矢量场的环量及旋度
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已知空间中矢量场分布满足 Av(rv) rv ，求
矢量场在空间中的散度源分布。
分析：
意位在该置直矢，r角v量坐场是标的变系场量下量。：等r于v 其x空ev间x 位y置evy矢量z值evz rv 。在空间任
在圆柱坐标系下：rv 在球面坐标系下：rv
revevr r
zevz
例题二：
已知：Rv evvx (x x') evy (y y') evz (z z') ，
r r r z
3) 在球面坐标系下：
(evr
r
ev
1 r
ev
(
r
1 sin
)
)
gFv(rv)
1 r2
r
(r 2Fr )
1
r sin
(sin F )
1
r sin
F
一些常用的运算恒等式
( A B) A B (CA) C A
(A) A A
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
1、在散场度空的间定义Av(rv) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积
为 V ，则定义场矢量 Av(rv) 在M 点处的散度为：
divAv (rv)
lim
Ñs Av (rv)
v dS
v0
v
2、散度的物理意义
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
讨论：1）线元矢量 dl 的定义；
2) 蜒 l Av(rv)gdlv l Av(rv) cos (rv)dl
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；
反之，则矢量场存在涡漩运动。
反映矢量场漩涡源分
布情况。
二、矢量的旋度
法线方向与曲线绕 向成右手螺旋法则
1. 环流面密度
在场矢量 Av(rv) 空间中，围绕空间某点M取一面元S，其
举例：
为标量场
2、标量场的-等值线(面).
其方程为
h (x, y, z) const
等值线
四、矢量场
1、定义： 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方
向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该 区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
举例：
为矢量场
2、矢量场的矢量线：特点：曲线上每一点处，曲
R R
求：矢量
v D
v R R3
在R
0处的散度。
小结
1）矢量场的通量 通量的定义 封闭曲面通量的意义
2）散度的定义
3）散度的计算
4）高斯定理 思考题
1、通量和散度的意义各是什么？ 2、高斯定理的意义是什么？其积分面的方向是如何规定的？ 3、如果矢量场对于某区域封闭面S的通量为零，那么矢量场在该区域 中的散度处处为零吗？为什么？源自Av (rv)v dS
S
为矢量 Av(rv) 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
Ñs Av(rv)
v dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
v 1）面元 dS 定义；
讨论
Ñ 2）穿过闭合面的通量
v A(r)
cos
(rv)ds
s
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
2.1 场
一、场的概念：具有某种物理性质的物理量在空间的分布；
在数学上用函数表示. 即：场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中 任一个点都有一个确定的标量值或矢量.
二、场的分类：
数(标）量场 如温度场,电位场,高度场等
矢量场
如力场、速度场等
三. 数(标)量场
1、定义 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标 的变化而变化，有时还可随时间变化。
a) 若 0，闭合面内有产生矢量线的正源； b) 若 0 ，闭合面内有吸收矢量线的负源； c) 若 0，闭合面无源。
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
三、矢量场的散度
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
高斯定理在数学上表示体积分与面积分的转换关系，反 映了体积表面上的矢量场与体积内的矢量场源的关系。
V gFv(rv)dV Ñs Fv(rv)gdSv
该公式表明了区域V 中场 Fv(rv) 与边界S上的场 Fv(rv) 之间的关系。
散度定理的证明
从散度定义，可以得到：
gFv(rv) lim Ñs Fv(rv)gdSv lim d
线都和对应于该点的矢量 A 相切
矢量线
3、矢量线方程
在直角坐标下:
二维场
Ax Ay dx dy
三维场
第二节 矢量场的通量 散度
一、矢量线（力线）
❖矢量线的疏密表征矢量场的大小； ❖矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；
二、矢量场的通量
若矢量场 Av(rv) 分布于空间中，在空间中存
在任意曲面S，则定义：
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
( divFv(rv) 0 正源) divFv(rv) 0负源) ( divFv(rv) 0无源）
讨论：在矢量场中，
1）若 2）若
ddivivAvAv((rvrv))0处处0成，立则，该则矢该量矢场量称场为称有为源无场源，场为。源密度；
3、散度的计算
1)
在直角坐标系下：divFv(rv)
Fx x
Fy y
Fz z
(gxFvev(xrv)
y
evy
z
evz
)g(Fxevx
Fyevy
Fz evz
)
式中：
( x
evx
y
evy
z
evz
)
哈密顿算符
2) 在圆柱坐标系下：
(evr
r
ev
1 r
evz
) z
gFv(rv) 1 (rFr ) 1 F Fz
V
V
V V dV
式中：S为包围V的闭合面
由于
r F
是通量源密度，
即穿过包围单位体积的闭合面的
通量，对
r F
体积分后，为穿
出闭合面S的通量
则在一定体积V内的总的通量为：
V gFv(rv)dV Ñs Fv(rv)gdSv
式中：S为包围体积V的闭合面 得证！
例题一：( 例1.2.3 书 pp.6)
第三节 矢量场的环流 旋度
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。 v
一、矢量的环流
S nˆ S
环流的定义：
P
在场矢量 径L，则称
Av(rv)
Av(rv)
空间中，取一有向闭合路 沿L积分的结果称为矢量 Av(rv)
L
环流的计算
A
沿L的环流。即：
Ñl Av(rv)gdlv v
环量; 该环量表示绕线旋转趋势的大小； 矢量场的涡旋是由某种“力”（涡旋 源）引起的。
矢量场在空间中的散度源分布。
分析：
意位在该置直矢，r角v量坐场是标的变系场量下量。：等r于v 其x空ev间x 位y置evy矢量z值evz rv 。在空间任
在圆柱坐标系下：rv 在球面坐标系下：rv
revevr r
zevz
例题二：
已知：Rv evvx (x x') evy (y y') evz (z z') ，
r r r z
3) 在球面坐标系下：
(evr
r
ev
1 r
ev
(
r
1 sin
)
)
gFv(rv)
1 r2
r
(r 2Fr )
1
r sin
(sin F )
1
r sin
F
一些常用的运算恒等式
( A B) A B (CA) C A
(A) A A
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
1、在散场度空的间定义Av(rv) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积
为 V ，则定义场矢量 Av(rv) 在M 点处的散度为：
divAv (rv)
lim
Ñs Av (rv)
v dS
v0
v
2、散度的物理意义
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
讨论：1）线元矢量 dl 的定义；
2) 蜒 l Av(rv)gdlv l Av(rv) cos (rv)dl
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；
反之，则矢量场存在涡漩运动。
反映矢量场漩涡源分
布情况。
二、矢量的旋度
法线方向与曲线绕 向成右手螺旋法则
1. 环流面密度
在场矢量 Av(rv) 空间中，围绕空间某点M取一面元S，其
举例：
为标量场
2、标量场的-等值线(面).
