电磁学复习课件

v B 0
v JC
V
t
D E B H
电磁场的边界条件
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。
1. 电场法向分量的边界条件
如图所示，在柱形闭合面
上应用电场的高斯定律
vv v
v
ÑS D dS nˆ1 D1S nˆ2 D2S SS
v
v
故： nˆ1 D1 nˆ2 D2 S
vv v vv v (A B) B A A B
vv v vv v v v v v (A B) A B B A (B )A (A)B
第2章 电磁学基本理论
一、场量的定义和计算
(一) 电场 (二) 电位 (三) 磁场 (四) 矢量磁位
二、麦克斯韦方程组的建立
(一) 安培环路定律 (二) 法拉第电磁感应定律 (三) 电场的高斯定律 (四) 磁场的高斯定律 (五) 电流连续性方程
四、媒质中的麦克斯韦方程组
ÑÑll EHvv积ddlv分lv形S式S(JvBCtv dSvDtv
)
v dS
vv
ÑS D dS V V dV
vv
ÑS B dS 0
Ñ S
vv JC dS
V
V
t
dV
三个物态方程：
vv
JC E
微分形式
v
v H v E
v JC
v B
D t
t
v
D V
若规定 nˆ 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则
vv
nˆ1 nˆ
nˆ (D1 D2 ) S
nˆ2 nˆ
因为：Dv
v E
D1n D2n S
v
v
1nˆ1 E1 2nˆ2 E2 S
1E1n 2 E2n S
2. 电场切向分量的边界条件
在两种媒质分界面上取一小的
矩形闭合回路abcd ,在此回路上应用
3. 标量电位的边界条件
在两种媒质分界面上取两点，
分别为A和B，如图 ，从标量电位
的物理意义出发
A B
B A
vv E dl
E1n
h 2
E2n
h 2
A B 0
A B
故： 1 S 2 S
该式表明：在两种媒质分界面处， 标量电位是连续的。
因为：Ev
D1n D2n S
2
2
n
S
1
1
n
R
利用矢量恒等式：
v ( f G) f
v G
v f G
Ñ v
B
0
v (Idl)
(
1
)
4 l
R
v ( Idl)
(
1
)
v Idl
1
v Idl
R
R
R
为零！
v
Ñ 则：Bv 0 ( Idl)
4 l
R
v
Ñ v
B
0
( Idl)
4 l R
v
Ñ v
矢量磁位： A
0
Idl
4 l R
该式为线电流产生的磁场中的矢量磁位计算公式。
v
v
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系v 中，坐标变量为(x,y,z)，如图v，做一微分体元。
线元：dlvx dxaˆx
面元： dSvx dydzaˆx
dly dyaˆy
v v dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
dSvy dxdzaˆy dSz dxdyaˆz 体元： dV dxdydz
7. 标量磁位的边界条件
vv A1 S A2 S
在无源区域，安培环路定律的积分和微分形式为:
vv
Ñl H dl 0
v H 0
引入一标量函数 m ，令
v
H m
标量磁位
根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得：
m1 S m2 S 和
1
m1
n
S
Fra Baidu bibliotek
2
m2
n
S
8. 电流密度的边界条件
在两种导电媒质分界面处做 一小柱形闭合面。如图 h 0
根据电流连续性方程
Ñ S
v JC
v dS
七、重要的场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0
任何标量场梯度的旋度恒为零。
v (2) ( F) 0
任何矢量场的旋度的散度恒为零。
常用的矢量恒等式
()
vv
v
( A) A A
(A) A A
vv v v v v v v v v (A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu 2
h3u3
aˆu3
散度：
a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式：
vv
v divF
lim
ÑS F
dS
V 0 V
c.散度的计算：
vv
散度定理：
Ñ v
divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
vv
法拉第电Ñl磁Ev感dlv应定律S Btv
v dS
vv
Ñ 因为
E lv B
dl E1tl E2tl
v dS
v B
lh
0
S t
t
vv
故：E1t E2t 或 nˆ (E1 E2 ) 0
因为
vv
D E
D1t D2t
1 2
该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。
若媒质Ⅱ为理想导体时：E1t 0 理想导体表面没有切向电场。
S
S
在理想导体表面上：
C（常数） S
S n S
4. 磁场法向分量的边界条件
在两种媒质分界面处做一小 柱形闭合面，如图 h 0
在该闭合面上应用磁场的高斯定律
ÑS
v B
v dS
nv
v B1S
nv
v B2S
0
则： B1n B2n
该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。
因为
vv
B H
的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。
Ñ 表达式：
v rotF
lim
S 0
1 S
[aˆn
vv l F dl ]max
旋度计算：
v
v
旋度可用符号表示： rotF F
以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：
v
v
v
v
F ( F)x aˆx ( F)y aˆy ( F)z aˆz
v F
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
A B Ax Ay Az Bx By Bz
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
vv vv vv vv 推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
v
ÑS F dS V F dV
物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
矢量场的旋度
1. 环量：
在矢量场中，任意取一闭合曲
线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环
量。
vv
C Ñ l F dl
可见：环量的大小与环面的方向有关。
2. 旋度:
