能想到其他方法吗？
新知探究
平面几何法
钝角三角形
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 正弦定理
复习导入
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这
两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即
2 = 2 + 2 − 2 ；
2
=
2
+
2
− 2 ；
2 = 2 + 2 − 2 .
b2 c2 a 2
锐角三角形
新教材人教版高中数学必修第二册 余弦定理、正弦定理 1 第1课时 余弦定理
a2＝_b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A____
符号语言
b2＝_a_2_＋__c_2_－__2_a_cc_o_s_B____
c2＝__a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C___
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
■名师点拨 余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余 弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
已知在△ABC 中，a＝1，b＝2，C＝60°，则 c＝________． 解析：由余弦定理，得 c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以 c ＝ 3. 答案： 3
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
已知两边及一角解三角形
(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cosC2＝ 55，BC＝1， AC＝5，则 AB＝( )
又 A∈(0，π)，所以 A＝π2. 故△ABC 为直角三角形．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．在△ABC 中，已知 a＝5，b＝7，c＝8，则 A＋C＝( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
解析：选 B.cos B＝a2＋2ca2c－b2＝252＋×654×－849＝12.
所以 B＝60°，所以 A＋C＝120°.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．在△ABC 中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC 一定是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
【课件】正余弦定理的应用举例课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
请你设计一个方案，测量比萨斜塔的高度.
数学 准确作图 实际
模型
问题
实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等
实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以
及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
➢ 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设
计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.
a
C
周练3第8题：D为三等分点
2
2
2
BA BC 2BA BC 4BD ,
即c 2 a 2 2ac cos120 4,
2
2
c a ac 4,
2
3( a c )
2
(a c) 4 3ac 4
4
( a c ) 2 16 , a c 4.
定理解决.
注意点
(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.
(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；
当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.
【应用2】测量高度问题
类型一：可到达高度BC
问题4 如图，设计一种测量方法，测量旗杆的高度.
C
解：如图，在△ABC中，测得
5 2
9
a c
a c
a c
(当且仅当c 2a 3时等号成立)
解三角形中的角平分线问题
[变式]△ABC中, ABC 120, AC边上的中线为BD 1,
则a c的最大值为_________. 切入点：构造关于a,c的定值式
考查：基本不等式
B
c
A
bD
2019-2020学年高中数学新教材人教B版必修第四册课件：9.2正弦定理与余弦定理的应用
如图Z-2-4.
第四页，共27页。
二 、 正、余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)在实际生活中的应用 1. 利用正、余弦定理求解实际问题的思路 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或多个三角形，然后通过解三角 形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题. 2.几种常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等. 3.解题时需注意的几个问题 （1）要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出（或作出）这些角； （2）要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺 利解题.
求相应的距离来实现.
第十页，共27页。
测量距离( jùlí)问题的基本模型及解法 2.三个基本模型及解法：
模型1：测量一条河两侧两点之间的距离，设A（可达），B（不可达）是地面上两点， 测量者在A点的附近选定一点C，测出AC的距离为a m，∠A＝α，∠C＝β. 求A，B两点间的距离. 在△ABC中，由正弦定理，得 AB ＝ AC ，
cos∠DEF＝ DE2 EF2 DF2 ＝1302 1502 102 298 ＝ 16 ，
2DE EF
2 130 150
65
所以∠DEF的余弦值为 16 .
65
【点评】 本题是一个角度测量问题，放置在一个海底测量的背景中，需要根据图形的几何特征，
பைடு நூலகம்
构造相应的三角形，在构造的三角形中找出相关的边长即可求出目标角度的余弦值.
在△ABD中，由正弦定理可得， AB ＝ BD ，即BD＝ ABsinDAB ＝100sin60 ＝50 6 （米）.
sinBDA sinDAB
sinBDA sin45
高一数学最新课件-正弦定理、余弦定理人教版 精品
怎j 样( A建C立 C三B角) 形j中 A边B和角间的关系？ A
j AB cos(90 A)
a sinC csin A
即 ac sin A sinC
同理，过C作单位向量j
垂直于CB
，可得
b sin
B
c sinC
a b c sin A sin B sinC
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 a b c sin A sin B sinC
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两 边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
例题讲解
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求b（保
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
A 30
例题讲解
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 三角形面积公式
b
a sin B sin A
2( B
3
1)(
2 h2
)
6 2
4
C
4
SABC
5.9 正弦定理、余弦定理
A 回忆一下直角三角形的边角关系?
a2 b2 c2 a tan A A B 90 b
c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？ Ba C
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sinC
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
（2）在 ABC中，若
a cos
正弦定理高一数学教材教学课件(人教A版2019)
新知生成
A
D
2RO
C
B
a
典例精析 ——三角形形状的判断
B
C
解析：∵c＝2acos B，∴sin C＝2sin Acos B， ∴sin（A＋B）＝2sin Acos B，∴sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Acos B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin（A－B）＝0，又－π＜A－B＜π， ∴A＝B.