其方程为
h (x, y, z) const
等值线
四、矢量场
1、定义： 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方
向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该 区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
举例：
为矢量场
2、矢量场的矢量线：特点：曲线上每一点处，曲
R R
求：矢量
v D
v R R3
在R
0处的散度。
小结
1）矢量场的通量 通量的定义 封闭曲面通量的意义
2）散度的定义
3）散度的计算
4）高斯定理 思考题
1、通量和散度的意义各是什么？ 2、高斯定理的意义是什么？其积分面的方向是如何规定的？ 3、如果矢量场对于某区域封闭面S的通量为零，那么矢量场在该区域 中的散度处处为零吗？为什么？源自Av (rv)v dS
S
为矢量 Av(rv) 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
Ñs Av(rv)
v dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
v 1）面元 dS 定义；
讨论
Ñ 2）穿过闭合面的通量
v A(r)
cos
(rv)ds
s
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
2.1 场
一、场的概念：具有某种物理性质的物理量在空间的分布；
在数学上用函数表示. 即：场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中 任一个点都有一个确定的标量值或矢量.
二、场的分类：
数(标）量场 如温度场,电位场,高度场等
矢量场
如力场、速度场等
三. 数(标)量场
1、定义 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标 的变化而变化，有时还可随时间变化。
a) 若 0，闭合面内有产生矢量线的正源； b) 若 0 ，闭合面内有吸收矢量线的负源； c) 若 0，闭合面无源。
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
三、矢量场的散度
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
高斯定理在数学上表示体积分与面积分的转换关系，反 映了体积表面上的矢量场与体积内的矢量场源的关系。
V gFv(rv)dV Ñs Fv(rv)gdSv
该公式表明了区域V 中场 Fv(rv) 与边界S上的场 Fv(rv) 之间的关系。
散度定理的证明
从散度定义，可以得到：
gFv(rv) lim Ñs Fv(rv)gdSv lim d
线都和对应于该点的矢量 A 相切
矢量线
3、矢量线方程
在直角坐标下:
二维场
Ax Ay dx dy
三维场
第二节 矢量场的通量 散度
一、矢量线（力线）
❖矢量线的疏密表征矢量场的大小； ❖矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；
二、矢量场的通量
若矢量场 Av(rv) 分布于空间中，在空间中存
在任意曲面S，则定义：
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
( divFv(rv) 0 正源) divFv(rv) 0负源) ( divFv(rv) 0无源）
讨论：在矢量场中，
1）若 2）若
ddivivAvAv((rvrv))0处处0成，立则，该则矢该量矢场量称场为称有为源无场源，场为。源密度；
3、散度的计算
1)
在直角坐标系下：divFv(rv)
Fx x
Fy y
Fz z
(gxFvev(xrv)
y
evy
z
evz
)g(Fxevx
Fyevy
Fz evz
)
式中：
( x
evx
y
evy
z
evz
)
哈密顿算符
2) 在圆柱坐标系下：
(evr
r
ev
1 r
evz
) z
gFv(rv) 1 (rFr ) 1 F Fz
V
V
V V dV
式中：S为包围V的闭合面
由于
r F
是通量源密度，
即穿过包围单位体积的闭合面的
通量，对
r F
体积分后，为穿
出闭合面S的通量
则在一定体积V内的总的通量为：
V gFv(rv)dV Ñs Fv(rv)gdSv
式中：S为包围体积V的闭合面 得证！
例题一：( 例1.2.3 书 pp.6)
第三节 矢量场的环流 旋度
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。 v
一、矢量的环流
S nˆ S
环流的定义：
P
在场矢量 径L，则称
Av(rv)
Av(rv)
空间中，取一有向闭合路 沿L积分的结果称为矢量 Av(rv)
L
环流的计算
A
沿L的环流。即：
Ñl Av(rv)gdlv v
环量; 该环量表示绕线旋转趋势的大小； 矢量场的涡旋是由某种“力”（涡旋 源）引起的。