定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环
标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，
其方向为该点所在等值面的法线方向。
grad
d
dn
aˆn
数学表达式：
grad
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
aˆ
z
aˆz
在球坐标系中：
R
aˆR
R
aˆ
R sin
v v v vvvv 推论2：服从分配律： A(B C) A B AC
推论3：不服从结合律：
v vv vv v A(BC) (A B)C
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
矢量微分元：线元、面元、体元
例：
vv
F dl ,
vv
B dS,
dV
其中：dlv,
v dS
和
dV
称为微分元。
引入矢量
v A
，令
v
v
B A
则：
vv A B 0
v
该矢量 A 称为矢量磁位，单位为韦伯/米（Wb/m）。
3. 矢量磁位的计算
a.线电流矢量磁位计算
Ñ v
规范条件： A 0
v
对线电流的情况：Bv 0
4
Idl aˆR l R2
已知：
(
1 R
)
aˆR R2
Ñ v
B
0
v (Idl)
(
1
)
4 l
v E
q
4π 0 R 2
aˆR
v R21
q2
v
Ñ 磁感应强度的计算
v B
0
4π
Idl aˆR l R2
电流元
安培力实验定律：
vv
v dF21
0
4π
I 2 dl2
(I1dl1 R2
aˆR )
I1 v
v I 2 dl2
I2
I1dl1
v
R
其中：0为真空磁导率。 0 4π 107 H/m
v
v I2dl2
三、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式
库仑定律
v F21
q1q2
4π 0 R212
aˆR21
其中： 0为真空中介电常数。
0
1 36π
109
8.85 1012
电场强度的计算
v E
qqt
4π0qt R2
aˆR
q
4π 0 R 2
aˆR
q1
F/m
其中：aˆR 是源电荷指向场点的方向。
(1) 点电荷周围电场强度的计算公式：
v dS
V
V
t
dV
微 分Hv形式JvC:vDtv
v E
B
v t
D V
v
B 0
v JC
V
t
微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间
及场量与场源之间的关系。
注意：麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒体的物理性质 不发生突变的区域。
第3章 媒质的电磁性质和边界条件
引言 一、 导体,电磁介质(物态方程，电导率，磁导率等概念） 二、媒质中的麦克斯韦方程组 三、电磁场的边界条件(三类，8个边界条件）
2. 圆柱坐标系
在圆柱坐标系中，坐标变量为(r,, z)，如图，做一微分体元。
线元：
v dl
dravr
rdav
dzavz
面元：
v
dSvr dSv
dSz
rddzavr drdzav rddravz
体元： dV rdrddz
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆy
Fy x
Fx y
aˆz
aˆx aˆy aˆz
v F
x y z
h1aˆu1
v F
1
h1h2h3 u1
h2aˆu2 u2
h3aˆu3 u3
Fx Fy Fz
h1Fu1 h2 Fu2 h3Fu3
斯托克斯定理：
v v vv
S ( F) dS Ñl F dl
其对应的线元 rdav ，可见拉梅系数为：
h1 1, h2 r, h3 1
c. 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，其中, 均为
角度，其拉梅系数为：
h1 1, h2 R, h3 R sin
标量场的梯度
标量场的场函数为 (x, y, z,t)
P1
梯度定义
dnv
P2
v
dl
P 0
0 d
（二）麦克斯韦方程组的微分形式
积分形式:
vv v
Ñl H
v
Ñl E
dl S (J
v
dl S
C v
B t
v D) t
v dS
v dS
vv
vv
Ñl H dl S ( H)dS
vv
v
vv
ÑS D dS V V dV
ÑS D dS V DdV
vv
Ñ B dS 0
Ñ S v S JC
第1章 矢量分析
一、矢量的运算法则
二、矢量微分元：线元，面元，体元 三、标量场的梯度,散度，和旋度* 四、重要的场论公式
v
标量积（点积）：
vv v v
A B | A| | B | cos
B
推论1：满足交换律
vv vv A B B A
推论2：满足分配律
v v v vv vv A(B C) A B AC
dq2 dt
v dl2
dq2
dl2 dt
dq2vv2
v
得到：
v dF21
dq2vv2
[ 0
4π
I1dl1 aˆR R2
]
比较
v Fm
qvv
v B
v
电流元
I1dlv1在空间所产生的磁感应强度为：
v dB1
0
4π
I1dl1 aˆR R2
该式称为毕奥—萨伐尔定律。
2. 矢量磁位的引入
v 根据矢量恒等式： F 0
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
v A
矢量积（叉积）：
vv v v
A B | A | | B | sin aˆc
aˆc
B
A
v v aˆx aˆy aˆz
1H1n 2 H2n
若媒质Ⅱ为理想导体时,由于理想导体中的磁感应强度为零，
故: B1n 0
因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。
5. 磁场切向分量的边界条件
在两种媒质分界面处做一小
矩形闭合环路，如图 h 0
在此环路上应用安培环路定律
vv
Ñl H dl I vv
Ñ H dl l
H1tl H2tl
线元：
v dl
dRavR
Rd av
Rsindav
面元：
v dSR
R2
sin d davR
v dS
R sin dRdav
v dS
RdRd av
体元：
dV R2 sin dRd d
注意：
a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，
即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为(r,, z), 其中 为角度，
I J Sl
vv v
于是：H1t H2t JS 或： nˆ (H1 H2 ) JS
tan 1 1 tan 2 2
若：2
1 0
B1t
1
B2 t
2
JS
即：在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。
6. 矢量磁位的边界条件
矢量磁位在分界面处也应是连续的，即
1
v1
v
1 ( A1)t 2 ( A2 )t JS