习题演练
D
新知探究 ——三角形的面积公式
思考：你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？
B
课后探究：阅读教材，你还知道哪些三角形的面积公式？
教材P54 T18、20
典例精析
B
教材P54 T22
课堂小结
常见变形：
6.4.3.2 正弦定理
高一下学期
学习目标
1、了解正弦定理的推导过程； 2、掌握正弦定理及其推论； 3、能用正弦定理解决三角形有关问题；
重点：正弦定理及其推论 难点：正弦定理的推导过程及运用
新知探究
余弦定理及其推论给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式：
思考：如果已知两角和一边，是否也能解三角形呢？
C
一解 无解 一解 两解
习题演练
C
典例精析 ——正弦定理的变形
B
D
解析：∵A+B+C=180°,A∶B∶C=4∶1∶1,∴A=120°,B=30°,C=30°. 由公式得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 120°∶sin 30°∶sin 30°= 23∶12∶12= 3∶1∶1.
新知探究
三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．
正弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A
2
A
A
A
A
3
2019-2020学年高一数学人教A版必修5课件：1.1.1正弦定理 2
的比相等, 即：
abc sin A sin B sin C
思考？
我们怎么去证明这个定理，可以思考在我 们所学过的知识中，有没有什么知识，同 时包含长度和三角函数？
思考: 如何用向量来解决正弦定理的证明呢？
三、[运用规律，解决问题]
• 例题解析 • 题目：在△ABC中，已知C＝48.57°， A＝
1.独立思考以下问题 问题1：在Rt△ABC中，角C为直角，我们可以得到 这三个内角的 正弦值的式子 ， 我们知道这三个式子中都含有哪个边长？
问题2：那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？
abc sin A sin B sin C
那此关系式能不能推广到任意三角形？
二、[信息交流，揭示规律 ]
1.1.1正弦定理
sin C 1 c c
一、[设计问题，创设情境]
人们在实际中，如测量、航海、机械设
计、几何、物理等方面，经常碰到有关三 角形的问题，在解决这些问题时，如果每 次都通过构造直角三角形来求解，显然有 点麻烦！在任意三角形中，各边、角之间 是否存在某种数量关系呢？若有，那么我 们就可以直接利用，快速求解。
101.87° ， AC＝2620 m，求AB.(精确到1米)
(m)
请同学们解答本节课开始的问题？
思考？
正弦定理可以解决什么问题？
五、[反思小结，观点提炼]
• 通过这节课的研讨，请大家谈谈自己的体 会.
• (1)在这节课中，学习了哪些知识？
•
第6章 6.4 6.4.3 第2课时 正弦定理-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
释 疑 难
sin A＝2aR，a＝2Rsin A；sin B＝2bR，b＝2Rsin B；sin C＝2cR，c＝2Rsin
作 业
C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化． 返 首 页
·
24
·
情
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
【例 3】
在△ABC 中，若 sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
2
·
情
学习目标
核心素养
课
境 导
1.通过对任意三角形边长和角度 1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 关系的探索，掌握正弦定理的内容 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
返 首 页
·
16
·
情 境
[跟进训练]
课 堂
导
小
学
探 新
1．如图，锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R，证明sina A＝2R.
·
结
提 素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
[证明] 连接 BO 并延长，交外接圆于点 A′，连接 A′C，
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2019-2020年高一数学正弦定理 新课标 人教版
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定ABC 的边CB 及B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A
思考：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。
能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在RtABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC 中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作， C
由向量的加法可得
则∴
()()00cos 900cos 90-=+-r u u u r r u u u r j AB A j CB C
∴，即
同理，过点C 作，可得
从而
类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k =2R(R 为外接圆的半径),使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；sinC=sin(A+B),
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm (c=42.9cm)，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0
==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm ，cm ，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm ）。
解：根据正弦定理， 0
sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a 因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ⑵ 当时，
00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求 （答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：()0sin sin sin a b c k k A B C
++=>++； 或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A 组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记。